Praktická aplikácia podobnosti trojuholníkov. Edukačný a metodický materiál z geometrie (8. ročník) na tému: Aplikácie do hodiny

2.

Veta o stredová čiara.

Otcove plstené čižmy a tvoje;...

(ďalej).

V živote hovoríme o podobných objektoch, ale v geometrii hovoríme o podobných objektoch. To znamená, že našu teóriu možno aplikovať na tieto predmety. Pozrime sa na teóriu podobnosti trojuholníkov vo svete okolo nás.

Sformulujme tému lekcie.

Pracovať v pároch:

TO

A Je pravda, že: ?ABC ∞ ?A1B1C1, ak ∠A = 46° ∠B = 64° ∠A1 = 46° ∠C1 = 70°

L Je pravda, že: ?ABC ∞ ?A1B1C1, ak AB=13m A1B1=58m P?ABC =25m, potom P?A1B1C1 =100m

b Je pravda, že: ?ABC ∞ ?A1B1C1, ak AB=15m A1B1=45m S?A1B1C1 =27 m2, potom S?ABC =100m2

TO

L

F

A Je pravda, že ak, tak

Kontrola: Aké slovo ste dostali? - „Alfa“.

*Malé informácie:

• V našom slnečná sústava 1 hviezda je slnko.
• Hviezdy - v súhvezdí najviac jasná hviezda v súhvezdí sa nazýva "Alfa".
• Hviezdy sú objekty mimo nášho dosahu, ale skúmame ich a zisťujeme vzdialenosť k nim.

A ako na to?

Určenie vzdialenosti k neprístupnému bodu. Predpokladajme, že potrebujeme nájsť vzdialenosť od bodu A k neprístupnému bodu B. Aby ste to dosiahli, vyberte bod C na zemi, nakreslite segment AC a zmerajte ho. Potom pomocou astrolábu zmeriame uhly ∠A a ∠C. Na kus papiera postavíme trojuholník?A1B1C1, v ktorom ∠A1=∠A, ∠C1=∠C, a zmeriame dĺžky strán A1B1 a A1C1 tohto trojuholníka.

Keďže?ABC ∞ ?A1B1C1, potom =, odkiaľ. Pomocou známych vzdialeností AC, A1C1 a A1B1 nájdeme vzdialenosť AB.

Pre zjednodušenie výpočtov je vhodné zostrojiť trojuholník?A1B1C1 tak, že A1C1: AC = 1:1000. Napríklad, ak AC = 130 m, potom vezmite vzdialenosť A1C1 rovnajúcu sa 130 mm. V tomto prípade = 1000 teda meraním vzdialenosti A1B1 v milimetroch okamžite získame vzdialenosť AB v metroch.

Príklad. Nech AC = 130 m, ∠A = 73° a ∠C = 58°. Na papieri zostrojíme trojuholník?A1B1C1 tak, že ∠A1 = 73° a ∠С1 = 58°, A1C1 = 130 mm a zmeriame úsečku A1B1. Je rovný 153 mm, takže požadovaná vzdialenosť je 153 m.

4.

Kňaz arogantne pokračoval:

CAB ∞ ? BDE (v 2 uhloch)

• C = ∠B (podľa podmienky)
• B = ∠E = 90°

Odpoveď: 146 m.

AB = 2,1 m AE = 6,3 m CB = 1,7 m

1. Trojuholníky sú podobné v 2 uhloch.

ABC ∞ ?AED (v 2 uhloch)

• A - všeobecný
• B = ∠E = 90°

Odpoveď: 5,1 m.

Príklad:

Oh! Unavený

Sotva drží krok s učiteľom

Zobraziť obsah dokumentu
"Zhrnutie lekcie geometrie na tému "Praktické aplikácie podobnosti trojuholníkov." »

Mestský vzdelávacia inštitúcia

„Marine kadetská škola ich. Admirál P. G. Kotov.“

Hodina geometrie (8. ročník)

Téma: "Praktické aplikácie podobnosti trojuholníkov."

