Riešenie sústav rovníc pomocou Cramerovho pravidla. Cramerovo pravidlo

V prvej časti sme sa pozreli na nejaký teoretický materiál, substitučnú metódu, ako aj metódu sčítania po členoch systémových rovníc. Odporúčam každému, kto sa na stránku dostal cez túto stránku, aby si prečítal prvú časť. Možno sa niektorým návštevníkom bude zdať materiál príliš jednoduchý, ale ako riešime systémy lineárne rovnice Uviedol som niekoľko veľmi dôležitých pripomienok a záverov týkajúcich sa riešenia matematických úloh vo všeobecnosti.

Teraz budeme analyzovať Cramerovo pravidlo, ako aj riešenie systému lineárnych rovníc pomocou inverzná matica(maticová metóda). Všetky materiály sú prezentované jednoducho, podrobne a jasne, takmer všetci čitatelia sa budú môcť naučiť riešiť systémy pomocou vyššie uvedených metód.

Najprv sa bližšie pozrieme na Cramerovo pravidlo pre sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Prečo? - Po všetkom najjednoduchší systém možno riešiť školskou metódou, metódou sčítania po semestri!

Faktom je, že aj keď niekedy sa takáto úloha vyskytne - vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi pomocou Cramerových vzorcov. Po druhé, jednoduchší príklad vám pomôže pochopiť, ako použiť Cramerovo pravidlo pre zložitejší prípad – systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Okrem toho existujú systémy lineárnych rovníc s dvoma premennými, ktoré je vhodné riešiť pomocou Cramerovho pravidla!

Zvážte sústavu rovníc

V prvom kroku vypočítame determinant, tzv hlavný determinant systému.

Gaussova metóda.

Ak , potom systém má jediné rozhodnutie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie dva determinanty:
A

V praxi možno označiť aj vyššie uvedené kvalifikátory latinské písmeno.

Korene rovnice nájdeme pomocou vzorcov:
,

Príklad 7

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: Vidíme, že koeficienty rovnice sú dosť veľké, na pravej strane sú desatinné miesta s čiarkou. Čiarka je pomerne zriedkavým hosťom v praktických úlohách z matematiky Tento systém som prevzal z ekonometrickej úlohy.

Ako vyriešiť takýto systém? Môžete sa pokúsiť vyjadriť jednu premennú pomocou druhej, ale v tomto prípade pravdepodobne skončíte s hroznými ozdobnými zlomkami, s ktorými je mimoriadne nepohodlné pracovať a návrh riešenia bude vyzerať jednoducho hrozne. Druhú rovnicu môžete vynásobiť 6 a odčítať člen od člena, ale aj tu vzniknú rovnaké zlomky.

Čo robiť? V takýchto prípadoch prichádzajú na pomoc Cramerove vzorce.

;

;

Odpoveď: ,

Oba korene majú nekonečné chvosty a nachádzajú sa približne, čo je celkom prijateľné (a dokonca bežné) pre problémy ekonometrie.

Komentáre tu nie sú potrebné, pretože úloha sa rieši pomocou hotových vzorcov, je tu však jedno upozornenie. Kedy použiť túto metódu, povinné Fragment návrhu úlohy je nasledujúci fragment: „To znamená, že systém má jedinečné riešenie“. V opačnom prípade vás recenzent môže potrestať za nerešpektovanie Cramerovej vety.

Nebolo by zbytočné kontrolovať, čo je vhodné vykonať na kalkulačke: nahradíme približné hodnoty v ľavá strana každá rovnica systému. Výsledkom je, že s malou chybou by ste mali dostať čísla, ktoré sú na správnych stranách.

Príklad 8

Odpoveď prezentujte obyčajne nesprávne zlomky. Vykonajte kontrolu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami (príklad konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

Prejdime k Cramerovmu pravidlu pre systém troch rovníc s tromi neznámymi:

Nájdeme hlavný determinant systému:

Ak , potom má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný (nemá žiadne riešenia). V tomto prípade Cramerovo pravidlo nepomôže, musíte použiť Gaussovu metódu.

Ak , potom má systém jedinečné riešenie a na nájdenie koreňov musíme vypočítať ďalšie tri determinanty:
, ,

A nakoniec sa odpoveď vypočíta pomocou vzorcov:

Ako vidíte, prípad „tri po troch“ sa v zásade nelíši od prípadu „dva po dvoch“ stĺpec voľných výrazov postupne „prechádza“ zľava doprava pozdĺž stĺpcov hlavného determinantu.

Príklad 9

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Riešenie: Riešime sústavu pomocou Cramerových vzorcov.

