Príklady algebraických výrazov. Numerické a algebraické výrazy

Algebraické výrazy sa začínajú učiť v 7. ročníku. Majú množstvo vlastností a používajú sa pri riešení problémov. Pozrime sa na túto tému podrobnejšie a zvážime príklad riešenia problému.

Definícia pojmu

Aké výrazy sa nazývajú algebraické? Ide o matematický zápis pozostávajúci z čísel, písmen a aritmetických symbolov. Prítomnosť písmen je hlavným rozdielom medzi numerickými a algebraickými výrazmi. Príklady:

4a+5;
6b-8;
5s:6*(8+5).

Písmeno v algebraických výrazoch označuje číslo. Preto sa to volá premenná – v prvom príklade je to písmeno a, v druhom b a v treťom c. Samotný algebraický výraz sa tiež nazýva výraz s premennou.

Hodnota výrazu

Význam algebraického výrazu je číslo získané ako výsledok vykonania všetkých aritmetických operácií, ktoré sú uvedené v tomto výraze. Aby ste to však dostali, musia byť písmená nahradené číslami. Preto v príkladoch vždy uvádzajú, ktoré číslo zodpovedá písmenu. Pozrime sa, ako nájsť hodnotu výrazu 8a-14*(5-a), ak a=3.

Namiesto písmena a dosadíme číslo 3. Dostaneme nasledujúci záznam: 8*3-14*(5-3).

Rovnako ako v numerických výrazoch, riešenie algebraického výrazu sa vykonáva podľa pravidiel na vykonávanie aritmetických operácií. Vyriešme všetko po poriadku.

5-3=2.
8*3=24.
14*2=28.
24-28=-4.

Hodnota výrazu 8a-14*(5-a) pri a=3 sa teda rovná -4.

Hodnota premennej sa nazýva platná, ak s ňou výraz dáva zmysel, to znamená, že je možné nájsť jej riešenie.

Príkladom platnej premennej pre výraz 5:2a je číslo 1. Dosadením do výrazu dostaneme 5:2*1=2,5.

Neplatná premenná pre tento výraz je 0. Ak do výrazu dosadíme nulu, dostaneme 5:2*0, teda 5:0. Nemôžete deliť nulou, čo znamená, že výraz nedáva zmysel.

Prejavy identity

Ak sú dva výrazy rovnaké pre akékoľvek hodnoty ich základných premenných, nazývajú sa identické.
Príklad identických výrazov :
4(a+c) a 4a+4c.
Nech už majú písmená a a c akékoľvek hodnoty, výrazy budú vždy rovnaké. Akýkoľvek výraz môže byť nahradený iným, ktorý je s ním identický. Tento proces sa nazýva transformácia identity.

Príklad transformácie identity .
4*(5a+14c) – tento výraz možno nahradiť identickým použitím matematického zákona násobenia. Ak chcete vynásobiť číslo súčtom dvoch čísel, musíte toto číslo vynásobiť každým výrazom a pridať výsledky.

4*5a=20a.
4*14s=64s.
20a+64s.

Teda výraz 4*(5a+14c) je identický s výrazom 20a+64c.

Číslo nachádzajúce sa pred písmenovou premennou v algebraickom výraze sa nazýva koeficient. Koeficient a premenná sú multiplikátory.

Riešenie problémov

Algebraické výrazy sa používajú na riešenie problémov a rovníc.
Uvažujme o probléme. Peťo vymyslel číslo. Aby to jeho spolužiak Saša uhádol, Peťo mu povedal: najprv som k číslu pridal 7, potom som od neho odčítal 5 a vynásobil 2. Výsledkom bolo číslo 28. Aké číslo som uhádol?

Ak chcete problém vyriešiť, musíte skryté číslo označiť písmenom a a potom s ním vykonať všetky uvedené akcie.

(a+7)-5.
((a+7)-5)*2=28.

Teraz poďme vyriešiť výslednú rovnicu.

Peťa si priala číslo 12.

Čo sme sa naučili?

Algebraický výraz je záznam pozostávajúci z písmen, číslic a aritmetických symbolov. Každý výraz má hodnotu, ktorá sa zistí vykonaním všetkých aritmetických operácií vo výraze. Písmeno v algebraickom výraze sa nazýva premenná a číslo pred ňou sa nazýva koeficient. Algebraické výrazy sa používajú na riešenie problémov.

