Ako napísať rovnicu priamky pomocou smerového vektora. Všeobecná rovnica priamky na rovine

Tento článok pokračuje v téme rovnice priamky v rovine: tento typ rovnice budeme považovať za všeobecnú rovnicu priamky. Definujme vetu a dajme jej dôkaz; Poďme zistiť, čo je neúplná všeobecná rovnica priamky a ako urobiť prechody zo všeobecnej rovnice na iné typy rovníc priamky. Celú teóriu posilníme ilustráciami a riešeniami praktických problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém O x y.

Veta 1

Akákoľvek rovnica prvého stupňa, ktorá má tvar A x + B y + C = 0, kde A, B, C sú nejaké reálne čísla (A a B sa súčasne nerovnajú nule), definuje priamku v pravouhlý súradnicový systém v rovine. Na druhej strane, akákoľvek priamka v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine je určená rovnicou, ktorá má tvar A x + B y + C = 0 pre určitú množinu hodnôt A, B, C.

Dôkaz

Táto veta pozostáva z dvoch bodov, každý z nich dokážeme.

1. Dokážme, že rovnica A x + B y + C = 0 definuje v rovine priamku.

Nech existuje nejaký bod M 0 (x 0, y 0), ktorého súradnice zodpovedajú rovnici A x + B y + C = 0. Teda: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odčítajte od ľavej a pravej strany rovníc A x + B y + C = 0 ľavú a pravú stranu rovnice A x 0 + B y 0 + C = 0, získame novú rovnicu, ktorá vyzerá ako A (x - x 0) + B (y - y0) = 0. Je to ekvivalent A x + B y + C = 0.

Výsledná rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre kolmosť vektorov n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x). 0, y - y 0 ). Množina bodov M (x, y) teda definuje priamku v pravouhlom súradnicovom systéme kolmú na smer vektora n → = (A, B). Môžeme predpokladať, že to tak nie je, ale potom by vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) neboli kolmé a rovnosť A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 by nebolo pravdivé.

V dôsledku toho rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definuje určitú čiaru v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine, a preto ekvivalentná rovnica A x + B y + C = 0 definuje rovnaký riadok. Takto sme dokázali prvú časť vety.

1. Dokážme, že akúkoľvek priamku v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine možno špecifikovať rovnicou prvého stupňa A x + B y + C = 0.

Definujme priamku a v pravouhlom súradnicovom systéme na rovine; bod M 0 (x 0, y 0), ktorým táto priamka prechádza, ako aj normálový vektor tejto priamky n → = (A, B) .

Nech existuje aj nejaký bod M (x, y) - plávajúca bodka na priamke. V tomto prípade sú vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) navzájom kolmé a ich skalárny produkt je tam nula:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepíšeme rovnicu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, zadefinujeme C: C = - A x 0 - B y 0 a ako konečný výsledok dostaneme rovnicu A x + B y + C = 0.

Takže sme dokázali druhú časť vety a dokázali sme celú vetu ako celok.

Definícia 1

Rovnica tvaru Ax + By + C = 0 - Toto všeobecná rovnica priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systémeOxy.

Na základe overenej vety môžeme konštatovať, že priamka a jej všeobecná rovnica definovaná v rovine v pevnom pravouhlom súradnicovom systéme sú neoddeliteľne spojené. Inými slovami, pôvodný riadok zodpovedá jeho všeobecnej rovnici; všeobecná rovnica priamky zodpovedá danej priamke.

Z dôkazu vety tiež vyplýva, že koeficienty A a B pre premenné x a y sú súradnice normálového vektora priamky, ktorý je daný všeobecnou rovnicou priamky A x + B y + C = 0.

Uvažujme konkrétny príklad všeobecná rovnica priamky.

Nech je daná rovnica 2 x + 3 y - 2 = 0, ktorá zodpovedá priamke v danom pravouhlom súradnicovom systéme. Normálny vektor tejto čiary je vektor n → = (2, 3) Nakreslíme si danú priamku do výkresu.