, čo znamená, že systém má jedinečné riešenie.

Odpoveď: .

V skutočnosti tu opäť nie je nič zvláštne na komentár, pretože riešenie sa riadi hotovými vzorcami. Existuje však niekoľko pripomienok.

Stáva sa, že v dôsledku výpočtov sa získajú „zlé“ neredukovateľné frakcie, napríklad: .
Odporúčam nasledujúci „liečebný“ algoritmus. Ak nemáte po ruke počítač, postupujte takto:

1) Vo výpočtoch môže byť chyba. Akonáhle narazíte na „zlý“ zlomok, musíte okamžite skontrolovať Je podmienka prepísaná správne?. Ak je podmienka prepísaná bez chýb, potom je potrebné prepočítať determinanty pomocou rozšírenia v inom riadku (stĺpci).

2) Ak sa v dôsledku kontroly nezistia žiadne chyby, pravdepodobne došlo k preklepu v podmienkach úlohy. V tomto prípade pokojne a OPATRNE prepracujte úlohu až do konca a potom určite skontrolujte a po rozhodnutí to vypíšeme na čistý list. Samozrejme, kontrola zlomkovej odpovede je nepríjemná úloha, ale bude to odzbrojujúci argument pre učiteľa, ktorý veľmi rád dá mínus za každú hovadinu typu . Ako narábať so zlomkami je podrobne popísané v odpovedi na príklad 8.

Ak máte po ruke počítač, potom na kontrolu použite automatizovaný program, ktorý si môžete zadarmo stiahnuť hneď na začiatku lekcie. Mimochodom, je najvýhodnejšie použiť program hneď (ešte pred spustením riešenia okamžite uvidíte medzikrok, kde ste urobili chybu); Rovnaká kalkulačka automaticky vypočíta riešenie systému maticová metóda.

Druhá poznámka. Z času na čas existujú systémy, v ktorých rovnice niektoré premenné chýbajú, napr.

Tu v prvej rovnici nie je žiadna premenná, v druhej nie je žiadna premenná. V takýchto prípadoch je veľmi dôležité správne a POZORNE zapísať hlavný determinant:
– namiesto chýbajúcich premenných sa umiestnia nuly.
Mimochodom, je racionálne otvárať determinanty s nulami podľa riadku (stĺpca), v ktorom je nula umiestnená, pretože existuje výrazne menej výpočtov.

Príklad 10

Vyriešte systém pomocou Cramerových vzorcov.

Toto je príklad samostatného riešenia (ukážka konečného návrhu a odpoveď na konci hodiny).

V prípade systému 4 rovníc so 4 neznámymi sú Cramerove vzorce napísané podľa podobných princípov. Živý príklad si môžete pozrieť v lekcii Vlastnosti determinantov. Zmenšenie poradia determinantu – päť determinantov 4. rádu je celkom riešiteľných. Hoci úloha už veľmi pripomína profesorskú topánku na hrudi šťastného študenta.

Riešenie sústavy pomocou inverznej matice

Metóda inverznej matice je v podstate špeciálny prípad maticová rovnica(Pozri príklad č. 3 uvedenej lekcie).

Na preštudovanie tejto časti musíte byť schopní rozšíriť determinanty, nájsť inverznú hodnotu matice a vykonať násobenie matice. Príslušné odkazy budú poskytnuté v priebehu vysvetlení.

Príklad 11

Riešte sústavu maticovou metódou

Riešenie: Napíšme systém v maticovom tvare:
, Kde

Pozrite si systém rovníc a matíc. Myslím, že každý chápe princíp, akým zapisujeme prvky do matíc. Jediná poznámka: ak by v rovniciach chýbali nejaké premenné, museli by sa na zodpovedajúce miesta v matici umiestniť nuly.

Inverznú maticu nájdeme pomocou vzorca:
, kde je transponovaná matica algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov matice.

Najprv sa pozrime na determinant:

Tu je determinant rozšírený na prvom riadku.

Pozor! Ak , potom inverzná matica neexistuje a systém nie je možné vyriešiť maticovou metódou. V tomto prípade je systém riešený metódou eliminácie neznámych (Gaussova metóda).

Teraz musíme vypočítať 9 maloletých a zapísať ich do matice maloletých

Referencia: Je užitočné poznať význam dvojitých indexov v lineárnej algebre. Prvá číslica je číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza. Druhá číslica je číslo stĺpca, v ktorom sa prvok nachádza:

To znamená, že dvojitý dolný index označuje, že prvok je v prvom riadku, treťom stĺpci a napríklad prvok je v 3 riadkoch, 2 stĺpcoch

Uvažujme sústavu 3 rovníc s tromi neznámymi

Pomocou determinantov 3. rádu možno riešenie takejto sústavy zapísať v rovnakom tvare ako pri sústave dvoch rovníc, t.j.

