Gaussova metóda ako detailne riešiť. Gaussova metóda: popis algoritmu riešenia sústavy lineárnych rovníc, príklady, riešenia

Gaussova metóda, nazývaná aj metóda postupnej eliminácie neznámych, je nasledovná. Pomocou elementárnych transformácií sa systém lineárnych rovníc dostane do takej formy, že jeho matica koeficientov sa ukáže ako lichobežníkový (rovnaký ako trojuholníkový alebo stupňovitý) alebo takmer lichobežníkový (priamy ťah Gaussovej metódy, ďalej len priamy ťah). Príklad takéhoto systému a jeho riešenie je na obrázku vyššie.

V takomto systéme posledná rovnica obsahuje iba jednu premennú a jej hodnotu možno jednoznačne nájsť. Hodnota tejto premennej sa potom dosadí do predchádzajúcej rovnice ( spätný zdvih Gaussova metóda , potom len naopak), z ktorej sa nájde predchádzajúca premenná atď.

V lichobežníkovom (trojuholníkovom) systéme, ako vidíme, tretia rovnica už neobsahuje premenné r A X a druhá rovnica je premenná X .

Potom, čo matica systému nadobudne lichobežníkový tvar, už nie je ťažké pochopiť problematiku kompatibility systému, určiť počet riešení a nájsť riešenia samotné.

Výhody metódy:

pri riešení systémov lineárne rovnice s počtom rovníc a neznámych viac ako tri nie je Gaussova metóda taká ťažkopádna ako Cramerova metóda, keďže riešenie pomocou Gaussovej metódy vyžaduje menej výpočtov;
Gaussova metóda dokáže riešiť neurčité sústavy lineárnych rovníc, to znamená, že majú všeobecné riešenie (a budeme ich analyzovať v tejto lekcii) a pomocou Cramerovej metódy môžeme len konštatovať, že sústava je neurčitá;
môžete riešiť sústavy lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych nerovná počtu rovníc (v tejto lekcii ich tiež rozoberieme);
Metóda je založená na elementárnych (školských) metódach - metóde dosadzovania neznámych a metóde sčítania rovníc, ktorých sme sa dotkli v zodpovedajúcom článku.

Aby každý pochopil jednoduchosť, s akou sa riešia lichobežníkové (trojuholníkové, stupňovité) sústavy lineárnych rovníc, uvádzame riešenie takejto sústavy pomocou spätného pohybu. Rýchle riešenie tohto systému bolo znázornené na obrázku na začiatku hodiny.

Príklad 1 Vyriešte systém lineárnych rovníc pomocou inverzných:

Riešenie. V tomto lichobežníkovom systéme premenná z možno jednoznačne nájsť z tretej rovnice. Jej hodnotu dosadíme do druhej rovnice a dostaneme hodnotu premennej r:

Teraz poznáme hodnoty dvoch premenných - z A r. Dosadíme ich do prvej rovnice a dostaneme hodnotu premennej X:

Z predchádzajúcich krokov vypíšeme riešenie sústavy rovníc:

Na získanie takejto lichobežníkovej sústavy lineárnych rovníc, ktorú sme vyriešili veľmi jednoducho, je potrebné použiť dopredný zdvih spojený s elementárnymi transformáciami sústavy lineárnych rovníc. Tiež to nie je veľmi ťažké.

Elementárne transformácie sústavy lineárnych rovníc

Opakovaním školskej metódy algebraického sčítania rovníc sústavy sme zistili, že k jednej z rovníc sústavy môžeme pridať ďalšiu rovnicu sústavy a každú z rovníc možno vynásobiť nejakými číslami. Výsledkom je systém lineárnych rovníc ekvivalentný tomuto systému. V nej už jedna rovnica obsahovala len jednu premennú, ktorej dosadením hodnoty do iných rovníc sa dostávame k riešeniu. Takéto sčítanie je jedným z typov elementárnej transformácie systému. Pri použití Gaussovej metódy môžeme použiť niekoľko typov transformácií.

Animácia vyššie ukazuje, ako sa sústava rovníc postupne mení na lichobežníkový. Teda ten, ktorý ste videli v úplne prvej animácii a presvedčili ste sa, že je ľahké z neho nájsť hodnoty všetkých neznámych. Ako vykonať takúto transformáciu a, samozrejme, príklady budú diskutované ďalej.

Pri riešení sústav lineárnych rovníc s ľubovoľným počtom rovníc a neznámych v sústave rovníc a v rozšírenej matici sústavy Môcť:

preusporiadať riadky (toto bolo spomenuté na samom začiatku tohto článku);
ak výsledkom iných transformácií sú rovnaké alebo proporcionálne riadky, možno ich vymazať, s výnimkou jedného;
odstrániť "nulové" riadky, kde sa všetky koeficienty rovnajú nule;
vynásobte alebo vydeľte ľubovoľný reťazec určitým číslom;
k ľubovoľnému riadku pridajte ďalší riadok, vynásobený určitým číslom.

Výsledkom transformácií je sústava lineárnych rovníc ekvivalentná tejto sústave.

Algoritmus a príklady riešenia sústavy lineárnych rovníc so štvorcovou maticou sústavy pomocou Gaussovej metódy

Uvažujme najskôr o riešení sústav lineárnych rovníc, v ktorých sa počet neznámych rovná počtu rovníc. Matica takéhoto systému je štvorcová, to znamená, že počet riadkov v nej sa rovná počtu stĺpcov.

Príklad 2 Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Riešenie sústav lineárnych rovníc školské spôsoby, vynásobili sme jednu z rovníc člen po člen určitým číslom, takže koeficienty prvej premennej v dvoch rovniciach boli opačné čísla. Pri pridávaní rovníc táto premenná odpadá. Gaussova metóda funguje podobne.

Pre zjednodušenie vzhľad riešenia vytvorme rozšírenú maticu systému:

V tejto matici sú koeficienty neznámych umiestnené vľavo pred zvislou čiarou a voľné členy sú umiestnené vpravo za zvislou čiarou.

Pre pohodlie deliacich koeficientov pre premenné (na získanie delenia jednotkou) Vymeňme prvý a druhý riadok matice systému. Získame systém ekvivalentný tomuto systému, pretože v systéme lineárnych rovníc možno rovnice zamieňať:

Pomocou novej prvej rovnice odstrániť premennú X z druhej a všetkých nasledujúcich rovníc. Aby sme to urobili, do druhého riadku matice pridáme prvý riadok vynásobený (v našom prípade ), do tretieho riadku - prvý riadok vynásobený (v našom prípade ).

Je to možné, pretože

Ak by v našom systéme bolo viac ako tri rovnice, potom by sme museli do všetkých nasledujúcich rovníc pridať prvý riadok, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov, braný so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že získame maticu ekvivalentnú tomuto systému nového systému rovníc, v ktorom všetky rovnice počnúc od 2. neobsahujú premennú X :

Aby ste zjednodušili druhý riadok výsledného systému, vynásobte ho a znova získajte maticu systému rovníc ekvivalentných tomuto systému:

Teraz, keď ponecháme prvú rovnicu výsledného systému nezmenenú, pomocou druhej rovnice eliminujeme premennú r zo všetkých nasledujúcich rovníc. Aby sme to urobili, do tretieho riadku matice systému pridáme druhý riadok, vynásobený (v našom prípade ).

