Egyenletrendszerek megoldása Cramer-szabály szerint. Cramer szabálya

Az első részben megvizsgáltuk néhány elméleti anyagot, a helyettesítési módszert, valamint a rendszeregyenletek tagonkénti összeadásának módszerét. Mindenkinek, aki ezen az oldalon keresztül jutott el az oldalra, javaslom, hogy olvassa el az első részt. Talán néhány látogató túl egyszerűnek találja az anyagot, de rendszermegoldás során lineáris egyenletek Számos nagyon fontos észrevételt és következtetést tettem a matematikai problémák általános megoldására vonatkozóan.

És most elemezzük a Cramer-szabályt, valamint egy lineáris egyenletrendszer megoldását a inverz mátrix(mátrix módszer). Az összes anyagot egyszerűen, részletesen és áttekinthetően mutatjuk be, szinte minden olvasó képes lesz megtanulni a rendszerek megoldását a fenti módszerekkel.

Először megvizsgáljuk Cramer szabályát egy két ismeretlenben lévő két lineáris egyenletrendszerre. Minek? - Végül a legegyszerűbb rendszer iskolamódszerrel, tanévkiegészítéssel oldható meg!

A helyzet az, hogy még ha néha, de van egy ilyen feladat - megoldani egy két lineáris egyenletrendszert két ismeretlennel Cramer képletei segítségével. Másodszor, egy egyszerűbb példa segít megérteni, hogyan kell használni a Cramer-szabályt egy bonyolultabb esetre – egy három egyenletrendszerre három ismeretlennel.

Ezen kívül léteznek két változós lineáris egyenletrendszerek, melyeket célszerű pontosan a Cramer-szabály szerint megoldani!

Tekintsük az egyenletrendszert

Első lépésben kiszámítjuk a determinánst, ezt nevezzük a rendszer fő meghatározója.

Gauss módszer.

Ha , akkor a rendszer rendelkezik egyetlen döntés, és a gyökök megtalálásához további két determinánst kell kiszámítanunk:
és

A gyakorlatban a fenti determinánsokat is jelölhetjük latin betű.

Az egyenlet gyökereit a következő képletekkel találjuk meg:
,

7. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert!

Megoldás: Látjuk, hogy az egyenlet együtthatói elég nagyok, a jobb oldalon ott vannak tizedesjegyek vesszővel. A vessző meglehetősen ritka vendég a matematikai gyakorlati feladatokban, ezt a rendszert egy ökonometriai feladatból vettem.

Hogyan lehet megoldani egy ilyen rendszert? Megpróbálhatja az egyik változót egy másikkal kifejezni, de ebben az esetben minden bizonnyal iszonyatos díszes törteket kap, amelyekkel rendkívül kényelmetlen a munka, és a megoldás kialakítása borzasztóan fog kinézni. A második egyenletet megszorozhatja 6-tal, és tagonként kivonhatja, de itt ugyanazok a törtek jelennek meg.

Mit kell tenni? Ilyen esetekben a Cramer-féle képletek segítenek.

;

;

Válasz: ,

Mindkét gyökérnek végtelen a vége, és megközelítőleg megtalálható, ami meglehetősen elfogadható (sőt közhely) ökonometriai problémák esetén.

Itt nincs szükség megjegyzésekre, mivel a feladatot kész képletek szerint oldják meg, azonban van egy figyelmeztetés. Használatkor ez a módszer, kötelező A feladat töredéke a következő: "tehát a rendszernek egyedi megoldása van". Ellenkező esetben a bíráló megbüntetheti Önt Cramer tételének figyelmen kívül hagyása miatt.

Nem lesz felesleges ellenőrizni, ami kényelmesen elvégezhető egy számológépen: a közelítő értékeket behelyettesítjük bal oldal a rendszer minden egyenlete. Ennek eredményeként kis hibával a jobb oldalon lévő számokat kell megkapni.