Môžeme konštatovať aj nasledovné: priamka, ktorú vidíme na výkrese, je určená všeobecnou rovnicou 2 x + 3 y - 2 = 0, keďže tejto rovnici zodpovedajú súradnice všetkých bodov na danej priamke.

Rovnicu λ A x + λ B y + λ C = 0 získame vynásobením oboch strán všeobecnej rovnice priamky číslom λ, nie rovná nule. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, preto bude opisovať rovnakú priamku v rovine.

Definícia 2

Kompletná všeobecná rovnica priamky– taká všeobecná rovnica priamky A x + B y + C = 0, v ktorej sú čísla A, B, C odlišné od nuly. Inak platí rovnica neúplné.

Analyzujme všetky variácie neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

1. Keď A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, všeobecná rovnica má tvar B y + C = 0. Takáto neúplná všeobecná rovnica definuje priamku v pravouhlom súradnicovom systéme O x y, ktorá je rovnobežná s osou O x, pretože pre akúkoľvek reálnu hodnotu x bude mať premenná y hodnotu - C B . Inými slovami, všeobecná rovnica priamky A x + B y + C = 0, keď A = 0, B ≠ 0, udáva polohu bodov (x, y), ktorých súradnice sa rovnajú rovnakému číslu. - C B .
2. Ak A = 0, B ≠ 0, C = 0, všeobecná rovnica má tvar y = 0. Táto neúplná rovnica definuje os x Ox.
3. Keď A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dostaneme neúplnú všeobecnú rovnicu A x + C = 0, ktorá definuje priamku rovnobežnú s ordinátou.
4. Nech A ≠ 0, B = 0, C = 0, potom neúplná všeobecná rovnica nadobudne tvar x = 0, a toto je rovnica súradnicovej priamky O y.
5. Nakoniec pre A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 má neúplná všeobecná rovnica tvar A x + B y = 0. A táto rovnica opisuje priamku, ktorá prechádza počiatkom. V skutočnosti dvojica čísel (0, 0) zodpovedá rovnosti A x + B y = 0, pretože A · 0 + B · 0 = 0.

Poďme si graficky znázorniť všetky vyššie uvedené typy neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

Príklad 1

Je známe, že daná priamka je rovnobežná s osou ordinátov a prechádza bodom 2 7, - 11. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu daného riadku.

Riešenie

Priamka rovnobežná so zvislou osou je daná rovnicou v tvare A x + C = 0, v ktorej A ≠ 0. Podmienka určuje aj súradnice bodu, ktorým úsečka prechádza, pričom súradnice tohto bodu spĺňajú podmienky neúplnej všeobecnej rovnice A x + C = 0, t.j. rovnosť je pravdivá:

A27 + C = 0

Z nej je možné určiť C, ak dáme A nejakú nenulovú hodnotu, napríklad A = 7. V tomto prípade dostaneme: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Poznáme oba koeficienty A a C, dosadíme ich do rovnice A x + C = 0 a dostaneme požadovanú priamku: 7 x - 2 = 0

odpoveď: 7 x - 2 = 0

Príklad 2

Na výkrese je priamka, musíte si zapísať jej rovnicu.

Riešenie

Daný výkres nám umožňuje jednoducho vziať počiatočné údaje na vyriešenie problému. Na výkrese vidíme, že daná priamka je rovnobežná s osou O x a prechádza bodom (0, 3).

Priamka, ktorá je rovnobežná s úsečkou, je určená neúplnou všeobecnou rovnicou B y + C = 0. Nájdite hodnoty B a C. Súradnice bodu (0, 3), keďže ním daná priamka prechádza, budú spĺňať rovnicu priamky B y + C = 0, potom platí rovnosť: B · 3 + C = 0. Nastavme B na inú hodnotu ako nulu. Povedzme B = 1, v takom prípade z rovnosti B · 3 + C = 0 môžeme nájsť C: C = - 3. Pomocou známych hodnôt B a C získame požadovanú rovnicu priamky: y - 3 = 0.

odpoveď: y-3 = 0.

