Poďme sa teda porozprávať o téme, ktorá zaujíma veľa ľudí. V tomto článku odpoviem na otázku, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti. Uvediem vzorce na takýto výpočet a niekoľko príkladov, aby bolo jasnejšie, ako sa to robí.

Čo je pravdepodobnosť

Začnime tým, že pravdepodobnosť, že dôjde k tej či onej udalosti, je istá miera dôvery v prípadný výskyt nejakého výsledku. Pre tento výpočet bol vyvinutý vzorec celkovej pravdepodobnosti, ktorý vám umožňuje určiť, či udalosť, ktorá vás zaujíma, nastane alebo nie, prostredníctvom takzvaných podmienených pravdepodobností. Tento vzorec vyzerá takto: P = n/m, písmená sa môžu meniť, ale to neovplyvňuje samotnú podstatu.

Príklady pravdepodobnosti

Pomocou jednoduchého príkladu analyzujme tento vzorec a aplikujme ho. Povedzme, že máte určitú udalosť (P), nech je to hod kockou, teda rovnostranná kocka. A musíme vypočítať, aká je pravdepodobnosť získania 2 bodov. Aby ste to dosiahli, potrebujete počet kladných udalostí (n), v našom prípade - stratu 2 bodov za celkový počet udalostí (m). K hodu 2 bodmi môže dôjsť iba v jednom prípade, ak sú na kocke 2 body, keďže inak bude súčet väčší, z toho vyplýva, že n = 1. Ďalej spočítame počet hodov ľubovoľných iných čísel na kocke. kocky, na 1 kocku - to sú 1, 2, 3, 4, 5 a 6, preto existuje 6 priaznivých prípadov, teda m = 6. Teraz pomocou vzorca urobíme jednoduchý výpočet P = 1/ 6 a zistíme, že hod 2 bodmi na kocke je 1/6, čiže pravdepodobnosť udalosti je veľmi nízka.

Pozrime sa tiež na príklad s použitím farebných guličiek, ktoré sú v krabici: 50 bielych, 40 čiernych a 30 zelených. Musíte určiť, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej gule. A tak, keďže existuje 30 loptičiek tejto farby, to znamená, že môže byť iba 30 pozitívnych udalostí (n = 30), počet všetkých udalostí je 120, m = 120 (na základe celkového počtu všetkých loptičiek), pomocou vzorca vypočítame, že pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej gule sa bude rovnať P = 30/120 = 0,25, teda 25 % zo 100. Rovnakým spôsobom môžete vypočítať pravdepodobnosť vytiahnutia gule iná farba (čierna to bude 33 %, biela 42 %).

Dôležité poznámky!
1. Ak sa namiesto vzorcov zobrazuje gobbledygook, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátoru, kde nájdete najužitočnejšie zdroje pre

Čo je pravdepodobnosť?

Keď som sa prvýkrát stretol s týmto pojmom, nerozumel by som, čo to je. Preto sa pokúsim jasne vysvetliť.

Pravdepodobnosť je šanca, že sa stane udalosť, ktorú chceme.

Napríklad ste sa rozhodli ísť do domu priateľa, pamätáte si vchod a dokonca aj poschodie, na ktorom žije. Ale zabudol som číslo a polohu bytu. A teraz stojíte na schodisku a pred vami sú dvere na výber.

Aká je šanca (pravdepodobnosť), že ak zazvoníte na prvý zvonček, odpovie za vás váš priateľ? Sú tam len byty a kamarát býva len za jedným z nich. S rovnakou šancou si môžeme vybrať akékoľvek dvere.

Ale aká je táto šanca?

Dvere, tie správne dvere. Pravdepodobnosť uhádnutia zvonením na prvý zvonček: . To znamená, že jeden z troch prípadov uhádnete presne.

Chceme vedieť, keď sme už raz zavolali, ako často uhádneme dvere? Pozrime sa na všetky možnosti:

1. Volal si 1 dvere
2. Volal si 2 dvere
3. Volal si 3 dvere

Teraz sa pozrime na všetky možnosti, kde by mohol byť priateľ:

A. vzadu 1 dvere
b. vzadu 2 dvere
V. vzadu 3 dvere

Porovnajme všetky možnosti vo forme tabuľky. Značka začiarknutia označuje možnosti, keď sa vaša voľba zhoduje s umiestnením priateľa, krížik - ak sa nezhoduje.

Ako všetko vidíte Možno možnosti polohu vášho priateľa a váš výber, na ktoré dvere zazvoniť.

A priaznivé výsledky všetkých . To znamená, že raz uhádnete tak, že raz zazvoníte pri dverách, t.j. .

Toto je pravdepodobnosť - pomer priaznivého výsledku (keď sa vaša voľba zhoduje s umiestnením vášho priateľa) k počtu možných udalostí.

Definícia je vzorec. Pravdepodobnosť sa zvyčajne označuje p, takže:

Písať takýto vzorec nie je veľmi vhodné, preto budeme brať za - počet priaznivých výsledkov a za - celkový počet výsledkov.

Pravdepodobnosť je možné zapísať ako percento, aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť výsledný výsledok:

Slovo „výsledky“ vás pravdepodobne zaujalo. Pretože matematici volajú rôzne akcie(u nás je takou akciou zvonček) experimenty, potom sa výsledok takýchto experimentov zvyčajne nazýva výsledok.

No, existujú priaznivé a nepriaznivé výsledky.

Vráťme sa k nášmu príkladu. Povedzme, že sme zazvonili na jedny dvere, no otvorili sa nám cudzinec. Nehádali sme správne. Aká je pravdepodobnosť, že ak zazvoníme na jedny zo zostávajúcich dverí, otvorí nám ich priateľ?

Ak si to myslel, tak toto je omyl. Poďme na to.

Ostali nám dvoje dvere. Takže máme možné kroky:

1) Zavolajte 1 dvere
2) Zavolajte 2 dvere

Priateľ napriek tomu všetkému určite stojí za jedným z nich (napokon nebol za tým, ktorého sme volali):

a) Priateľ pre 1 dvere
b) Priateľ pre 2 dvere

Znovu nakreslíme tabuľku:

Ako vidíte, existujú iba možnosti, z ktorých sú priaznivé. To znamená, že pravdepodobnosť je rovnaká.

Prečo nie?

Situácia, ktorú sme zvážili, je príklad závislých udalostí. Prvou udalosťou je prvý zvonček, druhou udalosťou je druhý zvonček.

A nazývajú sa závislými, pretože ovplyvňujú nasledujúce akcie. Ak by totiž po prvom zazvonení na zvonček odpovedal kamarát, aká by bola pravdepodobnosť, že je za jedným z ostatných dvoch? Správny, .

Ale ak existujú závislé udalosti, potom musia byť tiež nezávislý? Presne tak, stávajú sa.

Učebnicovým príkladom je hod mincou.

1. Hoď si raz mincou. Aká je pravdepodobnosť, že dostaneme napríklad hlavy? Je to tak – pretože možnosti sú všetky (buď hlavy, alebo chvosty, pravdepodobnosť dopadnutia mince na jej hranu zanedbávajme), ale nám to len vyhovuje.
2. Ale prišlo to na hlavu. Dobre, hodíme to znova. Aká je pravdepodobnosť, že dostane hlavu teraz? Nič sa nezmenilo, všetko je po starom. Koľko možností? Dva. S koľkými sme spokojní? Jeden.