Ak by v našom systéme existovalo viac ako tri rovnice, museli by sme do všetkých nasledujúcich rovníc pridať druhý riadok, vynásobený pomerom zodpovedajúcich koeficientov so znamienkom mínus.

Výsledkom je, že opäť získame maticu systému ekvivalentného tomuto systému lineárnych rovníc:

Získali sme ekvivalentný lichobežníkový systém lineárnych rovníc:

Ak je počet rovníc a premenných väčší ako v našom príklade, potom proces postupného odstraňovania premenných pokračuje, kým sa matica systému nestane lichobežníkovým, ako v našom demo príklade.

Nájdeme riešenie „od konca“ - spätný pohyb. Pre to z poslednej rovnice určíme z:
.
Nahradením tejto hodnoty do predchádzajúcej rovnice nájdeme r:

Z prvej rovnice nájdeme X:

Odpoveď: riešenie tejto sústavy rovníc je .

: v tomto prípade bude daná rovnaká odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie. Ak má systém nekonečný počet riešení, toto bude odpoveď a toto je predmetom piatej časti tejto lekcie.

Vyriešte systém lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy sami a potom sa pozrite na riešenie

Opäť tu máme príklad konzistentného a určitého systému lineárnych rovníc, v ktorom sa počet rovníc rovná počtu neznámych. Rozdiel od nášho ukážkového príkladu z algoritmu je v tom, že už existujú štyri rovnice a štyri neznáme.

Príklad 4. Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na odstránenie premennej z nasledujúcich rovníc. Vykonajte prípravné práce. Aby to bolo pohodlnejšie s pomerom koeficientov, musíte jeden získať v druhom stĺpci druhého riadku. Ak to chcete urobiť, odpočítajte tretí od druhého riadku a vynásobte výsledný druhý riadok -1.

Urobme teraz samotnú elimináciu premennej z tretej a štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte druhý riadok vynásobený , do tretieho riadku a druhý, násobený , do štvrtého riadku.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte tretí riadok k štvrtému riadku, vynásobte ho . Získame rozšírenú trapézovú matricu.

Získali sme sústavu rovníc, ktorej je daná sústava ekvivalentná:

Následne sú výsledné a dané systémy kompatibilné a jednoznačné. Konečné riešenie nájdeme „od konca“. Zo štvrtej rovnice môžeme priamo vyjadriť hodnotu premennej „x-štyri“:

Túto hodnotu dosadíme do tretej rovnice sústavy a dostaneme

Nakoniec, nahradenie hodnoty

Prvá rovnica dáva

kde nájdeme „x prvé“:

Odpoveď: tento systém rovníc má jediné rozhodnutie .

Riešenie systému môžete skontrolovať aj na kalkulačke Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

Riešenie aplikovaných úloh pomocou Gaussovej metódy na príklade úlohy o zliatinách

Systémy lineárnych rovníc sa používajú na modelovanie reálnych objektov vo fyzickom svete. Poďme vyriešiť jeden z týchto problémov - zliatiny. Podobnými problémami sú problémy so zmesami, náklady alebo podiel jednotlivých tovarov v skupine tovarov a pod.

Príklad 5. Tri kusy zliatiny majú celkovú hmotnosť 150 kg. Prvá zliatina obsahuje 60% medi, druhá - 30%, tretia - 10%. Navyše v druhej a tretej zliatine spolu je o 28,4 kg medi menej ako v prvej zliatine a v tretej zliatine je o 6,2 kg menej medi ako v druhej. Nájdite hmotnosť každého kusu zliatiny.

Riešenie. Zostavíme sústavu lineárnych rovníc:

Vynásobíme druhú a tretiu rovnicu 10, dostaneme ekvivalentný systém lineárnych rovníc:

Vytvárame rozšírenú maticu systému:

Pozor, priamo vpred. Pričítaním (v našom prípade odčítaním) jedného riadku vynásobeného číslom (aplikujeme ho dvakrát) dochádza s rozšírenou maticou systému k nasledujúcim transformáciám:

Priamy ťah je u konca. Získali sme expandovanú lichobežníkovú matricu.

Aplikujeme spätný pohyb. Nájdeme riešenie od konca. To vidíme.

Z druhej rovnice zistíme

Z tretej rovnice -

Riešenie systému môžete skontrolovať aj na kalkulačke Cramerovou metódou: v tomto prípade dostanete rovnakú odpoveď, ak má systém jedinečné riešenie.

O jednoduchosti Gaussovej metódy svedčí fakt, že jej vynájdenie trvalo nemeckému matematikovi Carlovi Friedrichovi Gaussovi iba 15 minút. Okrem metódy pomenovanej po ňom je z Gaussových diel známe príslovie „Nemali by sme si zamieňať to, čo sa nám zdá neuveriteľné a neprirodzené s absolútne nemožným“ – akýsi druh stručné pokyny robiť objavy.

V mnohých aplikovaných úlohách nemusí existovať tretie obmedzenie, teda tretia rovnica, potom treba pomocou Gaussovej metódy vyriešiť systém dvoch rovníc s tromi neznámymi, alebo naopak, neznámych je menej ako rovníc. Teraz začneme riešiť takéto sústavy rovníc.

Pomocou Gaussovej metódy môžete určiť, či je niektorý systém kompatibilný alebo nekompatibilný n lineárne rovnice s n premenné.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc s nekonečným počtom riešení

Ďalším príkladom je konzistentný, ale neurčitý systém lineárnych rovníc, ktorý má nekonečný počet riešení.

Po vykonaní transformácií v rozšírenej matici systému (preusporiadanie riadkov, vynásobenie a delenie riadkov určitým číslom, pridanie ďalšieho k jednému riadku) sa mohli objaviť riadky formulára

Ak vo všetkých rovniciach majú tvar

Voľné členy sa rovnajú nule, to znamená, že systém je neurčitý, to znamená, že má nekonečný počet riešení a rovnice tohto typu sú „nadbytočné“ a vylučujeme ich zo systému.

Príklad 6.

Riešenie. Vytvorme rozšírenú maticu systému. Potom pomocou prvej rovnice odstránime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte do druhého, tretieho a štvrtého riadku prvý, vynásobený:

Teraz pridajme druhý riadok k tretiemu a štvrtému.

V dôsledku toho sa dostávame k systému

Posledné dve rovnice sa zmenili na rovnice tvaru. Tieto rovnice sú splnené pre akúkoľvek hodnotu neznámych a môžu byť vyradené.

Aby sme splnili druhú rovnicu, môžeme zvoliť ľubovoľné hodnoty pre a , potom bude hodnota pre určená jednoznačne: . Z prvej rovnice je hodnota pre tiež nájdená jednoznačne: .

