Štúdium umiestnenia koreňov štvorcového trojčlenu v úlohách s parametrami. Projekt Algebra (9. ročník) na tému: Umiestnenie koreňov kvadratickej rovnice v úlohách s parametrami.

Podrobnosti o autorovi

Stukalová Nadežda Vasilievna

Miesto práce, pozícia:

MBOU SOŠ č.15, učiteľka matematiky

Tambovský región

Charakteristika lekcie (lekcie)

Úroveň vzdelania:

Stredné (úplné) všeobecné vzdelanie

Cieľové publikum:

žiak (študent)

Cieľové publikum:

učiteľ (učiteľ)

Triedy:

Položky:

Algebra

Položky:

Matematika

Účel lekcie:

Typ lekcie:

Kombinovaná lekcia

Žiaci v triede (hľadisko):

Použité učebnice a učebné pomôcky:

A. G. Mordkovich, algebra, 9. ročník, učebnica, 2011

A. G. Mordkovich, algebra, 9. ročník, problémová kniha, 2011

S.A. Telyakovsky, algebra 9. ročník, učebnica, 2009

Použitá metodologická literatúra:

Miroshin, V.V. Riešenie úloh s parametrami: Teória a prax / V.V. Miroshin - M.: Skúška, 2009.

L. V. Kuznetsova Zbierka úloh na skúšku

Použité vybavenie:

Počítač, filmový projektor

Stručný opis:

Plán lekcie: 1. Organizačný moment. 2. Zovšeobecnenie a systematizácia poznatkov (pamätajte na potrebné a dostatočné podmienky pre umiestnenie koreňov kvadratická trojčlenka na číselnom rade). 3. Riešenie úloh s parametrami (práca v skupinách). 4. Samostatná práca nasleduje overenie. 5. Zhrnutie. 6. Domáce úlohy.

Zhrnutie lekcie

k téme

„Umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu

v závislosti od hodnôt parametrov"

učiteľka matematiky Stukalová N.V. MBOU stredná škola č.15

Michurinsk - vedecké mesto Ruskej federácie 2011

Účel lekcie:

Rozvíjať praktické zručnosti žiakov pri riešení úloh s parametrami;

Pripravte študentov na úspešné ukončenie GIA v matematike;

Rozvíjať výskumné a kognitívne aktivity študentov;

Rozvíjať záujem o matematiku;

Rozvíjať matematické schopnosti žiakov.

Plán lekcie:

1. Organizačný moment.

2. Zovšeobecnenie a systematizácia poznatkov (pamätajte na potrebné a postačujúce podmienky pre umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu na číselnej osi).

3. Riešenie úloh s parametrami (práca v skupinách).

4. Samostatná práca s následným overením.

5. Zhrnutie.

6. Domáce úlohy.

Počas vyučovania.

1. Organizovanie času.

Učiteľ oznámi tému hodiny, stanoví ciele a zámery pre študentov a oznámi plán hodiny.

Problémy s parametrami spôsobujú veľké ťažkosti. Je to spôsobené tým, že riešenie takýchto problémov si vyžaduje nielen znalosť vlastností funkcií a rovníc, ale aj schopnosť vykonávať algebraické transformácie, ale aj vysoká logická kultúra a dobré výskumné techniky.

Naša lekcia je venovaná riešeniu úloh o umiestnení koreňov štvorcového trojčlenu na číselnej osi.

2. Zovšeobecňovanie a systematizácia vedomostí:

Pripomeňte si potrebné a dostatočné podmienky na splnenie rôznych požiadaviek na umiestnenie koreňov kvadratická rovnica pomerne dané body alebo medzery.

Po odpovedi študentov sa zobrazia snímky so správnou odpoveďou.

1. Umiestnenie koreňov na oboch stranách danej číselnej osi

bodov.

stav x 1< m<х 2, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(x)<0.

2. Umiestnenie koreňov na oboch stranách daného segmentu.

Aby korene kvadratickej rovnice pre a ≠ 0 vyhovovali

stav x 1< m, х 2 < n, где m

systémy nerovností

3. Umiestnenie koreňov na jednej strane daného na číselnej osi

Bodky.

