Pravdepodobnosť udalosti. Určenie pravdepodobnosti udalosti

Pravdepodobnosť udalosť je pomer počtu elementárnych výsledkov priaznivých pre danú udalosť k počtu všetkých rovnako možných výsledkov skúsenosti, v ktorej sa táto udalosť môže objaviť. Pravdepodobnosť udalosti A označujeme P(A) (tu P je prvé písmeno francúzskeho slova probabilite - pravdepodobnosť). Podľa definície
(1.2.1)
kde je počet základných výsledkov priaznivých pre udalosť A; - počet všetkých rovnako možných elementárnych výstupov experimentu, tvoriacich ucelenú skupinu dejov.
Táto definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická. Vznikla dňa počiatočná fáza vývoj teórie pravdepodobnosti.

Pravdepodobnosť udalosti má nasledujúce vlastnosti:
1. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej. Spoľahlivú udalosť označme písmenom . Na určitú udalosť teda
(1.2.2)
2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Nemožnú udalosť označme písmenom . Na nemožnú udalosť teda
(1.2.3)
3. Pravdepodobnosť náhodnej udalosti je vyjadrená ako kladné číslo menšie ako jedna. Keďže pre náhodnú udalosť sú splnené nerovnosti , alebo
(1.2.4)
4. Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti spĺňa nerovnosti
(1.2.5)
Vyplýva to zo vzťahov (1.2.2) - (1.2.4).

Príklad 1 Urna obsahuje 10 loptičiek rovnakej veľkosti a hmotnosti, z toho 4 červené a 6 modrých. Z urny sa vytiahne jedna loptička. Čo je pravdepodobnosť, žeže extrahovaná guľa bude modrá?

Riešenie. Udalosť „vytiahnutá loptička sa ukázala ako modrá“ označujeme písmenom A. Tento test má 10 rovnako možných elementárnych výsledkov, z ktorých 6 uprednostňuje udalosť A. Podľa vzorca (1.2.1) dostaneme

Príklad 2 Všetky prirodzené čísla od 1 do 30 sú napísané na rovnakých kartičkách a vložené do urny. Po dôkladnom zamiešaní kariet sa z urny vyberie jedna karta. Aká je pravdepodobnosť, že číslo na odobranej karte je násobkom 5?

Riešenie. Označme A udalosť „číslo na prevzatej karte je násobkom 5“. V tomto teste existuje 30 rovnako možných základných výsledkov, z ktorých je udalosť A uprednostňovaná 6 výsledkami (čísla 5, 10, 15, 20, 25, 30). teda

Príklad 3 Hodia sa dve kocky a vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Nájdite pravdepodobnosť udalosti B takú, že horné strany kociek majú spolu 9 bodov.

Riešenie. V tomto teste je len 6 2 = 36 rovnako možných elementárnych výsledkov. Udalosť B uprednostňujú 4 výsledky: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), preto

Príklad 4. Vybrané náhodne prirodzené číslo, nepresahuje 10. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo?

Riešenie. Označme písmenom C udalosť „zvolené číslo je prvočíslo“. V tomto prípade n = 10, m = 4 ( základné čísla 2, 3, 5, 7). Preto požadovaná pravdepodobnosť

Príklad 5. Hodia sa dve symetrické mince. Aká je pravdepodobnosť, že na horných stranách oboch mincí sú čísla?

Riešenie. Označme písmenom D udalosť „na vrchnej strane každej mince je číslo“. V tomto teste sú 4 rovnako možné základné výsledky: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Zápis (G, C) znamená, že na prvej minci je erb, na druhej je číslo). Udalosť D je zvýhodnená jedným základným výsledkom (C, C). Pretože m = 1, n = 4, potom

Príklad 6. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybrané dvojciferné číslo má rovnaké číslice?

Riešenie. Dvojciferné čísla sú čísla od 10 do 99; Celkovo je takýchto čísel 90. Rovnaké čísla majú 9 čísel (tieto čísla sú 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Pretože v tomto prípade m = 9, n = 90, potom
,
kde A je udalosť „číslo s rovnakými číslicami“.

Príklad 7. Z písmen slova diferenciál Jedno písmeno sa vyberie náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že toto písmeno bude: a) samohláska, b) spoluhláska, c) písmeno h?

Riešenie. Slovo diferenciál má 12 písmen, z toho 5 samohlások a 7 spoluhlások. Listy h v tomto slove nie je žiadne. Označme udalosti: A - „písmeno samohlásky“, B - „písmeno spoluhlásky“, C - „písmeno h". Počet priaznivých elementárnych výsledkov: - pre udalosť A, - pre udalosť B, - pre udalosť C. Keďže n = 12, potom
, A .

Príklad 8. Hodia sa dve kocky a zaznamená sa počet bodov na vrchu každej kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že obe kocky ukazujú rovnaký počet bodov.

Riešenie. Označme túto udalosť písmenom A. Udalosť A uprednostňuje 6 základných výsledkov: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Celkový počet rovnako možných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria kompletnú skupinu udalostí, v tomto prípade n=6 2 =36. To znamená, že požadovaná pravdepodobnosť

Príklad 9. Kniha má 300 strán. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne otvorená stránka bude mať sériové číslo deliteľné 5?

Riešenie. Z podmienok úlohy vyplýva, že všetky rovnako možné elementárne výsledky, ktoré tvoria ucelenú skupinu udalostí, budú n = 300. Z nich m = 60 uprednostňuje výskyt špecifikovanej udalosti. V skutočnosti číslo, ktoré je násobkom 5, má tvar 5k, kde k je prirodzené číslo a , odkiaľ . teda
, kde A - udalosť „stránka“ má poradové číslo, ktoré je násobkom 5“.

Príklad 10. Hodia sa dve kocky a vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Čo je pravdepodobnejšie - získať celkovo 7 alebo 8?

Riešenie. Označme udalosti: A - „Hodí sa 7 bodov“, B – „Hodí sa 8 bodov“. Udalosť A je uprednostnená na základe 6 základných výsledkov: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) a uprednostňuje sa udalosť B o 5 výsledkov: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Všetky rovnako možné elementárne výsledky sú n = 6 2 = 36. To znamená A .

Takže, P(A)>P(B), to znamená, že získanie celkového počtu 7 bodov je pravdepodobnejšia udalosť ako získanie celkového počtu 8 bodov.

Úlohy

1. Náhodne sa vyberie prirodzené číslo nepresahujúce 30 Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je násobkom 3?
2. V urne ačervená a b modré gule rovnakej veľkosti a hmotnosti. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vytiahnutá loptička z tejto urny bude modrá?
3. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 30 Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je deliteľom 30?
4. V urne A modrá a bčervené gule rovnakej veľkosti a hmotnosti. Z tejto urny sa vyberie jedna loptička a odloží sa. Táto guľa sa ukázala ako červená. Potom sa z urny vytiahne ďalšia loptička. Nájdite pravdepodobnosť, že druhá guľa je tiež červená.
5. Náhodne sa vyberie národné číslo nepresahujúce 50. Aká je pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo?
6. Hodia sa tri kocky a vypočíta sa súčet bodov na horných plochách. Čo je pravdepodobnejšie - získať spolu 9 alebo 10 bodov?
7. Hodia sa tri kocky a vypočíta sa súčet hodených bodov. Čo je pravdepodobnejšie – získať spolu 11 (udalosť A) alebo 12 bodov (udalosť B)?

Odpovede

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - pravdepodobnosť získania celkovo 9 bodov; p 2 = 27/216 - pravdepodobnosť získania celkovo 10 bodov; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Otázky

1. Ako sa nazýva pravdepodobnosť udalosti?
2. Aká je pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti?
3. Aká je pravdepodobnosť nemožnej udalosti?
4. Aké sú hranice pravdepodobnosti náhodnej udalosti?
5. Aké sú hranice pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti?
6. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická?

Je nepravdepodobné, že veľa ľudí premýšľa o tom, či je možné vypočítať udalosti, ktoré sú viac-menej náhodné. Zjednodušene povedané jednoduchými slovami, je naozaj možné vedieť, ktorá strana kocky príde nabudúce? Práve túto otázku si položili dvaja veľkí vedci, ktorí položili základy takej vedy, akou je teória pravdepodobnosti, v ktorej sa pomerne obšírne študuje pravdepodobnosť udalosti.