Daný aj posledný systém sú konzistentné, ale neisté a vzorce

pre ľubovoľné a dajte nám všetky riešenia daného systému.

Gaussova metóda a sústavy lineárnych rovníc bez riešení

Ďalším príkladom je nekonzistentný systém lineárnych rovníc, teda taký, ktorý nemá riešenia. Odpoveď na takéto problémy je formulovaná takto: systém nemá riešenia.

Ako už bolo spomenuté v súvislosti s prvým príkladom, po vykonaní transformácií by sa v rozšírenej matici systému mohli objaviť riadky formulára

zodpovedajúca rovnici tvaru

Ak medzi nimi existuje aspoň jedna rovnica s nenulovým voľným členom (t. j.), potom je táto sústava rovníc nekonzistentná, to znamená, že nemá riešenia a jej riešenie je úplné.

Príklad 7. Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Riešenie. Zostavíme rozšírenú maticu systému. Pomocou prvej rovnice vylúčime premennú z nasledujúcich rovníc. Ak to chcete urobiť, pridajte prvý riadok vynásobený k druhému riadku, prvý riadok vynásobený tretím riadkom a prvý riadok vynásobený štvrtým riadkom.

Teraz musíte použiť druhú rovnicu na odstránenie premennej z nasledujúcich rovníc. Aby sme získali celočíselné pomery koeficientov, prehodíme druhý a tretí riadok rozšírenej matice systému.

Ak chcete vylúčiť tretiu a štvrtú rovnicu, pridajte druhú vynásobenú , do tretieho riadku a druhú násobenú , do štvrtého riadku.

Teraz pomocou tretej rovnice odstránime premennú zo štvrtej rovnice. Ak to chcete urobiť, pridajte tretí riadok k štvrtému riadku, vynásobte ho .

Zadaný systém je teda ekvivalentná nasledovnému:

Výsledný systém je nekonzistentný, pretože jeho posledná rovnica nemôže byť splnená žiadnymi hodnotami neznámych. Preto tento systém nemá žiadne riešenia.

V tomto článku je metóda považovaná za metódu riešenia systémov lineárnych rovníc (SLAE). Metóda je analytická, to znamená, že vám umožňuje zapísať algoritmus riešenia všeobecný pohľad a potom tam nahraďte hodnoty z konkrétnych príkladov. Na rozdiel od maticovej metódy alebo Cramerových vzorcov sa pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy dá pracovať aj s takými, ktoré majú nekonečný počet riešení. Alebo ho nemajú vôbec.

Čo znamená riešiť pomocou Gaussovej metódy?

Najprv musíme napísať náš systém rovníc do Vyzerá to takto. Vezmite systém:

Koeficienty sa zapisujú vo forme tabuľky a voľné termíny sa zapisujú do samostatného stĺpca vpravo. Stĺpec s voľnými výrazmi je pre pohodlie oddelený Matica, ktorá obsahuje tento stĺpec, sa nazýva rozšírená.

Ďalej je potrebné zredukovať hlavnú maticu s koeficientmi na horný trojuholníkový tvar. Toto je hlavný bod riešenia systému pomocou Gaussovej metódy. Jednoducho povedané, po určitých manipuláciách by matica mala vyzerať tak, že jej ľavá spodná časť obsahuje iba nuly:

Potom, ak napíšete novú maticu znova ako sústavu rovníc, všimnete si, že posledný riadok už obsahuje hodnotu jedného z koreňov, ktorá sa potom dosadí do vyššie uvedenej rovnice, nájde sa ďalší koreň atď.

Toto je najvšeobecnejší popis riešenia Gaussovou metódou. Čo sa stane, ak systém zrazu nemá riešenie? Alebo ich je nekonečne veľa? Na zodpovedanie týchto a mnohých ďalších otázok je potrebné samostatne zvážiť všetky prvky použité pri riešení Gaussovej metódy.

Matrice, ich vlastnosti

V matrici nie je skrytý význam. Je to jednoducho pohodlný spôsob zaznamenávania údajov pre následné operácie s ním. Nemusia sa ich báť ani školáci.

Matica je vždy obdĺžniková, pretože je pohodlnejšia. Dokonca aj v Gaussovej metóde, kde všetko spočíva v zostrojení matice trojuholníkového tvaru, sa v položke objaví obdĺžnik, len s nulami na mieste, kde nie sú žiadne čísla. Nuly sa nemusia písať, ale sú implikované.

Matica má veľkosť. Jeho „šírka“ je počet riadkov (m), „dĺžka“ je počet stĺpcov (n). Potom veľkosť matice A (na ich označenie sa zvyčajne používajú veľké písmená) písmená) sa označí ako A m×n. Ak m=n, potom je táto matica štvorcová a m=n je jej poradie. Podľa toho môže byť ľubovoľný prvok matice A označený číslami riadkov a stĺpcov: a xy; x - číslo riadku, zmeny, y - číslo stĺpca, zmeny.

B nie je hlavným bodom rozhodnutia. V zásade možno všetky operácie vykonávať priamo so samotnými rovnicami, no zápis bude oveľa ťažkopádnejší a bude sa v ňom oveľa ľahšie zmiasť.

Determinant

Matica má tiež determinant. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť. Teraz nie je potrebné zisťovať jeho význam, môžete jednoducho ukázať, ako sa vypočíta, a potom povedať, aké vlastnosti matice určuje. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť determinant, je cez uhlopriečky. V matici sú nakreslené imaginárne uhlopriečky; prvky umiestnené na každom z nich sa vynásobia a potom sa pridajú výsledné produkty: uhlopriečky so sklonom doprava - so znamienkom plus, so sklonom doľava - so znamienkom mínus.

Je mimoriadne dôležité poznamenať, že determinant možno vypočítať iba pre štvorcovú maticu. Pre obdĺžnikovú maticu môžete urobiť nasledovné: vybrať najmenší z počtu riadkov a počtu stĺpcov (nech je k) a potom náhodne označiť k stĺpcov a k riadkov v matici. Prvky v priesečníku vybratých stĺpcov a riadkov vytvoria novú štvorcovú maticu. Ak je determinantom takejto matice nenulové číslo, nazýva sa základná minor pôvodnej pravouhlej matice.

Predtým, ako začnete riešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy, nezaškodí vypočítať determinant. Ak sa ukáže, že je nula, potom môžeme okamžite povedať, že matica má buď nekonečný počet riešení, alebo žiadne. V takom smutnom prípade treba ísť ďalej a informovať sa o hodnosti matice.

Klasifikácia systému

Existuje niečo ako hodnosť matice. Toto je maximálne poradie jej nenulového determinantu (ak si pamätáme na základnú minoritu, môžeme povedať, že hodnosť matice je poradie základne minor).