Aby korene kvadratickej rovnice pre a ≠ 0 vyhovovali

stav m<х 1 <х 2, т.е располагались на числовой прямой правее точки х = m,

je nevyhnutné a postačujúce na uspokojenie systému nerovností

Ak je naľavo od bodu x = m, je potrebné a postačujúce urobiť

systémy nerovností

4. Korene patria do daného intervalu.

interval (m;n), je potrebné a postačujúce na spustenie systému

nerovnosti

5. Príslušnosť koreňov k danému segmentu.

Aby korene kvadratickej rovnice pre a ≠ 0 patrili

interval, je potrebné a postačujúce spustiť systém

nerovnosti

3. Riešenie problémov s parametrami.

Žiaci sú rozdelení do 4 skupín. V každej skupine sú deti, ktoré sú úspešnejšie v algebre. Každá skupina začne riešiť problém, ktorý zodpovedá číslu jej skupiny. Po prediskutovaní postupu riešenia úlohy jeden zástupca z každej skupiny príde k tabuli a vypracuje riešenie problému svojej skupiny a vysvetlí jeho riešenie (na skladacích tabuliach). V tomto čase musia deti riešiť problémy inej skupiny (môžete si nechať poradiť od učiteľa).

Úloha č.1.

Pri akých hodnotách parametrov A je jeden koreň rovnice (12a + 7) x 2 + (9a - 42) x ​​+ +11 - 3a = = 0 väčší ako 1, druhý koreň menší ako 1?

Riešenie.

Graf funkcie y = f(x), kde f(x) = (12a + 7)x 2 + (9a - 42)x ​​​​+ +11 - 3a, pričom

a ≠ - 7/12 je parabola, ktorej vetvy pre a > - 7/12 smerujú nahor, pre a< - 7/12 - вниз. Тогда значения параметра A uspokojiť nerovnosť

(12a +)f(1)< 0, где f(1) = 12а+7+9а-42+11-3а = 18а-24. Решив неравенство (12а+7)(18а-24)<0, получим, что - 7/12<а<4/3. Ответ: (-7/12; 4/3).

Problém č.2.

Nájdite hodnoty parametra a, pri ktorých sú korene rovnice (1+a)x 2 - 3ax +4a = 0 väčšie ako 1.

Riešenie.

Pre a≠-1 je daná rovnica kvadratická a D= -a(7a+16). Získame systém, z ktorého -16/7≤а≤ -1.

Hodnoty parametrov, pri ktorých sú korene tejto rovnice pre a ≠ - 1 väčšie ako 1, patria do intervalu [-16/7; -1).

Keď a = -1, daná rovnica má tvar 3x - 4 = 0 a jediný koreň

Odpoveď: [-16/7; -1]

Úloha č.3.

Pri akých hodnotách parametra k sú korene rovnice (k-2)x 2 -2kx+2k-3=0

patrí do intervalu (0;1)?

Riešenie.

Pre k≠2 musia požadované hodnoty parametrov spĺňať systém nerovností

kde D= 4k2-4(k-2)(2k-3) = -4(k2-7k+6), f(0) = 2k-3? F(1) = k-5, xin = k/(k-2).

Tento systém nemá riešenia.

Pre k = 2 je daná rovnica -4x+1 = 0, jej jediným koreňom je

x = ¼, ktorá patrí do intervalu (0;1).

Úloha č.4.

Pre aké hodnoty a sú oba korene rovnice x 2 -2ax + a 2 -a = 0 umiestnené na segmente?

Požadované hodnoty musia spĺňať systém nerovností

kde D= 4a2-4(a2-a) = 4a, f(2) = a2-5a+4, f(6) = a2-13a+36, x b = a.

Jediným riešením systému je hodnota a = 4.

4. Samostatná práca (kontrola a školenie).

Študenti pracujú v skupinách a vykonávajú rovnakú verziu, pretože materiál je veľmi zložitý a nie každý to dokáže.

č. 1. Pre aké hodnoty parametra a patria obidva korene rovnice x 2 -2ax + a 2 - 1 =0 do intervalu (-2;4)?

č. 2. Nájdite všetky hodnoty k, pre ktorý je jeden koreň rovnice

(k-5)x2-2kx+k-4=0 je menšie ako 1 a druhý koreň je väčší ako 2.

č. 3. Pri akých hodnotách a sa nachádza číslo 1 medzi koreňmi štvorcového trinomu x 2 + (a + 1) x - a 2?

Po uplynutí času sa zobrazia odpovede. Vykonáva sa samotestovanie nezávislej práce.

5. Zhrnutie lekcie. Dokončite vetu.

“Dnes v triede...”

"Pamätám si…"

"Rád by som poznamenal..."