A nech to príde na hlavu aspoň tisíckrát za sebou. Pravdepodobnosť získania hláv naraz bude rovnaká. Vždy existujú možnosti, a to priaznivé.

Je ľahké rozlíšiť závislé udalosti od nezávislých:

1. Ak sa experiment uskutoční raz (raz hodia mincou, raz zazvonia na zvonček atď.), udalosti sú vždy nezávislé.
2. Ak sa experiment vykonáva viackrát (raz sa hodí minca, niekoľkokrát zazvoní zvonček), prvá udalosť je vždy nezávislá. A potom, ak sa zmení počet priaznivých alebo počet všetkých výsledkov, potom sú udalosti závislé, a ak nie, sú nezávislé.

Poďme si trochu precvičiť určovanie pravdepodobnosti.

Príklad 1

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy dvakrát za sebou?

Riešenie:

Zvážme všetko možné možnosti:

1. Orol-orol
2. Hlavy-chvosty
3. Chvosty-Hlavy
4. Chvosty-chvosty

Ako vidíte, existujú iba možnosti. Z týchto sme len spokojní. Teda pravdepodobnosť:

Ak podmienka požaduje jednoducho nájsť pravdepodobnosť, odpoveď by mala byť uvedená vo formulári desiatkový. Ak by bolo určené, že odpoveď by mala byť uvedená v percentách, potom by sme vynásobili.

odpoveď:

Príklad 2

V bonboniére sú všetky čokolády zabalené v rovnakom obale. Avšak zo sladkostí - s orechmi, s koňakom, s višňami, s karamelom a s nugátom.

Aká je pravdepodobnosť, že si vezmete jeden cukrík a dostanete cukrík s orieškami? Uveďte svoju odpoveď v percentách.

Riešenie:

Koľko je možných výsledkov? .

To znamená, že ak si vezmete jeden cukrík, bude to jeden z tých, ktoré sú k dispozícii v krabici.

Koľko priaznivých výsledkov?

Pretože krabička obsahuje samé čokoládky s orieškami.

odpoveď:

Príklad 3

V krabici s balónikmi. z ktorých sú biele a čierne.

1. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?
2. Do krabice sme pridali viac čiernych guličiek. Aká je teraz pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?

Riešenie:

a) V krabici sú iba loptičky. Z nich sú biele.

Pravdepodobnosť je:

b) Teraz je v krabici viac loptičiek. A rovnako veľa bielych zostalo - .

odpoveď:

Celková pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí sa rovná ().

Povedzme, že v krabici sú červené a zelené gule. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule? Zelená guľa? Červená alebo zelená guľa?

Pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule

Zelená guľa:

Červená alebo zelená guľa:

Ako vidíte, súčet všetkých možných udalostí sa rovná (). Pochopenie tohto bodu vám pomôže vyriešiť mnohé problémy.

Príklad 4.

V krabičke sú fixky: zelená, červená, modrá, žltá, čierna.

Aká je pravdepodobnosť, že nakreslíte NIE červenú značku?

Riešenie:

Spočítajme číslo priaznivé výsledky.

NIE červená značka, to znamená zelená, modrá, žltá alebo čierna.

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, sa rovná mínus pravdepodobnosti, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Už viete, čo sú nezávislé udalosti.

Čo ak potrebujete nájsť pravdepodobnosť, že sa vyskytnú dve (alebo viaceré) nezávislé udalosti za sebou?

Povedzme, že chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ak si raz hodíme mincou, uvidíme hlavy dvakrát?

Už sme zvážili - .

Čo ak si raz hodíme mincou? Aká je pravdepodobnosť, že uvidíte orla dvakrát za sebou?

Celkom možné možnosti:

1. Orol-orol-orol
2. Hlavy-hlavy-chvosty
3. Hlavy-chvosty-hlavy
4. Hlavy-chvosty-chvosty
5. Chvosty-hlavy-hlavy
6. Chvosty-hlavy-chvosty
7. Chvosty-chvosty-hlavy
8. Chvosty-chvosty-chvosty

Neviem ako vy, ale ja som sa pri zostavovaní tohto zoznamu niekoľkokrát pomýlil. Wow! A jediná možnosť (prvá) nám vyhovuje.

Za 5 hodov si môžete sami vytvoriť zoznam možných výsledkov. Ale matematici nie sú takí pracovití ako ty.

Preto si najprv všimli a potom dokázali, že pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí zakaždým klesá o pravdepodobnosť jednej udalosti.

Inými slovami,

Pozrime sa na príklad tej istej nešťastnej mince.

Pravdepodobnosť, že dostanete hlavu vo výzve? . Teraz si raz hodíme mincou.

Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy v rade?

Toto pravidlo nefunguje iba vtedy, ak sme požiadaní, aby sme zistili pravdepodobnosť, že sa rovnaká udalosť stane niekoľkokrát za sebou.

Ak by sme chceli nájsť sekvenciu TAILS-HEADS-TAILS pre po sebe idúce hody, urobili by sme to isté.

Pravdepodobnosť získania chvostov je , hlavy - .

Pravdepodobnosť získania sekvencie TAILS-HEADS-HEADS-TAILS-TAILS:

Môžete to skontrolovať sami vytvorením tabuľky.

Pravidlo pre sčítanie pravdepodobností nezlučiteľných udalostí.

Tak prestaň! Nová definícia.

Poďme na to. Vezmime našu opotrebovanú mincu a hodme si ju raz.
Možné možnosti:

1. Orol-orol-orol
2. Hlavy-hlavy-chvosty
3. Hlavy-chvosty-hlavy
4. Hlavy-chvosty-chvosty
5. Chvosty-hlavy-hlavy
6. Chvosty-hlavy-chvosty
7. Chvosty-chvosty-hlavy
8. Chvosty-chvosty-chvosty

Nekompatibilné udalosti sú teda určitým, daným sledom udalostí. - sú to nezlučiteľné udalosti.

Ak chceme určiť, aká je pravdepodobnosť dvoch (alebo viacerých) nezlučiteľných udalostí, tak sčítame pravdepodobnosti týchto udalostí.

Musíte pochopiť, že hlavy alebo chvosty sú dve nezávislé udalosti.

Ak chceme určiť pravdepodobnosť výskytu postupnosti (alebo akejkoľvek inej), potom použijeme pravidlo násobenia pravdepodobností.
Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri prvom hode a chvosty pri druhom a treťom hode?

Ale ak chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť získania jednej z viacerých sekvencií, napríklad keď hlavy prídu presne raz, t.j. možnosti a potom musíme sčítať pravdepodobnosti týchto postupností.

Celkové možnosti nám vyhovujú.

To isté môžeme získať sčítaním pravdepodobnosti výskytu každej postupnosti:

Pravdepodobnosti teda pridávame, keď chceme určiť pravdepodobnosť určitých, nekonzistentných, sledov udalostí.

Existuje skvelé pravidlo, ktoré vám pomôže vyhnúť sa zmätku, kedy násobiť a kedy sčítať:

Vráťme sa k príkladu, keď sme si raz hodili mincou a chceli sme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že raz uvidíme hlavy.
Čo sa stane?

Malo by vypadnúť:
(hlavy A chvosty A chvosty) ALEBO (chvosty A hlavy A chvosty) ALEBO (chvosty A chvosty A hlavy).
Takto to dopadá:

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 5.

V krabičke sú ceruzky. červená, zelená, oranžová a žltá a čierna. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej alebo zelenej ceruzky?