8. példa

Mondja ki válaszát közönségesen helytelen törtek. Ellenőrizd.

Ez egy példa egy önálló megoldásra (példa finom tervezésre és válasz a lecke végén).

Rátérünk a Cramer-szabályra egy három egyenletrendszerre, három ismeretlennel:

Megtaláljuk a rendszer fő meghatározóját:

Ha , akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van, vagy inkonzisztens (nincs megoldása). Ebben az esetben a Cramer-szabály nem segít, a Gauss-módszert kell használni.

Ha , akkor a rendszernek egyedi megoldása van, és a gyökerek megtalálásához további három determinánst kell kiszámítanunk:
, ,

És végül a választ a következő képletekkel számítjuk ki:

Mint látható, a „háromszor három” eset alapvetően nem különbözik a „kettő-kettő” esettől, a szabad kifejezések oszlopa egymás után balról jobbra „sétál” a fő meghatározó oszlopai mentén.

9. példa

Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel!

Megoldás: Oldjuk meg a rendszert Cramer képleteivel.

, így a rendszer egyedi megoldást kínál.

Válasz: .

Igazából itt megint nincs mit különösebben kommentálni, tekintettel arra, hogy kész képletek alapján születik a döntés. De van egy-két megjegyzés.

Előfordul, hogy a számítások eredményeként „rossz” irreducibilis törteket kapunk, például: .
A következő "kezelési" algoritmust ajánlom. Ha nincs kéznél számítógép, a következőképpen járunk el:

1) Hiba lehet a számításokban. Amint „rossz” lövéssel találkozik, azonnal ellenőriznie kell, hogy van-e helyesen van-e átírva a feltétel. Ha a feltételt hibák nélkül írják át, akkor a determinánsokat újra kell számolni egy másik sorban (oszlopban) lévő bővítéssel.

2) Ha az ellenőrzés eredményeként nem találtak hibát, akkor nagy valószínűséggel elírás történt a feladat állapotában. Ilyenkor higgadtan és ÓVATOSAN oldja meg a feladatot a végéig, majd feltétlenül ellenőrizzeés a határozat meghozatala után tiszta másolaton készítse el. Természetesen a töredékes válasz ellenőrzése kellemetlen feladat, de lefegyverző érv lesz a tanár számára, aki nos, nagyon szeret mínuszt adni minden rosszra, mint pl. A törtekkel való kezelés módját a 8. példa válasza részletezi.

Ha van kéznél számítógépe, akkor azt egy automata programmal ellenőrizheti, amely az óra elején ingyenesen letölthető. Egyébként a legelőnyösebb, ha azonnal (még a megoldás elindítása előtt) használod a programot, azonnal látni fogod azt a köztes lépést, amelynél hibáztál! Ugyanez a számológép automatikusan kiszámolja a rendszer megoldását mátrix módszer.

Második megjegyzés. Időről időre vannak olyan rendszerek, amelyek egyenletéből hiányzik néhány változó, például:

Itt az első egyenletben nincs változó, a másodikban nincs változó. Ilyen esetekben nagyon fontos, hogy helyesen és Óvatosan írjuk le a fő meghatározót:
– a hiányzó változók helyére nullák kerülnek.
Egyébként ésszerű a determinánsokat nullával nyitni abban a sorban (oszlopban), amelyben a nulla található, mivel észrevehetően kevesebb a számítás.

10. példa

Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel!

Ez egy példa az önálló megoldásra (minta és válasz a lecke végén).

Egy 4 egyenletből álló rendszer esetén 4 ismeretlennel a Cramer-képleteket hasonló elvek szerint írjuk fel. Élő példát láthat a Meghatározó tulajdonságok leckében. A determináns sorrendjének csökkentése - öt 4. rendű determináns eléggé megoldható. Bár a feladat már nagyon emlékeztet egy szerencsés diák mellkasán lévő professzori cipőre.