Všeobecná rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v rovine

Danú priamku necháme prechádzať bodom M 0 (x 0, y 0), potom jej súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici priamky, t.j. platí rovnosť: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odčítajme ľavú a pravú stranu tejto rovnice od ľavej a pravej strany všeobecnej úplnej rovnice priamky. Dostaneme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, táto rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej, prechádza bodom M 0 (x 0, y 0) a má normál vektor n → = (A, B) .

Výsledok, ktorý sme získali, umožňuje zapísať všeobecnú rovnicu priamky so známymi súradnicami normálového vektora priamky a súradnicami určitého bodu tejto priamky.

Príklad 3

Daný je bod M 0 (- 3, 4), ktorým prechádza priamka, a normálový vektor tejto priamky n → = (1, - 2) . Je potrebné zapísať rovnicu daného riadku.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám umožňujú získať potrebné údaje na zostavenie rovnice: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. potom:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problém sa dal vyriešiť inak. Všeobecná rovnica priamka má tvar A x + B y + C = 0. Daný normálny vektor nám umožňuje získať hodnoty koeficientov A a B, potom:

A x + By + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Teraz nájdime hodnotu C pomocou bodu M 0 (- 3, 4) určeného problémovou podmienkou, cez ktorý prechádza priamka. Súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici x - 2 · y + C = 0, t.j. - 3 - 2 4 + C = 0. Preto C = 11. Požadovaná priamka rovnica má tvar: x - 2 · y + 11 = 0.

odpoveď: x - 2 y + 11 = 0.

Príklad 4

Je daná priamka 2 3 x - y - 1 2 = 0 a bod M 0 ležiaci na tejto priamke. Známa je iba úsečka tohto bodu a rovná sa - 3. Je potrebné určiť ordinátu daného bodu.

Riešenie

Označme súradnice bodu M 0 ako x 0 a y 0 . Zdrojové údaje naznačujú, že x 0 = - 3. Keďže bod patrí k danej priamke, potom jeho súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici tejto priamky. Potom bude rovnosť pravdivá:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definujte y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odpoveď: - 5 2

Prechod od všeobecnej rovnice priamky k iným typom rovníc priamky a späť

Ako vieme, existuje niekoľko typov rovníc pre rovnakú priamku v rovine. Výber typu rovnice závisí od podmienok úlohy; je možné si vybrať ten, ktorý je vhodnejší na jeho riešenie. Zručnosť previesť rovnicu jedného typu na rovnicu iného typu je tu veľmi užitočná.

Najprv uvažujme prechod od všeobecnej rovnice tvaru A x + B y + C = 0 ku kanonickej rovnici x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Ak A ≠ 0, potom prenesieme člen B y na pravá strana všeobecná rovnica. Na ľavej strane vyberieme A zo zátvoriek. V dôsledku toho dostaneme: A x + C A = - B y.

Túto rovnosť možno zapísať ako podiel: x + C A - B = y A.

Ak B ≠ 0, ponecháme len člen A x na ľavej strane všeobecnej rovnice, ostatné prenesieme na pravú stranu, dostaneme: A x = - B y - C. Zo zátvoriek vyberieme – B, potom: A x = - B y + C B .

Prepíšme rovnosť do tvaru podielu: x - B = y + C B A.

Samozrejme, výsledné vzorce sa netreba učiť naspamäť. Stačí poznať algoritmus akcií pri prechode zo všeobecnej rovnice na kanonickú.

Príklad 5

Je daná všeobecná rovnica priamky 3 y - 4 = 0. Je potrebné ju pretransformovať na kanonickú rovnicu.