Publikácia predstavuje logiku rozdielu medzi algebraickými výrazmi pre študentov základných všeobecných a stredných (kompletných) všeobecné vzdelanie ako prechodné štádium utvárania logiky rozdielov v matematických výrazoch používaných vo fyzike a pod. pre ďalšie utváranie predstáv o javoch, úlohách, ich klasifikácii a metodike ich riešenia.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Algebraické výrazy a ich charakteristika

Algebra ako veda študuje vzorce akcií na množinách označených písmenami.Algebraické operácie zahŕňajú sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocňovanie a odmocňovanie.V dôsledku týchto akcií sa vytvorili algebraické výrazy.Algebraický výraz je výraz pozostávajúci z čísel a písmen označujúcich množiny, s ktorými sa vykonávajú algebraické operácie.Tieto operácie boli prenesené do algebry z aritmetiky. V algebre uvažujúrovnanie jedného algebraického výrazu k druhému, čo je ich identická rovnosť. Príklady algebraických výrazov sú uvedené v §1.Metódy transformácií a vzťahy medzi výrazmi boli tiež prevzaté z aritmetiky. Znalosť aritmetických zákonov operácií na aritmetických výrazoch vám umožňuje vykonávať transformácie na podobných algebraických výrazoch, transformovať ich, zjednodušovať, porovnávať a analyzovať.Algebra je veda o vzorcoch transformácie výrazov pozostávajúca z množín reprezentovaných vo forme písmenových symbolov prepojených znakmi rôznych akcií.Vo vysokoškolskom vzdelávaní sa študujú aj zložitejšie algebraické výrazy. vzdelávacie inštitúcie. Zatiaľ ich možno rozdeliť na typy, ktoré sa v školských osnovách používajú najčastejšie.

1 Typy algebraických výrazov

klauzula 1 Jednoduché výrazy: 4a; (a + b); (a + b) 3c; ; .

klauzula 2 Identické rovnosti:(a + b) c = ac + bc; ;

položka 3 Nerovnosti: ak ; a + c .

položka 4 Vzorce: x=2a+5; y = 3b; y=0,5d2+2;

Položka 5 Rozmery:

Prvá úroveň obtiažnosti

Druhá úroveň obtiažnosti

Tretia úroveň obtiažnostiz pohľadu hľadania hodnôt pre množiny

a, b, c, m, k, d:

Štvrtá úroveň obtiažnostiz pohľadu hľadania hodnôt pre množiny a, y:

položka 6 Rovnice:

ax+c = -5bx; 4x 2 + 2x = 42;

Atď.

klauzula 7 Funkčné závislosti: y=3x; y=ax2+4b; y=0,5x2+2;

Atď.

2 Zvážte algebraické výrazy

2.1 Časť 1 predstavuje jednoduché algebraické výrazy. Je tu výhľad a

ťažšie, napr.

Takéto výrazy spravidla nemajú znak „=“. Úlohou pri zvažovaní takýchto výrazov je transformovať ich a získať ich v zjednodušenej forme. Pri transformácii algebraického výrazu súvisiaceho s krokom 1 sa získa nový algebraický výraz, ktorý je svojím významom ekvivalentný predchádzajúcemu. Hovorí sa, že takéto výrazy sú identicky ekvivalentné. Tie. algebraický výraz naľavo od znamienka rovnosti je významovo ekvivalentný algebraickému výrazu napravo. V tomto prípade sa získa algebraický výraz nového typu, ktorý sa nazýva identická rovnosť (pozri odsek 2).

2.2 Časť 2 predstavuje algebraické rovnosti identity, ktoré sú tvorené metódami algebraickej transformácie, uvažujú sa o algebraických výrazoch, ktoré sa najčastejšie používajú ako metódy na riešenie úloh vo fyzike. Príklady identických rovníc algebraických transformácií, ktoré sa často používajú v matematike a fyzike:

Komutatívny zákon sčítania: a + b = b + a.

Kombinačný zákon sčítania:(a + b) + c = a + (b + c).

Zákon komutatívneho násobenia: ab = ba.

Kombinačný zákon násobenia:(ab)c = a(bc).