Na základe situácie s hodnosťou možno SLAE rozdeliť na:

Spoločný. U V spoločných systémoch sa hodnosť hlavnej matice (pozostávajúcej len z koeficientov) zhoduje s hodnosťou rozšírenej matice (so stĺpcom voľných členov). Takéto systémy majú riešenie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sa spoločné systémy navyše delia na:
- istý- majúci jediné riešenie. V určitých systémoch sú poradie matice a počet neznámych (alebo počet stĺpcov, čo je to isté) rovnaké;
- nedefinované - s nekonečným množstvom riešení. Poradie matíc v takýchto systémoch je menšie ako počet neznámych.
Nekompatibilné. U V takýchto systémoch sa poradie hlavnej a rozšírenej matice nezhoduje. Nekompatibilné systémy nemajú riešenie.

Gaussova metóda je dobrá, pretože pri riešení umožňuje získať buď jednoznačný dôkaz nekonzistentnosti systému (bez výpočtu determinantov veľkých matíc), alebo riešenie vo všeobecnej forme pre systém s nekonečným počtom riešení.

Elementárne transformácie

Predtým, ako pristúpite priamo k riešeniu systému, môžete ho urobiť menej ťažkopádnym a pohodlnejším pre výpočty. Dosahuje sa to elementárnymi transformáciami – takými, že ich implementácia nijako nemení konečnú odpoveď. Treba poznamenať, že niektoré z uvedených elementárnych transformácií sú platné len pre matice, pre ktoré slúžil SLAE ako zdroj. Tu je zoznam týchto transformácií:

Preusporiadanie strún. Je zrejmé, že ak zmeníte poradie rovníc v systémovom zázname, nijako to neovplyvní riešenie. Riadky v matici tohto systému je teda možné aj prehadzovať, samozrejme, netreba zabúdať ani na stĺpec voľných výrazov.
Násobenie všetkých prvkov reťazca určitým koeficientom. Veľmi nápomocný! Dá sa použiť na skrátenie veľké čísla v matici alebo odstráňte nuly. Mnohé rozhodnutia sa ako obvykle nezmenia, ale ďalšie operácie budú pohodlnejšie. Hlavná vec je, že koeficient by nemal byť rovná nule.
Odstránenie riadkov s proporcionálnymi faktormi. To čiastočne vyplýva z predchádzajúceho odseku. Ak dva alebo viac riadkov v matici má proporcionálne koeficienty, potom keď sa jeden z riadkov vynásobí/vydelí koeficientom proporcionality, získajú sa dva (alebo opäť viac) absolútne identické riadky a ďalšie riadky sa dajú odstrániť, čím zostane len jeden.
Odstránenie nulového riadku. Ak sa pri transformáciách niekde získa riadok, v ktorom sú všetky prvky vrátane voľného člena nulové, potom možno takýto riadok nazvať nulou a vyhodiť z matice.
Pridanie prvkov jedného riadku k prvkom druhého (v zodpovedajúcich stĺpcoch) vynásobených určitým koeficientom. Najnezrejmejšia a najdôležitejšia premena zo všetkých. Stojí za to venovať sa tomu podrobnejšie.

Pridanie reťazca vynásobeného faktorom

Pre uľahčenie pochopenia stojí za to rozobrať tento proces krok za krokom. Z matice sú prevzaté dva riadky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Povedzme, že musíte pridať prvý k druhému, vynásobený koeficientom "-2".

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2 x a 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Potom sa druhý riadok v matici nahradí novým a prvý zostane nezmenený.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba poznamenať, že koeficient násobenia možno zvoliť tak, že v dôsledku pridania dvoch riadkov sa jeden z prvkov nového riadku rovná nule. Preto je možné získať rovnicu v systéme, kde bude o jednu neznámu menej. A ak dostanete dve takéto rovnice, potom je možné operáciu vykonať znova a získať rovnicu, ktorá bude obsahovať o dve neznáme menej. A ak zakaždým otočíte jeden koeficient zo všetkých riadkov, ktoré sú pod pôvodným, na nulu, potom môžete, ako po schodoch, zísť na úplný spodok matice a získať rovnicu s jednou neznámou. Toto sa nazýva riešenie systému pomocou Gaussovej metódy.

Všeobecne

Nech existuje systém. Má m rovníc a n neznámych koreňov. Môžete to napísať nasledovne:

Hlavná matica je zostavená zo systémových koeficientov. Stĺpec voľných výrazov sa pridá do rozšírenej matice a pre pohodlie je oddelený čiarou.

prvý riadok matice sa vynásobí koeficientom k = (-a 21 /a 11);
pridá sa prvý upravený riadok a druhý riadok matice;
namiesto druhého riadku sa do matice vloží výsledok doplnenia z predchádzajúceho odseku;
teraz je prvý koeficient v novom druhom riadku a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz sa vykoná rovnaká séria transformácií, je zahrnutý iba prvý a tretí riadok. V súlade s tým je v každom kroku algoritmu prvok a 21 nahradený prvkom 31. Potom sa všetko opakuje pre 41, ... a m1. Výsledkom je matica, kde prvý prvok v riadkoch je nula. Teraz musíte zabudnúť na riadok číslo jedna a vykonať rovnaký algoritmus, počnúc riadkom dva:

koeficient k = (-a 32 /a 22);
druhý upravený riadok sa pridá k „aktuálnemu“ riadku;
výsledok sčítania sa dosadí do tretieho, štvrtého atď. riadku, pričom prvý a druhý zostanú nezmenené;
v riadkoch matice sú prvé dva prvky už rovné nule.

Algoritmus sa musí opakovať, kým sa neobjaví koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To znamená, že poslednýkrát bol algoritmus vykonaný iba pre nižšiu rovnicu. Teraz matica vyzerá ako trojuholník alebo má stupňovitý tvar. V spodnom riadku je rovnosť a mn × x n = b m. Koeficient a voľný člen sú známe a pomocou nich sa vyjadruje koreň: x n = b m /a mn. Výsledný koreň sa dosadí do horného riadku, aby sa zistilo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. A tak ďalej analogicky: v každom ďalšom riadku je nový koreň a po dosiahnutí „vrcholu“ systému môžete nájsť veľa riešení. Bude to jediné.

Keď neexistujú riešenia

Ak sa v jednom z riadkov matice všetky prvky okrem voľného člena rovnajú nule, potom rovnica zodpovedajúca tomuto riadku vyzerá ako 0 = b. Nemá to riešenie. A keďže takáto rovnica je zahrnutá v systéme, potom je množina riešení celého systému prázdna, to znamená, že je degenerovaná.

Keď existuje nekonečné množstvo riešení

Môže sa stať, že v danej trojuholníkovej matici nie sú riadky s jedným koeficientovým prvkom rovnice a jedným voľným členom. Existujú iba riadky, ktoré by po prepísaní vyzerali ako rovnica s dvoma alebo viacerými premennými. To znamená, že systém má nekonečné množstvo riešení. V tomto prípade môže byť odpoveď daná vo forme všeobecného riešenia. Ako to spraviť?

Všetky premenné v matici sú rozdelené na základné a voľné. Základné sú tie, ktoré stoja „na okraji“ riadkov v matici krokov. Ostatné sú zadarmo. Vo všeobecnom riešení sa základné premenné zapisujú cez voľné.