Pôvod

Ak sa pokúsite definovať taký pojem ako teória pravdepodobnosti, dostanete nasledovné: toto je jedna z oblastí matematiky, ktorá študuje stálosť náhodných udalostí. Samozrejme, tento koncept neodhalí naozaj celú podstatu, preto je potrebné sa nad tým podrobnejšie zaoberať.

Chcel by som začať tvorcami teórie. Ako už bolo spomenuté vyššie, boli dvaja a ako jedni z prvých sa pokúsili vypočítať výsledok tej či onej udalosti pomocou vzorcov a matematických výpočtov. Vo všeobecnosti sa začiatky tejto vedy objavili v stredoveku. V tom čase sa rôzni myslitelia a vedci pokúšali analyzovať hazardné hry, ako sú ruleta, kocky atď., a vytvorili tak vzor a percentá výskyt jedného alebo druhého čísla. Základ položili v sedemnástom storočí spomínaní vedci.

Spočiatku ich práce nebolo možné považovať za veľké úspechy v tejto oblasti, pretože všetko, čo robili, boli jednoducho empirické fakty a experimenty sa vykonávali vizuálne, bez použitia vzorcov. Postupom času bolo možné dosiahnuť skvelé výsledky, ktoré sa objavili ako výsledok pozorovania hodu kockou. Práve tento nástroj pomohol odvodiť prvé zrozumiteľné vzorce.

Rovnako zmýšľajúci ľudia

Nie je možné nespomenúť takú osobu, akou je Christiaan Huygens v procese štúdia témy nazývanej „teória pravdepodobnosti“ (pravdepodobnosť udalosti je pokrytá práve touto vedou). Táto osoba je veľmi zaujímavá. Rovnako ako vyššie uvedení vedci sa pokúsil odvodiť vzorec náhodných udalostí vo forme matematických vzorcov. Je pozoruhodné, že to nerobil spolu s Pascalom a Fermatom, to znamená, že všetky jeho diela sa nepretínali s týmito myšlienkami. Huygens dedukoval

Zaujímavosťou je, že jeho práca vyšla dávno pred výsledkami práce objaviteľov, alebo skôr o dvadsať rokov skôr. Spomedzi identifikovaných konceptov sú najznámejšie:

pojem pravdepodobnosti ako hodnota náhody;
matematické očakávania pre jednotlivé prípady;
vety o násobení a sčítaní pravdepodobností.

Nedá sa nespomenúť ani na to, kto tiež významne prispel k štúdiu problému. Vykonávaním vlastných testov, nezávislých od kohokoľvek, bol schopný poskytnúť dôkaz o zákone veľké čísla. Na druhej strane vedci Poisson a Laplace, ktorí pracovali na začiatku devätnásteho storočia, dokázali pôvodné teorémy dokázať. Od tohto momentu sa teória pravdepodobnosti začala používať na analýzu chýb v pozorovaniach. Obchvat túto vedu Ruskí vedci, či skôr Markov, Čebyšev a Djapunov, tiež nemohli. Na základe práce veľkých géniov založili tento predmet ako odvetvie matematiky. Tieto figúry fungovali už na konci devätnásteho storočia a vďaka ich prispeniu sa preukázali tieto javy:

zákon veľkých čísel;
teória Markovových reťazcov;
centrálna limitná veta.

Takže s históriou zrodu vedy a s hlavnými ľuďmi, ktorí ju ovplyvnili, je všetko viac-menej jasné. Teraz nastal čas objasniť všetky skutočnosti.

Základné pojmy

Predtým, ako sa dotknete zákonov a teorémov, stojí za to študovať základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Podujatie v ňom zohráva vedúcu úlohu. Táto téma je dosť objemná, ale bez nej nebude možné pochopiť všetko ostatné.

Udalosť v teórii pravdepodobnosti je akýkoľvek súbor výsledkov experimentu. Koncepty tento jav je ich pomerne dosť. Vedec Lotman, pracujúci v tejto oblasti, povedal, že v tomto prípade hovoríme o o tom, čo sa „stalo, hoci sa to možno nestalo“.

Náhodné udalosti (teória pravdepodobnosti im venuje osobitnú pozornosť) je pojem, ktorý zahŕňa absolútne akýkoľvek jav, ktorý má príležitosť nastať. Alebo naopak, tento scenár sa nemusí stať, ak je splnených veľa podmienok. Tiež stojí za to vedieť, že sú to náhodné udalosti, ktoré zachytávajú celý objem javov, ktoré sa vyskytli. Teória pravdepodobnosti naznačuje, že všetky podmienky sa môžu neustále opakovať. Je to ich správanie, ktoré sa nazýva „experiment“ alebo „test“.

Spoľahlivá udalosť je jav, ktorý sa v danom teste stane na sto percent. Nemožná udalosť je teda taká, ktorá sa nestane.

Kombinácia dvojice akcií (podmienečne prípad A a prípad B) je jav, ktorý sa vyskytuje súčasne. Sú označené ako AB.

Súčet dvojíc udalostí A a B je C, inými slovami, ak sa stane aspoň jeden z nich (A alebo B), potom C dostaneme vzorec pre opísaný jav: C = A + B.

Inkongruentné udalosti v teórii pravdepodobnosti znamenajú, že dva prípady sa navzájom vylučujú. Za žiadnych okolností sa nemôžu stať súčasne. Spoločné udalosti v teórii pravdepodobnosti sú ich antipódom. Myslí sa tu to, že ak sa stalo A, potom to nijako nebráni B.

Opačné udalosti (teória pravdepodobnosti ich zvažuje veľmi podrobne) sú ľahko pochopiteľné. Najlepší spôsob, ako im porozumieť, je porovnávať. Sú takmer rovnaké ako nezlučiteľné udalosti v teórii pravdepodobnosti. Ich rozdiel však spočíva v tom, že v každom prípade musí nastať jeden z mnohých javov.

Rovnako pravdepodobné udalosti sú tie činy, ktorých opakovanie je rovnaké. Aby to bolo jasnejšie, môžete si predstaviť, že si hodíte mincou: strata jednej z jej strán sa rovnako pravdepodobne vypadne z druhej.

Je jednoduchšie zvážiť priaznivú udalosť s príkladom. Povedzme, že existuje epizóda B a epizóda A. Prvým je hod kockou s nepárnym číslom a druhým je výskyt čísla päť na kocke. Potom sa ukáže, že A uprednostňuje B.

Nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sa premietajú iba do dvoch alebo viacerých prípadov a znamenajú nezávislosť akejkoľvek akcie od inej. Napríklad A je strata hláv pri hádzaní mince a B je vytiahnutie jacka z balíčka. Sú to nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti. V tomto bode to bolo jasnejšie.

Závislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sú tiež prípustné len pre ich množinu. Naznačujú závislosť jedného od druhého, to znamená, že jav B sa môže vyskytnúť iba vtedy, ak sa A už stalo, alebo naopak, nestalo sa, keď je to hlavná podmienka pre B.

Exodus náhodný experiment, pozostávajúce z jednej zložky, sú elementárne udalosti. Teória pravdepodobnosti vysvetľuje, že ide o jav, ktorý sa stal iba raz.

Základné vzorce

Pojmy „udalosť“ a „teória pravdepodobnosti“ boli teda uvedené vyššie; Teraz je čas zoznámiť sa priamo s dôležité vzorce. Tieto výrazy matematicky potvrdzujú všetky hlavné pojmy v tak zložitom predmete, akým je teória pravdepodobnosti. Aj tu zohráva veľkú úlohu pravdepodobnosť udalosti.

Je lepšie začať s tými základnými a predtým, ako s nimi začnete, stojí za to zvážiť, aké sú.

Kombinatorika je predovšetkým oblasťou matematiky, zaoberá sa štúdiom veľkého množstva celých čísel, ako aj rôznych permutácií samotných čísel a ich prvkov, rôznych údajov atď., čo vedie k vzniku množstva kombinácií. Okrem teórie pravdepodobnosti je toto odvetvie dôležité pre štatistiku, informatiku a kryptografiu.

Takže teraz môžeme prejsť k predstaveniu samotných vzorcov a ich definície.

Prvým z nich bude výraz pre počet permutácií, vyzerá takto:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Rovnica sa použije len vtedy, ak sa prvky líšia iba v poradí ich usporiadania.