(2.4)

ak 0. Tu

Je to tam Cramerovo pravidlo riešenie sústavy troch lineárnych rovníc o troch neznámych.

Príklad 2.3. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Cramerovho pravidla:

Riešenie . Nájdenie determinantu hlavnej matice systému

Od 0 potom na nájdenie riešenia systému môžeme použiť Cramerovo pravidlo, ale najprv vypočítame tri ďalšie determinanty:

Vyšetrenie:

Preto bolo riešenie nájdené správne. 

Cramerove pravidlá odvodené pre lineárne systémy 2. a 3. rádu naznačujú, že rovnaké pravidlá možno formulovať pre lineárne systémy akéhokoľvek rádu. Naozaj sa stáva

Cramerova veta. Kvadratická sústava lineárnych rovníc s nenulovým determinantom hlavnej matice sústavy (0) má jedno a len jedno riešenie a toto riešenie sa vypočíta pomocou vzorcov

(2.5)

Kde  – determinant hlavnej matice,  i – maticový determinant, získaný z hlavného, ​​nahrádzajúciistĺpec stĺpca voľných členov.

Všimnite si, že ak =0, potom Cramerovo pravidlo neplatí. To znamená, že systém buď nemá žiadne riešenia, alebo má nekonečne veľa riešení.

Po sformulovaní Cramerovej vety prirodzene vyvstáva otázka výpočtu determinantov vyšších rádov.

2.4. Determinanty n-tého rádu

Dodatočná maloletá M ij element a ij je determinant získaný z daného vymazaním i riadok a j stĺpec. Algebraický doplnok A ij element a ij volá sa vedľajší prvok tohto prvku so znamienkom (–1). i + j, t.j. A ij = (–1) i + j M ij .

Napríklad nájdime vedľajšie a algebraické doplnky prvkov a 23 a a 31 kvalifikantov

Dostaneme



Pomocou konceptu algebraického doplnku môžeme formulovať determinantná expanzná vetan-tého poradia podľa riadku alebo stĺpca.

Veta 2.1. Maticový determinantAsa rovná súčtu súčinov všetkých prvkov určitého riadka (alebo stĺpca) ich algebraickými doplnkami:

(2.6)

Táto veta je základom jednej z hlavných metód na výpočet determinantov, tzv. spôsob zníženia objednávky. V dôsledku rozšírenia determinantu n poradí nad ľubovoľným riadkom alebo stĺpcom, dostaneme n determinantov ( n-1) poradie. Ak chcete mať menej takýchto determinantov, odporúča sa vybrať riadok alebo stĺpec, ktorý má najviac núl. V praxi sa expanzný vzorec pre determinant zvyčajne píše ako:

tie. algebraické dodatky sa píšu výslovne v zmysle neplnoletých.

Príklady 2.4. Vypočítajte determinanty tak, že ich najprv zoradíte do nejakého riadku alebo stĺpca. V takýchto prípadoch zvyčajne vyberte stĺpec alebo riadok, ktorý má najviac núl. Vybraný riadok alebo stĺpec bude označený šípkou.



2.5. Základné vlastnosti determinantov

Rozšírením determinantu cez ľubovoľný riadok alebo stĺpec dostaneme n determinantov ( n-1) poradie. Potom každý z týchto determinantov ( n–1. rád možno rozšíriť aj na súčet determinantov ( n-2) poradie. Pokračujúc v tomto procese možno dosiahnuť determinanty 1. rádu, t.j. na prvky matice, ktorej determinant sa vypočíta. Takže na výpočet determinantov 2. rádu budete musieť vypočítať súčet dvoch členov, pre determinanty 3. rádu súčet 6 členov, pre determinanty 4. rádu - 24 členov. Počet členov sa bude prudko zvyšovať so zvyšujúcim sa poradím determinantu. To znamená, že výpočet determinantov veľmi vysokých rádov sa stáva pomerne náročnou úlohou, ktorá presahuje možnosti dokonca počítača. Determinanty však možno vypočítať aj iným spôsobom, pomocou vlastností determinantov.

Nehnuteľnosť 1 . Determinant sa nezmení, ak sa v ňom vymenia riadky a stĺpce, t.j. pri transponovaní matice:

.