Riešenie

Pôvodnú rovnicu napíšme ako 3 y – 4 = 0. Ďalej postupujeme podľa algoritmu: člen 0 x zostáva na ľavej strane; a na pravú stranu vložíme - 3 zo zátvoriek; dostaneme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Výslednú rovnosť zapíšme ako podiel: x - 3 = y - 4 3 0 . Takto sme dostali rovnicu kanonického tvaru.

Odpoveď: x - 3 = y - 4 3 0.

Na transformáciu všeobecnej rovnice priamky na parametrické sa najprv vykoná prechod na kanonickú formu a potom sa z kanonickej rovnice priamky prejde na parametrické rovnice.

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapíšte si parametrické rovnice pre tento riadok.

Riešenie

Urobme prechod zo všeobecnej rovnice na kanonickú:

2 x - 5 rokov - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 r + 1 ⇔ 2 x = 5 r + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Teraz vezmeme obe strany výslednej kanonickej rovnice rovné λ, potom:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odpoveď:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Všeobecnú rovnicu možno previesť na rovnicu priamky so sklonom y = k · x + b, ale iba vtedy, keď B ≠ 0. Pre prechod necháme na ľavej strane člen B y, zvyšok sa prenesie na pravú. Dostaneme: B y = - A x - C . Vydeľme obe strany výslednej rovnosti B, odlišnou od nuly: y = - A B x - C B.

Príklad 7

Všeobecná rovnica priamky je daná: 2 x + 7 y = 0. Túto rovnicu musíte previesť na rovnicu sklonu.

Riešenie

Vykonajte potrebné akcie podľa algoritmu:

2 x + 7 r = 0 ⇔ 7 r - 2 x ⇔ r = - 2 7 x

odpoveď: y = -27 x.

Zo všeobecnej rovnice priamky stačí jednoducho získať rovnicu v segmentoch tvaru x a + y b = 1. Aby sme urobili takýto prechod, presunieme číslo C na pravú stranu rovnosti, obe strany výslednej rovnosti vydelíme – C a nakoniec prenesieme koeficienty pre premenné x a y do menovateľov:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Príklad 8

Je potrebné transformovať všeobecnú rovnicu priamky x - 7 y + 1 2 = 0 na rovnicu priamky v segmentoch.

Riešenie

Presuňme 1 2 na pravú stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Vydelme obe strany rovnosti -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odpoveď: x-12 + y114 = 1.

Vo všeobecnosti je spätný prechod tiež jednoduchý: od iných typov rovníc k všeobecnému.

Rovnicu priamky v segmentoch a rovnicu s uhlovým koeficientom možno ľahko previesť na všeobecnú jednoduchým zhromaždením všetkých výrazov na ľavej strane rovnosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonická rovnica sa prevedie na všeobecnú podľa nasledujúcej schémy:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ak chcete prejsť od parametrických, najprv sa vykoná prechod na kanonický a potom na všeobecný:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Príklad 9

Sú uvedené parametrické rovnice priamky x = - 1 + 2 · λ y = 4. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu tohto riadku.

Riešenie

Urobme prechod z parametrické rovnice na kanonické:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Prejdime od kánonického k všeobecnému:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odpoveď: y-4 = 0

Príklad 10

Je daná rovnica priamky v segmentoch x 3 + y 1 2 = 1. Je potrebné urobiť prechod na celkový vzhľad rovnice

Riešenie:

Rovnicu jednoducho prepíšeme do požadovaného tvaru:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odpoveď: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Zostavenie všeobecnej rovnice priamky

Vyššie sme si povedali, že všeobecnú rovnicu možno napísať so známymi súradnicami normálového vektora a súradnicami bodu, ktorým priamka prechádza. Takáto priamka je definovaná rovnicou A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tam sme tiež analyzovali zodpovedajúci príklad.

Teraz sa pozrime na viac komplexné príklady, v ktorom najprv musíte určiť súradnice normálového vektora.

