Egy nemnegatív szám n-edik fokának számtani gyöke nemnegatív szám n-edik fokozat ami egyenlő:

A gyökér foka az természetes szám, nagyobb, mint 1.

3.

4.

Különleges esetek:

1. Ha a gyökér kitevője páratlan egész szám(), akkor a gyök kifejezés lehet negatív.

Páratlan kitevő esetén az egyenlet bármilyen valós értékre és egész számra MINDIG egyetlen gyökér:

A páratlan fokú gyökérre a következő azonosság érvényes:

,

2. Ha a gyökérkitevő páros egész szám (), akkor a radikális kifejezés nem lehet negatív.

Páros kitevő esetén egyenlet. Megvan

nál nél egyetlen gyökér

és ha és

A páros fokozat gyökére a következő azonosság érvényes:

Páros fok gyökére a következő egyenlőségek igazak::

Hatványfüggvény, tulajdonságai és grafikonja.

Hatványfüggvény és tulajdonságai.

Hatványfüggvény természetes kitevővel. Az y = x n függvényt, ahol n természetes szám, természetes kitevővel rendelkező hatványfüggvénynek nevezzük. n = 1 esetén megkapjuk az y = x függvényt, annak tulajdonságait:

Közvetlen arányosság. Az egyenes arányosság az y = kx n képlettel definiált függvény, ahol a k számot arányossági együtthatónak nevezzük.

Soroljuk fel az y = kx függvény tulajdonságait.

Egy függvény tartománya az összes valós szám halmaza.

y = kx - Nem páros funkció(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) k > 0 esetén a függvény növekszik, k esetén pedig< 0 убывает на всей числовой прямой.

A grafikon (egyenes) a II.1. ábrán látható.

Rizs. II.1.

Ha n=2, akkor az y = x 2 függvényt kapjuk, tulajdonságai:

y -x 2 függvény. Soroljuk fel az y = x 2 függvény tulajdonságait.

y = x 2 - páros függvény (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

A funkció időtartama alatt csökken.

Valójában ha , akkor - x 1 > - x 2 > 0, és ezért

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, azaz, és ez azt jelenti, hogy a függvény csökken.

Az y=x2 függvény grafikonja egy parabola. Ez a grafikon a II.2. ábrán látható.

Rizs. II.2.

Ha n = 3, megkapjuk az y = x 3 függvényt, tulajdonságai:

Egy függvény definíciós tartománya a teljes számsor.

y = x 3 - páratlan függvény (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Az y = x 3 függvény a teljes számegyenesen növekszik. Az y = x 3 függvény grafikonja az ábrán látható. Köbös parabolának hívják.

A grafikon (köbös parabola) a II.3. ábrán látható.

Rizs. II.3.

Legyen n kettőnél nagyobb tetszőleges páros természetes szám:

n = 4, 6, 8,... . Ebben az esetben az y = x n függvény ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint az y = x 2 függvény. Egy ilyen függvény gráfja hasonlít egy y = x 2 parabolára, csak a gráf ágai |n| >1 minél meredekebben mennek felfelé, minél nagyobb n, és minél jobban „nyomódik” az x tengelyhez, annál nagyobb n.

Legyen n tetszőleges, háromnál nagyobb páratlan szám: n = = 5, 7, 9, ... . Ebben az esetben az y = x n függvény ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint az y = x 3 függvény. Egy ilyen függvény grafikonja hasonlít egy köbös parabolára (a gráfnak csak az ágai mennek fel és le annál meredekebben, minél nagyobb n. Vegyük észre azt is, hogy a (0; 1) intervallumon az y = x n hatványfüggvény grafikonja mozog minél lassabban távolodik el az x tengelytől, ha x növekszik, annál jobban, mint n.

Hatványfüggvény negatív egész kitevővel. Tekintsük az y = x - n függvényt, ahol n természetes szám. Ha n = 1, akkor y = x - n vagy y = ennek a függvénynek a tulajdonságai:

A grafikon (hiperbola) a II.4. ábrán látható.

Első szint

Gyökér és tulajdonságai. Részletes elmélet példákkal (2019)

Próbáljuk meg kitalálni, mi a „gyökér” fogalma, és „mivel eszik”. Ehhez nézzünk meg olyan példákat, amelyekkel már találkoztál az órán (na jó, vagy épp most fogsz találkozni ezzel).