Teraz sa zváži vzorec umiestnenia, vyzerá takto:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Tento výraz sa vzťahuje nielen na poradie umiestnenia prvku, ale aj na jeho zloženie.

Tretia rovnica z kombinatoriky a zároveň posledná sa nazýva vzorec pre počet kombinácií:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinácia sa vzťahuje na výbery, ktoré nie sú zoradené podľa toho, platí pre ne toto pravidlo.

Bolo ľahké porozumieť kombinatorickým vzorcom, teraz môžete prejsť na klasickú definíciu pravdepodobností. Tento výraz vyzerá takto:

V tomto vzorci je m počet podmienok priaznivých pre udalosť A a n je počet absolútne všetkých rovnako možných a základných výsledkov.

Existuje veľké množstvo výrazy, článok nebude brať do úvahy všetky, ale dotkne sa najdôležitejších z nich, ako je napríklad pravdepodobnosť súčtu udalostí:

P(A + B) = P(A) + P(B) - táto veta slúži na sčítanie iba nekompatibilných udalostí;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a toto je na pridávanie iba kompatibilných.

Pravdepodobnosť udalostí:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - táto veta platí pre nezávislé udalosti;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) – a toto je pre závislého.

Zoznam udalostí bude doplnený o vzorec udalostí. Teória pravdepodobnosti nám hovorí o Bayesovej vete, ktorá vyzerá takto:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

V tomto vzorci je H 1, H 2, ..., H n úplná skupina hypotéz.

Príklady

Ak si pozorne preštudujete ktorúkoľvek časť matematiky, nezaobíde sa bez cvičení a vzorových riešení. Rovnako aj teória pravdepodobnosti: udalosti a príklady sú tu neoddeliteľnou súčasťou, ktorá potvrdzuje vedecké výpočty.

Vzorec pre počet permutácií

Povedzme, že v balíčku kariet je tridsať kariet, počnúc hodnotou jedna. Ďalšia otázka. Koľko spôsobov je možné poskladať balíček tak, aby karty s hodnotou jedna a dva neboli vedľa seba?

Úloha bola stanovená, teraz prejdime k jej riešeniu. Najprv musíte určiť počet permutácií tridsiatich prvkov, na to vezmeme vzorec uvedený vyššie, ukáže sa P_30 = 30!.

Na základe tohto pravidla zistíme, koľko je možností zložiť balíček rôznymi spôsobmi, no treba od nich odpočítať tie, v ktorých sú prvá a druhá karta vedľa seba. Ak to chcete urobiť, začnime s možnosťou, keď je prvá nad druhou. Ukazuje sa, že prvá karta môže zaberať dvadsaťdeväť miest – od prvej do dvadsiatej deviatej a druhá karta od druhej do tridsiateho, čiže spolu dvadsaťdeväť miest pre dvojicu kariet. Zvyšok môže prijať dvadsaťosem miest a v akomkoľvek poradí. To znamená, že na preusporiadanie dvadsiatich ôsmich kariet existuje dvadsaťosem možností P_28 = 28!

V dôsledku toho sa ukazuje, že ak zvážime riešenie, keď je prvá karta nad druhou, bude tu 29 ⋅ 28 možností navyše! = 29!

Pomocou rovnakej metódy musíte vypočítať počet nadbytočných možností pre prípad, keď je prvá karta pod druhou. Ukazuje sa tiež, že 29 ⋅ 28! = 29!

Z toho vyplýva, že existuje 2 ⋅ 29 možností navyše!, pričom potrebných spôsobov zostavenia paluby je 30! - 2 ⋅ 29!. Ostáva už len počítať.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Teraz musíte vynásobiť všetky čísla od jednej do dvadsaťdeväť a potom na konci všetko vynásobiť 28. Odpoveď je 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Príklad riešenia. Vzorec pre číslo umiestnenia

V tomto probléme musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako umiestniť pätnásť zväzkov na jednu policu, ale za predpokladu, že celkovo je tridsať zväzkov.

Riešenie tohto problému je o niečo jednoduchšie ako predchádzajúce. Pomocou už známeho vzorca je potrebné vypočítať celkový počet aranžmán tridsiatich zväzkov po pätnásť.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 700 3

Odpoveď sa teda bude rovnať 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz si dáme trochu náročnejšiu úlohu. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako usporiadať tridsať kníh na dve police, keďže jedna polica pojme iba pätnásť zväzkov.

Pred začatím riešenia by som chcel objasniť, že niektoré problémy možno vyriešiť niekoľkými spôsobmi a tento má dve metódy, ale obe používajú rovnaký vzorec.

V tomto probléme môžete prevziať odpoveď z predchádzajúcej, pretože tam sme vypočítali, koľkokrát môžete rôznymi spôsobmi naplniť policu pätnástimi knihami. Ukázalo sa, že A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Druhú policu vypočítame pomocou permutačného vzorca, pretože do nej možno umiestniť pätnásť kníh, pričom ich zostane len pätnásť. Používame vzorec P_15 = 15!.

Ukazuje sa, že súčet bude A_30^15 ⋅ P_15 spôsobov, ale okrem toho bude potrebné súčin všetkých čísel od tridsiatich do šestnástich vynásobiť súčinom čísel od jednej do pätnástich. dostane súčin všetkých čísel od jedna do tridsať, to znamená, že odpoveď je 30!

Ale tento problém sa dá vyriešiť aj inak – jednoduchšie. K tomu si viete predstaviť, že na tridsať kníh je jedna polica. Všetky sú umiestnené na tejto rovine, ale keďže podmienka vyžaduje, aby tam boli dve police, jednu dlhú sme videli na polovicu, takže z pätnástich dostaneme dve. Z toho vyplýva, že možností usporiadania môže byť P_30 = 30!.

Príklad riešenia. Vzorec pre kombinačné číslo

Teraz zvážime verziu tretieho problému z kombinatoriky. Je potrebné zistiť, koľko spôsobov je možné usporiadať pätnásť kníh, za predpokladu, že si musíte vybrať z tridsiatich úplne rovnakých.

Na vyriešenie sa samozrejme použije vzorec pre počet kombinácií. Z podmienky je zrejmé, že poradie rovnakých pätnástich kníh nie je dôležité. Preto najprv musíte zistiť celkový počet kombinácií tridsiatich kníh z pätnástich.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

To je všetko. Pomocou tohto vzorca v najkratší čas podarilo vyriešiť tento problém, odpoveď je teda 155 117 520.

Príklad riešenia. Klasická definícia pravdepodobnosti

Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete nájsť odpoveď na jednoduchý problém. Pomôže to však jasne vidieť a sledovať priebeh akcií.

Problém uvádza, že v urne je desať absolútne rovnakých loptičiek. Z toho sú štyri žlté a šesť modrých. Z urny sa vyberie jedna lopta. Musíte zistiť pravdepodobnosť, že dostanete modrú.

Na vyriešenie problému je potrebné označiť získanie modrej gule ako udalosť A. Tento experiment môže mať desať výsledkov, ktoré sú naopak elementárne a rovnako možné. Zároveň z desiatich je šesť priaznivých pre udalosť A. Riešime pomocou vzorca:

P(A) = 6:10 = 0,6

Použitím tohto vzorca sme zistili, že pravdepodobnosť získania modrej gule je 0,6.

Príklad riešenia. Pravdepodobnosť súčtu udalostí

Teraz bude prezentovaná možnosť, ktorá sa rieši pomocou vzorca pravdepodobnosti súčtu udalostí. Podmienkou sú teda dve krabice, prvá obsahuje jednu sivú a päť bielych guľôčok a druhá osem sivých a štyri biele gule. V dôsledku toho vzali jednu z nich z prvej a druhej škatule. Musíte zistiť, aká je šanca, že gule, ktoré dostanete, budú sivobiele.

Na vyriešenie tohto problému je potrebné identifikovať udalosti.

Takže, A - vzal sivú guľu z prvého poľa: P(A) = 1/6.
A' - vzal bielu guľu tiež z prvého poľa: P(A") = 5/6.
B - z druhého boxu bola odstránená sivá guľa: P(B) = 2/3.
B' - vzal sivú guľu z druhého poľa: P(B") = 1/3.

