Pozostávajúce z odkazov typu one-to-how-dĺžky a pomocou-us-u-sche half-zu-na, re-dvi-ga-u-schi-e -sya pozdĺž červenej-no-mu nepohyblivej tyč-nu, re-a-li-zu-et na rovine osovej súmernosti. Naozaj, ale rovnakým spôsobom, jedna zo zelených loptičiek-ni-prikopa pre-áno-a predsa in-lo-the-rovnaká a dlhá-no, o -in-on-the-false strane vašej vlastnej tri- uhol-no-ka, ale tri-uhol-no-ki, on-ho-da-schi-e-sya rôznymi spôsobmi sto od tyče, vždy rovnaké. Takže s akýmkoľvek druhom me-ha-niz-ma, dvoma zelenými loptičkami-ni-ra sim-met-bohatými-sme z-no-si-tel-ale krásne-ale-tej rod-nya.

Zoberme si figúrku-ru - cr-in-a-linear-trojuholník-nick - a uvidíme, na čo sa zmení pod pôsobením našej ha-niz-ma. In-lu-chit-sya symetrická postava-ra. Ona sa okrem iného rovná od-do-počiatku, ale iným spôsobom, ori-en-ti-ro-va-na. To znamená, že ak lietadlo považujeme za čertovskú plachtu boo-ma-gi s figúrkou, potom na zošívanie figúry a jej obrazu je potrebné plachtu zložiť pozdĺž os symetrie, pricom jedna ma u mna lo-win-ki- je tam vrch so spodkom.

Aplikuj-me-nim teraz na už-lepší-chiv-she-mu-sya trojuholník-no-ku náš mechanizmus, re-a-li-zu-u-scheme sim-metriu, s osou, par-ral-lel-noy os prvého me-ha-niz-ma. Najlepší trojuholník má rovnaký ori-en-ta-tion ako úplne prvý a je lepšie z neho vyjsť ral-lel-nym re-re-no-catfish, t.j. posun Double-pa-ral-le-lo-gram s dvoma červenými-we-mi for-crepe-len-ny-mi shar-ni-ra-mi re-a-li-zu-et to je pre-ob -ra -zo-va-nie na rovine. Takže výsledkom dvoch osových symetrií s osami par-ral-lel-us-mi je len posun. Pravda a naopak - každý par-ral-lel-ny re-nos sa dá rozložiť na dve osové symetrie s osami par-ral-lelus. Aké ľahké je si všimnúť, že takáto doba nie je jediná.

Takýto re-zul-tat po-pred-va-tel-nyh zobrazuje on-zy-va-et-sya v ma-te-ma-ti-ke com-by-zi -qi-ee, a v termíne -mi-no-logia funkcií - komplexná funkcia-qi-ee. Rovnako ako v ana-li-ti-che-sky for-pi-si, re-zul-tat com-po-zi-tion môže byť-ale-by-chit, alebo-bo-po-pred -va-tel -ale ty-kompletne zostavuje-la-u-shchi jej akcie, alebo nejako pre-ob-ra-zo-vav a aplikuj-me-niv už v „jednoduchom -puppy-nom“ vi-de. Zároveň môže byť objekt pre-ob-ra-zo-van-ny navonok dokončený, ale nevyzerá ako originál, z niektorých to vyzerá ako lu-cha-sya.

Čo však bude, ak osi symetrie nebudú par-ral-lel-us?

Kom-po-zi-qi-it dvoch osových symetrií s nepara-ral-lel-us-mi osami sú-la-et-sya v ústach so stredom presne ke pe-re-se-che -niya sekery. Zároveň sa uhol na nejakom-ry in-ra-chi-va-et-sya figúre-ra rovná double-en-no-mu uhlu medzi osami. Rovnako ako v prípade posunu je to pravda a naopak - akákoľvek bitka v ústach na rovine rasy-cla-dy-va-et-xia o dve osi vás symetrií.