Például van egy egyenletünk. Mi ennek az egyenletnek a megoldása? Milyen számok négyzetezhetők és kaphatók? A szorzótáblára emlékezve könnyen megadhatja a választ: és (végül is, ha két negatív számot szorozunk, pozitív számot kapunk)! Az egyszerűsítés kedvéért a matematikusok bevezették a négyzetgyök egy speciális fogalmát, és egy speciális szimbólumot rendeltek hozzá.

Határozzuk meg az aritmetikai négyzetgyököt.

Miért kell a számnak nem negatívnak lennie? Például mivel egyenlő? Nos, próbáljunk meg egyet választani. Talán három? Ellenőrizzük: , nem. Talán,? Ismét ellenőrizzük: . Nos, nem illik? Ez várható is – mert nincsenek olyan számok, amelyek négyzetre vetve negatív számot adnak!
Ezt kell emlékezned: a gyökjel alatti szám vagy kifejezés nem lehet negatív!

A legfigyelmesebbek azonban valószínűleg már észrevették, hogy a definíció szerint „egy szám négyzetgyökének megoldását így hívják. nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő ". Néhányan azt mondják, hogy a legelején elemeztük a példát, kiválasztottuk a négyzetbe vonható és megkapható számokat, a válasz és volt, de itt valamiféle „nem negatív számról” beszélünk! Ez a megjegyzés teljesen helyénvaló. Itt csak különbséget kell tenni a másodfokú egyenletek és a számok számtani négyzetgyöke között. Például nem egyenértékű a kifejezéssel.

Ebből következik, hogy vagyis, ill. ("" téma olvasása)

És ebből következik.

Ez persze nagyon zavaró, de nem szabad elfelejteni, hogy az előjelek az egyenlet megoldásának eredménye, hiszen az egyenlet megoldása során fel kell írnunk az összes X-et, amit az eredeti egyenletbe behelyettesítve a helyes eredmény. Miénkben másodfokú egyenlet mindkettőre alkalmas.

Ha azonban csak vedd a négyzetgyököt valamitől, akkor mindig egy nem negatív eredményt kapunk.

Most próbálja meg megoldani ezt az egyenletet. Már nem minden olyan egyszerű és gördülékeny, igaz? Próbáld végigmenni a számokon, talán sikerül valami? Kezdjük a legelejéről - elölről: - nem illik, lépj tovább - háromnál kevesebb, azt is félresöpörjük, mi lenne ha. Ellenőrizzük: - szintén nem alkalmas, mert... ez több mint három. Ugyanez a történet a negatív számokkal. Akkor most mit tegyünk? Valóban semmit sem hozott a keresés? Egyáltalán nem, most már biztosan tudjuk, hogy a válasz valamilyen és közötti szám lesz, valamint és között. Természetesen a megoldások nem egész számok lesznek. Ráadásul nem racionálisak. Szóval, mi lesz ezután? Ábrázoljuk a függvényt, és jelöljük rajta a megoldásokat.

Próbáljuk meg becsapni a rendszert, és számológép segítségével kapjuk meg a választ! Szedjük ki belőle a gyökeret! Ó-ó-ó, kiderült. Ez a szám soha nem ér véget. Hogy emlékezhet erre, hiszen nem lesz számológép a vizsgán!? Minden nagyon egyszerű, nem kell emlékezni rá, csak emlékezni kell (vagy gyorsan meg kell tudni becsülni) a hozzávetőleges értéket. és maguk a válaszok. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezik, hogy leegyszerűsítsék az ilyen számok írását, hogy bevezették a négyzetgyök fogalmát.

Nézzünk egy másik példát ennek megerősítésére. Nézzük a következő problémát: átlósan km-es oldalú négyzetmezőn kell átmenni, hány km-t kell megtenni?

A legkézenfekvőbb itt az, hogy a háromszöget külön vizsgáljuk, és használjuk a Pitagorasz-tételt: . És így, . Tehát mekkora itt a szükséges távolság? Nyilván a távolság nem lehet negatív, ezt kapjuk. A kettő gyöke megközelítőleg egyenlő, de amint azt korábban megjegyeztük, - már teljes válasz.