Príklad 11

Daná je priamka rovnobežná s priamkou 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Známy je aj bod M 0 (4, 1), ktorým daná priamka prechádza. Je potrebné zapísať rovnicu daného riadku.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám hovoria, že priamky sú rovnobežné, potom ako normálový vektor priamky, ktorej rovnicu je potrebné napísať, vezmeme smerový vektor priamky n → = (2, - 3): 2 x - 3 r + 3 3 = 0. Teraz poznáme všetky potrebné údaje na vytvorenie všeobecnej rovnice čiary:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odpoveď: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Príklad 12

Daná priamka prechádza počiatkom kolmo na priamku x - 2 3 = y + 4 5. Pre daný riadok je potrebné vytvoriť všeobecnú rovnicu.

Riešenie

Normálový vektor danej priamky bude smerový vektor priamky x - 2 3 = y + 4 5.

Potom n → = (3, 5) . Priamka prechádza počiatkom, t.j. cez bod O (0, 0). Vytvorme všeobecnú rovnicu pre daný riadok:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odpoveď: 3 x + 5 y = 0 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Nechajte priamku prechádzať bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Kde k - zatiaľ neznámy koeficient.

Keďže priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Odtiaľ nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2:

Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ak x 1 = x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1,y I) a M 2 (x 2,y 2) je rovnobežná so zvislou osou. Jeho rovnica je x = x 1 .

Ak y 2 = y I, potom rovnicu priamky môžeme zapísať ako y = y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou x.

Rovnica priamky v segmentoch

Nech priamka pretína os Ox v bode M 1 (a;0) a os Oy v bode M 2 (0;b). Rovnica bude mať tvar:
tie.
. Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, pretože čísla a a b označujú, ktoré segmenty úsečka oddeľuje na súradnicových osiach.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).

Zoberme si ľubovoľný bod M(x; y) na priamke a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin sa rovná nule: tj.

A(x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Volá sa rovnica (10.8). rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor .

Vektor n= (A; B), kolmý na priamku, sa nazýva normálny normálny vektor tejto čiary .

Rovnicu (10.8) je možné prepísať ako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kde A a B sú súradnice normálového vektora, C = -Ax o - Vu o je voľný člen. rovnica (10.9) je všeobecná rovnica priamky(pozri obr. 2).

Obr.1 Obr.2

Kanonické rovnice priamky

,

Kde
- súradnice bodu, ktorým čiara prechádza, a
- smerový vektor.

Krivky druhého rádu Kruh

Kruh je množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.

Kanonická rovnica kružnice s polomerom R sústredený v bode
:

Najmä, ak sa stred kolíka zhoduje s pôvodom súradníc, rovnica bude vyzerať takto:

Elipsa

Elipsa je množina bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom A , ktoré sa nazývajú ohniská, je konštantná veličina
, väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami
.

Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox a počiatok súradníc v strede medzi ohniskami má tvar
G de a dĺžka hlavnej osi; b – dĺžka vedľajšej osi (obr. 2).

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

Navyše konštanty A a B nie sú súčasne rovné nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštanta A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – priamka prechádza počiatkom

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - priamka rovnobežná s osou Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – priamka rovnobežná s osou Oy

B = C = 0, A ≠0 – priamka sa zhoduje s osou Oy

A = C = 0, B ≠0 – priamka sa zhoduje s osou Ox

Rovnica priamky môže byť znázornená v v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.

Rovnica priamky z bodu a normálového vektora

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku, daný rovnicou Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1, 2) kolmým na (3, -1).

Riešenie. Pri A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x – y + C = 0. Pre zistenie koeficientu C dosadíme súradnice daného bodu A do výsledného výrazu. 3 – 2 + C = 0, teda C = -1 . Spolu: požadovaná rovnica: 3x – y – 1 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi

Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi je:

Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, zodpovedajúci čitateľ by sa mal rovnať nule V rovine je rovnica vyššie napísaného riadku zjednodušená:

ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2.

Zlomok = k sa nazýva sklon rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky z bodu a sklonu

Ak súčet Ax + Bu + C = 0, vedie k tvaru:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonomk.