A rendszer megoldása inverz mátrix segítségével

Az inverz mátrix módszer lényegében egy speciális eset mátrix egyenlet(Lásd a megadott lecke 3. példáját).

Ennek a szakasznak a tanulmányozásához képesnek kell lennie a determinánsok kiterjesztésére, az inverz mátrix megkeresésére és a mátrixszorzás végrehajtására. A megfelelő linkeket a magyarázat előrehaladtával adjuk meg.

11. példa

Oldja meg a rendszert mátrix módszerrel!

Megoldás: A rendszert mátrix formában írjuk:
, ahol

Kérjük, nézze meg az egyenletrendszert és a mátrixokat. Hogy milyen elv alapján írunk mátrixokba elemeket, azt gondolom mindenki érti. Az egyetlen megjegyzés: ha néhány változó hiányzik az egyenletekből, akkor a mátrix megfelelő helyére nullákat kell tenni.

Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg:
, ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa.

Először is foglalkozzunk a determinánssal:

Itt a determináns az első sorral bővül.

Figyelem! Ha , akkor az inverz mátrix nem létezik, és a rendszer mátrix módszerrel nem megoldható. Ebben az esetben a rendszert az ismeretlenek kiküszöbölésével oldják meg (Gauss-módszer).

Most ki kell számítania 9 kiskorút, és be kell írnia a kiskorúak mátrixába

Referencia: Hasznos tudni a kettős alsó indexek jelentését a lineáris algebrában. Az első számjegy a sor száma, amelyben az elem található. A második számjegy annak az oszlopnak a száma, amelyben az elem található:

Vagyis a dupla alsó index azt jelzi, hogy az elem az első sorban, a harmadik oszlopban van, míg például az elem a 3. sorban, a 2. oszlopban van.

Tekintsünk egy három egyenletből álló rendszert három ismeretlennel

Harmadrendű determinánsok felhasználásával egy ilyen rendszer megoldása ugyanolyan formában írható fel, mint egy két egyenletrendszer esetében, azaz.

(2.4)

ha 0. Itt

Ez Cramer szabálya egy három lineáris egyenletrendszer megoldása három ismeretlenben.

2.3. példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert a Cramer-szabály segítségével:

Megoldás . A rendszer főmátrixának determinánsának megkeresése

Mivel 0, akkor a rendszer megoldásához alkalmazhatja a Cramer-szabályt, de először számítson ki három további determinánst:

Vizsgálat:

Ezért a megoldás helyesen található. 

A 2. és 3. rendű lineáris rendszerekre kapott Cramer-szabályok azt sugallják, hogy ugyanazok a szabályok bármilyen rendű lineáris rendszerekre is megfogalmazhatók. tényleg megtörténik

Cramer tétele. Lineáris egyenletrendszer másodfokú egyenletrendszere a rendszer főmátrixának nullától eltérő determinánsával (0) egy és csak egy megoldása van, és ezt a megoldást a képletek számítják ki

(2.5)

ahol  – fő mátrix meghatározó,  én – mátrix meghatározó, főből, pótlásból származtatjákénth oszlop szabad tagok rovata.

Vegye figyelembe, hogy ha =0, akkor a Cramer-szabály nem alkalmazható. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek vagy egyáltalán nincs megoldása, vagy végtelen sok megoldása van.

A Cramer-tétel megfogalmazása után természetesen felmerül a magasabb rendű determinánsok számításának kérdése.

2.4. n-edrendű determinánsok

További kiskorú M ij elem a ij az adottból törléssel kapott determinánsnak nevezzük én-edik sor és j-adik oszlop. Algebrai összeadás A ij elem a ij ennek az elemnek a molljának nevezzük, a (–1) jellel együtt én + j, azaz A ij = (–1) én + j M ij .

Keressük például az elemek molljait és algebrai kiegészítéseit a 23 és a 31 meghatározó

Kapunk



Az algebrai komplement fogalmát felhasználva megfogalmazhatjuk a determináns kiterjesztési tételn- sor vagy oszlop szerinti sorrend.