Ahhoz, hogy a gyökerekkel kapcsolatos példákat probléma okozása nélkül megoldhassa, látnia és felismernie kell őket. Ehhez ismernie kell legalább a számok négyzeteit től ig, és tudnia kell felismerni azokat. Például tudnod kell, hogy mi egyenlő a négyzettel, és fordítva, mi egyenlő a négyzettel.

Felfogtad, mi az a négyzetgyök? Ezután oldjon meg néhány példát.

Példák.

Nos, hogy sikerült? Most nézzük ezeket a példákat:

Válaszok:

köbgyök

Nos, úgy tűnik, megoldottuk a négyzetgyök fogalmát, most próbáljuk meg kitalálni, mi a kockagyök, és mi a különbségük.

Egy szám kockagyöke az a szám, amelynek kockája egyenlő. Észrevetted, hogy itt minden sokkal egyszerűbb? Nincsenek korlátozások lehetséges értékek mind a kocka gyökérjel alatti értékeket, mind a kinyert számot. Azaz a kockagyök tetszőleges számból kinyerhető: .

Érted, mi az a kockagyökér, és hogyan lehet kivonni? Akkor menj tovább, és oldd meg a példákat.

Példák.

Válaszok:

Gyökér - ó fok

Nos, megértettük a négyzet- és kockagyök fogalmát. Most pedig foglaljuk össze a koncepcióval szerzett ismereteket 1. gyökér.

1. gyökér egy szám olyan szám, amelynek th hatványa egyenlő, azaz.

egyenértékű.

Ha – akár, Ez:

• negatívval, a kifejezésnek nincs értelme (negatív számok páros gyöke nem távolítható el!);
• nem negatívnak() kifejezésnek van egy nem negatív gyöke.

Ha a - páratlan, akkor a kifejezésnek egyedi gyöke van bármelyikhez.

Ne ijedjen meg, itt ugyanazok az elvek érvényesek, mint a négyzet- és kockagyökereknél. Vagyis azok az elvek, amelyeket figyelembe vettünk négyzetgyök, a páros fokozat minden gyökére kiterjed.

És azok a tulajdonságok, amelyeket a köbös gyökérnél használtak, a páratlan fokú gyökerekre vonatkoznak.

Nos, világosabb lett? Nézzünk példákat:

Itt minden többé-kevésbé világos: először nézzük – igen, a fokozat páros, a gyök alatti szám pozitív, ami azt jelenti, hogy a feladatunk az, hogy találjunk egy olyan számot, amelynek negyedik foka lesz. Nos, valami tippelés? Talán,? Pontosan!

Tehát a fok egyenlő - páratlan, a gyökér alatti szám negatív. Az a feladatunk, hogy találjunk egy számot, amelyet hatványra emelve produkál. Elég nehéz azonnal észrevenni a gyökeret. A keresést azonban azonnal szűkítheti, igaz? Először is, a szükséges szám határozottan negatív, másodszor pedig észrevehető, hogy páratlan, és ezért a kívánt szám páratlan. Próbáld megtalálni a gyökeret. Persze nyugodtan el lehet utasítani. Talán,?

Igen, ezt kerestük! Vegye figyelembe, hogy a számítás egyszerűsítése érdekében a fokok tulajdonságait használtuk: .

A gyökerek alapvető tulajdonságai

Ez egyértelmű? Ha nem, akkor a példák megtekintése után mindennek a helyére kell kerülnie.

Gyökerek szaporodása

Hogyan szaporítsuk a gyökereket? A legegyszerűbb és legalapvetőbb tulajdonság segít megválaszolni ezt a kérdést:

Kezdjük valami egyszerűvel:

A kapott számok gyökerei nincsenek pontosan kivonva? Nem probléma – íme néhány példa:

Mi van, ha nem kettő, hanem több szorzó van? Ugyanaz! A gyökerek szorzásának képlete számos tényezővel működik:

Mit tehetünk vele? Nos, persze, rejtse el a hármat a gyökér alá, ne feledje, hogy a három a négyzetgyöke!

Miért van erre szükségünk? Igen, csak hogy bővítsük a képességeinket a példák megoldása során:

Nektek hogy tetszik a gyökereknek ez a tulajdonsága? Sokkal könnyebbé teszi az életet? Számomra ez pontosan így van! Csak emlékezned kell erre A páros fok gyökjele alá csak pozitív számokat írhatunk be.