Riešenie:

Príklad 6.

Ak je kocka hodená dvakrát, aká je pravdepodobnosť, že získate celkovo 8?

Riešenie.

Ako môžeme získať body?

(a) alebo (a) alebo (a) alebo (a) alebo (a).

Pravdepodobnosť získania jednej (akejkoľvek) tváre je .

Vypočítame pravdepodobnosť:

Školenie.

Myslím, že teraz chápete, kedy potrebujete vypočítať pravdepodobnosti, kedy ich pridať a kedy vynásobiť. Nieje to? Poďme si trochu zacvičiť.

Úlohy:

Zoberme si balíček kariet obsahujúci karty vrátane pikov, sŕdc, 13 palíc a 13 diamantov. Od po Eso každej farby.

1. Aká je pravdepodobnosť ťahania palíc za sebou (prvú vytiahnutú kartu vložíme späť do balíčka a zamiešame)?
2. Aká je pravdepodobnosť ťahania čiernej karty (piky alebo palice)?
3. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia obrázka (jack, dáma, kráľ alebo eso)?
4. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia dvoch obrázkov za sebou (odstránime prvú vytiahnutú kartu z balíčka)?
5. Aká je pravdepodobnosť, že ak vezmete dve karty, nazbierate kombináciu - (jack, dáma alebo kráľ) a eso Na poradí, v akom sú karty ťahané, nezáleží?

Odpovede:

Ak ste všetky problémy dokázali vyriešiť sami, potom ste skvelí! Teraz rozlúsknete problémy teórie pravdepodobnosti v jednotnej štátnej skúške ako orechy!

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Pozrime sa na príklad. Povedzme, že hodíme kockou. Čo je to za kosť, vieš? Toto je to, čo nazývajú kocka s číslami na jej stranách. Koľko tvárí, toľko čísel: od do koľko? Predtým.

Hodíme teda kockou a chceme, aby vyšla resp. A chápeme to.

V teórii pravdepodobnosti hovoria, čo sa stalo priaznivá udalosť(nezamieňať s prosperujúcim).

Ak by sa to stalo, udalosť by bola tiež priaznivá. Celkovo sa môžu stať iba dve priaznivé udalosti.

Koľko je nevýhodných? Keďže existujú celkom možné udalosti, znamená to, že nepriaznivé sú udalosti (to znamená, ak vypadne alebo vypadne).

Definícia:

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí. To znamená, že pravdepodobnosť ukazuje, aký podiel všetkých možných udalostí je priaznivý.

Pravdepodobnosť je označená latinským písmenom (zrejme z anglické slovo pravdepodobnosť – pravdepodobnosť).

Je zvykom merať pravdepodobnosť v percentách (pozri tému,). Na to je potrebné vynásobiť hodnotu pravdepodobnosti. V príklade s kocky pravdepodobnosť.

A v percentách: .

Príklady (rozhodnite sa sami):

1. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri hode mincou? Aká je pravdepodobnosť pristátia hláv?
2. Aká je pravdepodobnosť dosiahnutia párneho čísla pri hode kockou? Ktorý je zvláštny?
3. V krabičke jednoduchých, modrých a červených ceruziek. Náhodne nakreslíme jednu ceruzku. Aká je pravdepodobnosť získania jednoduchého?

Riešenia:

1. Koľko možností je? Hlavy a chvosty - len dve. Koľko z nich je priaznivých? Len jeden je orol. Takže pravdepodobnosť

   Rovnako je to aj s chvostíkmi: .

2. Celkový počet možností: (koľko strán má kocka, toľko rôzne možnosti). Priaznivé: (všetky sú to párne čísla:).
   Pravdepodobnosť. Samozrejme, rovnaké je to aj s nepárnymi číslami.
3. Celkom: . Priaznivý: . Pravdepodobnosť: .

Celková pravdepodobnosť

Všetky ceruzky v krabičke sú zelené. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej ceruzky? Neexistujú žiadne šance: pravdepodobnosť (napokon, priaznivé udalosti -).

Takáto udalosť sa nazýva nemožná.

Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky? Existuje presne rovnaký počet priaznivých udalostí ako celkový počet udalostí (všetky udalosti sú priaznivé). Pravdepodobnosť sa teda rovná alebo.

Takáto udalosť sa nazýva spoľahlivá.

Ak škatuľka obsahuje zelené a červené ceruzky, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej? Ešte raz. Všimnime si toto: pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej je rovnaká a červená je rovnaká.

Celkovo sú tieto pravdepodobnosti úplne rovnaké. teda súčet pravdepodobností všetkých možných udalostí sa rovná alebo.

Príklad:

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, hladké, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť, že nenakreslíte zelenú?

Riešenie:

Pamätáme si, že všetky pravdepodobnosti sa sčítavajú. A pravdepodobnosť získania zelenej je rovnaká. To znamená, že pravdepodobnosť nevykreslenia zelenej je rovnaká.

Zapamätajte si tento trik: pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, sa rovná mínus pravdepodobnosti, že udalosť nastane.

Nezávislé udalosti a pravidlo násobenia

Raz si hodíte mincou a chcete, aby padla v oboch prípadoch. Aká je pravdepodobnosť tohto?

Poďme prejsť všetkými možnými možnosťami a určiť, koľko ich je:

Hlavy-Hlavy, Chvosty-Hlavy, Hlavy-Chvosty, Chvosty-Chvosty. Čo ešte?

Celkové možnosti. Z nich nám vyhovuje len jeden: Eagle-Eagle. Celkovo je pravdepodobnosť rovnaká.

Dobre. Teraz si raz hodíme mincou. Spočítajte si to sami. Stalo? (odpoveď).

Možno ste si všimli, že s pridaním každého ďalšieho hodu sa pravdepodobnosť znižuje o polovicu. Všeobecné pravidlo volal pravidlo násobenia:

Pravdepodobnosť nezávislých udalostí sa mení.

Čo sú nezávislé udalosti? Všetko je logické: toto sú tie, ktoré na sebe nezávisia. Napríklad, keď hodíme mincou niekoľkokrát, zakaždým sa uskutoční nový hod, ktorého výsledok nezávisí od všetkých predchádzajúcich hodov. Rovnako ľahko môžeme hodiť dve rôzne mince súčasne.

Ďalšie príklady:

1. Kocky sa hádžu dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že ju dostanete v oboch prípadoch?
2. Minca sa hodí raz. Aká je pravdepodobnosť, že sa to prvýkrát objaví v hlavách a potom dvakrát?
3. Hráč hodí dvoma kockami. Aká je pravdepodobnosť, že súčet čísel na nich bude rovnaký?

Odpovede:

1. Udalosti sú nezávislé, čo znamená, že pravidlo násobenia funguje: .
2. Pravdepodobnosť hláv je rovnaká. Pravdepodobnosť chvostov je rovnaká. Násobiť:
3. 12 možno získať len vtedy, ak sa hodia dve -ki: .

Nekompatibilné udalosti a pravidlo sčítania

Udalosti, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do plnej pravdepodobnosti, sa nazývajú nekompatibilné. Ako už názov napovedá, nemôžu nastať súčasne. Napríklad, ak hodíme mincou, môže prísť buď hlavou, alebo chvostom.

Príklad.

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, hladké, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej?

Riešenie .

Pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky je rovnaká. Červená - .