Tétel 2.1. Mátrix meghatározóAegyenlő egy sor (vagy oszlop) összes elemének és algebrai komplementereinek szorzatával:

(2.6)

Ez a tétel alapozza meg a determinánsok számításának egyik fő módszerét, az ún. rendeléscsökkentési módszer. A determináns bővülésének eredményeként n sorrendben bármely sorban vagy oszlopban n determinánst kapunk ( n–1)-edik rend. Annak érdekében, hogy kevesebb ilyen determináns legyen, célszerű azt a sort vagy oszlopot kiválasztani, amelyben a legtöbb nulla szerepel. A gyakorlatban a determináns bővítési képlete általában a következőképpen írható:

azok. Az algebrai összeadásokat kifejezetten mollokra írjuk.

Példák 2.4. Számítsa ki a determinánsokat úgy, hogy először bontsa ki őket bármelyik sorban vagy oszlopban. Általában ilyen esetekben azt az oszlopot vagy sort kell kiválasztani, amelyben a legtöbb nulla található. A kiválasztott sort vagy oszlopot nyíl jelzi.



2.5. A determinánsok alapvető tulajdonságai

A determinánst bármely sorban vagy oszlopban kiterjesztve n determinánst kapunk ( n–1)-edik rend. Ezután mindegyik meghatározó ( n–1)-edik sorrend is felbontható determinánsok összegére ( n–2) sorrend. Ezt a folyamatot folytatva el lehet jutni az 1. rendű determinánsokhoz, pl. a mátrix azon elemeire, amelyek determinánsát számítjuk. Tehát a 2. rendű determinánsok kiszámításához két tag összegét kell kiszámítania, a 3. rendű determinánsokhoz - 6 tag összegét, a 4. rendű determinánsokhoz - 24 tagot. A kifejezések száma meredeken növekszik a determináns sorrendjének növekedésével. Ez azt jelenti, hogy a nagyon magas fokú determinánsok kiszámítása meglehetősen fáradságos feladattá válik, még egy számítógép erejét is meghaladja. A determinánsokat azonban más módon is ki lehet számítani, a determinánsok tulajdonságait felhasználva.

1. tulajdonság . A determináns nem változik, ha sorokat és oszlopokat cserélünk benne, pl. mátrix transzponálásakor:

.

Ez a tulajdonság a determináns sorainak és oszlopainak egyenlőségét jelzi. Más szóval, egy determináns oszlopaira vonatkozó bármely állítás igaz a soraira, és fordítva.

2. tulajdonság . A determináns előjelet vált, ha két sort (oszlopot) felcserélünk.

Következmény . Ha egy determinánsnak két egyforma sora (oszlopa) van, akkor az nulla.

3. tulajdonság . Bármely sor (oszlop) összes elemének közös tényezője kivehető a determináns előjeléből.

Például,

Következmény . Ha a determináns valamely sorának (oszlopának) minden eleme egyenlő nullával, akkor maga a determináns nulla.

4. tulajdonság . A determináns nem változik, ha az egyik sor (oszlop) elemeit hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) elemeihez, megszorozva valamilyen számmal.

Például,

5. ingatlan . A mátrixszorzat determinánsa megegyezik a mátrixdeterminánsok szorzatával:

2. Egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix segítségével).
3. Gauss-módszer egyenletrendszerek megoldására.

Cramer módszere.

A Cramer-módszert lineáris rendszerek megoldására használják algebrai egyenletek (SLAU).