Lássuk, hol lehet még ez hasznos. Például a probléma két szám összehasonlítását igényli:

Hogy több:

Nem tudod azonnal megmondani. Nos, használjuk azt a disassembled tulajdonságot, hogy a gyökérjel alá írjunk be egy számot? Akkor hajrá:

Nos, tudván mit nagyobb szám a gyökér jele alatt minél nagyobb maga a gyökér! Azok. ha akkor, . Ebből határozottan arra következtetünk. És senki sem fog minket meggyőzni az ellenkezőjéről!

Ezt megelőzően a gyökér jele alá írtunk be egy szorzót, de hogyan lehet eltávolítani? Csak faktorokba kell számolnia, és ki kell bontania, amit kivon!

Lehetett más utat választani, és más tényezőkre is kiterjeszteni:

Nem rossz, igaz? Ezen megközelítések bármelyike ​​helyes, döntsön, ahogy akarja.

Például itt van egy kifejezés:

Ebben a példában a fokszám páros, de mi van, ha páratlan? Ismét alkalmazza a hatványok tulajdonságait, és vegye figyelembe mindent:

Ezzel minden világosnak tűnik, de hogyan lehet egy szám gyökerét hatványra vonni? Itt van például ez:

Elég egyszerű, igaz? Mi van, ha a diploma több mint kettő? Ugyanezt a logikát követjük a fokok tulajdonságaival:

Nos, minden világos? Akkor itt egy példa:

Ezek a buktatók, róluk mindig érdemes emlékezni. Ezt tulajdonképpen a tulajdonságpéldák tükrözik:

páratlannak: egyenletes és:

Ez egyértelmű? Erősítse meg példákkal:

Igen, látjuk, hogy a gyök páros hatványhoz tartozik, a gyök alatti negatív szám is páros hatványhoz tartozik. Nos, ez ugyanúgy működik? Íme:

Ez minden! Íme néhány példa:

Megvan? Akkor menj tovább, és oldd meg a példákat.

Példák.

Válaszok.

Ha megkaptad a válaszokat, nyugodt szívvel továbbléphetsz. Ha nem, akkor értsük meg ezeket a példákat:

Nézzük meg a gyökér két másik tulajdonságát:

Ezeket a tulajdonságokat példákon kell elemezni. Nos, csináljuk ezt?

Megvan? Biztosítsuk.

Példák.

Válaszok.

GYÖKEREK ÉS TULAJDONSÁGAIK. ÁTLAGOS SZINT

Aritmetikai négyzetgyök

Az egyenletnek két megoldása van: és. Ezek olyan számok, amelyek négyzete egyenlő.

Tekintsük az egyenletet. Oldjuk meg grafikusan. Rajzoljuk meg a függvény grafikonját és egy vonalat a szinten. Ezeknek az egyeneseknek a metszéspontjai lesznek a megoldások. Látjuk, hogy ennek az egyenletnek két megoldása is van - az egyik pozitív, a másik negatív:

De ebben az esetben a megoldások nem egészek. Ráadásul nem racionálisak. Hogy ezeket az irracionális döntéseket leírjuk, bevezetünk egy speciális négyzetgyök szimbólumot.

Aritmetikai négyzetgyök egy nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő. Ha a kifejezés nincs definiálva, mert Nincs olyan szám, amelynek négyzete egyenlő negatív számmal.

Négyzetgyök: .

Például, . És ebből következik, hogy ill.

Még egyszer felhívom a figyelmet, ez nagyon fontos: A négyzetgyök mindig nem negatív szám: !

köbgyök egy szám olyan szám, amelynek kocka egyenlő. A kockagyök mindenki számára definiálva van. Bármely számból kinyerhető: . Amint látjuk, negatív értékeket is felvehet.

A szám th gyöke az a szám, amelynek hatványa egyenlő, azaz.

Ha páros, akkor:

• ha, akkor a th gyöke nincs definiálva.
• ha, akkor az egyenlet nemnegatív gyökét nevezzük a és a th fok számtani gyökének, és jelöljük.

Ha - páratlan, akkor az egyenletnek egyedi gyöke van bármelyikhez.

Észrevetted, hogy balra a gyök jele fölé írjuk a fokát? De nem a négyzetgyökért! Ha egy gyökér fok nélkül látható, az azt jelenti, hogy négyzet (fok).

Példák.

