Ako dokázať, či je funkcia párna alebo nepárna. Funkčná parita

Prevod grafov.

Slovný popis funkcie.

Grafická metóda.

Grafický spôsob určenia funkcie je najnázornejší a často sa používa v technike. V matematickej analýze sa ako ilustrácia používa grafická metóda špecifikácie funkcií.

Funkčný graf f je množina všetkých bodov (x;y) súradnicovej roviny, kde y=f(x) a x „prechádza“ celou oblasťou definície tejto funkcie.

Podmnožina súradnicovej roviny je grafom funkcie, ak nemá viac ako jeden spoločný bod s akoukoľvek priamkou rovnobežnou s osou Oy.

Príklad. Sú obrázky nižšie grafmi funkcií?

Výhodou grafickej úlohy je jej prehľadnosť. Okamžite vidíte, ako sa funkcia správa, kde sa zvyšuje a kde klesá. Z grafu môžete okamžite zistiť niektoré dôležité charakteristiky funkcie.

Vo všeobecnosti analytické a grafické metódy definovania funkcie idú ruka v ruke. Práca so vzorcom pomáha vytvárať graf. A graf často navrhuje riešenia, ktoré by ste si vo vzorci ani nevšimli.

Takmer každý študent pozná tri spôsoby, ako definovať funkciu, na ktorú sme sa práve pozreli.

Pokúsme sa odpovedať na otázku: "Existujú iné spôsoby, ako definovať funkciu?"

Existuje taký spôsob.

Funkciu je možné celkom jednoznačne špecifikovať slovami.

Napríklad funkcia y=2x môže byť špecifikovaná nasledujúcim slovným popisom: každá skutočná hodnota argumentu x je spojená s jej dvojitou hodnotou. Pravidlo je stanovené, funkcia je špecifikovaná.

Okrem toho môžete slovne zadať funkciu, ktorú je mimoriadne ťažké, ak nie nemožné, definovať pomocou vzorca.

Napríklad: každá hodnota prirodzeného argumentu x je spojená so súčtom číslic, ktoré tvoria hodnotu x. Napríklad, ak x=3, potom y=3. Ak x=257, potom y=2+5+7=14. A tak ďalej. Je problematické zapísať to do vzorca. Ale je ľahké urobiť znamenie.

Metóda slovného opisu je pomerne zriedka používaná metóda. Ale niekedy áno.

Ak existuje zákon o zhode jedna ku jednej medzi x a y, potom existuje funkcia. Aký zákon, v akej forme je vyjadrený - vzorec, tabuľka, graf, slová - nemení podstatu veci.

Uvažujme funkcie, ktorých definičné oblasti sú symetrické vzhľadom na pôvod, t.j. pre hocikoho X z domény čísla definície (- X) tiež patrí do oblasti definície. Medzi tieto funkcie patrí párne a nepárne.

Definícia. Volá sa funkcia f dokonca, ak k nejakému X z jeho domény definície

Príklad. Zvážte funkciu

Je to rovnomerné. Poďme si to overiť.

Pre hocikoho X sú splnené

Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie.

Definícia. Volá sa funkcia f zvláštny, ak k nejakému X z jeho domény definície

Príklad. Zvážte funkciu

je to zvláštne. Poďme si to overiť.

Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická podľa bodu (0;0).

Pre hocikoho X sú splnené

Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf tejto funkcie.

Grafy zobrazené na prvom a treťom obrázku sú symetrické okolo osi y a grafy zobrazené na druhom a štvrtom obrázku sú symetrické okolo začiatku.

Ktoré z funkcií, ktorých grafy sú zobrazené na obrázkoch, sú párne a ktoré nepárne?

Štúdia funkcie.

1) D(y) – Definičný obor: množina všetkých týchto hodnôt premennej x. pre ktoré dávajú zmysel algebraické výrazy f(x) a g(x).

Ak je funkcia daná vzorcom, potom oblasť definície pozostáva zo všetkých hodnôt nezávislej premennej, pre ktoré má vzorec zmysel.

2) Vlastnosti funkcie: párne/nepárne, periodicita:

Zvláštny A dokonca volajú sa funkcie, ktorých grafy sú symetrické vzhľadom na zmeny znamienka argumentu.

Neobyčajná funkcia- funkcia, ktorá pri zmene znamienka nezávislej premennej (symetricky voči stredu súradníc) mení hodnotu na opačnú.

Dokonca aj funkcia- funkcia, ktorá nemení svoju hodnotu pri zmene znamienka nezávisle premennej (symetricky podľa ordináty).

Ani párna, ani nepárna funkcia (funkcia všeobecný pohľad) - funkcia, ktorá nemá symetriu. Táto kategória obsahuje funkcie, ktoré nespadajú pod predchádzajúce 2 kategórie.

Volajú sa funkcie, ktoré nepatria do žiadnej z vyššie uvedených kategórií ani párne, ani nepárne(alebo všeobecné funkcie).

Nepárne funkcie

Nepárna mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.

Dokonca aj funkcie

Dokonca aj mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.

Periodická funkcia- funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty v určitom pravidelnom intervale argumentov, to znamená, že nemení svoju hodnotu pri pridávaní nejakého pevného nenulového čísla do argumentu ( obdobie funkcie) v celej oblasti definície.

3) Nuly (korene) funkcie sú body, kde sa stáva nulou.

Nájdenie priesečníka grafu s osou Oj. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať hodnotu f(0). Nájdite tiež priesečníky grafu s osou Vôl, prečo nájsť korene rovnice f(X) = 0 (alebo sa uistite, že neexistujú žiadne korene).

Body, v ktorých graf pretína os, sa nazývajú funkčné nuly. Ak chcete nájsť nuly funkcie, musíte vyriešiť rovnicu, teda nájsť tieto významy "x", pri ktorom sa funkcia stáva nulou.

4) Intervaly stálosti znakov, znaky v nich.

Intervaly, v ktorých si funkcia f(x) zachováva znamienko.

Interval stálosti znamienka je interval v každom bode ktorej funkcia je pozitívna alebo negatívna.

NAD osou x.

POD osou.

5) Spojitosť (body diskontinuity, povaha diskontinuity, asymptoty).

Nepretržitá funkcia- funkcia bez „skokov“, teda taká, v ktorej malé zmeny v argumente vedú k malým zmenám v hodnote funkcie.

Odnímateľné body zlomu

Ak je limita funkcie existuje, ale funkcia nie je v tomto bode definovaná, alebo sa limit nezhoduje s hodnotou funkcie v tomto bode:

,

potom sa bod nazýva odnímateľný bod zlomu funkcie (v komplexnej analýze odnímateľný singulárny bod).

Ak funkciu „opravíme“ v bode odstrániteľnej diskontinuity a vložíme , potom dostaneme funkciu, ktorá je v danom bode spojitá. Táto operácia s funkciou sa volá rozšírenie funkcie na nepretržitú alebo predefinovanie funkcie kontinuitou, čo odôvodňuje názov bodu ako bod odnímateľné prasknutie.

Body diskontinuity prvého a druhého druhu

Ak má funkcia v danom bode diskontinuitu (to znamená, že limita funkcie v danom bode chýba alebo sa nezhoduje s hodnotou funkcie v danom bode), potom pre numerické funkcie existujú dve možné možnosti: spojené s existenciou numerických funkcií jednostranné limity:

ak obe jednostranné limity existujú a sú konečné, potom sa takýto bod nazýva bod diskontinuity prvého druhu. Odnímateľné body diskontinuity sú body diskontinuity prvého druhu;

ak aspoň jeden z jednostranné limity neexistuje alebo nie je konečnou hodnotou, potom sa takýto bod nazýva bod diskontinuity druhého druhu.

Asymptota - rovno, ktorá má vlastnosť, že vzdialenosť od bodu na krivke k tomuto rovno má tendenciu k nule, keď sa bod vzďaľuje pozdĺž vetvy do nekonečna.

Vertikálne

Vertikálna asymptota - limitná čiara .

Spravidla pri určovaní vertikálnej asymptoty nehľadajú jednu limitu, ale dve jednostranné (ľavú a pravú). Toto sa robí s cieľom určiť, ako sa funkcia správa, keď sa približuje k vertikálnej asymptote z rôznych smerov. Napríklad:

Horizontálne

Horizontálna asymptota - rovno druhov, ktoré podliehajú existencii limit

.

Naklonený

Šikmá asymptota - rovno druhov, ktoré podliehajú existencii limity

Poznámka: funkcia nemôže mať viac ako dve šikmé (horizontálne) asymptoty.

Poznámka: ak aspoň jedna z dvoch limitov uvedených vyššie neexistuje (alebo sa rovná ), potom šikmá asymptota v (alebo ) neexistuje.

ak v položke 2.), potom , a limita sa nájde pomocou vzorca horizontálnej asymptoty, .

6) Hľadanie intervalov monotónnosti. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie f(X) (teda intervaly zvyšovania a znižovania). Robí sa to skúmaním znamienka derivácie f(X). Ak to chcete urobiť, nájdite derivát f(X) a vyriešte nerovnosť f(X)0. Na intervaloch, kde platí táto nerovnosť, funkcia f(X)zvyšuje. Kde platí obrátená nerovnosť f(X)0, funkcia f(X) klesá.

Nájdenie lokálneho extrému. Po zistení intervalov monotónnosti môžeme okamžite určiť miestne extrémy, kde je nárast nahradený poklesom, nachádzajú sa lokálne maximá a kde je pokles nahradený nárastom, nachádzajú sa lokálne minimá. Vypočítajte hodnotu funkcie v týchto bodoch. Ak má funkcia kritické body, ktoré nie sú lokálnymi extrémnymi bodmi, potom je užitočné vypočítať hodnotu funkcie aj v týchto bodoch.

Nájdenie najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie y = f(x) na segmente(pokračovanie)

1. Nájdite deriváciu funkcie: f(X). 2. Nájdite body, v ktorých je derivácia nula: f(X)=0X 1, X 2 ,... 3. Určte príslušnosť bodov X 1 ,X 2 , … segment [ a; b]: nech X 1a;b, A X 2a;b .

Grafy párnych a nie dokonca funkciu majú nasledujúce vlastnosti:

Ak je funkcia párna, jej graf je symetrický podľa ordináty. Ak je funkcia nepárna, potom jej graf je symetrický podľa počiatku.

Príklad. Zostrojte graf funkcie \(y=\vľavo|x \vpravo|\).

Riešenie. Zvážte funkciu: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) a namiesto \(x \) dosaďte opačné \(-x \). V dôsledku jednoduchých transformácií dostaneme: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ V inom slová, ak argument nahradíte opačným znamienkom, funkcia sa nezmení.

To znamená, že táto funkcia je párna a jej graf bude symetrický vzhľadom na zvislú os ( vertikálna os). Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku vľavo. To znamená, že pri vytváraní grafu môžete nakresliť iba polovicu a druhú časť (naľavo od zvislej osi, kresliť symetricky k pravej časti). Určením symetrie funkcie pred začatím vykresľovania jej grafu môžete výrazne zjednodušiť proces konštrukcie alebo štúdia funkcie. Ak je ťažké vykonať všeobecnú kontrolu, môžete to urobiť jednoduchšie: do rovnice nahraďte rovnaké hodnoty rôznych znakov. Napríklad -5 a 5. Ak sa hodnoty funkcie ukážu byť rovnaké, potom môžeme dúfať, že funkcia bude párna. Z matematického hľadiska tento prístup nie je úplne správny, ale z praktického hľadiska je pohodlný. Ak chcete zvýšiť spoľahlivosť výsledku, môžete nahradiť niekoľko párov takýchto opačných hodnôt.

Príklad. Zostrojte graf funkcie \(y=x\vľavo|x \vpravo|\).

Riešenie. Skontrolujeme to isté ako v predchádzajúcom príklade: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Znamená to, že pôvodná funkcia je nepárna (znamienko funkcie sa zmenilo na opačné).

Záver: funkcia je symetrická podľa pôvodu. Môžete postaviť iba jednu polovicu a druhú nakresliť symetricky. Tento druh symetrie je ťažšie nakresliť. To znamená, že sa na graf pozeráte z druhej strany hárku a dokonca aj hore nohami. Alebo môžete urobiť toto: vezmite nakreslenú časť a otočte ju okolo začiatku o 180 stupňov proti smeru hodinových ručičiek.

Príklad. Zostrojte graf funkcie \(y=x^3+x^2\).

Riešenie. Vykonajte rovnakú kontrolu zmeny znamienka ako v predchádzajúcich dvoch príkladoch. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Výsledkom je že: $$f\vľavo(-x \vpravo)\not=f\vľavo(x \vpravo),f\vľavo(-x \vpravo)\nie=-f\vľavo(x \vpravo)$$ A toto znamená, že funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

Záver: funkcia nie je symetrická ani vzhľadom k počiatku, ani k stredu súradnicového systému. Stalo sa to preto, že ide o súčet dvoch funkcií: párne a nepárne. Rovnaká situácia nastane, ak odpočítate dve rôzne funkcie. Násobenie alebo delenie však povedie k inému výsledku. Napríklad súčin párnej a nepárnej funkcie vytvorí nepárnu funkciu. Alebo kvocient dvoch nepárnych čísel vedie k párnej funkcii.

Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov. Funkcia - premenná závislosť pri z premennej X, ak každá hodnota X zhoduje sa s jednou hodnotou pri. Variabilné X nazývaná nezávislá premenná alebo argument. Variabilné pri nazývaná závislá premenná. Všetky hodnoty nezávislej premennej (premenná X) tvoria definičný obor funkcie. Všetky hodnoty, ktoré má závislá premenná (premenná r), tvoria rozsah hodnôt funkcie.

Funkčný graf zavolajte množinu všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnotám argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie, to znamená hodnotám premenné sú vynesené pozdĺž osi x X a hodnoty premennej sú vynesené pozdĺž osi y r. Ak chcete zobraziť funkciu grafu, musíte poznať vlastnosti funkcie. Hlavné vlastnosti funkcie budú uvedené nižšie!

Na zostavenie grafu funkcie odporúčame použiť náš program – Grafické funkcie online. Ak máte nejaké otázky pri štúdiu materiálu na tejto stránke, vždy sa ich môžete opýtať na našom fóre. Aj na fóre vám pomôžu vyriešiť problémy z matematiky, chémie, geometrie, teórie pravdepodobnosti a mnohých iných predmetov!

Základné vlastnosti funkcií.

1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.

Doména funkcie je množina všetkých platných hodnôt argumentov X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený.
Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktorú funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

hodnoty X, na ktorom y=0, volal funkčné nuly. Sú to úsečky priesečníkov funkčného grafu s osou Ox.

3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú také intervaly hodnôt X, na ktorom má funkcia hodnoty r buď len pozitívne alebo len negatívne sa nazývajú intervaly konštantného znamienka funkcie.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párna (nepárna) funkcia.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

Dokonca aj funkcia
1) Definičný obor je symetrický vzhľadom na bod (0; 0), teda ak bod a patrí do oblasti definície, potom pointa -a patrí tiež do oblasti definície.
2) Za akúkoľvek hodnotu X f(-x)=f(x)
3) Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi Oy.

Neobyčajná funkcia má nasledujúce vlastnosti:
1) Definičný obor je symetrický okolo bodu (0; 0).
2) za akúkoľvek hodnotu X patriace do oblasti definície, rovnosti f(-x)=-f(x)
3) Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa počiatku (0; 0).

Nie každá funkcia je párna alebo nepárna. Funkcie všeobecný pohľad nie sú párne ani nepárne.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

Funkcia f sa nazýva periodické, ak existuje číslo také, že pre ľubovoľné X z oblasti definície rovnosti f(x)=f(x-T)=f(x+T). T je obdobie funkcie.

Každá periodická funkcia má nekonečný počet periód. V praxi sa zvyčajne považuje za najmenšie pozitívne obdobie.

hodnoty periodická funkcia opakujte po intervale, ktorý sa rovná perióde. Používa sa pri vytváraní grafov.

Ktoré vám boli v tej či onej miere povedomé. Bolo tam tiež poznamenané, že zásoba funkčných vlastností sa bude postupne dopĺňať. V tejto časti sa budú diskutovať dve nové vlastnosti.

Definícia 1.

Funkcia y = f(x), x є X sa volá aj vtedy, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = f (x).

Definícia 2.

Funkcia y = f(x), x є X sa nazýva nepárna, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = -f (x).

Dokážte, že y = x 4 je párna funkcia.

Riešenie. Máme: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f(-x) = f(x), t.j. funkcia je párna.

Podobne sa dá dokázať, že funkcie y - x 2, y = x 6, y - x 8 sú párne.

Dokážte, že y = x 3 ~ nepárna funkcia.

Riešenie. Máme: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) = -f (x), t.j. funkcia je nepárna.

Podobne sa dá dokázať, že funkcie y = x, y = x 5, y = x 7 sú nepárne.

O tom, že nové pojmy v matematike majú najčastejšie „pozemský“ pôvod, t.j. dajú sa nejako vysvetliť. To je prípad párnych aj nepárnych funkcií. Pozri: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sú nepárne funkcie, zatiaľ čo y = x 2, y = x 4, y = x 6 sú párne funkcie. A vo všeobecnosti pre akúkoľvek funkciu tvaru y = x" (nižšie budeme konkrétne študovať tieto funkcie), kde n je prirodzené číslo, môžeme dospieť k záveru: ak je n nepárne číslo, potom funkcia y = x" je zvláštny; ak je n párne číslo, potom funkcia y = xn je párna.

Existujú aj funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takou je napríklad funkcia y = 2x + 3. Skutočne, f(1) = 5 a f (-1) = 1. Ako vidíte, tu teda ani identita f(-x) = f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).

Takže funkcia môže byť párna, nepárna alebo žiadna.

Štúdium otázky, či danú funkciu párne alebo nepárne sa zvyčajne nazýva štúdium funkcie pre paritu.

V definíciách 1 a 2 hovoríme o o hodnotách funkcie v bodoch x a -x. To predpokladá, že funkcia je definovaná v bode x aj v bode -x. To znamená, že bod -x patrí do definičného oboru funkcie súčasne s bodom x. Ak číselná množina X spolu s každým jej prvkom x obsahuje aj opačný prvok -x, potom sa X nazýva symetrická množina. Povedzme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sú symetrické množiny, zatiaľ čo )