Pre pohodlie je matica najprv prepísaná späť do systému rovníc. Potom v poslednej z nich, kde presne ostala len jedna základná premenná, zostane na jednej strane a všetko ostatné sa prenesie na druhú. Toto sa robí pre každú rovnicu s jednou základnou premennou. Potom v zostávajúcich rovniciach, kde je to možné, sa namiesto základnej premennej dosadí pre ňu získaný výraz. Ak je výsledkom opäť výraz obsahujúci len jednu základnú premennú, je opäť vyjadrený odtiaľ atď., kým sa každá základná premenná nezapíše ako výraz s voľnými premennými. Toto je všeobecné riešenie SLAE.

Môžete tiež nájsť základné riešenie systému - zadajte voľným premenným ľubovoľné hodnoty a potom pre tento konkrétny prípad vypočítajte hodnoty základných premenných. Existuje nekonečné množstvo konkrétnych riešení, ktoré možno poskytnúť.

Riešenie s konkrétnymi príkladmi

Tu je systém rovníc.

Pre pohodlie je lepšie okamžite vytvoriť maticu

Je známe, že pri riešení Gaussovou metódou zostane rovnica zodpovedajúca prvému riadku na konci transformácií nezmenená. Preto bude výhodnejšie, ak bude ľavý horný prvok matice najmenší - potom sa prvé prvky zostávajúcich riadkov po operáciách zmenia na nulu. To znamená, že v zostavenej matici bude výhodné umiestniť druhý riadok na miesto prvého.

druhý riadok: k = (-a21/a11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

tretí riadok: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Teraz, aby ste sa nenechali zmiasť, musíte napísať maticu s medzivýsledkami transformácií.

Je zrejmé, že takáto matica môže byť pohodlnejšia na vnímanie pomocou určitých operácií. Môžete napríklad odstrániť všetky „mínusy“ z druhého riadku vynásobením každého prvku „-1“.

Za zmienku tiež stojí, že v treťom riadku sú všetky prvky násobkom troch. Potom môžete reťazec skrátiť o toto číslo vynásobením každého prvku "-1/3" (mínus - súčasne, aby sa odstránili záporné hodnoty).

Vyzerá oveľa krajšie. Teraz musíme nechať prvý riadok na pokoji a pracovať s druhým a tretím. Úlohou je pridať druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobený takým koeficientom, aby sa prvok a 32 rovnal nule.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ak sa pri niektorých transformáciách odpoveď neukáže ako celé číslo, odporúča sa zachovať presnosť výpočtov ponechať „tak ako je“, vo forme spoločný zlomok a až potom, keď dostanete odpovede, sa rozhodnite, či chcete zaokrúhliť a previesť na inú formu záznamu)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matica sa znova zapíše s novými hodnotami.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Ako vidíte, výsledná matica už má stupňovitý tvar. Preto nie sú potrebné ďalšie transformácie systému pomocou Gaussovej metódy. Čo sa tu dá urobiť, je odstrániť z tretieho riadku celkový koeficient "-1/7".

Teraz je všetko krásne. Zostáva len napísať maticu znova vo forme systému rovníc a vypočítať korene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7r + 11z = 24 (2)

Algoritmus, ktorým sa teraz budú hľadať korene, sa v Gaussovej metóde nazýva spätný pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

A prvá rovnica nám umožňuje nájsť x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazývať takýto systém spoločným, a dokonca určitým, to znamená, že má jedinečné riešenie. Odpoveď je napísaná v nasledujúcom tvare:

x1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Príklad neistého systému

Variant riešenia určitej sústavy Gaussovou metódou bol analyzovaný, teraz je potrebné zvážiť prípad, keď je sústava neistá, teda možno pre ňu nájsť nekonečne veľa riešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Už samotný vzhľad systému je alarmujúci, pretože počet neznámych je n = 5 a poradie matice systému je už presne menšie ako toto číslo, pretože počet riadkov je m = 4, tj. najvyšší rád determinant-štvorca je 4. To znamená, že existuje nekonečné množstvo riešení a musíte hľadať jeho všeobecný vzhľad. Umožňuje vám to Gaussova metóda pre lineárne rovnice.

Najprv sa ako obvykle zostaví rozšírená matica.

Druhý riadok: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. V treťom riadku je prvý prvok pred transformáciami, takže sa nemusíte ničoho dotýkať, musíte to nechať tak, ako je. Štvrtý riadok: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Postupným vynásobením prvkov prvého riadku každým z ich koeficientov a ich pridaním do požadovaných riadkov získame maticu nasledujúceho tvaru:

Ako vidíte, druhý, tretí a štvrtý riadok pozostáva z prvkov, ktoré sú navzájom proporcionálne. Druhý a štvrtý sú vo všeobecnosti identické, takže jeden z nich je možné okamžite odstrániť a zvyšný vynásobiť koeficientom „-1“ a získať riadok číslo 3. A opäť z dvoch rovnakých riadkov jeden ponechajte.

Výsledkom je takáto matica. Zatiaľ čo systém ešte nie je zapísaný, je potrebné určiť základné premenné - tie, ktoré stoja pri koeficientoch a 11 = 1 a a 22 = 1, a voľné - všetky ostatné.

V druhej rovnici je len jedna základná premenná - x 2. To znamená, že ho možno odtiaľ vyjadriť zápisom cez premenné x 3 , x 4 , x 5 , ktoré sú voľné.

Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice.

Výsledkom je rovnica, v ktorej je jedinou základnou premennou x 1 . Urobme s tým to isté ako s x 2.

Všetky základné premenné, z ktorých sú dve, sú vyjadrené tromi voľnými, teraz môžete odpoveď napísať vo všeobecnej forme.

Môžete tiež zadať jedno z konkrétnych riešení systému. V takýchto prípadoch sa ako hodnoty pre voľné premenné zvyčajne vyberajú nuly. Potom bude odpoveď:

16, 23, 0, 0, 0.

Príklad nespolupracujúceho systému

Riešenie nekompatibilné systémy rovnice Gaussovou metódou – najrýchlejšie. Okamžite končí, akonáhle sa v niektorej z fáz získa rovnica, ktorá nemá riešenie. To znamená, že fáza výpočtu koreňov, ktorá je dosť dlhá a únavná, odpadá. Do úvahy prichádza nasledujúci systém:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ako obvykle je matica zostavená:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

A je zredukovaný na stupňovitú formu:

k1 = -2k2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvej transformácii obsahuje tretí riadok rovnicu tvaru

bez riešenia. V dôsledku toho je systém nekonzistentný a odpoveďou bude prázdna množina.