Shar-nir-ny mechanizmus, os-but-van-ny na rhom-ba, re-a-li-zu-et pre-ob-ra-zo-va-nie in-ro-ta rovina.

A teraz k lietadlu (na príklade našej postavy) s-me-nim po-to-va-tel-ale para-ral-lel-ny-pe -nos, a potom do úst. Je možné s nejakým druhom pre-ob-ra-zo-va-ni-eat spojiť výsledné a konečné čísla?

Raz-lo-zhim je-pol-zo-van-ny v ústach do dvoch symetrií. Z tohto obrázku je vidieť, že štádium vytvorenia šedého trojuholníka a následného aplikovania jedného symbolu naň met-rii môže byť-ale pre-mne-vlákno len pre jednu jamku sim-met-ryu. A také auto-tin-ka - com-po-zi-tion dvoch osových súmerností s nepara-ral-lel-we-mi osami - už vieme, je len v ústach.

Na-ri-su-em trojuholník-prezývka na sto-le. Po-lo-živý či-stock boo-ma-gi navrch, ob-ve-dem postava-ru. Under-no-meme či sto-šek a od-nech-stim, aby náhodne padol na stôl, no zároveň sa nevrátil späť . Rovnakým spôsobom v lu-che-ale, ako sa hovorí ma-te-ma-ti-ki, „vo všeobecnosti“ je pohyb lietadla pre-asi-ra-zo-va-nie, zachovávajúc rasa-sto-i-niya a nie ja-nya-yu-sche ori-en-ta-tion. Samozrejme, môže sa stať, že čísla z-li-cha-yut-sya para-ral-lel-nym per-re-no-cat, ale ve-ro-yat -nost, že keby-a-sto-kontrola bude klamať tak ak-ku-rat-ale, veľmi ma-la. Vo všetkých ostatných prípadoch je to len sústo s akýmsi stredom pod nejakým uhlom!

§ 1. Rotácia a stredová súmernosť - Učebnica matematiky 6. ročník (Zubareva, Mordkovich)

Stručný opis:

V tejto časti sa obraciame na štúdiu Nová téma v geometrii: rotácia a stredová symetria. Čo nám pomôže pochopiť, čo je rotácia v geometrickom zmysle, ako otáčať body, úsečky alebo celé obrazce, ako aj to, ktoré body úsečky alebo obrazca možno považovať za symetrické.
Otáčanie bodu možno považovať za pohyb bodu okolo iného bodu v rovine, pričom druhý bod zostáva nehybný. Otáčanie sa môže vykonávať v ľubovoľnej vzdialenosti, takáto vzdialenosť sa meria v stupňoch, môže sa merať pomocou uhlomeru. Okrem bodov sa dajú posúvať aj celé figúrky a kresby. Môžeme teda pozorovať mnoho príkladov využitia rotácií v skutočný život- symetrické rastliny, kvety, plody rozrezané na polovicu, stavebné prvky, ako sú točité schodiská, obuv - pravá a ľavá obuv. Hviezdy sa teda točia okolo pólu a menia svoju polohu len vzhľadom na jeden bod. Pre geometrickú konštrukciu obratu je vhodné použiť kompas a uhlomer. Symetriu možno definovať ako rovnako vzdialené usporiadanie bodov od toho istého stredu. AT Každodenný životčasto sa stretávame so symetrickými predmetmi. Ale stojí za zmienku, že v prírode neexistuje dokonalá symetria, dokonca ani tvár človeka nemôže byť dokonale symetrická. Ale predmety, ktoré používame na každodenné činnosti, varenie, domáce úlohy, hry, sú najčastejšie symetrické. zaujímavé? Pozývame vás, aby ste sa bližšie pozreli na materiál odseku v učebnici!