Képletek egy két változós egyenletrendszer példáján.
Adott: Oldja meg a rendszert Cramer módszerével

A változókkal kapcsolatban xés nál nél.
Megoldás:
Keresse meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll. Determinánsok számítása. :

Alkalmazzuk a Cramer-képleteket, és keressük meg a változók értékeit:
és .
1. példa:
Oldja meg az egyenletrendszert:

változókkal kapcsolatban xés nál nél.
Megoldás:


Cseréljük le ennek a determinánsnak az első oszlopát a rendszer jobb oldali együtthatók oszlopával, és keressük meg az értékét:

Csináljuk hasonló akció, az első determináns második oszlopának helyére:

Alkalmazható Cramer képleteiés keresse meg a változók értékét:
és .
Válasz:
Megjegyzés: Ezzel a módszerrel nagyobb méretű rendszerek is megoldhatók.

Megjegyzés: Ha kiderül, hogy , és nem lehet nullával osztani, akkor azt mondják, hogy a rendszernek nincs egyedi megoldása. Ebben az esetben a rendszernek vagy végtelen sok megoldása van, vagy egyáltalán nincs megoldás.

2. példa(végtelen számú megoldás):

Oldja meg az egyenletrendszert:

változókkal kapcsolatban xés nál nél.
Megoldás:
Keresse meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll:

Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel.

A rendszer egyenletei közül az első egy egyenlőség, amely a változók bármely értékére igaz (mivel a 4 mindig egyenlő 4-gyel). Tehát csak egy egyenlet maradt. Ez a változók közötti kapcsolati egyenlet.
Azt kaptuk, hogy a rendszer megoldása bármely egyenlőséggel összefüggő változó értékpár.
Közös döntésígy lesz írva:
Konkrét megoldásokat úgy határozhatunk meg, hogy y tetszőleges értékét választjuk, és ebből a kapcsolategyenletből x-et számítunk ki.

stb.
Végtelenül sok ilyen megoldás létezik.
Válasz: közös döntés
Privát megoldások:

3. példa(nincs megoldás, a rendszer inkonzisztens):

Oldja meg az egyenletrendszert:

Megoldás:
Keresse meg a mátrix determinánsát, amely a rendszer együtthatóiból áll:

Nem használhatja a Cramer-képleteket. Oldjuk meg ezt a rendszert helyettesítési módszerrel

A rendszer második egyenlete egy egyenlőség, amely nem érvényes a változók egyetlen értékére sem (persze, mivel a -15 nem egyenlő 2-vel). Ha a rendszer egyik egyenlete nem igaz a változók egyik értékére sem, akkor az egész rendszernek nincs megoldása.
Válasz: nincsenek megoldások

Cramer módszere a determinánsok felhasználásán alapul lineáris egyenletrendszerek megoldásában. Ez nagymértékben felgyorsítja a megoldási folyamatot.

A Cramer-módszerrel annyi lineáris egyenletből álló rendszert lehet megoldani, ahány egyenletben ismeretlen van. Ha a rendszer determinánsa nem egyenlő nullával, akkor Cramer módszere használható a megoldásban, ha egyenlő nullával, akkor nem. Ezenkívül a Cramer-módszer használható olyan lineáris egyenletrendszerek megoldására is, amelyek egyedi megoldással rendelkeznek.

Meghatározás. Az ismeretlenek együtthatóiból álló determinánst a rendszer determinánsának nevezzük, és (delta) jelöljük.

Meghatározók

úgy kapjuk meg, hogy a megfelelő ismeretleneknél lévő együtthatókat szabad kifejezésekkel helyettesítjük:

;

.

Cramer tétele. Ha a rendszer determinánsa nem nulla, akkor a lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, és az ismeretlen egyenlő a determinánsok arányával. A nevező a rendszer determinánsát tartalmazza, a számláló pedig azt a determinánst, amelyet a rendszer determinánsából kapunk úgy, hogy az együtthatókat az ismeretlennel szabad tagokkal helyettesítjük. Ez a tétel tetszőleges sorrendű lineáris egyenletrendszerre érvényes.

1. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert:

Alapján Cramer tétele nekünk van:

Tehát a (2) rendszer megoldása:

online számológép, döntő módszer Kramer.