Rovnica priamky z bodu a smerového vektora

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať definíciu priamky cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého zložky spĺňajú podmienku A α 1 + B α 2 = 0, sa nazýva smerovací vektor priamky.

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. V súlade s definíciou musia koeficienty spĺňať podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom rovnica priamky má tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0. pre x = 1, y = 2 dostaneme C/ A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

Rovnica priamky v segmentoch

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení –С dostaneme: alebo

Geometrický význam koeficienty je ten koeficient A je súradnica priesečníka priamky s osou Ox a b– súradnica priesečníka priamky s osou Oy.

Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky x – y + 1 = 0 Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky

Ak sa obe strany rovnice Ax + By + C = 0 vynásobia číslom ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normálna rovnica priamky. Znamienko ± normalizačného faktora sa musí zvoliť tak, aby μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Príklad. Vzhľadom na všeobecnú rovnicu priamky 12x – 5y – 65 = 0. Treba napísať Rôzne druhy rovnice tejto priamky.

rovnica tejto priamky v segmentoch:

rovnica tejto priamky so sklonom: (delíme 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom súradníc.

Príklad. Priamka odreže rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Napíšte rovnicu priamky, ak plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi je 8 cm2.

Riešenie. Rovnica priamky má tvar: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Príklad. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom A(-2, -3) a počiatkom.

Riešenie. Rovnica priamky je: kde xi = yi = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Uhol medzi priamymi čiarami v rovine

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako

.

Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2. Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2.

Veta.Čiary Ax + Bу + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB úmerné. Ak aj C 1 = λC, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku

Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako

.

Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ki = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.

Riešenie. Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.

Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.

Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože nadmorská výška prechádza bodom C, potom jej súradnice vyhovujú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .

Odpoveď: 3 x + 2 roky – 34 = 0.

Rovnica priamky na rovine.

Ako je známe, každý bod v rovine je určený dvoma súradnicami v nejakom súradnicovom systéme. Súradnicové systémy sa môžu líšiť v závislosti od výberu základu a pôvodu.

Definícia. Rovnica priamky sa nazýva vzťah y = f(x) medzi súradnicami bodov, ktoré tvoria túto priamku.

Všimnite si, že rovnica priamky môže byť vyjadrená parametricky, to znamená, že každá súradnica každého bodu je vyjadrená prostredníctvom nejakého nezávislého parametra t.

Typickým príkladom je trajektória pohybujúceho sa bodu. V tomto prípade zohráva úlohu parametra čas.

Rovnica priamky na rovine.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

Navyše konštanty A a B sa zároveň nerovnajú nule, t.j. A 2 + B 2  0. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky.

V závislosti od hodnôt konštánt A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:

C = 0, A  0, B  0 – priamka prechádza počiatkom

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - priamka rovnobežná s osou Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – priamka rovnobežná s osou Oy

B = C = 0, A  0 – priamka sa zhoduje s osou Oy

A = C = 0, B  0 – priamka sa zhoduje s osou Ox

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.

Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku danú rovnicou Ax + By + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1, 2) kolmým na vektor (3, -1).

Pri A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x – y + C = 0. Pre zistenie koeficientu C dosadíme do výsledného výrazu súradnice daného bodu A.

Dostaneme: 3 – 2 + C = 0, teda C = -1.

Spolu: požadovaná rovnica: 3x – y – 1 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi je:

Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu.

V rovine je rovnica priamky napísaná vyššie zjednodušená:

ak x 1  x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2.

Zlomok
=k sa volá sklon rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.

Ak sa všeobecná rovnica priamky Ax + By + C = 0 zredukuje na tvar:

a určiť
, potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonomk.

Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať definíciu priamky cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor ( 1,  2), ktorého zložky spĺňajú podmienku A 1 + B 2 = 0 sa nazýva smerovací vektor priamky.

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádza cez bod A(1, 2).

Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. V súlade s definíciou musia koeficienty spĺňať podmienky:

1A + (-1)B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C/A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С 0, potom po delení –С dostaneme:
alebo

, Kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient A je súradnica priesečníka priamky s osou Ox a b– súradnica priesečníka priamky s osou Oy.

Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky x – y + 1 = 0 Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C = 1,
a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak sú obe strany rovnice Ax + By + C = 0 delené číslom
ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme

xcos + ysin - p = 0 –

normálna rovnica priamky.

Znamienko  normalizačného faktora treba zvoliť tak, aby С< 0.

p je dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke a  je uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Ox.

Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky 12x – 5y – 65 = 0 Pre túto priamku je potrebné napísať rôzne typy rovníc.

rovnica tejto priamky v segmentoch:

rovnica tejto priamky so sklonom: (delíme 5)

normálna rovnica priamky:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom súradníc.

Príklad. Priamka odreže rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Napíšte rovnicu priamky, ak plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi je 8 cm2.

Rovnica priamky je:
a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nevyhovuje podmienkam problému.

Celkom:
alebo x + y – 4 = 0.

Príklad. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom A(-2, -3) a počiatkom.

Rovnica priamky je:
kde xi = yi = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Uhol medzi priamkami v rovine.

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako

.

Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2.

Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/k 2 .

Veta. Priame čiary Ax + Wu + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú paralelné, keď sú koeficienty A proporcionálne 1 =  A, B 1 =  B. Ak aj C 1 =  C, potom sa čiary zhodujú.

Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom

kolmo na túto čiaru.

Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x). 0 , r 0 ), potom je vzdialenosť k priamke Ах + Ву + С =0 definovaná ako

.

Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku.

Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

.

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

ki = -3; k2 = 2 tg =
;  = /4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.

Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.

Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.

Nájdeme rovnicu strany AB:
; 4x = 6r – 6;

2x – 3r + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.

k = . Potom y =
. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu:
odkiaľ b = 17. Celkom:
.

Odpoveď: 3x + 2r – 34 = 0.

Analytická geometria v priestore.

Rovnica priamky v priestore.

Rovnica priamky v priestore danej bodom a

smerový vektor.

Zoberme si ľubovoľnú čiaru a vektor (m, n, p), rovnobežne s danou čiarou. Vektor volal vodiaci vektor rovno.

Na priamke vezmeme dva ľubovoľné body M 0 (x 0 , y 0 , z 0) a M (x, y, z).

z

M 1

Označme vektory polomerov týchto bodov ako A , to je jasné - =
.

Pretože vektory
A sú kolineárne, potom je vzťah pravdivý
= t, kde t je nejaký parameter.

Celkovo môžeme napísať: = + t.

Pretože táto rovnica je splnená súradnicami ľubovoľného bodu na priamke, potom výsledná rovnica je parametrická rovnica priamky.

Táto vektorová rovnica môže byť reprezentovaná v súradnicovom tvare:

Transformáciou tohto systému a prirovnaním hodnôt parametra t dostaneme kanonické rovnice priamka v priestore:

.

Definícia. Smerové kosínusy priame sú smerové kosínusy vektora , ktoré možno vypočítať pomocou vzorcov:

;

.

Odtiaľto dostaneme: m: n: p = cos : cos : cos.

Nazývajú sa čísla m, n, p uhlové koeficienty rovno. Pretože je nenulový vektor, potom sa m, n a p nemôžu súčasne rovnať nule, ale jedno alebo dve z týchto čísel sa môžu rovnať nule. V tomto prípade by v rovnici riadku mali byť zodpovedajúce čitateľa nastavené na nulu.

Rovnica priamky pri prechode priestorom

cez dva body.

Ak na priamke v priestore vyznačíme dva ľubovoľné body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom súradnice týchto bodov musia spĺňať rovnicu priamky získané vyššie:

.

Okrem toho pre bod M 1 môžeme napísať:

.

Spoločným riešením týchto rovníc dostaneme:

.

Toto je rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi v priestore.

Všeobecné rovnice priamky v priestore.