Výhody a nevýhody metódy

Ak si vyberiete metódu riešenia SLAE na papieri perom, metóda, o ktorej sa hovorí v tomto článku, vyzerá najatraktívnejšie. Je oveľa ťažšie zmiasť sa v elementárnych transformáciách, ako keď musíte manuálne hľadať determinant alebo nejakú záludnú inverznú maticu. Ak však na prácu s týmto typom údajov používate programy, napr. tabuľky, potom sa ukazuje, že takéto programy už obsahujú algoritmy na výpočet hlavných parametrov matíc - determinant, vedľajšie, inverzné atď. A ak ste si istí, že stroj vypočíta tieto hodnoty sám a neurobí chybu, je vhodnejšie použiť maticová metóda alebo Cramerove vzorce, pretože ich aplikácia začína a končí výpočtom determinantov a inverzné matice.

Aplikácia

Keďže Gaussovo riešenie je algoritmus a matica je v skutočnosti dvojrozmerné pole, možno ho použiť pri programovaní. Ale keďže sa článok stavia ako návod „pre figuríny“, malo by sa povedať, že najjednoduchšie miesto na začlenenie metódy sú tabuľky, napríklad Excel. Opäť platí, že každý SLAE zadaný do tabuľky vo forme matice bude Excel považovať za dvojrozmerné pole. A na operácie s nimi existuje veľa pekných príkazov: sčítanie (môžete sčítať iba matice rovnakej veľkosti!), násobenie číslom, násobenie matíc (aj s určitými obmedzeniami), hľadanie inverzných a transponovaných matíc a hlavne , výpočet determinantu. Ak je táto časovo náročná úloha nahradená jediným príkazom, je možné určiť hodnosť matice oveľa rýchlejšie a teda určiť jej kompatibilitu alebo nekompatibilitu.

Od začiatku 16. – 18. storočia sa matematici intenzívne začali zaoberať funkciami, vďaka ktorým sa v našich životoch toľko zmenilo. Počítačová technika by bez týchto znalostí jednoducho neexistovala. Pre riešenia komplexné úlohy, boli vytvorené lineárne rovnice a funkcie, rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich sústav bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinant - všetko sa dá vypočítať bez použitia zložitých operácií.

Čo je SLAU

V matematike existuje pojem SLAE - systém lineárnych algebraické rovnice. Aká je? Ide o množinu m rovníc s požadovanými n neznámymi veličinami, ktoré sa zvyčajne označujú ako x, y, z alebo x 1, x 2 ... x n alebo iné symboly. Riešiť Gaussovou metódou tento systém- znamená nájsť všetky neznáme neznáme. Ak má systém rovnaký počet neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-tého rádu.

Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE

IN vzdelávacie inštitúcieŠtudenti stredných škôl študujú rôzne metódy riešenia takýchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, teda ľubovoľných existujúca metóda Nájsť na ne odpoveď nezaberie veľa času. Môže to byť ako substitučná metóda, keď je z jednej rovnice odvodená iná a dosadená do pôvodnej. Alebo metóda odčítania a sčítania po členoch. Ale Gaussova metóda je považovaná za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto konkrétna technika považuje za racionálnu? Je to jednoduché. Dobrá vec na maticovej metóde je, že nevyžaduje niekoľkokrát prepisovanie nepotrebných symbolov ako neznámych, stačí vykonať aritmetické operácie s koeficientmi - a dostanete spoľahlivý výsledok.

Kde sa SLAE používajú v praxi?

Riešením SLAE sú priesečníky čiar na grafoch funkcií. V našej high-tech počítačovej dobe ľudia, ktorí sú úzko spätí s vývojom hier a iných programov, potrebujú vedieť, ako takéto systémy riešiť, čo predstavujú a ako kontrolovať správnosť výsledného výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne programy na kalkulačky lineárnej algebry, ktoré obsahujú aj systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj iné zjednodušené vzorce a techniky.

Kritérium kompatibility SLAU

Takýto systém je možné vyriešiť len vtedy, ak je kompatibilný. Pre prehľadnosť uvádzame SLAE v tvare Ax=b. Má riešenie, ak sa rang(A) rovná rang(A,b). V tomto prípade (A,b) je matica rozšíreného tvaru, ktorú možno získať z matice A jej prepísaním voľnými členmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Možno niektoré zápisy nie sú úplne jasné, preto je potrebné všetko zvážiť na príklade. Povedzme, že existuje systém: x+y=1; 2x-3y=6. Pozostáva len z dvoch rovníc, v ktorých sú 2 neznáme. Systém bude mať riešenie iba vtedy, ak sa hodnosť jeho matice rovná hodnosti rozšírenej matice. čo je hodnosť? Toto je počet nezávislých riadkov systému. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov umiestnených v blízkosti neznámych a koeficienty umiestnené za znakom „=“ tiež zapadajú do rozšírenej matice.

Prečo môžu byť SLAE zastúpené v maticovej forme?

Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kronecker-Capelliho vety je možné sústavu lineárnych algebraických rovníc reprezentovať v maticovej forme. Pomocou metódy Gaussovej kaskády môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť bežnej matice rovná hodnote jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.

Maticové transformácie

Predtým, ako pristúpite k riešeniu matíc, musíte vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko základných transformácií:

Prepísaním systému do maticového tvaru a jeho riešením môžete vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
Ak chcete transformovať maticu do kanonickej formy, môžete vymeniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sa nachádzajú pozdĺž hlavnej uhlopriečky, sa stanú jednotkami a zvyšné sa stanú nulami.
Zodpovedajúce prvky rovnobežných radov matice môžu byť navzájom sčítané.

Jordan-Gaussova metóda

Podstatou riešenia sústav lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné odstraňovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Rovnica je riešená veľmi jednoducho Gaussovou metódou. Koeficienty nachádzajúce sa pri každej neznámej je potrebné zapísať v maticovom tvare. Na vyriešenie systému budete musieť vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menší počet neznámych, potom sa namiesto chýbajúceho prvku musí vložiť „0“. Na maticu sa aplikujú všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, sčítanie zodpovedajúcich prvkov radu k sebe a iné. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné ponechať jednu premennú s hodnotou „1“, zvyšok by sa mal znížiť na nulu. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu s príkladmi.

Jednoduchý príklad riešenia systému 2x2

Na začiatok si zoberme jednoduchú sústavu algebraických rovníc, v ktorej budú 2 neznáme.

Prepíšme to do rozšírenej matice.

Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Potrebujeme priviesť maticu do kanonickej podoby, aby na hlavnej diagonále boli jedničky. Takže prenesením z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x+0y=b1 a 0x+1y=b2, kde b1 a b2 sú výsledné odpovede v procese riešenia.

Prvá akcia pri riešení rozšírenej matice bude takáto: prvý riadok treba vynásobiť -7 a do druhého riadku pridať zodpovedajúce prvky, aby sme sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
Keďže riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy zahŕňa redukciu matice na kanonickú formu, potom je potrebné vykonať rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Aby sme to urobili, odpočítame druhý riadok od prvého a získame požadovanú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobíme druhý riadok koeficientom -1 a pripočítame prvky druhého radu k prvému riadku. To je to isté.

Ako vidíme, náš systém bol vyriešený Jordan-Gaussovou metódou. Prepíšeme ho do požadovaného tvaru: x=-5, y=7.