Podľa podmienok problému je potrebné, aby sa stal jeden z javov: AB‘ alebo A‘B. Pomocou vzorca dostaneme: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Teraz bol použitý vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti. Ďalej, aby ste našli odpoveď, musíte použiť rovnicu ich sčítania:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Takto môžete vyriešiť podobné problémy pomocou vzorca.

Spodná čiara

V článku boli prezentované informácie na tému „Teória pravdepodobnosti“, v ktorej pravdepodobnosť udalosti zohráva zásadnú úlohu. Samozrejme, nie všetko bolo zohľadnené, ale na základe prezentovaného textu sa teoreticky môžete zoznámiť s touto časťou matematiky. Daná veda môže byť užitočná nielen v odborných veciach, ale aj v Každodenný život. S jeho pomocou môžete vypočítať akúkoľvek možnosť akejkoľvek udalosti.

Dotkol sa aj text významné dátumy v histórii formovania teórie pravdepodobnosti ako vedy a mená ľudí, ktorých práca bola do nej investovaná. Takto ľudská zvedavosť viedla k tomu, že sa ľudia naučili počítať aj náhodné udalosti. Kedysi ich to jednoducho zaujímalo, no dnes už o tom vedia všetci. A nikto nepovie, čo nás čaká v budúcnosti, aké ďalšie brilantné objavy súvisiace s uvažovanou teóriou sa urobia. Jedno je však isté – výskum nestojí na mieste!

O Pri posudzovaní pravdepodobnosti výskytu akejkoľvek náhodnej udalosti je veľmi dôležité dobre pochopiť, či pravdepodobnosť () výskytu udalosti, ktorá nás zaujíma, závisí od toho, ako sa vyvíjajú ostatné udalosti.

Kedy klasická schéma, keď sú všetky výsledky rovnako pravdepodobné, už vieme nezávisle odhadnúť hodnoty pravdepodobnosti jednotlivej udalosti, ktorá nás zaujíma. Môžeme to urobiť, aj keď je udalosť komplexným súborom niekoľkých základných výsledkov. Čo ak sa súčasne alebo postupne vyskytne niekoľko náhodných udalostí? Ako to ovplyvní pravdepodobnosť udalosti, o ktorú máme záujem?

Ak hodím kockou niekoľkokrát a chcem, aby padla šestka, a stále mám smolu, znamená to, že by som mal zvýšiť svoju stávku, pretože podľa teórie pravdepodobnosti budem mať šťastie? Bohužiaľ, teória pravdepodobnosti nič také neuvádza. Žiadne kocky, žiadne karty, žiadne mince nemôžem si spomenúť čo nám ukázali minule. Vôbec im nezáleží na tom, či dnes skúšam šťastie prvý alebo desiaty raz. Zakaždým, keď opakujem hod, viem len jednu vec: a tentoraz je pravdepodobnosť, že dostanem šestku, opäť jedna šestina. To samozrejme neznamená, že číslo, ktoré potrebujem, nikdy nepríde. To znamená, že moja prehra po prvom hode a po každom ďalšom hode sú nezávislé udalosti.

Udalosti A a B sa nazývajú nezávislý, ak realizácia jedného z nich nijakým spôsobom neovplyvní pravdepodobnosť inej udalosti. Napríklad pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa prvou z dvoch zbraní nezávisí od toho, či bol cieľ zasiahnutý druhou zbraňou, takže udalosti „prvá zbraň zasiahla cieľ“ a „druhá zbraň zasiahla cieľ“ sú nezávislý.

Ak sú dva javy A a B nezávislé a pravdepodobnosť každého z nich je známa, potom pravdepodobnosť súčasného výskytu udalosti A a udalosti B (označenej AB) možno vypočítať pomocou nasledujúcej vety.

Veta o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti

P(AB) = P(A)*P(B)- pravdepodobnosť simultánne nástup dvoch nezávislý udalosti sa rovná práca pravdepodobnosti týchto udalostí.

Príklad.Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pri streľbe z prvého a druhého dela je rovnaká: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Nájdite pravdepodobnosť zásahu jednou salvou oboma zbraňami súčasne.

Riešenie: ako sme už videli, udalosti A (zásah prvou zbraňou) a B (zásah druhou zbraňou) sú nezávislé, t.j. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56.

Čo sa stane s našimi odhadmi, ak počiatočné udalosti nie sú nezávislé? Trochu zmeníme predchádzajúci príklad.

Príklad.Dvaja strelci na súťaži strieľajú na terče a ak jeden z nich strieľa presne, súper začína byť nervózny a jeho výsledky sa zhoršujú. Ako premeniť túto každodennú situáciu na matematický problém a načrtnúť spôsoby jeho riešenia? Je intuitívne jasné, že tieto dve možnosti musíme nejako oddeliť vývoj, v podstate vytvoriť dva scenáre, dve rôzne úlohy. V prvom prípade, ak súper minul, scenár bude pre nervózneho športovca priaznivý a jeho presnosť vyššia. V druhom prípade, ak sa súper chopil svojej šance slušne, pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa pre druhého pretekára klesá.

Na oddelenie možných scenárov (často nazývaných hypotézy) vývoja udalostí často používame diagram „stromu pravdepodobnosti“. Tento diagram má podobný význam ako rozhodovací strom, s ktorým ste sa už pravdepodobne zaoberali. Každá vetva predstavuje samostatný scenár vývoja udalostí, len teraz má vlastná hodnota tzv podmienené pravdepodobnosti (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Táto schéma je veľmi vhodná na analýzu sekvenčných náhodných udalostí.

Zostáva objasniť ešte jednu dôležitú otázku: odkiaľ pochádzajú počiatočné hodnoty pravdepodobností? reálne situácie ? Koniec koncov, teória pravdepodobnosti nefunguje len s mincami a kockami? Zvyčajne sú tieto odhady prevzaté zo štatistík, a keď štatistické informácie nie sú k dispozícii, vykonávame vlastný prieskum. A často to musíme začať nie zberom dát, ale otázkou, aké informácie vlastne potrebujeme.

Príklad.Povedzme, že potrebujeme odhadnúť objem trhu pre mesto so stotisíc obyvateľmi. nový produkt, čo nie je podstatná položka napríklad pri balzame na starostlivosť o farbené vlasy. Zoberme si diagram "pravdepodobnostného stromu". V tomto prípade musíme približne odhadnúť hodnotu pravdepodobnosti na každom „vetve“. Takže naše odhady trhovej kapacity:

1) zo všetkých obyvateľov mesta tvoria 50 % ženy,

2) zo všetkých žien si len 30 % často farbí vlasy,

3) z nich iba 10 % používa balzamy na farbené vlasy,

4) z nich len 10 % dokáže nabrať odvahu vyskúšať nový produkt,

5) 70% z nich zvyčajne nekupuje všetko od nás, ale od našej konkurencie.

Riešenie: Podľa zákona násobenia pravdepodobností určíme pravdepodobnosť udalosti, ktorá nás zaujíma A = (obyvateľ mesta si u nás kúpi tento nový balzam) = 0,00045.

Vynásobme túto hodnotu pravdepodobnosti počtom obyvateľov mesta. Tým pádom máme len 45 potenciálnych zákazníkov a vzhľadom na to, že jedna fľaša tohto produktu vydrží aj niekoľko mesiacov, obchod nie je veľmi živý.

A predsa je tu určitý úžitok z našich hodnotení.

Po prvé, môžeme porovnať predpovede rôznych podnikateľských nápadov, ktoré budú mať v diagramoch rôzne „vidličky“ a samozrejme budú odlišné aj hodnoty pravdepodobnosti.

Po druhé, ako sme už povedali, náhodná hodnota Nenazýva sa náhodný, pretože vôbec na ničom nezávisí. Len ona presné význam nie je vopred známy. Vieme, že priemerný počet kupujúcich sa dá zvýšiť (napríklad reklamou na nový produkt). Preto má zmysel zamerať naše úsilie na tie „forky“, kde nám rozdelenie pravdepodobnosti zvlášť nevyhovuje, na tie faktory, ktoré vieme ovplyvniť.

Pozrime sa na ďalší kvantitatívny príklad výskumu spotrebiteľského správania.

Príklad. Trh s potravinami navštívi v priemere 10 000 ľudí denne. Pravdepodobnosť, že návštevník trhu vstúpi do pavilónu mliečne výrobky, sa rovná 1/2. Je známe, že tento pavilón predá v priemere 500 kg rôznych produktov denne.