Skirmant Natalya Rudolfovna

vyšší učiteľ matematiky

Obchodná adresa:

164520, oblasť Archangeľsk,

Severodvinsk, sv. Komsomolskaja, 7,

pracovný telefón 55-20-86

Severodvinsk

Ciele a ciele lekcie:

ukázať použitie podobnosti trojuholníkov pri vykonávaní meracích prác na zemi;

ukázať vzťah medzi teóriou a praxou;

predstaviť študentom rôzne cesty určenie výšky objektu a vzdialenosti od neprístupného objektu;

rozvíjať schopnosť aplikovať získané poznatky pri riešení rôznych problémov tohto typu.

Vývojový

zvýšiť záujem študentov o štúdium geometrie;

zintenzívniť kognitívnu činnosť žiakov;

formovať vlastnosti myslenia charakteristické pre matematickú činnosť a potrebné pre produktívny život v spoločnosti.

Vzdelávacie

motivovať záujem žiakov o predmet ich zapojením do riešenia praktických problémov.

Počas tried:

1.Kontrola domácich úloh.

2. Test „Je to pravda...“ (práca vo dvojiciach) - opakovanie teórie.

3. Úloha č.1. Určenie vzdialenosti k neprístupnému bodu (doplňovanie poznámok do zošitov s učiteľom).

4. Úloha č. 2. Určenie výšky objektu:

A). po dĺžke jeho tieňa (pozrite si hotové riešenie v učebnici, možnosť 1 si nakreslite do zošitov sami).

b). na tyči (rozložte podľa pripraveného riešenia v učebnici, možnosť 2 si nakreslite do zošitov sami).

V). pomocou zrkadla (ponuka rozboru úlohy č. 581).

5. Výsledky hodiny, domáca úloha č. 581,583.

1. Kontrola domácich úloh. Vysvetlenie hotového riešenia č. 550(1).

Dané: kresba.

Trojuholníky sú podobné v 2 uhloch.

∆BAD ∞ ∆KCB (v 2 uhloch)

∠B = ∠K (podľa podmienky)

∠A = ∠C = 90°

2. Učiteľ: "Chlapci, študovali sme celú teóriu podobnosti trojuholníkov."

Zvažovali sme využitie podobnosti pri dokazovaní viet.

Aké vety sme dokázali?

Veta o strednej čiare.

Vlastnosť mediánov trojuholníka.

IN Každodenný život Sme obklopení predmetmi rovnakého tvaru.

Príklad: - tenisová a futbalová lopta;

Otcove plstené čižmy a tvoje;...

(ďalej).

V živote hovoríme o podobných objektoch, ale v geometrii hovoríme o podobných objektoch. To znamená, že našu teóriu možno aplikovať na tieto predmety. Pozrime sa na teóriu podobnosti trojuholníkov vo svete okolo nás.

Sformulujme tému lekcie.

Študenti: "Praktické aplikácie podobnosti trojuholníkov."

Učiteľ: „Aby sme mohli aplikovať teóriu, musíme ju dobre poznať. Zopakujme si:

Pracovať v pároch:

Je toto tvrdenie pravdivé? Ak je pravda, ponechajte písmeno pred vyhlásením, inak ho prečiarknite.

Test „Je to pravda...“ (práca vo dvojiciach) - opakovanie teórie.

TO Je pravda, že: v podobných trojuholníkoch sú podobné strany rovnaké.

A Je pravda, že: ∆ABC ∞ ∆A 1 B 1 C 1 ak ∠A = 46° ∠B = 64° ∠A1 = 46° ∠C1 = 70°

L Je pravda, že: ∆ABC ∞ ∆A 1 B 1 C 1, ak AB=13m A1B1=58m P ∆ ABC =25m, potom P ∆ A 1 B 1 C 1 =100m

b Je pravda, že: ∆ABC ∞ ∆A1B1C1, ak AB=15m A1B1=45m S ∆ A 1 B 1 C 1 =27 m 2, potom S ∆ ABC =100 m 2

TO Je pravda, že: v podobných trojuholníkoch sú zodpovedajúce uhly úmerné

L Je pravda (stručné vyhlásenie o kritériu podobnosti trojuholníkov) „Trojuholníky sú podobné v troch uhloch“

F Je pravda (stručné vyhlásenie o kritériu podobnosti trojuholníkov) „Trojuholníky sú podobné v dvoch proporčných stranách a uhle medzi nimi“

A Je pravda, že ak, tak

Kontrola: Aké slovo ste dostali? - „Alfa“.