Distribučný zákon násobenia vo vzťahu k sčítaniu:

(a + b) c = ac + bc.

Distribučný zákon násobenia vo vzťahu k odčítaniu:

(a - b) c = ac - bc.

Identické rovnostizlomkové algebraické výrazy(za predpokladu, že menovatelia zlomkov sú nenulové):

Identické rovnostialgebraické výrazy s mocninami:

A),

kde (n-krát, ) - stupňa s celočíselným exponentom

b) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2.

Identické rovnostialgebraické výrazy s koreňmi n-tý stupeň:

Výraz - aritmetický koreň n stupňa spomedzi najmä - aritmetický štvorec.

Stupeň so zlomkovým (racionálnym) exponentom koreň:

Ekvivalentné výrazy uvedené vyššie sa používajú na transformáciu zložitejších algebraických výrazov, ktoré neobsahujú znak „=“.

Uvažujme príklad, v ktorom na transformáciu zložitejšieho algebraického výrazu použijeme poznatky získané pri transformácii jednoduchších algebraických výrazov vo forme identických rovníc.

2.3 Časť 3 predstavuje algebraické n rovnosť, pre ktoré sa algebraické vyjadrenie ľavej strany nerovná pravej, t.j. nie sú totožné. V tomto prípade sú to nerovnosti. Pri riešení niektorých problémov vo fyzike sú spravidla dôležité vlastnosti nerovností:

1) Ak a, potom pre ľubovoľné c: a + c .

2) Ak a a c > 0, potom ac .

3) Ak a a c , potom ac > bс .

4) Ak a , a a b teda jedno znamenie 1/a > 1/b.

5) Ak a a c , potom a + c , a - d .

6) Ak a , c , a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, potom ac .

7) Ak a , a > 0, b > 0, potom

8) Ak , tak

2.4 Časť 4 predstavuje algebraické vzorcetie. algebraické výrazy, v ktorých sa na ľavej strane od znamienka rovnosti nachádza písmeno označujúce množinu, ktorej hodnota je neznáma a musí sa určiť. A na pravej strane znamienka rovnosti sú množiny, ktorých hodnoty sú známe. V tomto prípade sa tento algebraický výraz nazýva algebraický vzorec.

Algebraický vzorec je algebraický výraz obsahujúci znamienko rovnosti, na ľavej strane ktorého je množina, ktorej hodnota je neznáma, a na pravej strane množiny so známymi hodnotami podľa podmienok úlohy.Na určenie neznámej hodnoty množiny naľavo od znamienka „rovná sa“ sa na pravú stranu znamienka „rovná sa“ nahradia známe hodnoty veličín a vykonajú sa aritmetické výpočtové operácie uvedené v algebraickom výraze v táto časť.

Príklad 1:

Dané: Riešenie:

a=25 Nech je daný algebraický výraz:

x=? x = 2a+5.

Tento algebraický výraz je algebraický vzorec, pretože Naľavo od znamienka rovnosti je množina, ktorej hodnotu treba nájsť, a napravo množiny so známymi hodnotami.

Preto je možné nahradiť množinu „a“ známou hodnotou a určiť neznámu hodnotu množiny „x“:

x = 2,25 + 5 = 55. Odpoveď: x=55.

Príklad 2:

Dané: Riešenie:

a=25 Algebraický výrazje vzorec.

b=4 Preto je možné dosadiť známe

c=8 hodnôt pre množiny napravo od znamienka rovnosti,

d=3 na určenie neznámej hodnoty množiny „k“,

m=20 stojaci vľavo:

n=6 Odpoveď: k=3,2.

OTÁZKY

1 Čo je to algebraický výraz?

2 Aké typy algebraických výrazov poznáte?

3 Aký algebraický výraz sa nazýva rovnosť identity?

4 Prečo je potrebné poznať vzory rovnosti identity?

5 Aký algebraický výraz sa nazýva vzorec?

6 Aký algebraický výraz sa nazýva rovnica?

7 Aký algebraický výraz sa nazýva funkčná závislosť?

Na hodinách algebry v škole sa stretávame s výrazmi rôzne druhy. Ako sa učíte nový materiál, nahrávacie výrazy sa stávajú rozmanitejšie a komplexnejšie. Napríklad sme sa zoznamovali s mocninami - mocniny sa objavovali vo výrazoch, študovali sme zlomky - objavovali sa zlomkové výrazy atď.