A gyökerek alapvető tulajdonságai

GYÖKEREK ÉS TULAJDONSÁGAIK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Négyzetgyök (számtani négyzetgyök) nem negatív számból ezt nevezzük nemnegatív szám, amelynek négyzete

A gyökér tulajdonságai:

Másodfokú számtani gyöke

1. definíció

$a$ második gyöke (vagy négyzetgyöke). hívjunk egy számot, amely négyzetbe húzva egyenlő lesz $a$-tal.

1. példa

$7^2=7 \cdot 7=49$, ami azt jelenti, hogy a $7$ szám a $49$ szám 2. gyöke;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, ami azt jelenti, hogy a $0.9$ szám a $0.81$ szám 2. gyöke;

$1^2=1 \cdot 1=1$, ami azt jelenti, hogy a $1$ szám a $1$ szám 2. gyöke.

Jegyzet 2

Egyszerűen fogalmazva bármely $a számra

$a=b^2$ negatív $a$ esetén helytelen, mert $a=b^2$ nem lehet negatív a $b$ egyik értékénél sem.

Arra lehet következtetni valós számoknál nem lehet negatív szám 2. gyöke.

3. megjegyzés

Mert $0^2=0 \cdot 0=0$, akkor a definícióból az következik, hogy a nulla a nulla 2. gyöke.

2. definíció

Az $a$ szám 2. fokának számtani gyöke($a \ge 0$) egy nem negatív szám, amely négyzetbe vonva $a$-nak felel meg.

A 2. fokú gyökereket is nevezik négyzetgyök.

Az $a$ szám 2. fokának számtani gyöke $\sqrt(a)$ vagy látható a $\sqrt(a)$ jelölés. De leggyakrabban a négyzetgyök a $2$ gyökérkitevő- nem meghatározott. A „$\sqrt( )$” jel a 2. fok számtani gyökének jele, amelyet „ radikális jel" A „gyökér” és a „radikális” fogalmak ugyanannak az objektumnak a nevei.

Ha a számtani gyökjel alatt van szám, akkor azt hívják gyökszám, és ha a kifejezés, akkor – radikális kifejezés.

A $\sqrt(8)$ bejegyzés „a nyolcas 2. fokának számtani gyökereként” olvasható, és az „aritmetika” szót gyakran nem használják.

3. definíció

Definíció szerint 2. fokú számtani gyökeírható:

Bármely $a \ge 0$ esetén:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Megmutattuk a különbséget a második gyök és az aritmetikai második gyök között. A továbbiakban csak a nemnegatív számok és kifejezések gyökereit vesszük figyelembe, pl. csak a számtan.

A harmadfokú számtani gyöke

4. definíció

Az $a$ szám 3. fokának (vagy kockagyökének) aritmetikai gyöke($a \ge 0$) egy nem negatív szám, amely kockára vágva egyenlő lesz $a$-tal.

Gyakran az aritmetika szót kihagyják, és azt mondják, hogy „a $a$ szám 3. gyöke”.

$a$ 3. fokának számtani gyöke $\sqrt(a)$, a „$\sqrt( )$” jel a 3. fok számtani gyökének, a $3$ szám pedig ezt a jelölést hívják gyökérindex. A gyökérjel alatt megjelenő számot vagy kifejezést hívják radikális.

2. példa

$\sqrt(3,5)$ – $3.5$ 3. fokának számtani gyöke vagy $3.5$ kockagyöke;

$\sqrt(x+5)$ – $x+5$ 3. fokának számtani gyöke vagy $x+5$ kockagyöke.

Aritmetikai n-edik gyök

5. definíció

Számtan n-edik gyök fokon az $a \ge 0$ számból egy nemnegatív számot hívunk, amely $n$-edik hatványra emelve egyenlő lesz $a$-tal.

Az $a \ge 0$ $n$ fok számtani gyökerének jelölése:

ahol $a$ egy gyökszám vagy kifejezés,

mi döntjük el egyszerű feladat keressük meg egy 9 cm 2 területű négyzet oldalát. Ha feltételezzük, hogy a négyzet oldala A cm, akkor a feladat feltételei szerint állítjuk össze az egyenletet:

A x A =9

A 2 =9

A 2 -9 =0

(A-3) (A+3)=0

A=3 vagy A=-3

Egy négyzet oldalhossza nem lehet negatív szám, ezért a négyzet szükséges oldala 3 cm.