31.01 (01.02) Hodina matematiky na tému „Rotácia a stredová súmernosť“. 6. trieda

Ciele lekcie:

opakovanie akcií s desatinné miesta;

oboznámenie študentov s pojmom rotácia a stredová súmernosť;

formovanie zručnosti konštrukcie symetrických bodov vzhľadom na stred;

podporovať trvalo udržateľný záujem o štúdium matematiky prostredníctvom využívania rôznych aktivít v triede;

vzdelávanie v oblasti grafickej kultúry;

rozvoj duševnej činnosti, analýzy a syntézy prostredníctvom praktické činnosti na lekcii;

rozvoj pozornosti, kognitívneho záujmu.

Vybavenie: interaktívna tabuľa, prezentácia na vyučovaciu hodinu.

Plán lekcie.

Organizovanie času.

Opakujte kroky pre desatinné miesta.

Učenie sa nového materiálu, počiatočné upevnenie.

Zhrnutie hodiny, domáca úloha.

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Správa o požiadavkách na lekciu, potrebné nástroje a prídavky.

Čo sa učí matematika v 6. ročníku.

2. Opakovanie.

1) Zapamätajte si pravidlá činnosti s desatinnými zlomkami, uveďte príklady.

2) Ústne počítanie (pomocou „Matematického simulátora“, 6. ročník, s. 10, úloha pre ID).

3) Písomná práca č. 14, 15 na prvom riadku v každom čísle (pri tabuli na želanie vypracuje hodnotenie 1 študent).

№14 a) 2, 31 + 15, 7=18, 01

c) 4,327 - 2,05 =2, 277

e) 15,6 + 0,671 =16, 271

№15 a) 91,05 3,2 =291, 36

c) 268,8: 5,6 =48

e) 7,02 0,0055 =0, 03861

3. Učenie sa nového materiálu.

Témou našej lekcie je „Rotácia a centrálna symetria“(Snímka 1)

V geometrii sa zvažujú otázky súvisiace s pohybom postáv. Dnes sa zoznámime s rotáciou a stredovou symetriou.

1) Zoberme si na rovine body O a A. Otočme bod A okolo bodu O pod určitým uhlom. Bod A ide do bodu A 1 . (Snímka 2). Urobme rovnakú konštrukciu v zošite, doplňte medzery v texte.

V tomto prípade bude bod O (pevný bod) stredom otáčania, bod A je pohyblivý bod a uhol otočenia je uhol AOA 1 . Rotácia môže byť v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek.

Môžeme teda definovať rotáciu:

Def. Otočenie "t" (rotácia) - pohyb, pri ktorom aspoň jeden bod roviny zostáva nehybný(kliknutie myšou).

2) Zvážte výkres(kliknutie myšou ). Zobrazuje tiež rotácie bodov. Opíšte tento nákres a určite, o aký uhol sa bod otáča v každom prípade. Pre ktorý bod možno určiť uhol natočenia bez uhlomeru? Popíšte umiestnenie počiatočného a koncového bodu vzhľadom na stred. ( ústna práca podľa obrázku 2 z učebnice)

3) Turn - prirodzený proces vyskytujúci sa v prírode, vo svete okolo nás.

Pozrite sa na obrázky a popíšte každú odbočku.(Snímka 3, 4)

4) Úlohu č.1 splníme písomne.(Snímka 5)

Zostrojte obraz segmentu MN = 4 cm pri otočení o uhol 90° okolo bodu O v smere hodinových ručičiek.

(Rozoberá sa algoritmus na vykonanie obratu a postupuje sa konštrukcia v zošitoch spolu s animáciou. Učiteľ kontroluje vykonávanie úloh a poskytuje potrebnú pomoc).

Porovnajte segmenty MN a M 1 N 1 .

5) Na ďalšej snímke vidíte rôzne ozdoby(Snímka 6). Všetky pozostávajú z identicky sa opakujúcich prvkov. Uveďte tieto prvky. Pozor na fragmenty ozdôb b), d), f), g). Čo ich spája? (Každý z nich je možné získať z inej časti otočením o 180° o nejaký bod).