Priaznivé udalosti vo všetkých: zelená + červená. To znamená, že pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej je rovnaká.

Rovnaká pravdepodobnosť môže byť vyjadrená v tomto tvare: .

Toto je pravidlo pridávania: pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí sa sčítavajú.

Problémy zmiešaného typu

Príklad.

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že výsledky hodov budú iné?

Riešenie .

To znamená, že ak sú prvým výsledkom hlavy, druhým musia byť chvosty a naopak. Ukazuje sa, že existujú dva páry nezávislých udalostí a tieto páry sú navzájom nekompatibilné. Ako sa nenechať zmiasť, kde množiť a kde pridávať.

Pre takéto situácie platí jednoduché pravidlo. Pokúste sa opísať, čo sa stane, pomocou spojok „A“ alebo „ALEBO“. Napríklad v tomto prípade:

Mali by prísť (hlavy a chvosty) alebo (chvosty a hlavy).

Tam, kde je spojka „a“, dôjde k násobeniu a tam, kde je „alebo“, dôjde k sčítaniu:

Vyskúšajte sami:

1. Aká je pravdepodobnosť, že ak sa minca hodí dvakrát, padne v oboch prípadoch na rovnakú stranu?
2. Kocky sa hádžu dvakrát. Aká je pravdepodobnosť získania celkového počtu bodov?

Riešenia:

Ďalší príklad:

Hoď si raz mincou. Aká je pravdepodobnosť, že sa aspoň raz objavia hlavy?

Riešenie:

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí.

Nezávislé udalosti

Dve udalosti sú nezávislé, ak výskyt jednej nemení pravdepodobnosť výskytu druhej.

Celková pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí sa rovná ().

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, sa rovná mínus pravdepodobnosti, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností každej udalosti

Nekompatibilné udalosti

Nekompatibilné udalosti sú tie, ktoré sa v dôsledku experimentu nemôžu vyskytnúť súčasne. Množstvo nekompatibilných udalostí tvorí ucelenú skupinu udalostí.

Pravdepodobnosť nekompatibilných udalostí sa sčítava.

Po opísaní toho, čo by sa malo stať, pomocou spojok „AND“ alebo „ALEBO“ namiesto „AND“ vložíme znak násobenia a namiesto „ALEBO“ vložíme znak sčítania.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Pre úspešné zloženie jednotnej štátnej skúšky, na prijatie na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí dostali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 499 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Časť 1. Náhodné udalosti (50 hodín)

Tematický plán odboru pre študentov externého a externého štúdia

Tematický plán disciplíny pre študentov diaľkového štúdia

2.3. Štrukturálny a logický diagram disciplíny

Matematika časť 2. Teória pravdepodobnosti a prvky matematickej štatistiky Teória

Časť 1 Náhodné udalosti

Oddiel 3 Prvky matematickej štatistiky

Časť 2 Náhodné premenné

2.5. Praktický blok

2.6. Systém bodového hodnotenia

Informačné zdroje disciplíny

Hlavná bibliografia:

3.2. Základné poznámky pre kurz „Matematika časť 2. Úvod do teórie pravdepodobnosti a prvkov matematickej štatistiky

Časť 1. Náhodné udalosti

1.1. Koncept náhodnej udalosti

1.1.1. Informácie z teórie množín

1.1.2. Priestor elementárnych udalostí

1.1.3. Klasifikácia udalostí

1.1.4. Súčet a súčin udalostí

1.2. Pravdepodobnosť náhodných udalostí.

1.2.1. Relatívna frekvencia udalosti, axiómy teórie pravdepodobnosti. Klasická definícia pravdepodobnosti

1.2.2. Geometrická definícia pravdepodobnosti

Výpočet pravdepodobnosti udalosti pomocou prvkov kombinatorickej analýzy

1.2.4. Vlastnosti pravdepodobnosti udalostí

1.2.5. Nezávislé udalosti

1.2.6. Výpočet pravdepodobnosti bezporuchovej prevádzky zariadenia

Vzorce na výpočet pravdepodobnosti udalostí

1.3.1. Postupnosť nezávislých testov (Bernoulliho obvod)

1.3.2. Podmienená pravdepodobnosť udalosti

1.3.4. Vzorec celkovej pravdepodobnosti a Bayesov vzorec

Časť 2. Náhodné premenné

2.1. Popis náhodných premenných

2.1.1. Definícia a metódy špecifikácie náhodnej premennej Jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti je pojem náhodná premenná. Pozrime sa na niekoľko príkladov náhodných premenných:

Ak chcete zadať náhodnú premennú, musíte určiť jej distribučný zákon. Náhodné premenné sa zvyčajne označujú gréckymi písmenami ,, a ich možné hodnoty – latinskými písmenami s indexmi xi, yi, zi.

2.1.2. Diskrétne náhodné premenné

Uvažujme udalosti Ai obsahujúce všetky elementárne udalosti  vedúce k hodnote XI:

Nech pi označuje pravdepodobnosť udalosti Ai:

2.1.3. Spojité náhodné premenné

2.1.4. Distribučná funkcia a jej vlastnosti

2.1.5. Hustota rozdelenia pravdepodobnosti a jej vlastnosti

2.2. Numerické charakteristiky náhodných premenných

2.2.1. Matematické očakávanie náhodnej premennej

2.2.2. Rozptyl náhodnej premennej

2.2.3. Normálne rozdelenie náhodnej premennej

2.2.4. Binomické rozdelenie

2.2.5. Poissonovo rozdelenie

Časť 3. Prvky matematickej štatistiky

3.1. Základné definície

stĺpcový graf

3.3. Bodové odhady distribučných parametrov

Základné pojmy

Bodové odhady očakávaní a rozptylu

3.4. Intervalové odhady

Pojem intervalového odhadu

Konštrukcia intervalových odhadov

Základné štatistické rozdelenia

Intervalové odhady matematického očakávania normálneho rozdelenia

Intervalový odhad rozptylu normálneho rozdelenia

Záver

Slovník pojmov

4. Pokyny na vykonávanie laboratórnych prác

Bibliografia

Laboratórna práca 1 popis náhodných veličín. Číselné charakteristiky

Postup pri vykonávaní laboratórnych prác

Laboratórne práce 2 Základné definície. Systematizácia vzorky. Bodové odhady distribučných parametrov. Intervalové odhady.

Koncept štatistickej hypotézy o type distribúcie

Postup pri vykonávaní laboratórnych prác

Hodnota bunky Hodnota bunky

5. Pokyny na vyplnenie testu Zadanie na test

Pokyny na vyplnenie testu: Udalosti a ich pravdepodobnosti

Náhodné premenné

Smerodajná odchýlka

Prvky matematickej štatistiky

6. Riadiaca jednotka na zvládnutie disciplíny

Otázky na skúšku z kurzu „Matematika 2. časť. Teória pravdepodobnosti a prvky matematickej štatistiky"

Tabuľka pokračovala v

Koniec stola o

Rovnomerne rozdelené náhodné čísla

Obsah

Časť 1. Náhodné udalosti………………………………………. 18

Sekcia 2. Náhodné premenné………………………… ….. 41

Sekcia 3. Prvky matematickej štatistiky...................... 64

4. Pokyny na vykonávanie laboratórnych testov

5. Pokyny na vyplnenie testu

1. Vzorce na výpočet pravdepodobnosti udalostí

1.3.1. Postupnosť nezávislých testov (Bernoulliho obvod)

Predpokladajme, že nejaký experiment možno vykonať opakovane za rovnakých podmienok. Nechajte túto skúsenosť urobiť nčasy, t.j n testy.