Dá sa povedať, že priemerný nákup v pavilóne váži len 100 g?

Diskusia. Samozrejme, že nie. Je jasné, že nie každý, kto do pavilónu vstúpil, si tam niečo kúpil.

Ako je znázornené na diagrame, aby sme odpovedali na otázku o priemernej hmotnosti nákupu, musíme nájsť odpoveď na otázku, aká je pravdepodobnosť, že si tam človek, ktorý vstúpi do pavilónu, niečo kúpi. Ak takéto údaje nemáme k dispozícii, ale potrebujeme ich, budeme si ich musieť získať sami pozorovaním návštevníkov pavilónu nejaký čas. Povedzme, že naše pozorovania ukázali, že len pätina návštevníkov pavilónu si niečo kúpi.

Po získaní týchto odhadov sa úloha stáva jednoduchou. Z 10 000 ľudí, ktorí prídu na trh, pôjde 5 000 do pavilónu mliečnych výrobkov len 1 000 nákupov. Priemerná hmotnosť nákupu je 500 gramov. Je zaujímavé poznamenať, že na vytvorenie úplného obrazu toho, čo sa deje, musí byť logika podmieneného „vetvenia“ definovaná v každej fáze nášho uvažovania tak jasne, ako keby sme pracovali s „konkrétnou“ situáciou, a nie s pravdepodobnosťami.

Samotestovacie úlohy

1. Nech existuje elektrický obvod pozostávajúci z n prvkov zapojených do série, z ktorých každý pracuje nezávisle od ostatných.

Pravdepodobnosť p zlyhania každého prvku je známa. Určte pravdepodobnosť správnej činnosti celého úseku obvodu (udalosť A).

2. Študent pozná 20 z 25 skúšobných otázok. Nájdite pravdepodobnosť, že študent pozná tri otázky, ktoré mu dal skúšajúci.

3. Výroba pozostáva zo štyroch po sebe nasledujúcich etáp, v každom z nich pracuje zariadenie, pre ktoré sa pravdepodobnosť zlyhania v priebehu nasledujúceho mesiaca rovná p 1, p 2, p 3 a p 4, v tomto poradí. Nájdite pravdepodobnosť, že za mesiac nedôjde k zastaveniu výroby z dôvodu poruchy zariadenia.

Potreba konať podľa pravdepodobností nastáva vtedy, keď sú známe pravdepodobnosti niektorých udalostí a je potrebné vypočítať pravdepodobnosti iných udalostí, ktoré sú s týmito udalosťami spojené.

Sčítanie pravdepodobností sa používa, keď potrebujete vypočítať pravdepodobnosť kombinácie alebo logického súčtu náhodných udalostí.

Súčet udalostí A A B označovať A + B alebo A ∪ B. Súčet dvoch udalostí je udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak nastane aspoň jedna z udalostí. Znamená to, že A + B- udalosť, ktorá nastane vtedy a len vtedy, ak udalosť nastala počas pozorovania A alebo udalosť B alebo súčasne A A B.

Ak udalosti A A B sú vzájomne nekonzistentné a sú uvedené ich pravdepodobnosti, potom sa pravdepodobnosť, že jedna z týchto udalostí nastane ako výsledok jedného pokusu, vypočíta pomocou súčtu pravdepodobností.

Pravdepodobný teorém sčítania. Pravdepodobnosť, že nastane jedna z dvoch vzájomne nekompatibilných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

Napríklad pri love padnú dva výstrely. Udalosť A– zasiahnutie kačice prvým výstrelom, event IN– zásah z druhého výstrelu, udalosť ( A+ IN) – zásah z prvého alebo druhého výstrelu alebo z dvoch výstrelov. Ak teda dve udalosti A A IN– potom nezlučiteľné udalosti A+ IN– výskyt aspoň jednej z týchto udalostí alebo dvoch udalostí.

Príklad 1 V krabici je 30 guličiek rovnakej veľkosti: 10 červených, 5 modrých a 15 bielych. Vypočítajte pravdepodobnosť, že farebnú (nie bielu) loptičku zdvihnete bez toho, aby ste sa pozreli.

Riešenie. Predpokladajme, že udalosť A- „dostane sa červená guľa“ a udalosť IN- "Bola prijatá modrá guľa." Potom je udalosťou „zoberie sa farebná (nie biela) guľa“. Poďme zistiť pravdepodobnosť udalosti A:

a udalosti IN:

Diania A A IN- vzájomne nekompatibilné, pretože ak sa berie jedna loptička, nie je možné brať loptičky rôznych farieb. Preto používame sčítanie pravdepodobností:

Veta o sčítaní pravdepodobností pre niekoľko nekompatibilných udalostí. Ak udalosti tvoria úplný súbor udalostí, potom sa súčet ich pravdepodobností rovná 1:

Súčet pravdepodobností opačných udalostí sa tiež rovná 1:

Opačné udalosti tvoria úplný súbor udalostí a pravdepodobnosť úplného súboru udalostí je 1.

Pravdepodobnosti opačných udalostí sú zvyčajne označené malými písmenami p A q. najmä

z ktorých vyplývajú tieto vzorce pre pravdepodobnosť opačných udalostí:

Príklad 2 Terč v strelnici je rozdelený do 3 zón. Pravdepodobnosť, že určitý strelec vystrelí na terč v prvom pásme je 0,15, v druhom pásme – 0,23, v treťom pásme – 0,17. Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ a pravdepodobnosť, že strelec cieľ minie.

Riešenie: Nájdite pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ:

Nájdite pravdepodobnosť, že strelec minie cieľ:

Zložitejšie úlohy, pri ktorých je potrebné použiť sčítanie aj násobenie pravdepodobností, nájdete na stránke „Rôzne úlohy so sčítaním a násobením pravdepodobností“.

Sčítanie pravdepodobností vzájomne simultánnych udalostí

Dve náhodné udalosti sa nazývajú spoločné, ak výskyt jednej udalosti nevylučuje výskyt druhej udalosti v tom istom pozorovaní. Napríklad pri hode kockou udalosť AČíslo 4 sa považuje za zavedené a udalosť IN– hádzanie párneho čísla. Keďže 4 je párne číslo, tieto dve udalosti sú kompatibilné. V praxi sa vyskytujú problémy s výpočtom pravdepodobnosti výskytu niektorej zo súčasne prebiehajúcich udalostí.

Veta pravdepodobnosti sčítania pre spoločné udalosti. Pravdepodobnosť, že nastane jedna zo spoločných udalostí, sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí, od ktorých sa odpočíta pravdepodobnosť spoločného výskytu oboch udalostí, teda súčin pravdepodobností. Vzorec pravdepodobnosti spoločných udalostí má nasledujúci tvar:

Od udalostí A A IN kompatibilný, event A+ IN nastane, ak nastane jedna z troch možných udalostí: alebo AB. Podľa vety o sčítaní nekompatibilných udalostí vypočítame takto:

Udalosť A nastane, ak dôjde k jednej z dvoch nezlučiteľných udalostí: alebo AB. Pravdepodobnosť výskytu jednej udalosti z niekoľkých nezlučiteľných udalostí sa však rovná súčtu pravdepodobností všetkých týchto udalostí:

Podobne:

Nahradením výrazov (6) a (7) výrazom (5) dostaneme vzorec pravdepodobnosti pre spoločné udalosti:

Pri použití vzorca (8) treba vziať do úvahy, že event A A IN môže byť:

vzájomne nezávislé;
vzájomne závislé.

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne nezávislé udalosti:

Vzorec pravdepodobnosti pre vzájomne závislé udalosti:

Ak udalosti A A IN sú nekonzistentné, potom je ich zhoda nemožným prípadom, a teda P(AB) = 0. Štvrtý vzorec pravdepodobnosti pre nekompatibilné udalosti je:

Príklad 3 V automobilových pretekoch, keď riadite prvé auto, máte väčšiu šancu vyhrať a keď riadite druhé auto. Nájsť:

pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú;
pravdepodobnosť, že vyhrá aspoň jedno auto;

1) Pravdepodobnosť, že prvé auto vyhrá, nezávisí od výsledku druhého auta, teda udalostí A(vyhráva prvé auto) a IN(vyhrá druhé auto) – nezávislé podujatia. Nájdite pravdepodobnosť, že obe autá vyhrajú:

2) Nájdite pravdepodobnosť, že jedno z dvoch áut vyhrá:

Zložitejšie úlohy, pri ktorých je potrebné použiť sčítanie aj násobenie pravdepodobností, nájdete na stránke „Rôzne úlohy so sčítaním a násobením pravdepodobností“.