Pre uľahčenie popisu materiálu dostali výrazy pozostávajúce z podobných prvkov špecifické názvy, aby sa odlíšili od celej škály výrazov. V tomto článku sa s nimi zoznámime, to znamená, že poskytneme prehľad základných výrazov študovaných na hodinách algebry v škole.

Navigácia na stránke.

Monómy a polynómy

Začnime s výrazmi tzv monočleny a polynómy. V čase písania tohto článku sa rozhovor o monomoch a polynómoch začína na hodinách algebry v 7. ročníku. Sú tam uvedené nasledujúce definície.

Definícia.

Monomiály nazývajú sa čísla, premenné, ich mocniny s prirodzeným exponentom, ako aj ľubovoľné súčiny z nich zložené.

Definícia.

Polynómy je súčet monomilov.

Napríklad číslo 5, premenná x, mocnina z 7, súčin 5 x a 7 x x 2 7 z 7 sú jednočlenné. Ak vezmeme súčet monočlenov, napríklad 5+x alebo z 7 +7+7·x·2·7·z 7, dostaneme polynóm.

Práca s monomickými a polynómami často zahŕňa robenie vecí s nimi. Na množine jednočlenov je teda definované násobenie jednočlenov a povýšenie jednočlenu na mocninu v tom zmysle, že ako výsledok ich vykonania sa získa jednočlen.

Sčítanie, odčítanie, násobenie a umocňovanie sú definované na množine polynómov. Ako sa tieto akcie určujú a podľa akých pravidiel sa vykonávajú, si povieme v článku Akcie s polynómami.

Ak hovoríme o polynómoch s jednou premennou, potom pri práci s nimi existuje významná praktický význam má delenie polynómu polynómom a často sa takéto polynómy musia reprezentovať ako súčin, tento dej sa nazýva faktorizácia polynómu;

Racionálne (algebraické) zlomky

V 8. ročníku sa začína náuka o výrazoch obsahujúcich delenie výrazom s premennými. A prvé takéto výrazy sú racionálne zlomky, ktorý niektorí autori nazývajú algebraické zlomky.

Definícia.

Racionálny (algebraický) zlomok je zlomok, ktorého čitateľom a menovateľom sú mnohočleny, najmä jednočleny a čísla.

Tu je niekoľko príkladov racionálnych zlomkov: a . Mimochodom, každý obyčajný zlomok je racionálny (algebraický) zlomok.

Na scéne algebraické zlomky zavádza sa sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie a umocňovanie. Ako sa to robí, je vysvetlené v článku Akcie s algebraickými zlomkami.

Často je potrebné vykonávať transformácie algebraických zlomkov, z ktorých najbežnejšie sú redukcia a redukcia na nového menovateľa.

Racionálne výrazy

Definícia.

Výrazy s mocninami (silové výrazy) sú výrazy obsahujúce vo svojom zápise stupne.

Tu je niekoľko príkladov výrazov s mocnosťami. Nesmú obsahovať premenné, napríklad 2 3 , . Mocninné výrazy s premennými sa tiež uskutočňujú: a tak ďalej.

Nebolo by na škodu oboznámiť sa s tým, ako sa to robí. konvertovanie výrazov s mocninami.

Iracionálne výrazy, výrazy s koreňmi

Definícia.

Výrazy obsahujúce logaritmy sa nazývajú logaritmické výrazy.

Príklady logaritmické výrazy sú log 3 9+lne , log 2 (4 a b), .

Výrazy veľmi často obsahujú mocniny aj logaritmy, čo je pochopiteľné, keďže logaritmus je podľa definície exponent. Výsledkom je, že takéto výrazy vyzerajú prirodzene: .

Ak chcete pokračovať v téme, pozrite si materiál prevod logaritmických výrazov.

Zlomky

V tejto časti sa pozrieme na výrazy špeciálneho typu – zlomky.

Zlomok rozširuje koncept. Zlomky majú tiež čitateľa a menovateľa umiestneného nad a pod horizontálnou zlomkovou čiarou (vľavo a vpravo od šikmej zlomkovej čiary). Iba na rozdiel od obyčajné zlomky, môže čitateľ a menovateľ obsahovať nielen celé čísla, ale aj akékoľvek iné čísla, ako aj akékoľvek výrazy.