6) Zvážte ďalšiu odbočku.(Snímka 7)

Na rovine označíme body O a A, nakreslíme priamku AO. Na tejto priamke z bodu O vyznačíme segment OA 1 , rovný úsečke AO, ale na druhej strane bodu O. Dostaneme rozvinutý uhol AOA 1 . To znamená, že bod A 1 možno získať otočením bodu A o 180° okolo bodu O. Body A a A 1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na bod O a bod O sa nazýva stred symetrie.

Zvážte kresbu žltých a červených rýb. Sú symetrické okolo bodu O.

ODA . Obrazce, ktoré sú symetrické vzhľadom na nejaký bod, sa nazývajú centrálne symetrické obrazce.

Ako sú centrálne symetrické body umiestnené vzhľadom na stred symetrie?

(Ležia na rovnakej línii so stredom symetrie)

7) Ústne č. 1 s. 7 obr.(Snímka 8). Označte stred symetrie a niekoľko párov stredovo symetrických bodov.

(Snímka je v normálnom režime alebo je kresba umiestnená na interaktívnej tabuli, aby sa dala urobiť potrebná konštrukcia).

8) Ústne (Snímka 9 ). Uveďte, ktoré postavy na obrázkoch majú stred súmernosti.

4. Výsledok hodiny.

Odpovedz na otázku:

Ako viete, čo je odbočka?

Ako získať centrálne symetrické body pomocou rotácie?

Ako zostrojiť stredovo symetrické body?

Vedecká a praktická konferencia

MOU "Stredná škola č. 23"

mesto Vologda

sekcia: prírodovedná - vedecká

dizajnérske a výskumné práce

TYPY SYMETRIE

Prácu vykonala žiačka 8. „a“ triedy

Kreneva Margarita

Vedúci: vyšší učiteľ matematiky

rok 2014

Štruktúra projektu:

1. Úvod.

2. Ciele a zámery projektu.

3. Typy symetrie:

3.1. Stredová symetria;

3.2. Osová súmernosť;

3.3. Zrkadlová symetria(symetria vzhľadom na rovinu);

3.4. Rotačná symetria;

3.5. Prenosná symetria.

4. Závery.

Symetria je myšlienka, prostredníctvom ktorej sa človek po stáročia snaží pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť.

G. Weil

Úvod.

Téma mojej práce bola zvolená po preštudovaní časti „Axiálna a stredová súmernosť“ v kurze „Geometria 8. ročník“. Táto téma ma veľmi zaujala. Chcel som vedieť: aké typy symetrie existujú, ako sa navzájom líšia, aké sú princípy konštrukcie symetrických útvarov v každom z typov.

Cieľ : Úvod do rôznych typov symetrie.

Úlohy:

Preštudujte si literatúru na túto tému.

Zhrnúť a systematizovať preštudovaný materiál.

Pripravte si prezentáciu.

V dávnych dobách sa slovo "SYMMETRIA" používalo vo význame "harmónia", "krása". V preklade z gréčtiny toto slovo znamená „proporcionalita, proporcionalita, rovnakosť v usporiadaní častí niečoho na opačných stranách bodu, čiary alebo roviny.

Existujú dve skupiny symetrií.

Do prvej skupiny patrí symetria polôh, tvarov, štruktúr. Toto je symetria, ktorú možno priamo vidieť. Dá sa to nazvať geometrická symetria.

Druhá skupina charakterizuje symetriu fyzikálnych javov a prírodné zákony. Táto symetria leží v samom základe prírodno-vedeckého obrazu sveta: možno ju nazvať fyzickou symetriou.

Zastavujem sa učiťgeometrická symetria .

Na druhej strane existuje niekoľko typov geometrickej symetrie: stredová, axiálna, zrkadlová (symetria vzhľadom k rovine), radiálna (alebo rotačná), prenosná a iné. Dnes zvážim 5 typov symetrie.