Három eset a lineáris egyenletrendszerek megoldásában

Amint az ebből látszik Cramer tételei lineáris egyenletrendszer megoldása során három eset fordulhat elő:

Első eset: a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van

(a rendszer következetes és határozott)

Második eset: a lineáris egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van

(a rendszer konzisztens és határozatlan)

** ,

azok. az ismeretlenek és a szabad tagok együtthatói arányosak.

Harmadik eset: a lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása

(rendszer inkonzisztens)

Tehát a rendszer m lineáris egyenletek -val n változókat nevezzük összeegyeztethetetlen ha nincs megoldása, és közös ha van legalább egy megoldása. Olyan közös egyenletrendszert nevezünk, amelynek csak egy megoldása van bizonyos, és több bizonytalan.

Példák lineáris egyenletrendszerek megoldására Cramer módszerrel

Hagyja a rendszert

.

Cramer tétele alapján

………….
,

ahol
-

rendszerazonosító. A fennmaradó determinánsokat úgy kapjuk meg, hogy az oszlopot a megfelelő változó (ismeretlen) együtthatóival szabad tagokkal helyettesítjük:

2. példa

.

Ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk a determinánsokat

A Cramer-képletekkel a következőket találjuk:

Tehát (1; 0; -1) az egyetlen megoldás a rendszerre.

A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, a Cramer megoldási módszert.

Ha a lineáris egyenletrendszerben egy vagy több egyenletben nincsenek változók, akkor a determinánsban a hozzájuk tartozó elemek nullával egyenlők! Ez a következő példa.

3. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:

.

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Nézze meg figyelmesen az egyenletrendszert és a rendszer determinánsát, és ismételje meg a választ arra a kérdésre, hogy mely esetekben egyenlő a determináns egy vagy több eleme nullával! Tehát a determináns nem egyenlő nullával, ezért a rendszer határozott. A megoldás megtalálásához kiszámítjuk az ismeretlenek determinánsait

A Cramer-képletekkel a következőket találjuk:

Tehát a rendszer megoldása (2; -1; 1).

A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, a Cramer megoldási módszert.

Lap teteje

Továbbra is közösen oldjuk meg a rendszereket a Cramer módszerrel

Mint már említettük, ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, és az ismeretlenek determinánsai nem egyenlők nullával, akkor a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása. Szemléltessük a következő példával.

6. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

A rendszer determinánsa nulla, ezért a lineáris egyenletrendszer vagy inkonzisztens és határozott, vagy inkonzisztens, azaz nincs megoldása. Az egyértelműség kedvéért kiszámítjuk az ismeretlenek meghatározóit

Az ismeretlenek determinánsai nem egyenlőek nullával, ezért a rendszer inkonzisztens, vagyis nincs megoldása.

A 3 X 3 és 4 X 4 egyenletrendszerek megoldásainak ellenőrzéséhez használhatja az online számológépet, a Cramer megoldási módszert.

A lineáris egyenletrendszerekkel kapcsolatos feladatokban vannak olyanok is, ahol a változókat jelölő betűk mellett más betűk is vannak. Ezek a betűk valamilyen számot jelölnek, leggyakrabban valós számot. A gyakorlatban az ilyen egyenletek és egyenletrendszerek problémákhoz vezetnek bármely jelenség és objektum általános tulajdonságainak megtalálása során. Vagyis te találtál ki valamit új anyag vagy egy eszközt, és annak leírásához, amelyek a példányok méretétől vagy példányszámától függetlenül gyakoriak, olyan lineáris egyenletrendszert kell megoldani, ahol a változók együtthatói helyett betűk vannak. Nem kell messzire keresni a példákat.

A következő példa egy hasonló problémára vonatkozik, csak a valós számot jelölő egyenletek, változók és betűk száma nő.

8. példa Oldja meg a lineáris egyenletrendszert Cramer módszerével:

Megoldás. Megtaláljuk a rendszer meghatározóját:

Determinánsok keresése ismeretlenekre