Poďme teda definovať zlomok.

Definícia.

Zlomok je výraz pozostávajúci z čitateľa a menovateľa oddelených zlomkovou čiarou, ktoré predstavujú niektoré číselné alebo abecedné výrazy alebo čísla.

Táto definícia vám umožňuje uviesť príklady zlomkov.

Začnime príkladmi zlomkov, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú čísla: 1/4, , (-15)/(-2) . Čitateľ a menovateľ zlomku môže obsahovať výrazy, číselné aj abecedné. Tu sú príklady takýchto zlomkov: (a+1)/3, (a+b+c)/(a 2 +b 2), .

Ale výrazy 2/5−3/7 nie sú zlomky, hoci zlomky vo svojom zápise obsahujú.

Všeobecné výrazy

Na strednej škole, najmä v úlohách zvýšenej náročnosti a úlohách skupiny C na Jednotnej štátnej skúške z matematiky, sa stretnete s výrazmi komplexný typ, obsahujúce vo svojom zápise súčasne odmocniny, mocniny, logaritmy, goniometrické funkcie atď. Napríklad, alebo . Zdá sa, že vyhovujú niekoľkým typom výrazov uvedených vyššie. Ale zvyčajne nie sú klasifikované ako jeden z nich. Sú zvažované výrazov všeobecný pohľad a pri opise jednoducho povedia výraz bez pridania ďalších vysvetlení.

Na záver článku by som chcel povedať, že ak je daný výraz ťažkopádny a ak si nie ste úplne istý, do akého typu patrí, je lepšie ho nazvať jednoducho výrazom, ako ho nazvať výrazom, ktorý nie je .

Bibliografia.

Matematika: učebnica pre 5. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya Vilenkin, V. I. Žochov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
Matematika. 6. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [N. Ya. Vilenkin a ďalší]. - 22. vydanie, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chor. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: učebnica pre 7. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: ill.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

>>Matematika: Numerické a algebraické výrazy

Numerické a algebraické výrazy

Na základnej škole ste sa naučili počítať celé a zlomkové čísla, riešil rovnice, zoznámil sa s geometrické tvary, so súradnicovou rovinou. Toto všetko tvorilo obsah jedného školský predmet "matematika". V skutočnosti sa delí taká dôležitá oblasť vedy, akou je matematika obrovské číslo samostatné disciplíny: algebra, geometria, teória pravdepodobnosti, matematická analýza, matematická logika, matematická štatistika, teória hier atď. Každá disciplína má svoje vlastné predmety štúdia, svoje metódy chápania reality.

Algebra, ktorú sa chystáme študovať, dáva človeku príležitosť nielen na rôzne výkony výpočty, ale zároveň ho učí robiť to čo najrýchlejšie a racionálne. Muž vlastniaci algebraické metódy, má oproti tým, ktorí tieto metódy neovládajú, výhodu: rýchlejšie kalkuluje, úspešnejšie sa orientuje v životných situáciách, jasnejšie sa rozhoduje a lepšie premýšľa. Našou úlohou je pomôcť vám zvládnuť algebraické metódy, vašou úlohou nie je brániť sa učeniu, byť ochotný nás nasledovať, prekonávať ťažkosti.

V skutočnosti sa vám už na základnej škole otvorilo okno do života. Magický svet algebra, pretože algebra študuje predovšetkým číselné a algebraické výrazy.

Pripomeňme, že číselný výraz je každý záznam zložený z čísel a znakov počtových operácií (samozrejme zložený s významom: napr. 3 + 57 je číselný výraz, kým 3 + : nie je číselný výraz, ale nezmyselný súbor symbolov). Z určitých dôvodov (o nich si povieme neskôr) sa namiesto konkrétnych čísel často používajú písmená (hlavne z latinskej abecedy); potom sa získa algebraický výraz. Tieto výrazy môžu byť veľmi ťažkopádne. Algebra vás naučí zjednodušiť ich pomocou rôznych pravidiel, zákonov, vlastností, algoritmov, vzorcov, teorémov.