*Malé informácie:

• V našej slnečnej sústave je 1 hviezda slnko.

  Všetky ostatné hviezdy sú mimo našej slnečnej sústavy.

  Hviezdy sú v súhvezdí, najjasnejšia hviezda v súhvezdí sa nazýva „Alfa“.

  Hviezdy sú objekty mimo nášho dosahu, ale skúmame ich a zisťujeme vzdialenosť k nim.

A ako na to?

3. Úloha č.1. Určenie vzdialenosti k neprístupnému bodu (doplňovanie poznámok do zošitov s učiteľom).

Určenie vzdialenosti k neprístupnému bodu. Predpokladajme, že potrebujeme nájsť vzdialenosť od bodu A k neprístupnému bodu B. Aby ste to dosiahli, vyberte bod C na zemi, nakreslite segment AC a zmerajte ho. Potom pomocou astrolábu zmeriame uhly ∠A a ∠C. Na kus papiera postavíme trojuholník ∆A 1 B 1 C 1, v ktorom ∠A 1 =∠A, ∠C 1 =∠C, a zmeriame dĺžky strán A 1 B 1 a A 1 C 1 tento trojuholník.

Pretože ∆ABC ∞ ∆A 1 B 1 C 1 , potom = , odkiaľ. Pomocou známych vzdialeností AC, A 1 C 1 a A 1 B 1 nájdeme vzdialenosť AB.

Pre zjednodušenie výpočtov je vhodné zostrojiť trojuholník ∆A 1 B 1 C 1 tak, aby A 1 C 1: AC = 1:1000. Napríklad, ak AC = 130 m, potom vezmite vzdialenosť A 1 C 1 rovnajúcu sa 130 mm. V tomto prípade = 1000 teda meraním vzdialenosti A 1 B 1 v milimetroch okamžite získame vzdialenosť AB v metroch.

Príklad. Nech AC = 130 m, ∠A = 73° a ∠C = 58°. Na papieri zostrojíme trojuholník ∆A 1 B 1 C 1 tak, že ∠A 1 = 73° a ∠C 1 = 58°, A 1 C 1 = 130 mm a zmeriame úsečku A 1 B 1. Je rovný 153 mm, takže požadovaná vzdialenosť je 153 m.

4. Učiteľ: Vráťme sa k pozemským záležitostiam. Grécki vedci vyriešili mnoho praktických problémov, ktoré predtým nedokázali vyriešiť. Napríklad šesť storočí pred Kristom grécky mudrc Thales z Milétu naučil Egypťanov určovať výšku pyramídy podľa dĺžky jej tieňa.

Ako sa to stalo, je popísané v knihe od Ya.I. Perelman „Zábavná geometria“. Legenda hovorí, že Thales si vybral deň a hodinu, kedy sa dĺžka jeho vlastného tieňa rovnala jeho výške; v tomto momente sa výška pyramídy musí rovnať dĺžke tieňa, ktorý vrhá. Toto je možno jediný prípad, keď človek profitoval zo svojho tieňa. Vypočujme si podobenstvo. (hovorí jeden zo študentov).

„Unavený cudzinec zo severu prišiel do krajiny Veľkých Hapi, keď sa priblížil k veľkolepému faraónovmu palácu, a povedal niečo sluhom. A tu stojí v zaprášenom poľnom plášti a pred ním sedí faraón na pozlátenom tróne Vedľa stoja arogantní kňazi, strážcovia večných tajomstiev prírody.

Kto si? - spýtal sa veľkňaz.

Volám sa Thales. Pochádzam z Milétu.

Kňaz arogantne pokračoval:

Takže ty si sa chválil, že dokážeš zmerať výšku pyramídy bez toho, aby si na ňu vyliezol? - skláňali sa kňazi od smiechu.

Bude dobré,“ pokračoval kňaz posmešne, „ak sa pomýlite nie viac ako sto lakťov.“

Dokážem zmerať výšku pyramídy a vzdialiť sa maximálne o pol lakťa. Urobím to zajtra.

Tváre kňazov potemneli. Aké líce! Tento cudzinec tvrdí, že dokáže prísť na to, čo oni, kňazi Veľkého Egypta, nedokážu.