Az egyenlet megoldása során megtaláltuk a 3-as és -3-as számokat, amelyek négyzete 9. Mindegyik számot a 9-es szám négyzetgyökének nevezzük. Ezen gyökök nemnegatívja, azaz a 3 szám aritmetikai gyökének nevezzük.

Teljesen logikus elfogadni azt a tényt, hogy a gyök megtalálható a számoktól a harmadik hatványig (kockagyök), negyedik hatványig stb. És elvileg a gyök a hatványozás fordított művelete.

Gyökérn fokozat számból α egy ilyen szám b, Ahol b n = α .

Itt n- természetes számot szoktak nevezni gyökérindex(vagy gyökér foka); általában 2-nél nagyobb vagy egyenlő, mert az eset n = 1 elcsépelt.

A betűn jelzett szimbólumként (gyökérjel) a jobb oldalon ún radikális. Szám α - radikális kifejezés. Egy bulival kapcsolatos példánkban a megoldás így nézhet ki: mert (± 3) 2 = 9 .

Megkaptuk a gyökér pozitív és negatív értékeit. Ez a funkció megnehezíti a számításokat. Az egyértelműség érdekében a koncepciót bevezették számtani gyök, melynek értéke mindig plusz előjellel, azaz csak pozitív.

Gyökér hívott számtan, ha egy pozitív számból nyerjük ki, és maga is pozitív szám.

Például,

Egy adott számból csak egy számtani gyöke van egy adott foknak.

A számítási műveletet általában „ gyökérkivonás n fokozat" közül α . Lényegében a hatványra emeléssel fordított műveletet hajtjuk végre, vagyis megkeressük a hatvány alapját. b ismert mutató szerint nés a hatalomra emelés eredménye

α = milliárd.

A másod- és harmadfok gyökereit gyakrabban használják a gyakorlatban, mint mások, ezért külön elnevezéseket kaptak.

Négyzetgyök: Ebben az esetben a 2. kitevőt nem szokás írni, és a „gyök” kifejezés a kitevő feltüntetése nélkül legtöbbször a négyzetgyököt jelenti. Geometriailag értelmezve egy négyzet oldalának hossza, amelynek területe egyenlő α .

Kockagyök: Geometriailag értelmezett, egy kocka élének hossza, amelynek térfogata egyenlő α .

A számtani gyökök tulajdonságai.

1) Számításkor a szorzat számtani gyökere, minden faktorból külön-külön szükséges kinyerni

Például,

2) Számításhoz tört gyöke, akkor ennek a törtnek a számlálójából és nevezőjéből kell kivonni

Például,

3) Számításkor fok gyökere, el kell osztani a kitevőt a gyökérkitevővel

Például,

A négyzetgyök kivonásával kapcsolatos első számításokat az ókori Babilon és Kína, India, Görögország matematikusainak munkáiban találtuk (az eredményekről Az ókori Egyiptom a forrásokban erre vonatkozóan nincs információ).

Az ókori Babilon (Kr. e. 2. évezred) matematikusai speciális numerikus módszert alkalmaztak a négyzetgyök kinyerésére. A négyzetgyök kezdeti közelítését a gyökérhez legközelebb eső természetes szám alapján találtuk meg (a kisebb irányban) n. A radikális kifejezés bemutatása a következő formában: α=n 2 +r, kapunk: x 0 =n+r/2n, akkor egy iteratív finomítási folyamatot alkalmaztunk:

Az iterációk ebben a módszerben nagyon gyorsan konvergálnak. számára,

Például, α=5; n=2; r=1; x 0 = 9/4 = 2,25és egy közelítési sorozatot kapunk:

A végső értékben az utolsó kivételével minden szám helyes.

A görögök megfogalmazták a kocka megkettőzésének problémáját, ami a kockagyök megalkotásába torkollott iránytű és vonalzó segítségével. Az egész szám bármely fokának kiszámításának szabályait indiai és arab államok matematikusai tanulmányozták. Aztán széles körben kifejlesztették a középkori Európában.

Manapság a négyzet- és kockagyökök kiszámításának megkönnyítése érdekében számológépeket széles körben használnak.

Gyökér fok n valós számból a, Ahol n- természetes szám, ilyen valós számot hívnak x, n amelynek th hatványa egyenlő a.

Gyökér fok n számból a szimbólum jelzi. E meghatározás szerint.