Definícia. Následná sekvencia n testy sa nazývajú vzájomne nezávislé , ak je akákoľvek udalosť súvisiaca s daným testom nezávislá od akýchkoľvek udalostí súvisiacich s inými testami.

Predpokladajme, že nejaká udalosť A sa pravdepodobne stane p ako výsledok jedného testu alebo sa to pravdepodobne nestane q= 1- p.

Definícia . Postupnosť n testy tvoria Bernoulliho schému, ak sú splnené tieto podmienky:

podsekvencia n testy sú vzájomne nezávislé,

2) pravdepodobnosť udalosti A sa nemení od pokusu k pokusu a nezávisí od výsledku v iných skúškach.

Udalosť A sa nazýva „úspech“ testu a opačná udalosť sa nazýva „neúspech“. Zvážte udalosť

=(in n testy prebehli presne m"úspech").

Na výpočet pravdepodobnosti tejto udalosti je platný Bernoulliho vzorec

p() =
, m = 1, 2, …, n , (1.6)

Kde - počet kombinácií n prvky podľa m :

=
=
.

Príklad 1.16. Kocka sa hodí trikrát. Nájsť:

a) pravdepodobnosť, že sa 6 bodov objaví dvakrát;

b) pravdepodobnosť, že počet šestiek sa neobjaví viac ako dvakrát.

Riešenie . Za „úspech“ testu budeme považovať, keď sa na kocke objaví strana s obrázkom 6 bodov.

a) Celkový počet testov – n=3, počet „úspechov“ – m = 2. Pravdepodobnosť „úspechu“ - p=, a pravdepodobnosť „zlyhania“ je q= 1 - =. Potom, podľa Bernoulliho vzorca, pravdepodobnosť, že v dôsledku trojnásobného hodu kockou sa strana so šiestimi bodmi objaví dvakrát, bude rovná

.

b) Označme podľa A udalosť, ktorá znamená, že strana so skóre 6 sa objaví maximálne dvakrát. Potom môže byť udalosť reprezentovaná vo forme súčet troch nezlučiteľných diania A=
,

Kde IN 3 0 – udalosť, kedy sa okraj záujmu nikdy neobjaví,

IN 3 1 - udalosť, keď sa okraj záujmu objaví raz,

IN 3 2 - udalosť, keď sa okraj záujmu objaví dvakrát.

Pomocou Bernoulliho vzorca (1.6) nájdeme

p(A) = p (
) = p(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Podmienená pravdepodobnosť udalosti

Podmienená pravdepodobnosť odráža vplyv jednej udalosti na pravdepodobnosť inej. Ovplyvňuje to aj zmena podmienok, za ktorých sa experiment vykonáva

o pravdepodobnosti výskytu zaujímavej udalosti.

Definícia. Nechaj A A B– niektoré udalosti a pravdepodobnosť p(B)> 0.

Podmienená pravdepodobnosť diania A za predpokladu, že „udalosť Buž stalo“ je pomer pravdepodobnosti výskytu týchto udalostí k pravdepodobnosti udalosti, ktorá nastala skôr ako udalosť, ktorej pravdepodobnosť je potrebné nájsť. Podmienená pravdepodobnosť sa označuje ako p(A B). Potom podľa definície

p (A  B) =
. (1.7)

Príklad 1.17. Hodia sa dve kocky. Priestor elementárnych udalostí pozostáva z usporiadaných dvojíc čísel

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

V príklade 1.16 sa určilo, že udalosť A=(počet bodov na prvej kocke > 4) a event C=(súčet bodov je 8) závislý. Urobme vzťah

.

Tento vzťah možno interpretovať nasledovne. Predpokladajme, že výsledok prvého hodu je známy tak, že počet bodov na prvej kocke je > 4. Z toho vyplýva, že hod druhou kockou môže viesť k jednému z 12 výsledkov, ktoré tvoria udalosť A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Na tomto podujatí C iba dvaja z nich sa môžu zhodovať (5,3) (6,2). V tomto prípade pravdepodobnosť udalosti C budú rovné
. Teda informácie o výskyte udalosti A ovplyvnila pravdepodobnosť udalosti C.

Pravdepodobnosť udalostí

Veta o násobení

Pravdepodobnosť udalostíA 1 A 2  A n sa určuje podľa vzorca

p(A 1 A 2  A n)= p(A 1)p(A 2  A 1)) p(A n  A 1 A 2  A n- 1). (1.8)

Pre súčin dvoch udalostí z toho vyplýva, že

p(AB)= p(A B)p{B)= p(B A)p{A). (1.9)

Príklad 1.18. V dávke 25 produktov je 5 produktov chybných. 3 položky sú vybrané náhodne za sebou. Určte pravdepodobnosť, že všetky vybrané produkty sú chybné.

Riešenie. Označme udalosti:

A 1 = (prvý výrobok je chybný),

A 2 = (druhý výrobok je chybný),

A 3 = (tretí výrobok je chybný),

A = (všetky produkty sú chybné).

Udalosť A je výsledkom troch udalostí A = A 1 A 2 A 3 .

Z vety o násobení (1.6) dostaneme

p(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = p(A 1) p(A 2  A 1))p(A 3  A 1 A 2).

Klasická definícia pravdepodobnosti nám umožňuje nájsť p(A 1) je pomer počtu chybných výrobkov k celkovému počtu výrobkov:

p(A 1)= ;

p(A 2) – Toto pomer počtu chybných výrobkov zostávajúcich po odstránení jedného k celkovému počtu zostávajúcich výrobkov:

p(A 2  A 1))= ;

p(A 3) – toto je pomer počtu chybných výrobkov, ktoré zostali po odstránení dvoch chybných výrobkov, k celkovému počtu zostávajúcich výrobkov:

p(A 3  A 1 A 2)=.

Potom pravdepodobnosť udalosti A budú rovné

p(A) ==
.

„Nehody nie sú náhodné“... Znie to ako niečo, čo povedal filozof, ale v skutočnosti je študovať nehody osudom veľká veda matematiky. V matematike sa náhodou zaoberá teória pravdepodobnosti. V článku budú uvedené vzorce a príklady úloh, ako aj základné definície tejto vedy.

Čo je teória pravdepodobnosti?

Teória pravdepodobnosti je jednou z matematických disciplín, ktorá študuje náhodné udalosti.

Aby to bolo trochu jasnejšie, uveďme malý príklad: ak hodíte mincu, môže pristáť na hlavách alebo chvostoch. Kým je minca vo vzduchu, obe tieto pravdepodobnosti sú možné. Teda pravdepodobnosť možné následky pomer je 1:1. Ak je jedna vytiahnutá z balíčka 36 kariet, pravdepodobnosť bude označená ako 1:36. Zdalo by sa, že tu nie je čo skúmať a predpovedať, najmä pomocou matematických vzorcov. Ak však určitú akciu zopakujete mnohokrát, môžete identifikovať určitý vzorec a na základe neho predpovedať výsledok udalostí v iných podmienkach.

Aby sme zhrnuli všetky vyššie uvedené skutočnosti, teória pravdepodobnosti v klasickom zmysle študuje možnosť výskytu jednej z možných udalostí v číselnej hodnote.