Príklad 1. Zjednodušte číselný výraz:

Riešenie. Teraz si spolu niečo pripomenieme a uvidíte, koľko algebraických faktov už poznáte. Najprv musíte vypracovať plán na vykonávanie výpočtov. Aby ste to dosiahli, budete musieť použiť konvencie prijaté v matematike o poradí operácií. Postup v v tomto príklade bude takto:

1) nájdite hodnotu A výrazu v prvých zátvorkách:
A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) nájdite hodnotu B výrazu v druhej zátvorke:

3) vydeľte A B - potom budeme vedieť, aké číslo C je obsiahnuté v čitateli (t. j. nad vodorovnou čiarou);

4) nájdite hodnotu D menovateľa (t. j. výraz obsiahnutý pod vodorovnou čiarou):
D = 25 - 37 - 0,4;

5) rozdeľte C na D - to bude požadovaný výsledok. Existuje teda plán výpočtu (a mať plán je polovica
úspech!), začnime to implementovať.

1) Nájdite A = 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Samozrejme, môžete počítať v rade alebo, ako sa hovorí, „head to head“: 2,73 + 4,81, potom k tomuto číslu pridajte
3,27, potom odpočítajte 2,81. ale kultivovaný človek Takto sa to nebude počítať. Bude si pamätať komutatívne a asociatívne zákony sčítania (nemusí si ich však pamätať, vždy ich má v hlave) a bude počítať takto:

(2,73 + 3,27) + 4,81 - 2,81) = 6 + 2 = 8.

Teraz si ešte raz spoločne rozoberieme, aké matematické fakty sme si pri riešení príkladu museli zapamätať (a nielen zapamätať, ale aj použiť).

1. Poradie aritmetických operácií.

2. Komutatívny zákon sčítania: a + b = b + a.

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Obsah lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rétorické otázky od študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky triky pre zvedavcov jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici, prvky inovácie v lekcii, nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie

Môžeme napísať nejaké matematické výrazy rôzne cesty. V závislosti od našich cieľov, či máme dostatok dát atď. Numerické a algebraické výrazy Líšia sa tým, že prvé zapisujeme len ako čísla spojené pomocou aritmetických znamienok (sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie) a zátvoriek.

Ak namiesto čísel zadáte do výrazu latinské písmená (premenné), stane sa algebraickým. Algebraické výrazy používajú písmená, čísla, sčítanie a odčítanie, násobenie a delenie. Môže sa použiť aj znamienko koreňa, stupňa a zátvorky.

V každom prípade, či je výraz číselný alebo algebraický, nemôže to byť len náhodná množina znakov, čísel a písmen – musí mať význam. To znamená, že písmená, čísla, znaky musia byť spojené nejakým vzťahom. Správny príklad: 7x + 2: (y + 1). Zlý príklad): + 7x - * 1.

Slovo „premenná“ bolo uvedené vyššie - čo to znamená? Toto je latinské písmeno, namiesto ktorého môžete nahradiť číslo. A ak hovoríme o premenných, v tomto prípade možno algebraické výrazy nazvať algebraickou funkciou.

Premenná môže nadobúdať rôzne hodnoty. A dosadením nejakého čísla na jeho miesto môžeme nájsť hodnotu algebraického výrazu pre túto konkrétnu hodnotu premennej. Keď je hodnota premennej iná, hodnota výrazu bude iná.

Ako riešiť algebraické výrazy?

Ak chcete vypočítať hodnoty, ktoré musíte urobiť prevod algebraických výrazov. A na to musíte ešte vziať do úvahy niekoľko pravidiel.

Po prvé: rozsah algebraických výrazov je všetko možné hodnoty premenné, pre ktoré môže mať tento výraz zmysel. čo to znamená? Nemôžete napríklad nahradiť hodnotu premennej, ktorá by vyžadovala delenie nulou. Vo výraze 1/(x – 2) musí byť 2 vylúčená z oblasti definície.

Po druhé, pamätajte na to, ako zjednodušiť výrazy: faktor ich, dať identické premenné zo zátvoriek atď. Napríklad: ak vymeníte podmienky, súčet sa nezmení (y + x = x + y). Rovnako tak sa produkt nezmení, ak sa faktory vymenia (x*y = y*x).