A gyökér megtalálása n fokú közülük a gyökérkivonásnak nevezzük. Szám A gyökszámnak (kifejezésnek) nevezzük, n- gyökérjelző. Különösnek n van egy gyökér n-edik hatvány bármely valós számra a. Amikor még n van egy gyökér n-edik hatvány csak nem negatív számok esetén a. A gyökér egyértelművé tételéhez n fokú közülük a, bevezetik a számtani gyök fogalmát n fokú közülük a.

Az N fokú számtani gyök fogalma

Ha n- természetes szám, nagyobb 1 , akkor van, és csak egy, nem negatív szám x, úgy, hogy az egyenlőség teljesüljön. Ez a szám x aritmetikai gyöknek nevezzük n egy nem negatív szám hatványa Aés ki van jelölve. Szám A radikális számnak nevezzük, n- gyökérjelző.

Tehát a definíció szerint a jelölés, ahol , egyrészt azt, másrészt azt jelenti, azaz. .

A fokozat fogalma racionális kitevővel

Fokozat természetes kitevővel: legyen A egy valós szám, és n- egynél nagyobb természetes szám, n-a szám hatványa A hívja a munkát n tényezők, amelyek mindegyike egyenlő A, azaz . Szám A- a végzettség alapja, n- kitevő. Nulla kitevőjű hatvány: definíció szerint ha , akkor . Egy szám nulla hatványa 0 nincs értelme. Negatív egész kitevővel rendelkező fok: definíció szerint feltételezzük, ha és n akkor természetes szám. Fokszám tört kitevővel: definíció szerint feltételezzük, ha és n- természetes szám, m akkor egy egész szám.

Műveletek gyökerekkel.

Az összes alábbi képletben a szimbólum számtani gyöket jelent (a gyök kifejezés pozitív).

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Egy arány gyöke egyenlő az osztalék és az osztó gyökének arányával:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:

4. Ha n-szer növeli a gyök fokát, és ezzel egyidejűleg a gyökszámot az n-edik hatványra emeli, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha n-szer csökkenti a gyök fokát, és egyidejűleg kivonja a gyökszám n-edik gyökét, akkor a gyök értéke nem változik:

A fokozat fogalmának bővítése. Eddig csak természetes kitevőkkel vettük figyelembe a fokokat; de a hatványokkal és gyökökkel végzett műveletek negatív, nulla és tört kitevőhöz is vezethetnek. Mindezek a kitevők további definíciót igényelnek.

Egy fok negatív kitevővel. Egy bizonyos negatív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával, amelynek kitevője megegyezik a negatív kitevő abszolút értékével:

Most az a m képlet: a n = a m - n nem csak n-nél nagyobb m-re, hanem n-nél kisebb m-re is használható.

PÉLDA a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Ha azt akarjuk, hogy az a m képlet: a n = a m - n érvényes legyen m = n-re, szükségünk van a nulla fok definíciójára.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullától eltérő szám hatványa nulla kitevővel 1.

PÉLDÁK. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Ahhoz, hogy egy a valós számot az m / n hatványra emeljünk, ki kell bontani az a szám m-edik hatványának n-edik gyökét:

Olyan kifejezésekről, amelyeknek nincs jelentésük. Több ilyen kifejezés létezik.

1. eset.

Ahol a ≠ 0 nem létezik.

Valójában, ha feltételezzük, hogy x egy bizonyos szám, akkor az osztási művelet definíciójának megfelelően a következőt kapjuk: a = 0 x, azaz. a = 0, ami ellentmond a feltételnek: a ≠ 0

2. eset.

Bármilyen szám.

Valójában, ha feltételezzük, hogy ez a kifejezés egy bizonyos x számmal egyenlő, akkor az osztási művelet definíciója szerint a következőt kapjuk: 0 = 0 · x. De ez az egyenlőség bármely x számra érvényes, amit bizonyítani kellett.

Igazán,

Megoldás Nézzünk három fő esetet:

1) x = 0 – ez az érték nem kielégítő ezt az egyenletet

2) x > 0 esetén a következőt kapjuk: x / x = 1, azaz. 1 = 1, ami azt jelenti, hogy x tetszőleges szám; de figyelembe véve, hogy esetünkben x > 0 a válasz x > 0;

3) x-nél< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

ebben az esetben nincs megoldás. Így x > 0.