Táto vlastnosť označuje rovnosť riadkov a stĺpcov determinantu. Inými slovami, akékoľvek tvrdenie o stĺpcoch determinantu platí aj pre jeho riadky a naopak.

Nehnuteľnosť 2 . Determinant zmení znamienko, keď sa vymenia dva riadky (stĺpce).

Dôsledok . Ak má determinant dva rovnaké riadky (stĺpce), potom to rovná nule.

Nehnuteľnosť 3 . Spoločný faktor všetkých prvkov v ľubovoľnom riadku (stĺpci) môže byť za znamienkom determinantu.

Napríklad,

Dôsledok . Ak sú všetky prvky určitého riadku (stĺpca) determinantu rovné nule, potom samotný determinant je rovný nule.

Nehnuteľnosť 4 . Determinant sa nezmení, ak sa prvky jedného riadka (stĺpca) pridajú k prvkom iného riadka (stĺpca) a vynásobia sa ľubovoľným číslom.

Napríklad,

Nehnuteľnosť 5 . Determinant súčinu matíc sa rovná súčinu determinantov matíc:

2. Riešenie sústav rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).
3. Gaussova metóda riešenia sústav rovníc.

Cramerova metóda.

Cramerova metóda sa používa na riešenie lineárnych sústav algebraické rovnice (SLAU).

Vzorce na príklade sústavy dvoch rovníc s dvoma premennými.
Vzhľadom na to: Vyriešte systém Cramerovou metódou

Čo sa týka premenných X A pri.
Riešenie:
Nájdite determinant matice, zloženú z koeficientov systému Výpočet determinantov. :

Aplikujme Cramerove vzorce a nájdime hodnoty premenných:
A .
Príklad 1:
Vyriešte sústavu rovníc:

ohľadom premenných X A pri.
Riešenie:


Nahraďme prvý stĺpec v tomto determinante stĺpcom koeficientov z pravej strany systému a nájdime jeho hodnotu:

Poďme na to podobná akcia, nahradením druhého stĺpca v prvom determinante:

Použiteľné Cramerove vzorce a nájdite hodnoty premenných:
A .
odpoveď:
komentár: Táto metóda môže riešiť systémy vyšších dimenzií.

komentár: Ak sa ukáže, že , ale nedá sa vydeliť nulou, potom hovoria, že systém nemá jedinečné riešenie. V tomto prípade má systém buď nekonečne veľa riešení, alebo nemá žiadne riešenia.

Príklad 2(nekonečné množstvo riešení):

Vyriešte sústavu rovníc:

ohľadom premenných X A pri.
Riešenie:
Nájdite determinant matice zloženej z koeficientov systému:

Riešenie systémov substitučnou metódou.

Prvá z rovníc systému je rovnosť, ktorá platí pre všetky hodnoty premenných (pretože 4 sa vždy rovná 4). To znamená, že zostáva len jedna rovnica. Toto je rovnica vzťahu medzi premennými.
Zistili sme, že riešením systému je ľubovoľný pár hodnôt premenných, ktoré sú navzájom spojené rovnosťou.
Všeobecné riešenie bude napísané takto:
Jednotlivé riešenia možno určiť výberom ľubovoľnej hodnoty y a výpočtom x z tejto rovnosti spojenia.

atď.
Takýchto riešení je nekonečne veľa.
odpoveď: spoločné rozhodnutie
Súkromné ​​riešenia:

Príklad 3(žiadne riešenia, systém je nekompatibilný):

Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie:
Nájdite determinant matice zloženej z koeficientov systému:

Cramerove vzorce nemožno použiť. Vyriešme tento systém pomocou substitučnej metódy

Druhá rovnica systému je rovnosť, ktorá neplatí pre žiadne hodnoty premenných (samozrejme, pretože -15 sa nerovná 2). Ak jedna z rovníc systému neplatí pre žiadne hodnoty premenných, potom celý systém nemá riešenia.
odpoveď:žiadne riešenia

Cramerova metóda je založená na použití determinantov pri riešení sústav lineárnych rovníc. To výrazne urýchľuje proces riešenia.

Cramerovu metódu možno použiť na riešenie systému toľkých lineárnych rovníc, koľko je neznámych v každej rovnici. Ak sa determinant systému nerovná nule, potom sa v riešení môže použiť Cramerova metóda, ale ak sa rovná nule, nie. Okrem toho možno Cramerovu metódu použiť na riešenie systémov lineárnych rovníc, ktoré majú jedinečné riešenie.

Definícia. Determinant tvorený koeficientmi pre neznáme sa nazýva determinant systému a označuje sa (delta).

Determinanty

sa získajú nahradením koeficientov zodpovedajúcich neznámych voľnými členmi:

;

.

Cramerova veta. Ak je determinant systému nenulový, potom systém lineárnych rovníc má jedno jedinečné riešenie a neznáma sa rovná pomeru determinantov. Menovateľ obsahuje determinant systému a čitateľ obsahuje determinant získaný z determinantu systému nahradením koeficientov tejto neznámej voľnými členmi. Táto veta platí pre sústavu lineárnych rovníc ľubovoľného rádu.

Príklad 1 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc:

Podľa Cramerova veta máme:

Takže riešenie systému (2):

online kalkulačka, rozhodujúca metóda Kramer.

Tri prípady pri riešení sústav lineárnych rovníc

Ako je zrejmé z Cramerova veta, pri riešení sústavy lineárnych rovníc môžu nastať tri prípady:

Prvý prípad: sústava lineárnych rovníc má jedinečné riešenie

(systém je konzistentný a jednoznačný)

Druhý prípad: sústava lineárnych rovníc má nekonečný počet riešení

(systém je konzistentný a neistý)

** ,

tie. koeficienty neznámych a voľných členov sú úmerné.

Tretí prípad: sústava lineárnych rovníc nemá riešenia

(systém je nekonzistentný)

Takže systém m lineárne rovnice s n nazývané premenné nekĺbový, ak nemá jediné riešenie, a kĺb, ak má aspoň jedno riešenie. Súčasný systém rovníc, ktorý má len jedno riešenie, sa nazýva istý a viac ako jeden - neistý.

Príklady riešenia sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou

Nech je daný systém

.

Na základe Cramerovej vety

………….
,

Kde
-

systémový determinant. Zvyšné determinanty získame nahradením stĺpca koeficientmi príslušnej premennej (neznáme) voľnými členmi:

Príklad 2

.

Preto je systém definitívny. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty

Pomocou Cramerových vzorcov zistíme:

Takže (1; 0; -1) je jediné riešenie systému.

Na kontrolu riešení systémov rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku využívajúcu Cramerovu metódu riešenia.

Ak v systéme lineárnych rovníc nie sú žiadne premenné v jednej alebo viacerých rovniciach, potom v determinante sú zodpovedajúce prvky rovné nule! Toto je ďalší príklad.

Príklad 3 Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

.

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Pozorne sa pozrite na sústavu rovníc a na determinant sústavy a zopakujte odpoveď na otázku, v ktorých prípadoch sa jeden alebo viac prvkov determinantu rovná nule. Takže determinant sa nerovná nule, preto je systém určitý. Aby sme našli riešenie, vypočítame determinanty pre neznáme

Pomocou Cramerových vzorcov zistíme:

Takže riešenie systému je (2; -1; 1).

Na kontrolu riešení systémov rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku využívajúcu Cramerovu metódu riešenia.

Začiatok stránky

Pokračujeme v riešení systémov Cramerovou metódou spoločne

Ako už bolo spomenuté, ak je determinant systému rovný nule a determinanty neznámych nie sú rovné nule, systém je nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia. Ilustrujme si to na nasledujúcom príklade.

Príklad 6. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Determinant systému je rovný nule, preto je systém lineárnych rovníc buď nekonzistentný a určitý, alebo nekonzistentný, to znamená, že nemá riešenia. Pre objasnenie vypočítame determinanty pre neznáme

Determinanty neznámych sa nerovnajú nule, preto je systém nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia.

Na kontrolu riešení systémov rovníc 3 X 3 a 4 X 4 môžete použiť online kalkulačku využívajúcu Cramerovu metódu riešenia.

V úlohách týkajúcich sa sústav lineárnych rovníc sú aj také, kde sa okrem písmen označujúcich premenné vyskytujú aj iné písmená. Tieto písmená predstavujú číslo, najčastejšie skutočné. V praxi k takýmto rovniciam a sústavám rovníc vedú problémy hľadania všeobecných vlastností akýchkoľvek javov alebo objektov. To znamená, že ste nejaké vymysleli nový materiál alebo zariadenie a na popis jeho vlastností, ktoré sú bežné bez ohľadu na veľkosť alebo počet inštancií, je potrebné vyriešiť sústavu lineárnych rovníc, kde namiesto nejakých koeficientov pre premenné sú písmená. Príklady netreba hľadať ďaleko.

Nasledujúci príklad je pre podobný problém, len sa zvyšuje počet rovníc, premenných a písmen označujúcich určité reálne číslo.

Príklad 8. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Cramerovou metódou:

Riešenie. Nájdeme determinant systému:

Hľadanie determinantov pre neznáme