Vo všeobecnosti sú vynikajúce na zjednodušenie algebraických výrazov. skrátené vzorce násobenia. Tí, ktorí sa ich ešte nenaučili, by tak určite mali urobiť – aj tak sa budú viackrát hodiť:

zistíme rozdiel medzi premennými na druhú: x 2 – y 2 = (x – y)(x + y);

zistíme súčet na druhú: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2;

rozdiel vypočítame na druhú: (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2;

kocka súčet: (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 alebo (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy (x + y);

kocka rozdiel: (x – y) 3 = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 alebo (x – y) 3 = x 3 – y 3 – 3xy (x – y);

zistíme súčet premenných v kocke: x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2);

vypočítame rozdiel medzi premennými na kocky: x 3 – y 3 = (x – y)(x 2 + xy + y 2);

používame korene: xa 2 + ua + z = x(a – a 1)(a – a 2), a 1 a a 2 sú korene výrazu xa 2 + ua + z.

Mali by ste tiež rozumieť typom algebraických výrazov. Oni sú:

racionálne a tie sa zase delia na:

celé čísla (neexistuje žiadne delenie na premenné, žiadna extrakcia koreňov z premenných a žiadne zvýšenie na zlomkové mocniny): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b) Definičnou oblasťou sú všetky možné hodnoty premenných ;

zlomkové (okrem iných matematických operácií, ako sú sčítanie, odčítanie, násobenie, v týchto výrazoch sú delené premennou a umocnené na mocninu (s prirodzeným exponentom): (2/b - 3/a + c/4) 2. Definičná oblasť - všetky premenné hodnôt, pre ktoré sa výraz nerovná nule;

iracionálny - aby sa algebraický výraz považoval za taký, musí zahŕňať umocnenie premenných na mocninu s zlomkovým exponentom a/alebo extrahovanie koreňov z premenných: √a + b 3/4. Oblasťou definície sú všetky hodnoty premenných s výnimkou tých, pre ktoré sa výraz pod odmocninou párnej alebo zlomkovej mocniny stáva záporným číslom.

Identické transformácie algebraických výrazov je ďalšou užitočnou technikou na ich riešenie. Identita je výraz, ktorý bude pravdivý pre všetky premenné zahrnuté v doméne definície, ktoré sú do nej nahradené.

Výraz, ktorý závisí od niektorých premenných, sa môže identicky rovnať inému výrazu, ak závisí od rovnakých premenných a ak sú hodnoty oboch výrazov rovnaké, bez ohľadu na to, aké hodnoty premenných sú zvolené. Inými slovami, ak výraz možno vyjadriť dvoma rôznymi spôsobmi (výrazmi), ktorých významy sú rovnaké, tieto výrazy sú identicky rovnaké. Napríklad: y + y = 2y alebo x 7 = x 4 * x 3 alebo x + y + z = z + x + y.

Pri vykonávaní úloh s algebraickými výrazmi slúži transformácia identity na to, aby sa jeden výraz mohol nahradiť iným, ktorý je s ním identický. Napríklad nahraďte x 9 produktom x 5 * x 4.

Príklady riešení

Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na niekoľko príkladov. transformácie algebraických výrazov. Úlohy tejto úrovne možno nájsť v KIM pre jednotnú štátnu skúšku.

Úloha 1: Nájdite hodnotu výrazu ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 -1).

Riešenie: ((12x) 2 – 12x)/(12x 2 – 1) = (12x (12x -1))/x*(12x – 1) = 12.

Úloha 2: Nájdite hodnotu výrazu (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3).

Riešenie: (4x 2 – 9)*(1/(2x – 3) – 1/(2x +3) = (2x – 3)(2x + 3)(2x + 3 – 2x + 3)/(2x – 3 )(2x + 3) = 6.

Záver

Pri príprave na školské testy, jednotné štátne skúšky a štátne skúšky môžete tento materiál vždy použiť ako pomôcku. Pamätajte, že algebraický výraz je kombináciou vyjadrených čísel a premenných s latinskými písmenami. A tiež znaky aritmetických operácií (sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie), zátvorky, mocniny, odmocniny.

Na transformáciu algebraických výrazov použite skrátené vzorce násobenia a znalosti identít.

Napíšte nám svoje postrehy a priania do komentárov – je dôležité, aby sme vedeli, že nás čítate.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.