Učiteľ rozoberá celý priebeh hodiny a jej hlavné body, hodnotí aktivity každého študenta na hodine.

6. Domáca úloha

(zo zbierky úloh na prípravu na štátnu skúšku v 9. ročníku od L. V. Kuznecova)

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Mestská vládna agentúra

Stredná škola Ermolovskaja

Umiestnenie koreňov kvadratickej rovnice v úlohách s parametrami

Účinkuje Galkin Sergey Andreevich,

žiak 9. ročníka

Vedúci: Maley N.I.,

Učiteľ matematiky

2013

Úvod ………………………………………………………….. 3

Hlavná časť. Umiestnenie koreňov kvadratickej rovnice a príklady………………………………………………………..4-15

Kontrola kvality použiteľnosti prezentovaného materiálu..16

Záver………………………………………………………………. 17

Literatúra……………………………………………………….. 18

Dodatok ……………………………………………………………………………… 19

Cieľ:

Formulujte a zdôvodnite tvrdenia o umiestnení koreňov kvadratickej rovnice a ukážte aplikáciu získaných tvrdení na riešenie úloh s parametrami.

Úlohy:

1. Preštudujte si literatúru na túto tému.

2. Formulujte tvrdenia a dajte geometrickú interpretáciu

Úvod

V poslednej dobe sa v materiáloch záverečných skúšok a jednotnej štátnej skúšky v problémoch so zvýšenou zložitosťou ponúkajú úlohy na tému „Rovnice s parametrami“.

Osobitnú úlohu medzi rovnicami s parametrami zohrávajú problémy súvisiace s umiestnením koreňov kvadratickej rovnice.

Uvažujme o dvoch najbežnejších typoch takýchto problémov

1. typ úlohy, v ktorej sa študuje umiestnenie koreňov vzhľadom na daný bod.

2. typ úlohy, v ktorej sa študuje umiestnenie koreňov vzhľadom na číselný interval

Výroky o umiestnení koreňov kvadratickej rovnice

Nech f(x)=ax 2 +bx+c má skutočné korene x 1 a x 2 a M je nejaké reálne číslo, D=b 2 – 4ac.

Vyhlásenie 1. Aby oba korene kvadratickej rovnice boli menšie ako číslo M (teda ležali na číselnej osi vľavo od bodu M), je potrebné a postačujúce splniť nasledujúce podmienky:

alebo

Príklad 1:

Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú oba korene kvadratickej rovnice x²+4ax+(1-2a+4a²)=0 menšie ako -1.

Riešenie:

Zvážte funkciu y=x²+4ax+1(1-2a+4a²)

Odpoveď: (1; +∞).

Vyhlásenie 2. Aby jeden z koreňov kvadratickej rovnice bol menší ako číslo M a druhý väčší ako číslo M (t.j. bod M by ležal medzi koreňmi), je potrebné a postačujúce splniť nasledujúce podmienky: :

Príklad 2:

Nájdite všetky hodnoty parametra m, pre každý z nich je jeden koreň rovnice 2mx²-2x-3m-2=0 väčší ako 1 a druhý menší ako 1.

Riešenie:

2mf(1)

2m (2m-2-3m-2)

2m²-8

2 m (m+4)

m(m+4)>0

Odpoveď: (-∞; -4)U(0; + ∞).

Vyhlásenie 3. Aby oba korene kvadratickej rovnice boli väčšie ako číslo M (t. j. ležali na číselnej osi vpravo od bodu M), je potrebné a postačujúce splniť tieto podmienky:

alebo

Príklad 3:

Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú oba korene kvadratickej rovnice x²-6ax+(2-2a+9a²)=0 väčšie ako 3

Riešenie: f(x)=x²-6ax+(2-2a+9a²)

Odpoveď: a>11/9

Vyhlásenie 4. Aby oba korene kvadratickej rovnice boli väčšie ako číslo M, ale menšie ako číslo N(M ) , t.j. ležia v intervale medzi M a N, je potrebné a postačujúce:

alebo

Príklad 4:

Pre aké hodnoty m ležia korene rovnice 4x²-(3m+1)x-m-2=0 medzi -1 a 2?

Riešenie:

Odpoveď: (-; ).

Vyhlásenie 5. Aby v intervale ležal len najväčší koreň kvadratickej rovnice[M, N] (M N) , potrebné a dostatočné:

(v tomto prípade menší koreň leží mimo segmentu).