Dobre, povedal faraón. - Pri paláci je pyramída, poznáme jej výšku. Zajtra skontrolujeme tvoje umenie."

Na druhý deň Thales našiel dlhú palicu a zapichol ju do zeme trochu ďalej od pyramídy. Čakal som na určitý moment. Zmeral tieň palice a tieň pyramídy. Porovnaním pomerov výšok skutočných objektov s dĺžkami ich tieňov Thales zistil výšku pyramídy.

Úloha č.2. Určenie výšky objektu:

A). po dĺžke jeho tieňa (pozrite si hotové riešenie v učebnici, možnosť 1 si nakreslite do zošitov sami).

CB=8,4 m BE=1022 m AB=1,2 ​​m ∠C = ∠B

Trojuholníky sú podobné v 2 uhloch.

∆CAB ∞ ∆BDE (v 2 uhloch)

∠C = ∠B (podľa podmienok)

∠B = ∠E = 90°

Odpoveď: 146 m.

b). na tyči (rozložte podľa pripraveného riešenia v učebnici, možnosť 2 si nakreslite do zošitov sami).

AB = 2,1 m AE = 6,3 m CB = 1,7 m

Trojuholníky sú podobné v 2 uhloch.

∆ABC ∞ ∆AED (v 2 uhloch)

∠A - všeobecný

∠B = ∠E = 90°

Odpoveď: 5,1 m.

V). pomocou zrkadla (ponuka na analýzu úlohy č. 581 (D/z)).

Na určenie výšky stromu môžete použiť zrkadlo, ako je znázornené na obrázku. Lúč svetla FD, odrazený od zrkadla v bode D, vstupuje do ľudského oka (bod B). Určte výšku stromu, ak AC=165 cm, BC=12 cm, AD=120 cm, DE=4,8 m, ∠1 = ∠2.

5. Učiteľ: Zhrňme si lekciu:

Dnes sme sa v triede učili o rôznych spôsoboch merania výšky objektu; vzdialenosť k neprístupnému bodu; aplikoval teóriu podobnosti.

Formulujte svoj postoj k lekcii vo vete alebo fráze, začnite ju písmenom zahrnutým v slove „podobnosť“

Príklad:

Oh! Unavený

Sotva drží krok s učiteľom

Zopakovanie teoretického učiva Čo môžu znamenať dva horné trojuholníky na diagrame? Čo znamenajú šípky nakreslené z týchto trojuholníkov? Sformulujte definíciu podobnosti a tri znaky podobnosti Čo vám hovoria tri spodné trojuholníky? Aké sú na nich označenia?

Test. Ak je tvrdenie pravdivé, odpovieme „Áno“, ak nie je – Nie 1. Dva trojuholníky sú podobné, ak sú ich uhly rovnaké a podobné strany sú úmerné. 2.Dva rovnostranné trojuholníky sú vždy podobné. 3.Ak sú tri strany jedného trojuholníka úmerné trom stranám iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky podobné. 4. Strany jedného trojuholníka majú dĺžky 3, 4, 6 cm, strany druhého trojuholníka sú 9, 14, 18 cm Sú si tieto trojuholníky podobné? 5. Obvody podobných trojuholníkov súvisia ako štvorce podobných strán. 6.Ak sa dva uhly jedného trojuholníka rovnajú 60 a 50 a dva uhly iného trojuholníka sa rovnajú 50 a 80, potom sú takéto trojuholníky podobné. 7.Dva správny trojuholník sú podobné, ak majú rovnaké ostré uhly. 8.Dva rovnoramenný trojuholník sú podobné, ak sú ich strany proporcionálne. 9.Ak sú segmenty prepony, na ktoré sa delí, nadmorskou výškou čerpanou z vrcholu pravý uhol, sa rovnajú 2 a 8 cm, potom sa táto výška rovná 4 cm 10. Ak je stredná hodnota trojuholníka 9 cm, potom je vzdialenosť od vrcholu trojuholníka k priesečníku stredníc 6 cm. .