Vyriešte problém pridania pravdepodobností sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 4. Hodia sa dve mince. Udalosť A- strata erbu na prvej minci. Udalosť B- strata erbu na druhej minci. Nájdite pravdepodobnosť udalosti C = A + B .

Násobenie pravdepodobností

Násobenie pravdepodobnosti sa používa, keď sa musí vypočítať pravdepodobnosť logického súčinu udalostí.

V tomto prípade musia byť náhodné udalosti nezávislé. O dvoch udalostiach sa hovorí, že sú navzájom nezávislé, ak výskyt jednej udalosti neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej udalosti.

Veta o násobení pravdepodobnosti pre nezávislé udalosti. Pravdepodobnosť súčasného výskytu dvoch nezávislých udalostí A A IN sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí a vypočíta sa podľa vzorca:

Príklad 5. Minca sa hodí trikrát za sebou. Nájdite pravdepodobnosť, že sa erb objaví všetky trikrát.

Riešenie. Pravdepodobnosť, že sa erb objaví pri prvom hode mincou, druhýkrát a tretíkrát. Nájdite pravdepodobnosť, že sa erb objaví trikrát:

Vyriešte problémy s násobením pravdepodobnosti sami a potom sa pozrite na riešenie

Príklad 6. V krabici je deväť nových tenisových loptičiek. Na hranie sa odoberú tri loptičky a po hre sa vrátia späť. Pri výbere lôpt sa nerozlišujú odohrané lopty od neodohraných. Aká je pravdepodobnosť, že po troch hrách nezostanú v krabici žiadne neodohrané loptičky?

Príklad 7. Na vystrihnutých kartách abecedy je napísaných 32 písmen ruskej abecedy. Náhodne sa vytiahne päť kariet za sebou a umiestnia sa na stôl v poradí podľa vzhľadu. Nájdite pravdepodobnosť, že písmená vytvoria slovo „koniec“.

Príklad 8. Z plného balíčka kariet (52 listov) sa naraz vyberú štyri karty. Nájdite pravdepodobnosť, že všetky štyri tieto karty budú rôznych farieb.

Príklad 9. Rovnaká úloha ako v príklade 8, ale každá karta sa po odstránení vráti do balíčka.

Zložitejšie úlohy, v ktorých je potrebné použiť sčítanie a násobenie pravdepodobností, ako aj vypočítať súčin viacerých udalostí, nájdete na stránke "Rôzne úlohy so sčítaním a násobením pravdepodobností".

Pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna zo vzájomne nezávislých udalostí, sa dá vypočítať odčítaním súčinu pravdepodobností opačných udalostí od 1, teda pomocou vzorca:

Príklad 10. Náklad sa doručuje tromi druhmi dopravy: riečna, železničná a cestná doprava. Pravdepodobnosť, že náklad bude dodaný riečnou dopravou je 0,82, železničnou 0,87, cestnou dopravou 0,90. Nájdite pravdepodobnosť, že náklad doručí aspoň jeden z tri typy dopravy.

Dôležité poznámky!
1. Ak sa namiesto vzorcov zobrazuje gobbledygook, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátoru, kde nájdete najužitočnejšie zdroje pre

Čo je pravdepodobnosť?

Keď som sa prvýkrát stretol s týmto pojmom, nerozumel by som, čo to je. Preto sa pokúsim jasne vysvetliť.

Pravdepodobnosť je šanca, že sa stane udalosť, ktorú chceme.

Napríklad ste sa rozhodli ísť do domu priateľa, pamätáte si vchod a dokonca aj poschodie, na ktorom žije. Ale zabudol som číslo a polohu bytu. A teraz stojíte na schodisku a pred vami sú dvere, z ktorých si môžete vybrať.

Aká je šanca (pravdepodobnosť), že ak zazvoníte na prvý zvonček, odpovie za vás váš priateľ? Sú tam len byty a kamarát býva len za jedným z nich. S rovnakou šancou si môžeme vybrať akékoľvek dvere.

Ale aká je táto šanca?

Dvere, tie správne dvere. Pravdepodobnosť uhádnutia zvonením na prvý zvonček: . To znamená, že jeden z troch prípadov uhádnete presne.

Chceme vedieť, keď sme už raz zavolali, ako často uhádneme dvere? Pozrime sa na všetky možnosti:

Volal si 1 dvere
Volal si 2 dvere
Volal si 3 dvere

Teraz sa pozrime na všetky možnosti, kde by mohol byť priateľ:

A. vzadu 1 dvere
b. vzadu 2 dvere
V. vzadu 3 dvere

Porovnajme všetky možnosti vo forme tabuľky. Značka začiarknutia označuje možnosti, keď sa vaša voľba zhoduje s umiestnením priateľa, krížik - ak sa nezhoduje.

Ako všetko vidíte Možno možnosti polohu vášho priateľa a váš výber, na ktoré dvere zazvoniť.

A priaznivé výsledky pre všetko . To znamená, že raz uhádnete tak, že raz zazvoníte pri dverách, t.j. .

Toto je pravdepodobnosť - pomer priaznivého výsledku (keď sa vaša voľba zhoduje s umiestnením vášho priateľa) k počtu možných udalostí.

Definícia je vzorec. Pravdepodobnosť sa zvyčajne označuje p, takže:

Nie je veľmi vhodné písať takýto vzorec, preto budeme brať za - počet priaznivých výsledkov a za - celkový počet výsledkov.

Pravdepodobnosť je možné zapísať ako percento, aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť výsledný výsledok:

Slovo „výsledky“ vás pravdepodobne zaujalo. Pretože matematici volajú rôzne akcie(u nás je takou akciou zvonček pri dverách) experimenty, potom sa výsledok takýchto experimentov zvyčajne nazýva výsledok.

No, existujú priaznivé a nepriaznivé výsledky.

Vráťme sa k nášmu príkladu. Povedzme, že sme zazvonili na jedny dvere, no otvorili sa nám cudzinec. Nehádali sme správne. Aká je pravdepodobnosť, že ak zazvoníme na jedny zo zostávajúcich dverí, otvorí nám ich priateľ?

Ak si to myslel, tak toto je omyl. Poďme na to.

Ostali nám dvoje dvere. Takže máme možné kroky:

1) Zavolajte 1 dvere
2) Zavolajte 2 dvere

Priateľ napriek tomu všetkému určite stojí za jedným z nich (napokon nebol za tým, ktorého sme volali):

a) Priateľ pre 1 dvere
b) Priateľ pre 2 dvere

Znovu nakreslíme tabuľku:

Ako vidíte, existujú iba možnosti, z ktorých sú priaznivé. To znamená, že pravdepodobnosť je rovnaká.

Prečo nie?

Situácia, ktorú sme zvážili, je príklad závislých udalostí. Prvou udalosťou je prvý zvonček, druhou udalosťou je druhý zvonček.

A nazývajú sa závislými, pretože ovplyvňujú nasledujúce akcie. Ak by totiž po prvom zazvonení na zvonček odpovedal kamarát, aká by bola pravdepodobnosť, že je za jedným z ostatných dvoch? Správny, .

Ale ak existujú závislé udalosti, potom musia byť tiež nezávislý? Presne tak, stávajú sa.

Učebnicovým príkladom je hod mincou.

Hoď si raz mincou. Aká je pravdepodobnosť, že dostaneme napríklad hlavy? Je to tak – pretože sú tu všetky možnosti (buď hlavy alebo chvosty, pravdepodobnosť dopadnutia mince na jej okraj zanedbávame), ale nám to len vyhovuje.
Ale prišlo to na hlavu. Dobre, hodíme to znova. Aká je pravdepodobnosť, že dostane hlavu teraz? Nič sa nezmenilo, všetko je po starom. Koľko možností? Dva. S koľkými sme spokojní? Jeden.

A nech to príde na hlavu aspoň tisíckrát za sebou. Pravdepodobnosť získania hláv bude rovnaká. Vždy existujú možnosti, a to priaznivé.