Zo stránok histórie

Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady prvých úloh sa objavili v ďalekom stredoveku, keď sa prvýkrát objavili pokusy predpovedať výsledok kartových hier.

Spočiatku teória pravdepodobnosti nemala nič spoločné s matematikou. Bolo to odôvodnené empirickými faktami alebo vlastnosťami udalosti, ktoré bolo možné reprodukovať v praxi. Prvé práce v tejto oblasti ako matematickej disciplíne sa objavili v 17. storočí. Zakladateľmi boli Blaise Pascal a Pierre Fermat. Dlhoštudovali hazardné hry a videli určité vzorce, o ktorých sa rozhodli spoločnosti povedať.

Rovnakú techniku ​​vynašiel Christiaan Huygens, aj keď nepoznal výsledky výskumu Pascala a Fermata. Zaviedol pojem „teória pravdepodobnosti“, vzorce a príklady, ktoré sa považujú za prvé v histórii disciplíny.

Nemalý význam majú aj diela Jacoba Bernoulliho, Laplaceove a Poissonove vety. Z teórie pravdepodobnosti urobili skôr matematickú disciplínu. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady základných úloh dostali súčasnú podobu vďaka Kolmogorovovým axiómam. V dôsledku všetkých zmien sa teória pravdepodobnosti stala jedným z matematických odvetví.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Diania

Hlavným konceptom tejto disciplíny je „udalosť“. Existujú tri typy udalostí:

• Spoľahlivý. Tie, ktoré sa aj tak stanú (minca padne).
• nemožné. Udalosti, ktoré sa za žiadnych okolností nestanú (minca zostane visieť vo vzduchu).
• Náhodný. Tie, ktoré sa stanú alebo nestanú. Môžu byť ovplyvnené rôznymi faktormi, ktoré je veľmi ťažké predvídať. Ak hovoríme o minci, potom existujú náhodné faktory, ktoré môžu ovplyvniť výsledok: fyzikálne vlastnosti mince, jej tvar, pôvodná poloha, sila hodu atď.

Všetky udalosti v príkladoch sú označené veľkými písmenami s latinskými písmenami, s výnimkou P, ktorý má inú úlohu. Napríklad:

• A = „študenti prišli prednášať“.
• Ā = „študenti neprišli na prednášku“.

V praktických úlohách sa udalosti zvyčajne zapisujú slovami.

Jednou z najdôležitejších charakteristík udalostí je ich rovnaká možnosť. To znamená, že ak si hodíte mincou, všetky možnosti počiatočného pádu sú možné, kým nepadne. Ale udalosti tiež nie sú rovnako možné. Stáva sa to vtedy, keď niekto úmyselne ovplyvňuje výsledok. Napríklad „označené“ hracie karty alebo kocky, v ktorých je posunuté ťažisko.

Udalosti môžu byť tiež kompatibilné a nekompatibilné. Kompatibilné udalosti nevylučujú vzájomný výskyt. Napríklad:

• A = „študent prišiel na prednášku“.
• B = „študent prišiel na prednášku“.

Tieto udalosti sú na sebe nezávislé a výskyt jednej z nich neovplyvňuje výskyt druhej. Nezlučiteľné udalosti sú definované skutočnosťou, že výskyt jedného vylučuje výskyt iného. Ak hovoríme o tej istej minci, potom strata „chvostov“ znemožňuje objavenie sa „hláv“ v tom istom experimente.

Akcie na udalostiach

Udalosti je možné podľa toho násobiť a pridávať, v disciplíne sú zavedené logické spojky „AND“ a „ALEBO“.

Množstvo je určené skutočnosťou, že buď udalosť A alebo B, alebo dve, môžu nastať súčasne. Ak sú nekompatibilné, posledná možnosť nie je možná.

Násobenie udalostí spočíva v objavení sa A a B súčasne.

Teraz môžeme uviesť niekoľko príkladov, aby sme si lepšie zapamätali základy, teóriu pravdepodobnosti a vzorce. Príklady riešenia problémov nižšie.

Cvičenie 1: Spoločnosť sa zúčastňuje súťaže o zákazky na tri druhy prác. Možné udalosti, ktoré môžu nastať:

• A = „firma dostane prvú zmluvu“.
• A 1 = „firma nedostane prvú zákazku“.
• B = „firma dostane druhú zmluvu“.
• B 1 = „firma nedostane druhú zákazku“
• C = „firma dostane tretiu zmluvu“.
• C 1 = „firma nedostane tretiu zákazku“.

Pomocou akcií na udalostiach sa pokúsime vyjadriť nasledujúce situácie:

• K = „spoločnosť dostane všetky zmluvy“.

IN matematická forma rovnica bude mať nasledujúci tvar: K = ABC.

• M = „spoločnosť nedostane ani jednu zmluvu“.

M = A1B1C1.

Skomplikujme si úlohu: H = „spoločnosť dostane jednu zákazku“. Keďže nie je známe, ktorú zmluvu spoločnosť dostane (prvú, druhú alebo tretiu), je potrebné zaznamenať celý rad možných udalostí:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 BC 1 je séria udalostí, kde firma nedostane prvú a tretiu zmluvu, ale dostane druhú. Ďalšie možné udalosti boli zaznamenané pomocou vhodnej metódy. Symbol υ v disciplíne označuje spojku „ALEBO“. Ak uvedený príklad preložíme do ľudskej reči, firma dostane buď tretiu zmluvu, alebo druhú, alebo prvú. Podobným spôsobom si môžete zapísať ďalšie podmienky v disciplíne „Teória pravdepodobnosti“. Vzorce a príklady riešenia problémov uvedené vyššie vám pomôžu urobiť to sami.

Vlastne pravdepodobnosť

Možno, že v tejto matematickej disciplíne je pravdepodobnosť udalosti centrálny koncept. Existujú 3 definície pravdepodobnosti:

• klasický;
• štatistické;
• geometrický.

Každý má svoje miesto v štúdiu pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady (9. ročník) používajú hlavne klasickú definíciu, ktorá znie takto:

• Pravdepodobnosť situácie A sa rovná pomeru počtu výsledkov, ktoré podporujú jej výskyt, k počtu všetkých možných výsledkov.

Vzorec vyzerá takto: P(A)=m/n.

A je vlastne udalosť. Ak sa objaví prípad opačný ako A, možno ho zapísať ako Ā alebo A 1 .

m je počet možných priaznivých prípadov.

n - všetky udalosti, ktoré sa môžu stať.

Napríklad A = „vytiahnite kartu farby srdca“. V štandardnom balíčku je 36 kariet, z toho 9 sŕdc. V súlade s tým bude vzorec na riešenie problému vyzerať takto:

P(A) = 9/36 = 0,25.

V dôsledku toho bude pravdepodobnosť, že sa z balíčka vyberie karta srdcovej farby, 0,25.

Smerom k vyššej matematike

Teraz je trochu známe, čo je teória pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ktoré sa vyskytujú školské osnovy. Teóriu pravdepodobnosti však nájdeme aj vo vyššej matematike, ktorá sa vyučuje na univerzitách. Najčastejšie operujú s geometrickými a štatistické definície teórie a zložité vzorce.

Teória pravdepodobnosti je veľmi zaujímavá. Je lepšie začať študovať vzorce a príklady (vyššia matematika) v malom - so štatistickou (alebo frekvenčnou) definíciou pravdepodobnosti.