Rovnicu priamky možno považovať za rovnicu priesečníka dvoch rovín.

Ako je uvedené vyššie, rovinu vo vektorovom tvare možno špecifikovať rovnicou:

+ D = 0, kde

- rovina normálna; - polomer je vektor ľubovoľného bodu v rovine.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi. V článku" " Sľúbil som vám, že sa pozriete na druhý spôsob riešenia uvedených problémov hľadania derivácie, ak je daný graf funkcie a dotyčnica k tomuto grafu. O tejto metóde budeme diskutovať v , Nenechajte si ujsť! Prečo? v ďalšom?

Faktom je, že tam bude použitý vzorec pre rovnicu priamky. Samozrejme, mohli by sme jednoducho ukázať tento vzorec a poradiť vám, aby ste sa ho naučili. Ale je lepšie vysvetliť, odkiaľ pochádza (ako je odvodený). Je to nevyhnutné! Ak ho zabudnete, môžete ho rýchlo obnoviťnebude ťažké. Všetko je podrobne popísané nižšie. Takže máme dva body A na rovine súradníc(x 1; y 1) a B(x 2; y 2) je nakreslená priamka cez uvedené body:

Tu je samotný priamy vzorec:

*To znamená, že pri dosadení konkrétnych súradníc bodov dostaneme rovnicu v tvare y=kx+b.

**Ak si tento vzorec jednoducho „zapamätáte“, potom je vysoká pravdepodobnosť, že sa pomýlite s indexmi, keď X. Okrem toho môžu byť indexy označené rôznymi spôsobmi, napríklad:

Preto je dôležité pochopiť význam.

Teraz odvodenie tohto vzorca. Všetko je veľmi jednoduché!

Trojuholníky ABE a ACF sú podobné v ostrom uhle (prvý znak podobnosti pravouhlé trojuholníky). Z toho vyplýva, že pomery zodpovedajúcich prvkov sú rovnaké, to znamená:

Teraz jednoducho vyjadríme tieto segmenty prostredníctvom rozdielu v súradniciach bodov:

Samozrejme, nedôjde k chybe, ak napíšete vzťahy prvkov v inom poradí (hlavná vec je zachovať konzistenciu):

Výsledkom bude rovnaká rovnica priamky. To je všetko!

To znamená, že bez ohľadu na to, ako sú označené samotné body (a ich súradnice), pochopením tohto vzorca vždy nájdete rovnicu priamky.

Vzorec je možné odvodiť pomocou vlastností vektorov, ale princíp odvodenia bude rovnaký, keďže budeme hovoriť o proporcionalite ich súradníc. V tomto prípade funguje rovnaká podobnosť pravouhlých trojuholníkov. Podľa môjho názoru je vyššie popísaný záver jasnejší)).

Zobraziť výstup cez vektorové súradnice >>>

Nech je zostrojená priamka na súradnicovej rovine prechádzajúcej dvoma dané body A(x1;y1) a B(x2;y2). Označme ľubovoľný bod C na priamke so súradnicami ( X; r). Označujeme tiež dva vektory:

Je známe, že pre vektory ležiace na rovnobežných čiarach (alebo na tej istej čiare) sú ich zodpovedajúce súradnice proporcionálne, to znamená:

— zapíšeme rovnosť pomerov zodpovedajúcich súradníc:

Pozrime sa na príklad:

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma bodmi so súradnicami (2;5) a (7:3).

Nemusíte ani postaviť samotnú priamku. Aplikujeme vzorec:

Je dôležité, aby ste pri zostavovaní pomeru pochopili korešpondenciu. Nemôžeš sa pokaziť, ak napíšeš:

Odpoveď: y=-2/5x+29/5 pokračujte y=-0,4x+5,8

Aby ste sa uistili, že výsledná rovnica je nájdená správne, nezabudnite do nej skontrolovať - ​​nahradiť súradnice údajov v stave bodov. Rovnice by mali byť správne.

To je všetko. Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.

S pozdravom Alexander.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.