Je ľahké rozlíšiť závislé udalosti od nezávislých:

Ak sa experiment uskutoční raz (raz hodia mincou, raz zazvonia na zvonček atď.), udalosti sú vždy nezávislé.
Ak sa experiment vykonáva viackrát (raz sa hodí minca, niekoľkokrát zazvoní zvonček), prvá udalosť je vždy nezávislá. A potom, ak sa zmení počet priaznivých alebo počet všetkých výsledkov, potom sú udalosti závislé, a ak nie, sú nezávislé.

Poďme si trochu precvičiť určovanie pravdepodobnosti.

Príklad 1

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy dvakrát za sebou?

Riešenie:

Zvážme všetko možné možnosti:

Orol-orol
Hlavy-chvosty
Chvosty-Hlavy
Chvosty-chvosty

Ako vidíte, existujú iba možnosti. Z týchto sme len spokojní. Teda pravdepodobnosť:

Ak podmienka požaduje jednoducho nájsť pravdepodobnosť, odpoveď by mala byť uvedená vo formulári desiatkový. Ak by bolo určené, že odpoveď by mala byť uvedená v percentách, potom by sme vynásobili.

odpoveď:

Príklad 2

V bonboniére sú všetky čokolády zabalené v rovnakom obale. Avšak zo sladkostí - s orechmi, s koňakom, s višňami, s karamelom a s nugátom.

Aká je pravdepodobnosť, že si vezmete jeden cukrík a dostanete cukrík s orechmi? Uveďte svoju odpoveď v percentách.

Riešenie:

Koľko je možných výsledkov? .

To znamená, že ak si vezmete jeden cukrík, bude to jeden z tých, ktoré sú k dispozícii v krabici.

Koľko priaznivých výsledkov?

Pretože krabička obsahuje samé čokoládky s orieškami.

odpoveď:

Príklad 3

V krabici s balónikmi. z ktorých sú biele a čierne.

Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?
Do krabice sme pridali viac čiernych guličiek. Aká je teraz pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?

Riešenie:

a) V krabici sú iba loptičky. Z nich sú biele.

Pravdepodobnosť je:

b) Teraz je v krabici viac loptičiek. A rovnako veľa bielych zostalo - .

odpoveď:

Celková pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí sa rovná ().

Povedzme, že v krabici sú červené a zelené gule. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule? Zelená guľa? Červená alebo zelená guľa?

Pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule

Zelená guľa:

Červená alebo zelená guľa:

Ako vidíte, súčet všetkých možných udalostí sa rovná (). Pochopenie tohto bodu vám pomôže vyriešiť mnohé problémy.

Príklad 4.

V krabičke sú fixky: zelená, červená, modrá, žltá, čierna.

Aká je pravdepodobnosť, že nakreslíte NIE červenú značku?

Riešenie:

Spočítajme číslo priaznivé výsledky.

NIE červená značka, to znamená zelená, modrá, žltá alebo čierna.

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, sa rovná mínus pravdepodobnosti, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Už viete, čo sú nezávislé udalosti.

Čo ak potrebujete nájsť pravdepodobnosť, že sa vyskytnú dve (alebo viaceré) nezávislé udalosti za sebou?

Povedzme, že chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ak si raz hodíme mincou, uvidíme hlavy dvakrát?

Už sme zvážili - .

Čo ak si raz hodíme mincou? Aká je pravdepodobnosť, že uvidíte orla dvakrát za sebou?

Celkom možné možnosti:

Orol-orol-orol
Hlavy-hlavy-chvosty
Hlavy-chvosty-hlavy
Hlavy-chvosty-chvosty
Chvosty-hlavy-hlavy
Chvosty-hlavy-chvosty
Chvosty-chvosty-hlavy
Chvosty-chvosty-chvosty

Neviem ako vy, ale ja som sa pri zostavovaní tohto zoznamu niekoľkokrát pomýlil. Wow! A jediná možnosť (prvá) nám vyhovuje.

Za 5 hodov si môžete sami vytvoriť zoznam možných výsledkov. Ale matematici nie sú takí pracovití ako ty.

Preto si najprv všimli a potom dokázali, že pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí zakaždým klesá o pravdepodobnosť jednej udalosti.

Inými slovami,

Pozrime sa na príklad tej istej nešťastnej mince.

Pravdepodobnosť, že dostanete hlavu vo výzve? . Teraz si raz hodíme mincou.

Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy v rade?

Toto pravidlo nefunguje iba vtedy, ak sme požiadaní, aby sme zistili pravdepodobnosť, že sa rovnaká udalosť stane niekoľkokrát za sebou.

Ak by sme chceli nájsť sekvenciu TAILS-HEADS-TAILS pre po sebe idúce hody, urobili by sme to isté.

Pravdepodobnosť získania chvostov je , hlavy - .

Pravdepodobnosť získania sekvencie TAILS-HEADS-HEADS-TAILS-TAILS:

Môžete to skontrolovať sami vytvorením tabuľky.

Pravidlo pre sčítanie pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí.

Tak prestaň! Nová definícia.

Poďme na to. Vezmime našu opotrebovanú mincu a hodme si ju raz.
Možné možnosti:

Orol-orol-orol
Hlavy-hlavy-chvosty
Hlavy-chvosty-hlavy
Hlavy-chvosty-chvosty
Chvosty-hlavy-hlavy
Chvosty-hlavy-chvosty
Chvosty-chvosty-hlavy
Chvosty-chvosty-chvosty

Nekompatibilné udalosti sú teda určitým, daným sledom udalostí. - sú to nezlučiteľné udalosti.

Ak chceme určiť, aká je pravdepodobnosť dvoch (alebo viacerých) nezlučiteľných udalostí, tak sčítame pravdepodobnosti týchto udalostí.

Musíte pochopiť, že hlavy alebo chvosty sú dve nezávislé udalosti.

Ak chceme určiť pravdepodobnosť výskytu postupnosti (alebo akejkoľvek inej), potom použijeme pravidlo násobenia pravdepodobností.
Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri prvom hode a chvosty pri druhom a treťom hode?

Ale ak chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť získania jednej z viacerých sekvencií, napríklad keď hlavy prídu presne raz, t.j. možnosti a potom musíme sčítať pravdepodobnosti týchto postupností.

Celkové možnosti nám vyhovujú.

To isté môžeme získať sčítaním pravdepodobnosti výskytu každej postupnosti:

Pravdepodobnosti teda pridávame, keď chceme určiť pravdepodobnosť určitých, nekonzistentných, sledov udalostí.

Existuje skvelé pravidlo, ktoré vám pomôže vyhnúť sa zmätku, kedy násobiť a kedy sčítať:

Vráťme sa k príkladu, keď sme si raz hodili mincou a chceli sme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že raz uvidíme hlavy.
Čo sa stane?

Malo by vypadnúť:
(hlavy A chvosty A chvosty) ALEBO (chvosty A hlavy A chvosty) ALEBO (chvosty A chvosty A hlavy).
Takto to dopadne:

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 5.

V krabičke sú ceruzky. červená, zelená, oranžová a žltá a čierna. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej alebo zelenej ceruzky?

Riešenie:

Príklad 6.

Kocky hoďte dvakrát, aká je pravdepodobnosť, že získate spolu 8 bodov?

Riešenie.

Ako môžeme získať body?

(a) alebo (a) alebo (a) alebo (a) alebo (a).

Pravdepodobnosť získania jednej (akejkoľvek) tváre je .

Vypočítame pravdepodobnosť:

Školenie.

Myslím, že teraz chápete, kedy potrebujete vypočítať pravdepodobnosti, kedy ich pridať a kedy vynásobiť. Nieje to? Poďme si trochu zacvičiť.

Úlohy:

Zoberme si balíček kariet obsahujúci karty vrátane pikov, sŕdc, 13 palíc a 13 diamantov. Od po Eso každej farby.

Aká je pravdepodobnosť ťahania palíc za sebou (prvú vytiahnutú kartu vložíme späť do balíčka a zamiešame)?
Aká je pravdepodobnosť ťahania čiernej karty (piky alebo palice)?
Aká je pravdepodobnosť nakreslenia obrázka (jack, dáma, kráľ alebo eso)?
Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia dvoch obrázkov za sebou (odstránime prvú vytiahnutú kartu z balíčka)?
Aká je pravdepodobnosť, že ak vezmete dve karty, nazbierate kombináciu - (jack, dáma alebo kráľ) a eso Na poradí, v akom sú karty ťahané, nezáleží?