Štatistický prístup nie je v rozpore s klasickým, ale mierne ho rozširuje. Ak bolo v prvom prípade potrebné určiť, s akou pravdepodobnosťou dôjde k udalosti, potom je potrebné pri tejto metóde uviesť, ako často sa bude vyskytovať. Tu sa zavádza nový pojem „relatívnej frekvencie“, ktorý možno označiť ako W n (A). Vzorec sa nelíši od klasického:

Ak sa na predikciu počíta klasický vzorec, potom sa podľa výsledkov experimentu vypočíta štatistický. Zoberme si napríklad malú úlohu.

Oddelenie technologickej kontroly kontroluje kvalitu výrobkov. Spomedzi 100 produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Ako zistiť frekvenčnú pravdepodobnosť kvalitného produktu?

A = „vzhľad kvalitného produktu“.

Wn(A)=97/100=0,97

Frekvencia kvalitného produktu je teda 0,97. Odkiaľ máš 97? Zo 100 kontrolovaných produktov sa zistilo, že 3 sú nekvalitné. Odpočítame 3 od 100 a dostaneme 97, to je množstvo kvalitného tovaru.

Trochu o kombinatorike

Ďalšia metóda teórie pravdepodobnosti sa nazýva kombinatorika. Jej základným princípom je, že ak je možné urobiť určitú voľbu A m rôzne cesty a výber B je n rôznymi spôsobmi, potom výber A a B možno vykonať násobením.

Napríklad z mesta A do mesta B vedie 5 ciest. Z mesta B do mesta C vedú 4 cesty. Koľkými spôsobmi sa môžete dostať z mesta A do mesta C?

Je to jednoduché: 5x4=20, čiže dvadsiatimi rôznymi spôsobmi sa môžete dostať z bodu A do bodu C.

Skomplikujme si úlohu. Koľko spôsobov je možné rozložiť karty v solitaire? V balíčku je 36 kariet - to je východiskový bod. Ak chcete zistiť počet spôsobov, musíte „odčítať“ jednu kartu naraz od počiatočného bodu a vynásobiť.

To znamená, že 36x35x34x33x32...x2x1= výsledok sa nezmestí na obrazovku kalkulačky, takže ho možno jednoducho označiť ako 36!. Podpíšte "!" vedľa čísla znamená, že celý rad čísel je vynásobený.

V kombinatorike existujú také pojmy ako permutácia, umiestnenie a kombinácia. Každý z nich má svoj vlastný vzorec.

Usporiadaná množina prvkov množiny sa nazýva usporiadanie. Umiestnenia sa môžu opakovať, to znamená, že jeden prvok možno použiť niekoľkokrát. A to bez opakovania, keď sa prvky neopakujú. n sú všetky prvky, m sú prvky, ktoré sa podieľajú na umiestnení. Vzorec pre umiestnenie bez opakovania bude vyzerať takto:

A n m = n!/(n-m)!

Spojenia n prvkov, ktoré sa líšia iba poradím umiestnenia, sa nazývajú permutácie. V matematike to vyzerá takto: P n = n!

Kombinácie n prvkov z m sú tie zlúčeniny, pri ktorých je dôležité, o aké prvky išlo a aký je ich celkový počet. Vzorec bude vyzerať takto:

A n m = n!/m! (n-m)!

Bernoulliho vzorec

V teórii pravdepodobnosti, ako v každej disciplíne, existujú práce vynikajúcich výskumníkov vo svojom odbore, ktorí ju posunuli na novú úroveň. Jednou z týchto prác je Bernoulliho vzorec, ktorý vám umožňuje určiť pravdepodobnosť výskytu určitej udalosti za nezávislých podmienok. To naznačuje, že výskyt A v experimente nezávisí od výskytu alebo neprítomnosti rovnakej udalosti v skorších alebo nasledujúcich pokusoch.

Bernoulliho rovnica:

Pn (m) = Cnm xpm xqn-m.

Pravdepodobnosť (p) výskytu udalosti (A) je konštantná pre každý pokus. Pravdepodobnosť, že situácia nastane presne m-krát v n počte experimentov, sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. V súlade s tým vzniká otázka, ako zistiť číslo q.

Ak sa udalosť A vyskytne p toľkokrát, nemusí nastať. Jednotka je číslo, ktoré sa používa na označenie všetkých výsledkov situácie v disciplíne. Preto q je číslo, ktoré označuje možnosť, že udalosť nenastane.

Teraz poznáte Bernoulliho vzorec (teóriu pravdepodobnosti). Príklady riešenia problémov (prvá úroveň) zvážime nižšie.

Úloha 2: Návštevník obchodu uskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2. Do predajne samostatne vstúpilo 6 návštevníkov. Aká je pravdepodobnosť, že návštevník uskutoční nákup?

Riešenie: Keďže nie je známe, koľko návštevníkov by malo uskutočniť nákup, jeden alebo všetkých šesť, je potrebné vypočítať všetky možné pravdepodobnosti pomocou Bernoulliho vzorca.

A = „návštevník uskutoční nákup.“

V tomto prípade: p = 0,2 (ako je uvedené v úlohe). V súlade s tým q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (keďže v predajni je 6 zákazníkov). Číslo m sa bude meniť od 0 (ani jeden zákazník nenakúpi) do 6 (všetci návštevníci obchodu niečo kúpia). V dôsledku toho dostaneme riešenie:

P6 (0) = Co6 xp0 xq6 = q6 = (0,8)6 = 0,2621.

Žiadny z kupujúcich neuskutoční nákup s pravdepodobnosťou 0,2621.

Ako inak sa používa Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti)? Príklady riešenia problémov (druhá úroveň) nižšie.

Po vyššie uvedenom príklade vyvstávajú otázky, kam sa podeli C a r. Vo vzťahu k p sa číslo s mocninou 0 rovná jednej. Pokiaľ ide o C, možno ho nájsť podľa vzorca:

C n m = n! /m!(n-m)!

Keďže v prvom príklade m = 0, C = 1, čo v zásade neovplyvňuje výsledok. Pomocou nového vzorca sa pokúsme zistiť, aká je pravdepodobnosť nákupu tovaru dvoma návštevníkmi.

P6 (2) = C6 2 ×p 2 ×q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teória pravdepodobnosti nie je až taká zložitá. Bernoulliho vzorec, ktorého príklady sú uvedené vyššie, je toho priamym dôkazom.

Poissonov vzorec

Poissonova rovnica sa používa na výpočet náhodných situácií s nízkou pravdepodobnosťou.

Základný vzorec:

Pn(m)=Am/m! x e (-λ).

V tomto prípade λ = n x p. Tu je jednoduchý Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Nižšie zvážime príklady riešenia problémov.

Úloha 3: Továreň vyrobila 100 000 dielov. Výskyt chybnej časti = 0,0001. Aká je pravdepodobnosť, že v dávke bude 5 chybných dielov?

Ako vidíte, manželstvo je nepravdepodobná udalosť, a preto sa na výpočet používa Poissonov vzorec (teória pravdepodobnosti). Príklady riešenia úloh tohto druhu sa nelíšia od iných úloh v disciplíne dosadíme potrebné údaje do daného vzorca:

A = “náhodne vybraný diel bude chybný.”

p = 0,0001 (podľa podmienok úlohy).

n = 100 000 (počet dielov).

m = 5 (chybné časti). Údaje dosadíme do vzorca a získame:

R 100 000 (5) = 105/5! Xe-io = 0,0375.