Prezentácia „Praktické aplikácie podobnosti trojuholníkov“ pomôže učiteľom vysvetliť žiakom ôsmeho ročníka jednu z dôležitých lekcií z kurzu geometrie zrozumiteľnejším a prístupnejším spôsobom. Materiál nie je taký jednoduchý, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Je potrebné venovať jej dostatočnú pozornosť, aby školáci tejto téme dobre porozumeli. V budúcnosti sa trigonometrické úlohy objavia v praxi v domácich úlohách a testoch. Aby boli študijné výsledky žiakov ôsmeho ročníka na úrovni vysoký stupeň, je potrebné, aby nevynechali ani jednu hodinu, pretože témy z geometrie aj algebry spolu súvisia.

Prezentácia má jasnú štruktúru. Na snímkach sa prvky zobrazujú postupne. Text nie je zložitý a je napísaný tak, aby mu žiaci čo najlepšie porozumeli. Neexistujú žiadne rušivé jasné farby, vzory pozadia atď.

snímky 1-2 (Téma prezentácie "Praktické aplikácie podobnosti trojuholníkov", príklad)

Prvá snímka multimediálneho súboru vás požiada o dokončenie konštrukčnej úlohy. Je potrebné získať trojuholník, ktorý má súčasne dva známe uhly a stred na vrchole tretieho uhla. Ako by sa to malo dosiahnuť?

Nižšie sú zvýraznené tri prvky. Prvým prvkom je úsečka, ktorá v dôsledku toho bude osou výsledného trojuholníka. Nasledujúce dva prvky sú dané uhly. Vidíme, že majú rôzne opatrenia. To znamená, že dostaneme rovnoramenný trojuholník. Zostáva len zostrojiť požadovanú figúrku.

V dôsledku konštrukcie sme získali trojuholník, ktorý má na základni dva vopred určené uhly. Ak však nakreslíme úsečku rovnobežnú so základňou, ktorá prechádza spodným vrcholom osy, získame požadovaný údaj. Okrem toho môžete vidieť, že uhly v základniach prvého a druhého trojuholníka sú rovnaké a majú rovnaký vrchol. To hovorí o ich rovnosti.

snímky 3-4 (príklady)

Na ďalšej snímke máme dva podobné trojuholníky. Navyše, ak ich dôkladne preskúmate, zistíte, že sú obdĺžnikové. Táto snímka bude hovoriť o hľadaní výšky. Keďže trojuholníky sú podľa prvého znamienka podobné, pomer ich výšok sa bude rovnať pomeru ich nôh, ku ktorým sú výšky vynechané. Z proporcie môžete vyjadriť požadovanú výšku.

Aby to bolo jasnejšie, nižšie je príklad s číselnými hodnotami. Ak ich žiaci ôsmeho ročníka nedokážu vyriešiť sami, môžete im ukázať riešenie z tej istej snímky. Podobným spôsobom môžete nájsť ďalšie strany pomocou znalosti podobných trojuholníkov.

snímka 5 (príklad)

Najprv musíte preskúmať čísla. Ako vidíte, sú si podobné. Koniec koncov, majú dva rovnaké uhly, čo naznačuje, že prvý znak podobnosti trojuholníkov je splnený.
Na základe podobnosti trojuholníkov môžeme napísať pomerný pomer zodpovedajúcich strán. Z výslednej rovnosti môžeme vyjadriť požadovanú stranu. Pre lepšie pochopenie je uvedený príklad s číselnými hodnotami. Základňa malého trojuholníka je tisíckrát menšia ako základňa veľkého trojuholníka. Dĺžky týchto základní sú tiež známe.

Číselné riešenie je uvedené na ďalšej snímke. Sú tu uvedené aj miery uhlov. Vyjadrime požadovanú stranu z rovnosti, ktorú sme získali na poslednom snímku. Ďalej nahradíme dostupné údaje. Takto získame dĺžku požadovanej strany. Inými slovami, dostali sme vzdialenosť k neplatnému bodu.

Vďaka tomuto multimediálnemu súboru sa teda školáci zoznámia s konštrukciou podobných trojuholníkov a tiež sa naučia nájsť výšku určitého trojuholníka, pričom budú vedieť informácie o stranách podobného trojuholníka. Je veľmi dôležité, aby sa žiaci ôsmeho ročníka naučili robiť proporcie a pracovať s nimi, teda vyjadrovať niektoré prvky rovnosti.