Odpovede:

Ak ste všetky problémy dokázali vyriešiť sami, potom ste skvelí! Teraz rozlúsknete problémy teórie pravdepodobnosti v jednotnej štátnej skúške ako orechy!

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Pozrime sa na príklad. Povedzme, že hodíme kockou. Čo je to za kosť, vieš? Toto je to, čo nazývajú kocka s číslami na jej stranách. Koľko tvárí, toľko čísel: od do koľko? Predtým.

Hodíme teda kockou a chceme, aby vyšla resp. A chápeme to.

V teórii pravdepodobnosti hovoria, čo sa stalo priaznivá udalosť(nezamieňať s prosperujúcim).

Ak by sa to stalo, udalosť by bola tiež priaznivá. Celkovo sa môžu stať iba dve priaznivé udalosti.

Koľko je nevýhodných? Keďže existujú celkom možné udalosti, znamená to, že nepriaznivé sú udalosti (to znamená, ak vypadne alebo vypadne).

Definícia:

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí. To znamená, že pravdepodobnosť ukazuje, aký podiel všetkých možných udalostí je priaznivý.

Označuje pravdepodobnosť latinské písmeno(zrejme z anglické slovo pravdepodobnosť – pravdepodobnosť).

Je zvykom merať pravdepodobnosť v percentách (pozri tému,). Na to je potrebné vynásobiť hodnotu pravdepodobnosti. V príklade s kocky pravdepodobnosť.

A v percentách: .

Príklady (rozhodnite sa sami):

Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri hode mincou? Aká je pravdepodobnosť pristátia hláv?
Aká je pravdepodobnosť dosiahnutia párneho čísla pri hode kockou? A ktorý je zvláštny?
V krabičke jednoduchých, modrých a červených ceruziek. Náhodne nakreslíme jednu ceruzku. Aká je pravdepodobnosť získania jednoduchého?

Riešenia:

Koľko možností je? Hlavy a chvosty - len dve. Koľko z nich je priaznivých? Len jeden je orol. Takže pravdepodobnosť
Rovnako je to aj s chvostíkmi: .
Celkový počet možností: (koľko strán má kocka, toľko rôzne možnosti). Priaznivé: (všetky sú to párne čísla:).
Pravdepodobnosť. Samozrejme, rovnaké je to aj s nepárnymi číslami.
Celkom: . Priaznivý: . Pravdepodobnosť: .

Celková pravdepodobnosť

Všetky ceruzky v krabičke sú zelené. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej ceruzky? Neexistujú žiadne šance: pravdepodobnosť (koniec koncov, priaznivé udalosti -).

Takáto udalosť sa nazýva nemožná.

Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky? Existuje presne rovnaký počet priaznivých udalostí ako celkový počet udalostí (všetky udalosti sú priaznivé). Pravdepodobnosť sa teda rovná alebo.

Takáto udalosť sa nazýva spoľahlivá.

Ak škatuľka obsahuje zelené a červené ceruzky, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej? Ešte raz. Všimnime si toto: pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej je rovnaká a červená je rovnaká.

Celkovo sú tieto pravdepodobnosti úplne rovnaké. teda súčet pravdepodobností všetkých možných udalostí sa rovná alebo.

Príklad:

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, hladké, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť, že nenakreslíte zelenú?

Riešenie:

Pamätáme si, že všetky pravdepodobnosti sa sčítavajú. A pravdepodobnosť získania zelenej je rovnaká. To znamená, že pravdepodobnosť, že nenakreslíte zelenú, je rovnaká.

Zapamätajte si tento trik: Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, sa rovná mínus pravdepodobnosti, že udalosť nastane.

Nezávislé udalosti a pravidlo násobenia

Raz si hodíte mincou a chcete, aby padla v oboch prípadoch. Aká je pravdepodobnosť tohto?

Poďme prejsť všetkými možnými možnosťami a určiť, koľko ich je:

Hlavy-Hlavy, Chvosty-Hlavy, Hlavy-Chvosty, Chvosty-Chvosty. Čo ešte?

Celkové možnosti. Z nich nám vyhovuje len jeden: Eagle-Eagle. Celkovo je pravdepodobnosť rovnaká.

Dobre. Teraz si raz hodíme mincou. Spočítajte si to sami. Stalo? (odpoveď).

Možno ste si všimli, že s pridaním každého ďalšieho hodu sa pravdepodobnosť znižuje o polovicu. Všeobecné pravidlo volal pravidlo násobenia:

Pravdepodobnosť nezávislých udalostí sa mení.

Čo sú nezávislé udalosti? Všetko je logické: toto sú tie, ktoré na sebe nezávisia. Napríklad, keď hodíme mincou niekoľkokrát, zakaždým sa uskutoční nový hod, ktorého výsledok nezávisí od všetkých predchádzajúcich hodov. Rovnako ľahko môžeme hodiť dve rôzne mince súčasne.

Ďalšie príklady:

Kocky sa hádžu dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že ju dostanete v oboch prípadoch?
Minca sa hodí raz. Aká je pravdepodobnosť, že sa to prvýkrát objaví v hlavách a potom dvakrát?
Hráč hodí dvoma kockami. Aká je pravdepodobnosť, že súčet čísel na nich bude rovnaký?

Odpovede:

Udalosti sú nezávislé, čo znamená, že pravidlo násobenia funguje: .
Pravdepodobnosť hláv je rovnaká. Pravdepodobnosť chvostov je rovnaká. Násobiť:
12 možno získať len vtedy, ak sa hodia dve -ki: .

Nekompatibilné udalosti a pravidlo sčítania

Udalosti, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do plnej pravdepodobnosti, sa nazývajú nekompatibilné. Ako už názov napovedá, nemôžu nastať súčasne. Napríklad, ak hodíme mincou, môže prísť buď hlavou, alebo chvostom.

Príklad.

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, hladké, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej?

Riešenie .

Pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky je rovnaká. Červená - .

Priaznivé udalosti vo všetkých: zelená + červená. To znamená, že pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej je rovnaká.

Rovnaká pravdepodobnosť môže byť vyjadrená v tomto tvare: .

Toto je pravidlo pridávania: pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí sa sčítavajú.

Problémy zmiešaného typu

Príklad.

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že výsledky hodov budú iné?

Riešenie .

To znamená, že ak sú prvým výsledkom hlavy, druhým musia byť chvosty a naopak. Ukazuje sa, že existujú dva páry nezávislých udalostí a tieto páry sú navzájom nekompatibilné. Ako sa nenechať zmiasť, kde sa má množiť a kde pridávať.

Pre takéto situácie platí jednoduché pravidlo. Pokúste sa opísať, čo sa stane, pomocou spojok „A“ alebo „ALEBO“. Napríklad v tomto prípade:

Mali by prísť (hlavy a chvosty) alebo (chvosty a hlavy).

Tam, kde je spojka „a“, dôjde k násobeniu a tam, kde je „alebo“, dôjde k sčítaniu:

Vyskúšajte sami:

Aká je pravdepodobnosť, že ak sa minca hodí dvakrát, padne v oboch prípadoch na rovnakú stranu?
Kocky sa hádžu dvakrát. Aká je pravdepodobnosť získania celkového počtu bodov?

Riešenia:

Ďalší príklad:

Hoď si raz mincou. Aká je pravdepodobnosť, že sa aspoň raz objavia hlavy?

Riešenie:

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí.

Nezávislé udalosti

Dve udalosti sú nezávislé, ak výskyt jednej nemení pravdepodobnosť výskytu druhej.

Celková pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí sa rovná ().

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, sa rovná mínus pravdepodobnosti, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností každej udalosti

Nekompatibilné udalosti

Nekompatibilné udalosti sú tie, ktoré sa v dôsledku experimentu nemôžu vyskytnúť súčasne. Množstvo nekompatibilných udalostí tvorí ucelenú skupinu udalostí.

Pravdepodobnosť nekompatibilných udalostí sa sčítava.

Po opísaní toho, čo by sa malo stať, pomocou spojok „AND“ alebo „ALEBO“ namiesto „AND“ vložíme znak násobenia a namiesto „ALEBO“ vložíme znak sčítania.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné ukončenie Jednotná štátna skúška na prijatie na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 499 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!