Rovnako ako Bernoulliho vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešení, ktoré sú napísané vyššie, Poissonova rovnica má neznáme e. V skutočnosti ju možno nájsť podľa vzorca:

e-λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n.

Existujú však špeciálne tabuľky, ktoré obsahujú takmer všetky hodnoty napr.

Moivre-Laplaceova veta

Ak je počet pokusov v Bernoulliho schéme dostatočne veľký a pravdepodobnosť výskytu udalosti A vo všetkých schémach rovnaká, potom pravdepodobnosť výskytu udalosti A v určitom počte opakovaní v sérii testov možno nájsť pomocou Laplaceov vzorec:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ (X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby ste si lepšie zapamätali Laplaceov vzorec (teória pravdepodobnosti), nižšie sú uvedené príklady problémov.

Najprv nájdime X m, dosadíme údaje (všetky sú uvedené vyššie) do vzorca a dostaneme 0,025. Pomocou tabuliek nájdeme číslo ϕ(0,025), ktorého hodnota je 0,3988. Teraz môžete nahradiť všetky údaje do vzorca:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Pravdepodobnosť, že leták bude fungovať presne 267-krát, je teda 0,03.

Bayesov vzorec

Bayesov vzorec (teória pravdepodobnosti), príklady riešenia problémov, pomocou ktorých budú uvedené nižšie, je rovnica, ktorá popisuje pravdepodobnosť udalosti na základe okolností, ktoré by s ňou mohli byť spojené. Základný vzorec je nasledujúci:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A a B sú určité udalosti.

P(A|B) je podmienená pravdepodobnosť, to znamená, že udalosť A môže nastať za predpokladu, že udalosť B je pravdivá.

P (B|A) - podmienená pravdepodobnosť udalosti B.

Takže poslednou časťou krátkeho kurzu „Teória pravdepodobnosti“ je Bayesov vzorec, príklady riešení problémov, s ktorými sú nižšie.

Úloha 5: Do skladu boli privezené telefóny od troch firiem. Zároveň je podiel telefónov vyrobených v prvom závode 25%, v druhom - 60%, v treťom - 15%. Je tiež známe, že priemerné percento chybných výrobkov v prvom závode je 2%, v druhom - 4% a v treťom - 1%. Musíte nájsť pravdepodobnosť, že náhodne vybraný telefón bude chybný.

A = „náhodne vybraný telefón“.

B 1 - telefón, ktorý vyrobila prvá továreň. Podľa toho sa objavia úvodné B 2 a B 3 (pre druhú a tretiu továreň).

V dôsledku toho dostaneme:

P(B1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - teda sme zistili pravdepodobnosť každej možnosti.

Teraz musíte nájsť podmienené pravdepodobnosti požadovanej udalosti, to znamená pravdepodobnosť chybných produktov v spoločnostiach:

P (A/B1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B3) = 0,01.

Teraz nahraďme údaje do Bayesovho vzorca a získame:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Článok predstavuje teóriu pravdepodobnosti, vzorce a príklady riešenia problémov, ale toto je len špička ľadovca obrovskej disciplíny. A po všetkom, čo bolo napísané, by bolo logické položiť si otázku, či je teória pravdepodobnosti v živote potrebná. K obyčajnému človeku Je ťažké odpovedať, je lepšie sa opýtať niekoho, kto to použil na výhru jackpotu viac ako raz.

pravdepodobnosť- číslo medzi 0 a 1, ktoré vyjadruje šance, že nastane náhodná udalosť, kde 0 je úplná absencia pravdepodobnosť výskytu udalosti a 1 znamená, že daná udalosť určite nastane.

Pravdepodobnosť udalosti E je číslo od 1 do 1.
Súčet pravdepodobností vzájomne sa vylučujúcich udalostí sa rovná 1.

empirická pravdepodobnosť- pravdepodobnosť, ktorá sa počíta ako relatívna frekvencia udalosti v minulosti, získaná z analýzy historických údajov.

Pravdepodobnosť veľmi zriedkavých udalostí sa nedá vypočítať empiricky.

subjektívna pravdepodobnosť- pravdepodobnosť založená na osobnom subjektívnom hodnotení udalosti bez ohľadu na historické údaje. Investori, ktorí sa rozhodujú o nákupe a predaji akcií, často konajú na základe úvah o subjektívnej pravdepodobnosti.

predchádzajúca pravdepodobnosť -

Šanca je 1 in... (pravdepodobnosť), že k udalosti dôjde prostredníctvom konceptu pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť výskytu udalosti je vyjadrená prostredníctvom pravdepodobnosti takto: P/(1-P).

Napríklad, ak je pravdepodobnosť udalosti 0,5, potom je pravdepodobnosť udalosti 1 z 2, pretože 0,5/(1-0,5).

Šanca, že k udalosti nedôjde, sa vypočíta pomocou vzorca (1-P)/P

Nekonzistentná pravdepodobnosť- napríklad cena akcií spoločnosti A zohľadňuje možnú udalosť E na 85 % a cena akcií spoločnosti B zohľadňuje len 50 %. Toto sa nazýva nekonzistentná pravdepodobnosť. Podľa holandského teorému o stávkovaní vytvára nekonzistentná pravdepodobnosť ziskové príležitosti.

Bezpodmienečná pravdepodobnosť je odpoveď na otázku „Aká je pravdepodobnosť, že k udalosti dôjde?

Podmienená pravdepodobnosť- toto je odpoveď na otázku: "Aká je pravdepodobnosť udalosti A, ak nastane udalosť B." Podmienená pravdepodobnosť je označená ako P(A|B).

Spoločná pravdepodobnosť- pravdepodobnosť, že udalosti A a B nastanú súčasne. Označuje sa ako P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Pravidlo na sčítanie pravdepodobností:

Pravdepodobnosť, že nastane buď udalosť A alebo udalosť B, je

P (A alebo B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Ak sa udalosti A a B navzájom vylučujú, potom

P (A alebo B) = P (A) + P (B)

Nezávislé udalosti- udalosti A a B sú nezávislé, ak

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

To znamená, že ide o postupnosť výsledkov, kde je hodnota pravdepodobnosti konštantná od jednej udalosti k druhej.
Príkladom takejto udalosti je hod mincou – výsledok každého nasledujúceho hodu nezávisí od výsledku predchádzajúceho.

Závislé udalosti- ide o udalosti, kde pravdepodobnosť výskytu jedného závisí od pravdepodobnosti výskytu iného.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí:
Ak sú udalosti A a B nezávislé, potom

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Pravidlo celkovej pravdepodobnosti:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S)P(S) + P (A|S)P(S") (4)

S a S“ sú vzájomne sa vylučujúce udalosti

očakávaná hodnota náhodná premenná je priemerom možných výsledkov náhodná premenná. Pre udalosť X je očakávanie označené ako E(X).

Povedzme, že máme 5 hodnôt vzájomne sa vylučujúcich udalostí s určitou pravdepodobnosťou (napríklad príjem spoločnosti dosiahol s takouto pravdepodobnosťou takú a takú sumu). Matematické očakávanie bude súčtom všetkých výsledkov vynásobených ich pravdepodobnosťou:

Disperzia náhodnej premennej je očakávanie štvorcových odchýlok náhodnej premennej od jej očakávania:

s2 = E(2) (6)

Podmienená očakávaná hodnota - očakávaná hodnota náhodnej premennej X za predpokladu, že udalosť S už nastala.