Príklad riešenia 3x3 SLAE

Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre na prvý pohľad neprehľadný systém. Preto, aby ste sa hlbšie ponorili do metodiky výpočtu, môžete prejsť na viac komplexný príklad s tromi neznámymi.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme systém do podoby rozšírenej matice a začneme ho uvádzať do kanonickej podoby.

Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.

Najprv musíte urobiť prvý stĺpec jedným jednotkovým prvkom a zvyšok nulami. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité si zapamätať, že prvý riadok prepisujeme do pôvodnej podoby a druhý do upravenej podoby.
Ďalej odstránime tú istú prvú neznámu z tretej rovnice. Za týmto účelom vynásobte prvky prvého riadku -2 a pridajte ich do tretieho riadku. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané do pôvodnej podoby a tretí - so zmenami. Ako vidno z výsledku, prvú sme dostali na začiatok hlavnej uhlopriečky matice a zvyšné nuly. Ešte pár krokov a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
Teraz musíte vykonať operácie na iných prvkoch riadkov. Tretiu a štvrtú akciu je možné spojiť do jednej. Druhý a tretí riadok musíme vydeliť -1, aby sme sa zbavili mínusových na uhlopriečke. Tretí riadok sme už priviedli do požadovanej podoby.
Ďalej uvedieme druhý riadok do kanonickej podoby. Za týmto účelom vynásobte prvky tretieho riadku -3 a pridajte ich do druhého riadku matice. Z výsledku je zrejmé, že aj druhý riadok je zredukovaný do podoby, akú potrebujeme. Zostáva vykonať niekoľko ďalších operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého riadku.
Ak chcete vytvoriť 0 z druhého prvku v riadku, musíte vynásobiť tretí riadok -3 a pridať ho do prvého riadku.
Ďalším rozhodujúcim krokom bude pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Takto dostaneme kanonickú formu matice, a teda aj odpoveď.

Ako vidíte, riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4

Niektoré zložitejšie sústavy rovníc je možné riešiť pomocou Gaussovej metódy pomocou počítačových programov. Koeficienty pre neznáme je potrebné zadať do existujúcich prázdnych buniek a program sám krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok a podrobne opíše každú akciu.

Popísané nižšie návod krok za krokom riešenia tohto príkladu.

V prvom kroku sa do prázdnych buniek zadajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Dostaneme teda rovnakú rozšírenú maticu, ktorú napíšeme ručne.

A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do jej kanonickej formy. Je potrebné pochopiť, že odpoveďou na systém rovníc nie sú vždy celé čísla. Niekedy môže byť riešenie zo zlomkových čísel.

Kontrola správnosti riešenia

Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Aby ste zistili, či sú koeficienty vypočítané správne, stačí výsledok dosadiť do pôvodnej sústavy rovníc. Na ľavej strane rovnice sa musia zhodovať pravá strana, ktorý sa nachádza za znakom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte systém prepočítať alebo naň skúsiť použiť inú metódu riešenia SLAE, ktorú poznáte, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po členoch. Matematika je predsa veda, ktorá má obrovské množstvo rôzne techniky riešenia. Ale pamätajte: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, aký spôsob riešenia ste použili.

Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení SLAE

Pri riešení lineárnych sústav rovníc najčastejšie dochádza k chybám ako je nesprávny prenos koeficientov do maticového tvaru. Existujú systémy, v ktorých niektoré neznáme chýbajú v jednej z rovníc, potom sa pri prenose údajov do rozšírenej matice môžu stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnosti.

Ďalšou veľkou chybou môže byť nesprávne vypísanie konečného výsledku. Je potrebné jasne pochopiť, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému - druhému atď.

Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu sa ľahko vyrába nevyhnutné operácie a nájdite správny výsledok. Navyše ide o univerzálny nástroj na nájdenie spoľahlivej odpovede na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno aj preto sa tak často používa pri riešení SLAE.

Tu môžete zadarmo vyriešiť systém lineárnych rovníc Gaussova metóda online veľké veľkosti v komplexných číslach s veľmi podrobným riešením. Naša kalkulačka dokáže online riešiť bežné určité aj neurčité sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy, ktorá má nekonečný počet riešení. V tomto prípade v odpovedi dostanete závislosť niektorých premenných cez iné, voľné. Konzistenciu systému rovníc môžete skontrolovať aj online pomocou Gaussovho riešenia.

O metóde

Pri riešení sústavy lineárnych rovníc online metóda Gauss Vykonajú sa nasledujúce kroky.

Napíšeme rozšírenú maticu.
V skutočnosti je riešenie rozdelené na kroky dopredu a dozadu Gaussovej metódy. Priamym krokom Gaussovej metódy je redukcia matice do stupňovitej formy. Opakom Gaussovej metódy je redukcia matice na špeciálnu stupňovitú formu. V praxi je však pohodlnejšie okamžite vynulovať to, čo sa nachádza nad aj pod príslušným prvkom. Naša kalkulačka používa presne tento prístup.
Je dôležité poznamenať, že pri riešení pomocou Gaussovej metódy prítomnosť aspoň jedného nulového riadku v matici s NIE nulou pravá strana(stĺpec voľných členov) označuje nekompatibilitu systému. V tomto prípade riešenie lineárneho systému neexistuje.

Ak chcete najlepšie pochopiť, ako funguje Gaussov algoritmus online, zadajte ľubovoľný príklad a vyberte „veľmi podrobné riešenie“ a vyhľadajte jeho riešenie online.

1. Systém lineárnych algebraických rovníc

1.1 Pojem sústavy lineárnych algebraických rovníc

Systém rovníc je stav pozostávajúci zo súčasného vykonávania niekoľkých rovníc vzhľadom na niekoľko premenných. Systém lineárnych algebraických rovníc (ďalej len SLAE) obsahujúci m rovníc a n neznámych sa nazýva systém v tvare:

kde čísla a ij sa nazývajú systémové koeficienty, čísla b i sa nazývajú voľné členy, a ij A b i(i=1,..., m; b=1,..., n) predstavujú niektoré známe čísla a x 1,…, x n– neznámy. V označení koeficientov a ij prvý index i označuje číslo rovnice a druhý j je číslo neznámej, pri ktorej tento koeficient stojí. Treba nájsť čísla x n. Je vhodné napísať takýto systém vo forme kompaktnej matice: AX=B. Tu je A matica systémových koeficientov, nazývaná hlavná matica;

– stĺpcový vektor neznámych xj.
je stĺpcový vektor voľných členov bi.

Súčin matíc A*X je definovaný, keďže v matici A je toľko stĺpcov, koľko je riadkov v matici X (n kusov).

Rozšírenou maticou systému je matica A systému doplnená o stĺpec voľných členov

1.2 Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc

Riešením systému rovníc je usporiadaná množina čísel (hodnoty premenných), pri ich nahradení namiesto premenných sa každá z rovníc systému zmení na skutočnú rovnosť.