5. Nájdite všetky hodnoty a, pre ktoré je pre každé x z intervalu (-3; -1] hodnota výrazu
(úloha C3 z Jednotnej štátnej skúšky).

Riešenie:

1. Hodnoty uvedených výrazov sa navzájom nerovnajú vtedy a len vtedy, ak je splnená podmienka:

Označme t=x², potom t²-8t-2 pri.

t2-8t-at-2=t2-(a+8)t-2 0

f(t)=t2-(a+8)t-20

Preto úloha vyžaduje, aby rovnica f(t)=0 nemala na intervale žiadne korene , potrebné a dostatočné:

(v tomto prípade väčší koreň leží mimo segmentu[M, N]).

Vyhlásenie 7. Aby jeden z koreňov kvadratickej rovnice bol menší ako M a druhý väčší ako N (M[M,N] ležal úplne v intervale medzi koreňmi, je potrebné a postačujúce:

Príklad 6:

Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré leží menší koreň rovnice x²+(a+1)x+3=0 v intervale (-1; 3)

Riešenie:

Odpoveď: (-∞; -5)

Príklad 7:

Pri akých hodnotách parametra a je jeden koreň rovnice x²-(3a+2)x+2a-1=0 menší ako -1 a druhý väčší ako 2.

Riešenie:

Odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Kontrola kvality použiteľnosti prezentovaného materiálu

Testovaciu prácu vykonali štyria ľudia: traja žiaci 11. ročníka a jeden žiak 10. ročníka (úlohy pozri v prílohe)

V dôsledku analýzy testovacej práce sa zistila potreba zlepšiť zručnosti pri riešení problémov o umiestnení koreňov kvadratickej rovnice.

záver:

Počas štúdie boli zvážené hlavné prípady umiestnenia koreňov kvadratickej rovnice, boli uvedené tvrdenia, ku ktorým boli poskytnuté ilustrácie, aby pomohli pochopiť, ako sú tieto tvrdenia odvodené. Tento materiál uľahčí pochopenie riešení úloh obsahujúcich parametre o umiestnení koreňov kvadratickej rovnice. Dá sa využiť na individuálnu prípravu, ako aj na mimoškolské a výberové hodiny matematiky.

Literatúra:

1. Problémy s parametrami P.I. Gornstein, B. Polonský, M.S. Yakir

3. Pracovný zošit na prípravu na záverečnú atestáciu z matematiky v novej podobe (Neštátna vzdelávacia inštitúcia „International Communications“)

4. Škola riešenia problémov s parametrami, autori P.F Sevryukov, A.N.

Aplikácia

Úlohy:

1. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú korene rovnice 4x²+2(a-1)x-a²+a=0 menšie ako -1.
2. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú korene rovnice x²+(a-4)x-2a=0 väčšie ako 1
3. Pri akých hodnotách parametra a sú oba korene rovnice x²-ax+2=0 väčšie ako 1, ale menšie ako 3

Najmocnejším nástrojom na riešenie zložitých problémov s parametrami je Vietov teorém. Tu si však treba dávať veľký pozor na formuláciu.

Tieto dve vety (priama a konverzná)

Veta Vieta

Ak má rovnica korene a ; potom sú rovnosti splnené.

Vlastnosti vety:

najprv . Veta platí len pre rovnicu a nie je to pravda

V druhom prípade musíte najprv rozdeliť obe strany rovnice nenulovým koeficientom a pri x 2 a potom použiť Vietovu vetu.

Po druhé. Na využitie výsledkov vety je potrebné mať fakt existencie koreňov rovníc, t.j. nezabudnite zadať podmienku D>0

Obrátený

Vietov teorém

Ak existujú ľubovoľné čísla a potom sú koreňmi rovnice

Veľmi dôležitá poznámka, uľahčenie riešenia problémov: inverzná veta záruky existencia koreňov v rovnici, ktorá vám umožňuje neobťažovať sa s diskriminantom. V tomto prípade je automaticky nezáporná.

	Podmienky pre korene	Ekvivalentná podmienka pre koeficienty a, b, c a diskriminant D
	Korene existujú (a sú rôzne)
	Korene existujú a sú si rovné a
	Korene existujú a
	Korene existujú a
	Korene existujú a sú rôzne
	Korene existujú, jeden koreň je nula a druhý >0

1). Určte, pri akých hodnotách parametra je rovnica

Nemá korene.

Ak rovnica nemá korene, potom je potrebné a postačujúce, aby bol diskriminant

má rôzne pozitívne korene.

Keďže existujú korene, ak sú obe kladné, potom pre túto rovnicu použijeme Vietov vzorec

⟹

Má rôzne negatívne korene

Má korene rôznych znakov

Má zhodné korene

2). Pri akých hodnotách parametrov A oba korene kvadratickej rovnice budú pozitívne?

Riešenie.

Keďže daná rovnica je kvadratická, obidva jej korene (rovnaké alebo rôzne) budú kladné, ak je diskriminant nezáporný a súčet a súčin koreňov kladné, tzn.

pretože a podľa Vietovej vety,

Potom dostaneme systém nerovností

3). Nájdite všetky hodnoty parametrov A nie sú pozitívne.

Keďže daná rovnica je kvadratická, potom . Obidva jeho korene (rovnaké alebo rôzne) budú záporné alebo rovné nule, ak je diskriminant nezáporný, súčet koreňov je záporný alebo rovný nule a súčin koreňov je nezáporný, tj.

a podľa Vietovej vety

potom dostaneme systém nerovností.

kde

4).Pri akých hodnotách parametrov A rovná 22,5?

Najprv ponúkneme „riešenie“, s ktorým sme sa už viackrát stretli.

pretože potom dostaneme „Odpoveď“ Avšak s nájdenou hodnotou A pôvodná rovnica nemá korene.

V tomto riešení sme narazili na jednu z „najpopulárnejších“ chýb spojených s použitím Vietovej vety:

hovoriť o koreňoch bez toho, aby ste najprv zistili, či existujú alebo nie.

Takže v tomto príklade bolo v prvom rade potrebné zistiť, že iba pôvodná rovnica má korene. Až potom sa môžete obrátiť na vyššie uvedené výpočty.

Odpoveď: Taký A neexistuje.

5). Korene rovnice sú také, že Definujte

Riešenie. Podľa Vietovej vety Vyrovnajme obe strany prvej rovnosti Vzhľadom na to, že dostaneme alebo Kontrola ukazuje, že hodnoty spĺňajú pôvodnú rovnicu.

Odpoveď:

6).Pri akej hodnote parametra A súčet druhých mocnín koreňov rovnice má najmenšiu hodnotu:

Poďme nájsť diskriminant tejto rovnice. Máme Tu je dôležité nedospieť k chybnému záveru, že rovnica má dva korene pre ľubovoľnú A. naozaj má dva korene pre akékoľvek, ale prijateľné A, t.j. o hod

Pomocou Vietovej vety píšeme

Na získanie odpovede teda zostáva nájsť najmenšiu hodnotu kvadratickej funkcie

na súprave

Odkedy a kedy potom funkcia na zadanej množine nadobúda najmenšiu hodnotu v bode

Problémy riešiť samostatne

1). Nájdite všetky hodnoty parametrov A, pre ktoré sú korene kvadratickej rovnice

nezáporné

2). Vypočítajte hodnotu výrazu , kde sú korene rovnice

3). Nájdite všetky hodnoty parametrov A, pre ktoré súčet druhých mocnín reálnych koreňov rovnice viac ako 6.

odpoveď:

4) Pri akých hodnotách parametra a má rovnica ax 2 -4x+a=0:

a) pozitívne korene

b) negatívne korene

Umiestnenie koreňov kvadratickej funkcie vzhľadom na

dané body.

Pre takéto problémy je typická nasledujúca formulácia: pri akých hodnotách parametra sú korene (iba jeden koreň) väčšie (menšie ako, nie viac ako, nie menšie ako) dané číslo A; korene sú umiestnené medzi číslami A a B; korene nepatria do medzery s koncami v bodoch A a B atď.

Pri riešení úloh zahŕňajúcich kvadratické trinomy

Často musíme riešiť nasledujúce štandardné situácie (ktoré sformulujeme vo forme „otázka-odpoveď“:

Otázka 1. Nech je uvedené číslo (1) oba jeho korene A viac tie. ?

Odpoveď. Kvadratické trinomické koeficienty (7) musí spĺňať podmienky

Kde - úsečka vrcholu paraboly.

Platnosť toho, čo bolo povedané, vyplýva z obr. 1, ktorý samostatne uvádza prípady a Všimnite si, že tieto dve podmienky a ešte nie sú dostatočné na to, aby boli korene väčšie a na prvom z obr. 1 ťah ukazuje parabolu, ktorá spĺňa tieto dve podmienky, ale jej korene sú menšie, ak však k týmto dvom podmienkam pridáme, že úsečka vrcholu paraboly je väčšia, potom budú korene väčšie ako.

Otázka 2. Nech je uvedené číslo Za akých podmienok na koeficientoch kvadratického trinomu (1) jeho korene A ležať na opačných stranách tie. ?

Odpoveď. kvadratické trinomické koeficienty (1) musí spĺňať podmienku

Platnosť toho, čo bolo povedané, vyplýva z obr. 2, ktorý samostatne uvádza prípady a Všimnite si, že táto podmienka zaručuje existenciu dvoch rôznych koreňov a štvorcovej trojčlenky (1).

Otázka 3. Za akých podmienok na koeficientoch kvadratického trinomu (1) jeho korene A sú rôzne a iba jeden z nich leží v danom intervale

Odpoveď. Kvadratické trinomické koeficienty (1) musí spĺňať podmienku

Otázka 4. Za akých podmienok na koeficientoch kvadratického trinomu (1) súbor jeho koreňov nie je prázdny a všetky jeho korene A ležať v danom intervale tie.

Odpoveď. Koeficienty kvadratického trinomu (1) musia spĺňať podmienky

Na vyriešenie takýchto problémov je užitočné pracovať s nižšie uvedenou tabuľkou.

Korene polynómu

.

Štúdium mnohých fyzikálnych a geometrických vzorov často vedie k riešeniu problémov s parametrami. Niektoré univerzity zaraďujú do písomiek aj rovnice, nerovnice a ich systémy, ktoré sú často veľmi zložité a vyžadujú si neštandardný prístup k riešeniu. V škole sa táto jedna z najťažších častí školského kurzu algebry zvažuje iba v niekoľkých voliteľných alebo predmetových kurzoch.
Funkčná grafická metóda je podľa mňa pohodlný a rýchly spôsob riešenia rovníc s parametrom.
Ako je známe, vo vzťahu k rovniciam s parametrami existujú dve formulácie problému.

1. Vyriešte rovnicu (pre každú hodnotu parametra nájdite všetky riešenia rovnice).
2. Nájdite všetky hodnoty parametra, pre ktoré riešenia rovnice spĺňajú dané podmienky.

V tomto príspevku sa uvažuje a študuje problém druhého typu vo vzťahu ku koreňom štvorcového trinomu, ktorého nájdenie je redukované na riešenie kvadratickej rovnice.
Autor dúfa, že táto práca pomôže učiteľom pri príprave vyučovacích hodín a príprave študentov na Jednotnú štátnu skúšku.

1. Čo je to parameter

Vyjadrenie formy ach 2 + bx + c v kurze školskej algebry nazývajú kvadratický trinom vzhľadom na X, Kde a, b, c sú dané reálne čísla a, a=/= 0. Hodnoty premennej x, pri ktorých sa výraz stáva nulou, sa nazývajú korene štvorcového trinomu. Ak chcete nájsť korene kvadratického trinomu, musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu ach 2 + bх + c = 0.
Spomeňme si na základné rovnice z kurzu školskej algebry ax + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Pri hľadaní ich koreňov hodnoty premenných a, b, c, zahrnuté v rovnici sa považujú za pevné a dané. Samotné premenné sa nazývajú parametre. Keďže v školských učebniciach neexistuje žiadna definícia parametra, navrhujem vychádzať z nasledujúcej najjednoduchšej verzie.

Definícia.Parameter je nezávislá premenná, za hodnotu ktorej sa v úlohe považuje dané pevné alebo ľubovoľné reálne číslo, prípadne číslo patriace do vopred určenej množiny.

2. Základné typy a metódy riešenia úloh s parametrami

Medzi úlohami s parametrami možno rozlíšiť nasledujúce hlavné typy úloh.

1. Rovnice, ktoré musia byť vyriešené buď pre akúkoľvek hodnotu parametra (parametrov), alebo pre hodnoty parametrov patriace do vopred špecifikovanej množiny. Napríklad. Riešte rovnice: sekera = 1, (a – 2)x = a 2 – 4.
2. Rovnice, pre ktoré je potrebné určiť počet riešení v závislosti od hodnoty parametra (parametrov). Napríklad. Pri akých hodnotách parametrov a rovnica 4X 2 – 4ax + 1 = 0 má jeden koreň?
3. Rovnice, pre ktoré pre požadované hodnoty parametra množina riešení spĺňa špecifikované podmienky v oblasti definície.

Nájdite napríklad hodnoty parametrov, v ktorých sú korene rovnice ( a – 2)X 2 – 2sekera + a + 3 = 0 pozitívne.
Hlavné spôsoby riešenia problémov s parametrom: analytické a grafické.

Analytický- Ide o metódu takzvaného priameho riešenia, pričom sa opakujú štandardné postupy hľadania odpovede v problémoch bez parametra. Pozrime sa na príklad takejto úlohy.

Úloha č.1

Pri akých hodnotách parametra a platí rovnica X 2 – 2sekera + a 2 – 1 = 0 má dva rôzne korene patriace do intervalu (1; 5)?

Riešenie

X 2 – 2sekera + a 2 – 1 = 0.
Podľa podmienok úlohy musí mať rovnica dva rôzne korene a to je možné len za podmienky: D > 0.
Máme: D = 4 a 2 – 2(A 2 – 1) = 4. Ako vidíme, diskriminant nezávisí od a, preto má rovnica dva rôzne korene pre ľubovoľné hodnoty parametra a. Poďme nájsť korene rovnice: X 1 = A + 1, X 2 = A – 1
Korene rovnice musia patriť do intervalu (1; 5), t.j.
Takže o 2<A < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

odpoveď: 2<A < 4.
Tento prístup k riešeniu problémov uvažovaného typu je možný a racionálny v prípadoch, keď je diskriminant kvadratickej rovnice „dobrý“, t.j. je presná druhá mocnina ľubovoľného čísla alebo výrazu, alebo korene rovnice možno nájsť pomocou inverznej vety Vieta. Potom korene nepredstavujú iracionálne výrazy. Inak riešenie problémov tohto typu zahŕňa z technického hľadiska pomerne zložité postupy. A riešenie iracionálnych nerovností vyžaduje od študenta nové poznatky.

Grafický- ide o metódu, pri ktorej sa používajú grafy v rovine súradníc (x; y) alebo (x; a). Jasnosť a krása tohto riešenia pomáha nájsť rýchly spôsob riešenia problému. Vyriešme úlohu č.1 graficky.
Ako viete z kurzu algebry, korene kvadratickej rovnice (kvadratický trinom) sú nuly príslušnej kvadratickej funkcie: Y = X 2 – 2Oh + A 2 – 1. Graf funkcie je parabola, vetvy smerujú nahor (prvý koeficient je 1). Geometrický model, ktorý spĺňa všetky požiadavky úlohy, vyzerá takto.

Teraz už zostáva len „upevniť“ parabolu v požadovanej polohe pomocou potrebných podmienok.

1. Pretože parabola má dva priesečníky s osou X, potom D > 0.
2. Vrchol paraboly je medzi zvislými čiarami X= 1 a X= 5, preto úsečka vrcholu paraboly x o patrí do intervalu (1; 5), t.j.
   1 <X O< 5.
3. Všímame si to pri(1) > 0, pri(5) > 0.

Ak teda prejdeme od geometrického modelu problému k analytickému, dostaneme systém nerovností.

odpoveď: 2<A < 4.

Ako je zrejmé z príkladu, grafická metóda riešenia problémov uvažovaného typu je možná v prípade, že korene sú „zlé“, t.j. obsahujú parameter pod znamienkom radikálu (v tomto prípade diskriminant rovnice nie je dokonalý štvorec).
Pri druhom spôsobe riešenia sme pracovali s koeficientmi rovnice a rozsahom funkcie pri = X 2 – 2Oh + A 2 – 1.
Tento spôsob riešenia nemožno nazvať iba grafickým, pretože tu musíme vyriešiť systém nerovností. Skôr je táto metóda kombinovaná: funkčná a grafická. Z týchto dvoch metód je táto nielen elegantná, ale aj najdôležitejšia, pretože ukazuje vzťah medzi všetkými typmi matematických modelov: verbálny popis problému, geometrický model - graf kvadratického trinomu, analytický model - popis geometrického modelu sústavou nerovníc.
Uvažovali sme teda o probléme, v ktorom korene kvadratického trinómu spĺňajú dané podmienky v oblasti definície pre požadované hodnoty parametrov.

Aké ďalšie možné podmienky môžu korene kvadratického trinómu spĺňať pre požadované hodnoty parametrov?