Stredová symetria

Dva body A a A 1 sa nazývajú symetrické vzhľadom na bod O, ak ležia na priamke prechádzajúcej cez m O a sú na jej opačných stranách v rovnakej vzdialenosti. Bod O sa nazýva stred symetrie.

Obrázok sa nazýva symetrický vzhľadom na bodO , ak pre každý bod obrázku je bod symetrický k nemu vzhľadom na bodO patrí tiež k tejto postave. BodkaO nazývaný stred symetrie postavy, hovorí sa, že postava má stredovú symetriu.

Príkladmi útvarov so stredovou symetriou sú kruh a rovnobežník.

Čísla zobrazené na snímke sú symetrické vzhľadom na určitý bod

2. Osová súmernosť

Dve bodkyX a Y nazývané symetrické vzhľadom na čiarut , ak táto čiara prechádza stredom segmentu XY a je naň kolmá. Treba tiež povedať, že každý bod čiaryt považovaný za symetrický sám k sebe.

Rovnot je os symetrie.

Postava je údajne symetrická vzhľadom na priamku.t, ak pre každý bod obrazca bod, ktorý je k nemu symetrický vzhľadom na priamkut patrí tiež k tejto postave.

Rovnotnazývaná os súmernosti figúry, o figúre sa hovorí, že má osovú súmernosť.

Osovú symetriu má nerozvinutý uhol, rovnoramenné a rovnostranné trojuholníky, obdĺžnik a kosoštvorec,písmená (pozri prezentáciu).

Zrkadlová symetria (symetria okolo roviny)

Dva body P 1 a P sa nazývajú symetrické vzhľadom na rovinu a, ak ležia na priamke kolmej na rovinu a a sú od nej v rovnakej vzdialenosti

Zrkadlová symetria všetkým dobre známy. Spája akýkoľvek predmet a jeho odraz v plochom zrkadle. Hovorí sa, že jedna postava je zrkadlovo symetrická k druhej.

V rovine bol obrazcom s nekonečným počtom osí symetrie kruh. Vo vesmíre má guľu nekonečný počet rovín symetrie.

Ale ak je kruh jediný svojho druhu, potom v trojrozmernom svete existuje množstvo telies, ktoré majú nekonečný počet rovín symetrie: rovný valec s kruhom na základni, kužeľ s kruhom základňa, lopta.

Je ľahké zistiť, že každý je symetrický plochá postava možno kombinovať so sebou pomocou zrkadla. Je prekvapujúce, že také zložité postavy ako päťcípa hviezda alebo rovnostranný päťuholník sú tiež symetrické. Ako vyplýva z počtu osí, vyznačujú sa práve vysokou symetriou. A naopak: nie je také ľahké pochopiť, prečo je to tak zdanlivo správna postava, ako šikmý rovnobežník, nie je symetrický.

4. P rotačná symetria (alebo radiálna symetria)

Rotačná symetria je symetria, ktorá zachováva tvar objektupri otáčaní okolo nejakej osi o uhol rovnajúci sa 360°/n(alebo násobok tejto hodnoty), kden= 2, 3, 4, … Uvedená os sa nazýva rotačná osn- poradie.

On=2 všetky body obrázku sú otočené o uhol 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) okolo osi, pričom je zachovaný tvar postavy, t.j. každý bod obrazca smeruje k bodu toho istého obrazca (obrazec sa premení na seba). Os sa nazýva os druhého rádu.

Obrázok 2 znázorňuje os tretieho rádu, obrázok 3 - 4. rád, obrázok 4 - 5. rád.

Objekt môže mať viac ako jednu rotačnú osi: obr.1 - 3 osi otáčania, obr.2 - 4 osi, obr.3 - 5 osí, obr. 4 - iba 1 os

Všetci slávne písmená"I" a "F" majú rotačnú symetriu. Ak otočíte písmeno "I" o 180 ° okolo osi kolmej na rovinu písmena a prechádzajúcej jeho stredom, potom bude písmeno zarovnané samo so sebou. Inými slovami, písmeno „I“ je symetrické vzhľadom na otočenie o 180°, 180°= 360°: 2,n=2 , takže má symetriu druhého rádu.

Všimnite si, že písmeno "F" má tiež rotačnú symetriu druhého rádu.

Okrem toho písmeno a má stred symetrie a písmeno Ф má os symetrie

Vráťme sa k príkladom zo života: pohárik, kilá zmrzliny v tvare kužeľa, kus drôtu, fajka.

Ak sa na tieto telesá pozrieme bližšie, všimneme si, že všetky, tak či onak, pozostávajú z kruhu, cez ktorý prechádza nekonečný počet osí symetrie, z ktorých prechádza nekonečný počet rovín symetrie. Väčšina týchto telies (nazývajú sa rotačné telesá) má samozrejme aj stred symetrie (stred kruhu), cez ktorý prechádza aspoň jedna rotačná os symetrie.

Dobre viditeľná je napríklad os zmrzlinového kornútku. Vedie od stredu kruhu (trčí zo zmrzliny!) k ostrému koncu funky kužeľa. Súbor prvkov symetrie telesa vnímame ako akúsi mieru symetrie. Lopta je nepochybne z hľadiska symetrie neprekonateľným stelesnením dokonalosti, ideálom. Starí Gréci ho vnímali ako najdokonalejšie telo a kruh, samozrejme, ako najdokonalejšiu plochú postavu.

Pre popis symetrie konkrétneho objektu je potrebné špecifikovať všetky osi rotácie a ich poradie, ako aj všetky roviny symetrie.

Zvážte napr. geometrické teleso, zložený z dvoch rovnakých pravidelných štvorhranných ihlanov.

Má jednu rotačnú os 4. rádu (os AB), štyri rotačné osi 2. rádu (osi CE,D.F., MP, NQ), päť rovín symetrie (rovinyCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Prenosná symetria

Iný druh symetrie jeprenosný s symetria.

Hovoria o takej symetrii, keď sa postava pohybuje po priamke o určitú vzdialenosť „a“ alebo o vzdialenosť, ktorá je násobkom tejto hodnoty, kombinuje sa sama so sebou. Priamka, pozdĺž ktorej sa prenos uskutočňuje, sa nazýva os prenosu a vzdialenosť "a" sa nazýva elementárny prenos, perióda alebo krok symetrie.

a

Periodicky sa opakujúci vzor na dlhej stuhe sa nazýva okraj. V praxi sa bordúry vyskytujú v rôznych formách (nástenná maľba, liatina, sadrové reliéfy alebo keramika). Hranice používajú maliari a umelci pri zdobení miestnosti. Na vykonanie týchto ozdôb sa vyrába šablóna. Šablónu posunieme, otočíme alebo neprevrátime, nakreslíme obrys, zopakujeme vzor a získame ornament (vizuálna ukážka).

Okraj sa dá ľahko zostaviť pomocou šablóny (pôvodného prvku), posunutím alebo prevrátením a opakovaním vzoru. Obrázok ukazuje päť typov šablón:a ) asymetrické;b, c ) majúce jednu os symetrie: horizontálnu alebo vertikálnu;G ) centrálne symetrické;d ), ktoré majú dve osi symetrie: vertikálnu a horizontálnu.

Na vytvorenie hraníc sa používajú nasledujúce transformácie:

a ) paralelný prenos;b ) symetria okolo zvislej osi;v ) stredová symetria;G ) symetria okolo vodorovnej osi.

Podobne môžete vytvoriť zásuvky. Za týmto účelom je kruh rozdelený nan rovnakých sektoroch, v jednom z nich sa vykoná vzorový vzor a potom sa vzorka postupne opakuje v zostávajúcich častiach kruhu, pričom sa vzor vždy otočí o uhol 360 ° /n .

Dobrým príkladom použitia osovej a translačnej symetrie je plot zobrazený na fotografii.

Záver: Takže existujú rôzne druhy symetrie, symetrické body v každom z týchto typov symetrie sú postavené podľa určitých zákonov. V živote sa všade stretávame s jedným alebo druhým typom symetrie a často v objektoch, ktoré nás obklopujú, je možné zaznamenať niekoľko typov symetrie naraz. To vytvára poriadok, krásu a dokonalosť vo svete okolo nás.

LITERATÚRA:

Príručka elementárnej matematiky. M.Ya. Vygodsky. - Vydavateľstvo "Veda". - Moskva 1971. – 416 strán.

Moderný slovník cudzie slová. - M.: Ruský jazyk, 1993.

História matematiky v školeIX - Xtriedy. G.I. Glaser. - Vydavateľstvo "Osvietenie". - Moskva 1983 – 351 strán.

Vizuálna geometria 5 - 6 tried. I.F. Sharygin, L.N. Erganzhiev. - Vydavateľstvo "Drofa", Moskva, 2005. - 189p.

Encyklopédia pre deti. Biológia. S. Ismailová. – Vydavateľstvo „Avanta+“. - Moskva 1997 – 704 str.

Urmantsev Yu.A. Symetria prírody a povaha symetrie - M.: Myšlienka architektúra / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/

bodov X a X" volal symetrické pomerne rovno a, a každý z nich je symetrický k druhému, ak a je stredná kolmica úsečky XX". Každý bod priamky a sa považuje za symetrický sám so sebou (vzhľadom na priamku a). Ak je daná priamka a, potom každému bodu X zodpovedá jediný bod X", symetrický k X vzhľadom na a.

Symetria lietadlo pomerne rovno a volal taký displej, pri ktoré každý bod toto lietadlo dať v zhoda bodka, symetrické jej pomerne rovno a.

Dokážme to osová súmernosť je pohyb pomocou súradnicovej metódy: vezmime priamku a ako os x kartézskych súradníc. Potom sa symetriou bod so súradnicami (x; y) premení na bod so súradnicami (x, -y).

Zoberme si ľubovoľné dva body A(x1, y1) a B(x2, y2) a uvažujme body A"(x1,-y1) a B"(x2,-y2) symetrické vzhľadom na os x . Výpočtom vzdialeností A"B" a AB dostaneme

Osová súmernosť teda zachováva vzdialenosť, teda ide o pohyb.

Otočte sa

Otočte sa lietadlo pomerne cetra O na a rohu () v daný smer je definovaný takto: každému bodu X roviny je priradený taký bod X, "že po prvé, OX" = OX, po druhé a po tretie, lúč OX "je posunutý od lúča OX v danom smere. Bod O sa volá centrum otočiť a uhol uhol otočiť.

Ukážme, že rotácia je pohyb:

Pri otáčaní okolo bodu O nech sú body X" a Y" priradené k bodom X a Y. Ukážme, že X"Y"=XY.

Uvažujme všeobecný prípad, keď body O, X, Y neležia na jednej priamke. Potom sa uhol X"OY" rovná uhlu XOY. Skutočne, nech sa uhol XOY od OX k OY meria v smere otáčania. (Ak tomu tak nie je, potom uvažujeme uhol YOX). Potom sa uhol medzi OX a OY" rovná súčtu uhla XOY a uhla natočenia (od OY k OY"):

na druhej strane,

Keďže (ako uhly natočenia), teda. Tiež OX"=OX a OY"=OY. Preto - na dvoch stranách a uhol medzi nimi. Preto X"Y"=XY.

Ak body O, X, Y ležia na rovnakej priamke, potom segmenty XY a X "Y" budú súčtom alebo rozdielom rovnakých segmentov OX, OY a OX", OY". Preto v tomto prípade X"Y"=XY. Takže otáčanie je pohyb.