Riešením systému je n hodnôt neznámych x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, po ktorých nahradení sa všetky rovnice systému stanú skutočnými rovnosťami. Akékoľvek riešenie systému možno zapísať ako stĺpcovú maticu

Systém rovníc sa nazýva konzistentný, ak má aspoň jedno riešenie, a nekonzistentný, ak nemá žiadne riešenie.

Konzistentný systém sa považuje za určitý, ak má jedno riešenie, a za neurčitý, ak má viac riešení. V druhom prípade sa každé z jeho riešení nazýva konkrétne riešenie systému. Množina všetkých partikulárnych riešení sa nazýva všeobecné riešenie.

Riešiť systém znamená zistiť, či je kompatibilný alebo nekonzistentný. Ak je systém konzistentný, nájdite jeho všeobecné riešenie.

Dva systémy sa nazývajú ekvivalentné (ekvivalentné), ak majú rovnaké všeobecné riešenie. Inými slovami, systémy sú ekvivalentné, ak každé riešenie jedného z nich je riešením druhého a naopak.

Transformácia, ktorej aplikáciou sa systém zmení na nový systém, ekvivalentná pôvodnému, sa nazýva ekvivalentná alebo ekvivalentná transformácia. Príklady ekvivalentných transformácií zahŕňajú nasledujúce transformácie: zámena dvoch rovníc systému, zámena dvoch neznámych spolu s koeficientmi všetkých rovníc, násobenie oboch strán akejkoľvek rovnice systému nenulovým číslom.

Systém lineárnych rovníc sa nazýva homogénny, ak sa všetky voľné členy rovnajú nule:

Homogénny systém je vždy konzistentný, pretože x1=x2=x3=…=xn=0 je riešením systému. Toto riešenie sa nazýva nulové alebo triviálne.

2. Gaussova eliminačná metóda

2.1 Podstata Gaussovej eliminačnej metódy

Klasickou metódou riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc je metóda postupnej eliminácie neznámych - Gaussova metóda(nazýva sa aj Gaussova eliminačná metóda). Ide o metódu sekvenčnej eliminácie premenných, kedy sa pomocou elementárnych transformácií redukuje sústava rovníc na ekvivalentnú sústavu stupňovitého (alebo trojuholníkového) tvaru, z ktorej sa postupne zisťujú všetky ostatné premenné, počnúc poslednou (o počet) premenné.

Proces riešenia pomocou Gaussovej metódy pozostáva z dvoch fáz: pohybu vpred a vzad.

1. Priamy zdvih.

V prvej fáze sa vykonáva takzvaný priamy ťah, keď sa elementárnymi transformáciami nad radmi systém dostane do stupňovitého alebo trojuholníkového tvaru, alebo sa zistí, že systém je nekompatibilný. Konkrétne medzi prvkami prvého stĺpca matice vyberte nenulový jeden, presuňte ho na najvyššiu pozíciu preskupením riadkov a po preusporiadaní odpočítajte výsledný prvý riadok od zostávajúcich riadkov a vynásobte ho hodnotou. rovný pomeru prvého prvku každého z týchto riadkov k prvému prvku prvého riadku, čím sa vynuluje stĺpec pod ním.

Po dokončení týchto transformácií sa prvý riadok a prvý stĺpec v duchu prečiarknu a pokračuje sa, kým nezostane matica nulovej veľkosti. Ak v ktorejkoľvek iterácii nie je medzi prvkami prvého stĺpca žiadny nenulový prvok, prejdite na ďalší stĺpec a vykonajte podobnú operáciu.

V prvej fáze (priamy zdvih) je systém redukovaný na stupňovitý (najmä trojuholníkový) tvar.

Nižšie uvedený systém má stupňovitú formu:

Koeficienty aii sa nazývajú hlavné (vedúce) prvky systému.

(ak a11=0, preusporiadajte riadky matice tak, aby a 11 nebolo rovné 0. To je vždy možné, pretože inak matica obsahuje nulový stĺpec, jej determinant je rovný nule a systém je nekonzistentný).

Transformujme systém odstránením neznámej x1 vo všetkých rovniciach okrem prvej (pomocou elementárnych transformácií systému). Ak to chcete urobiť, vynásobte obe strany prvej rovnice

a pridajte člen po člene s druhou rovnicou systému (alebo od druhej rovnice odpočítajte člen po člene od prvého, vynásobte ). Potom obe strany prvej rovnice vynásobíme a pridáme do tretej rovnice sústavy (alebo od tretej odpočítame prvú vynásobenú ). Prvý riadok teda postupne vynásobíme číslom a pripočítame i riadok, pre i= 2, 3, …,n.

Pokračovaním v tomto procese získame ekvivalentný systém:

– nové hodnoty koeficientov pre neznáme a voľné členy v posledných m-1 rovniciach sústavy, ktoré sú určené vzorcami:

Takže v prvom kroku sú zničené všetky koeficienty ležiace pod prvým vodiacim prvkom a11

0, v druhom kroku sú zničené prvky ležiace pod druhým vodiacim prvkom a 22 (1) (ak je a 22 (1) 0) atď. Pokračujúc v tomto procese ďalej, nakoniec v kroku (m-1) zredukujeme pôvodný systém na trojuholníkový systém.

Ak sa v procese redukcie systému na stupňovitý tvar objavia nulové rovnice, t.j. rovnosti tvaru 0=0, sú vyradené. Ak sa objaví rovnica tvaru

potom to naznačuje nekompatibilitu systému.

Tu sa priamy postup Gaussovej metódy končí.

2. Spätný zdvih.

V druhej fáze sa vykonáva takzvaný spätný ťah, ktorého podstatou je vyjadrenie všetkých výsledných základných premenných v pojmoch nebázických a zostrojenie základný systém riešenia, alebo ak sú všetky premenné bázické, tak vyjadrite číselne jedinečné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Tento postup začína poslednou rovnicou, z ktorej sa vyjadrí príslušná základná premenná (je v nej len jedna) a dosadí sa do predchádzajúcich rovníc atď., až po „krokoch“.

Každý riadok zodpovedá presne jednej základnej premennej, takže v každom kroku okrem posledného (najvrchnejšieho) sa situácia presne opakuje ako prípad posledného riadku.

Poznámka: v praxi je pohodlnejšie pracovať nie so systémom, ale s jeho rozšírenou maticou, pričom sa na jeho riadkoch vykonávajú všetky elementárne transformácie. Je vhodné, aby sa koeficient a11 rovnal 1 (preusporiadajte rovnice alebo vydeľte obe strany rovnice a11).

2.2 Príklady riešenia SLAE pomocou Gaussovej metódy

V tejto časti na troch rôznych príkladoch ukážeme, ako môže Gaussova metóda vyriešiť SLAE.

Príklad 1. Vyriešte SLAE 3. rádu.

Vynulujeme koeficienty pre

v druhom a treťom riadku. Ak to chcete urobiť, vynásobte ich 2/3 a 1 a pridajte ich do prvého riadku: