Delenie desatinných miest prirodzenými číslami. Delenie desatinných miest, pravidlá, príklady, riešenia

Pravidlo rozdelenia desatinné miesta na celé čísla.

Štyri rovnaké hračky stoja spolu 921 rubľov 20 kopejok. Koľko stojí jedna hračka (pozri obr. 1)?

Ryža. 1. Ilustrácia problému

Riešenie

Ak chcete zistiť cenu jednej hračky, musíte túto sumu vydeliť štyrmi. Prepočítajme sumu na kopejky:

Odpoveď: náklady na jednu hračku sú 23 030 kopejok, to znamená 230 rubľov 30 kopejok alebo 230,3 rubľov.

Tento problém môžete vyriešiť bez prevodu rubľov na kopecky, to znamená, že desatinný zlomok vydelíte prirodzeným číslom: .

Ak chcete deliť desatinný zlomok prirodzeným číslom, musíte zlomok vydeliť týmto číslom, pretože prirodzené čísla sa delia, a po dokončení delenia celej časti vložiť do podielu čiarku.

Do stĺpca delíme rovnako, ako sa delia prirodzené čísla. Po odstránení čísla 2 (počet desatín je prvá číslica za desatinnou čiarkou v dividende 921,20) dáme do podielu čiarku a pokračujeme v delení:

Odpoveď: 230,3 rubľov.

Do stĺpca delíme rovnako, ako sa delia prirodzené čísla. Po odstránení čísla 6 (počet desatín je číslo za desatinnou čiarkou v zápise dividendy 437,6) dáme do podielu čiarku a pokračujeme v delení:

Ak je dividenda menšia ako deliteľ, kvocient začne od nuly.

1 nie je deliteľné 19, preto do kvocientu vložíme nulu. Delenie celej časti je dokončené, do podielu dáme čiarku. Odstránime 7. 17 nie je deliteľné 19, v kvociente napíšeme nulu. Odstránime 6 a pokračujeme v delení:

Delíme tak, ako sa delia prirodzené čísla. Do podielu dáme čiarku hneď, ako odstránime 8 - prvú číslicu za desatinnou čiarkou v dividende 74,8. Pokračujeme v delení ďalej. Pri odčítaní dostaneme 8, ale delenie nie je dokončené. Vieme, že na koniec desatinného zlomku je možné pridať nuly – tým sa hodnota zlomku nezmení. Priradíme nulu a 80 vydelíme 10. Dostaneme 8 - delenie je ukončené.

Ak chcete deliť desatinný zlomok 10, 100, 1000 atď., musíte posunúť desatinnú čiarku v tomto zlomku o toľko číslic doľava, koľko núl je za jednotkou v deliteľovi.

Zapnuté túto lekciu Naučili sme sa deliť desatinný zlomok prirodzeným číslom. Zvažovali sme možnosť s obyčajným prirodzeným číslom, ako aj možnosť, pri ktorej dochádza k deleniu cifernou jednotkou (10, 100, 1000 atď.).

Riešte rovnice:

Nájsť neznámy deliteľ, je potrebné rozdeliť dividendu podielom. To je .

Rozdeľujeme do stĺpca. Po odstránení čísla 4 (počet desatín je prvá číslica za desatinnou čiarkou v dividende 134,4) dáme do podielu čiarku a pokračujeme v delení:

V tomto článku sa pozrieme na takú dôležitú operáciu s desatinnými miestami, ako je delenie. Najprv formulujme všeobecné zásady, potom sa pozrieme na to, ako správne rozdeliť desatinné zlomky po stĺpcoch inými zlomkami aj prirodzenými číslami. Ďalej si rozoberieme delenie obyčajných zlomkov na desatinné miesta a naopak a na záver sa pozrieme na to, ako správne deliť zlomky končiace na 0, 1, 0, 01, 100, 10 atď.

Tu budeme brať len prípady s kladnými zlomkami. Ak je pred zlomkom mínus, musíte si s ním preštudovať materiál o delení racionálnych a reálnych čísel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Všetky desatinné zlomky, konečné aj periodické, sú spravodlivé špeciálna forma písanie obyčajných zlomkov. V dôsledku toho podliehajú rovnakým princípom ako ich zodpovedajúce obyčajné zlomky. Celý proces delenia desatinných zlomkov tak zredukujeme na ich nahradenie obyčajnými, po čom nasleduje výpočet pomocou nám už známych metód. Uveďme si konkrétny príklad.

Príklad 1

Vydeľte 1,2 číslom 0,48.

Riešenie

Desatinné zlomky píšme ako obyčajné zlomky. Dostaneme:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

Musíme teda vydeliť 6 5 číslom 12 25. Počítame:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

Z výsledného nesprávny zlomok môžete vybrať celú časť a získať zmiešané číslo 2 1 2, alebo ho môžete reprezentovať ako desatinný zlomok tak, aby zodpovedalo pôvodným číslam: 5 2 = 2, 5. O tom, ako to urobiť, sme už písali skôr.

odpoveď: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

Príklad 2

Vypočítajte, koľko bude 0 , (504) 0 , 56.

Riešenie

Najprv musíme previesť periodický desatinný zlomok na bežný zlomok.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

Potom prevedieme aj konečný desatinný zlomok do iného tvaru: 0, 56 = 56 100. Teraz máme dve čísla, s ktorými bude pre nás ľahké vykonať potrebné výpočty:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

Máme výsledok, ktorý vieme previesť aj do desiatkovej podoby. Ak to chcete urobiť, rozdeľte čitateľa menovateľom pomocou stĺpcovej metódy:

odpoveď: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

Ak sme sa v príklade delenia stretli s neperiodickými desatinnými zlomkami, potom budeme postupovať trochu inak. Nevieme ich zredukovať na bežné obyčajné zlomky, preto ich pri delení musíme najskôr zaokrúhliť na určitú cifru. Táto akcia sa musí vykonať s dividendou aj deliteľom: v záujme presnosti zaokrúhlime aj existujúci konečný alebo periodický zlomok.

Príklad 3

Zistite, koľko je 0,779... / 1,5602.

Riešenie

Najprv oba zlomky zaokrúhlime na najbližšiu stotinu. Takto prejdeme od nekonečných neperiodických zlomkov k konečným desatinným:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

Môžeme pokračovať vo výpočtoch a získať približný výsledok: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78 100: 156 100 = 78 100 100 156 = 78 156 = 1 52 = 0, 1 52 = 0.

Presnosť výsledku bude závisieť od stupňa zaokrúhľovania.

odpoveď: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

Ako deliť prirodzené číslo desatinnou čiarkou a naopak

Prístup k deleniu je v tomto prípade takmer rovnaký: konečné a periodické zlomky nahrádzame obyčajnými a nekonečné neperiodické zaokrúhľujeme. Začnime príkladom delenia prirodzeným číslom a desatinným zlomkom.

Príklad 4

Vydeľte 2,5 číslom 45.

Riešenie

Zredukujeme 2, 5 na obyčajný zlomok: 255 10 = 51 2. Ďalej to musíme vydeliť prirodzeným číslom. Už vieme, ako na to:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

Ak výsledok prevedieme na desiatkový zápis, dostaneme 0,5 (6).

odpoveď: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

Metóda dlhého delenia je dobrá nielen pre prirodzené čísla. Analogicky to môžeme použiť pre zlomky. Nižšie uvádzame postupnosť akcií, ktoré je potrebné vykonať.

Definícia 1

Na rozdelenie stĺpca desatinných zlomkov prirodzenými číslami potrebujete:

1. K desatinnému zlomku vpravo pridajte niekoľko núl (na delenie ich môžeme pridať ľubovoľný počet).

2. Vydeľte desatinný zlomok prirodzeným číslom pomocou algoritmu. Keď sa delenie celej časti zlomku skončí, dáme do výsledného podielu čiarku a počítame ďalej.

Výsledkom takéhoto delenia môže byť buď konečný alebo nekonečný periodický desatinný zlomok. Závisí to od zvyšku: ak je nula, potom bude výsledok konečný, a ak sa zvyšky začnú opakovať, potom bude odpoveďou periodický zlomok.

Zoberme si niekoľko problémov ako príklad a skúsme tieto kroky vykonať s konkrétnymi číslami.

Príklad 5

Vypočítajte, koľko bude 65, 14 4.

Riešenie

Používame stĺpcovú metódu. Ak to chcete urobiť, pridajte k zlomku dve nuly a získate desatinný zlomok 65, 1400, ktorý sa bude rovnať pôvodnému. Teraz napíšeme stĺpec na delenie 4:

Výsledné číslo bude výsledkom, ktorý potrebujeme z delenia celočíselnej časti. Dáme čiarku, oddelíme ju a pokračujeme:

Dosiahli sme nulový zvyšok, preto je proces rozdelenia dokončený.

odpoveď: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

Príklad 6

Vydeľte 164,5 číslom 27.

Riešenie

Najprv rozdelíme zlomkovú časť a dostaneme:

Výsledné číslo oddeľte čiarkou a pokračujte v delení:

Vidíme, že zvyšky sa začali periodicky opakovať a v kvociente sa začali striedať čísla deväť, dva a päť. Tu sa zastavíme a odpoveď napíšeme v tvare periodického zlomku 6, 0 (925).

odpoveď: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

Toto delenie možno zredukovať na proces hľadania podielu desatinného zlomku a prirodzeného čísla, ktorý už bol opísaný vyššie. Aby sme to urobili, musíme vynásobiť deliteľa a deliteľa 10, 100 atď., aby sa deliteľ zmenil na prirodzené číslo. Ďalej vykonáme postupnosť akcií opísaných vyššie. Tento prístup je možný vďaka vlastnostiam delenia a násobenia. Zapísali sme ich takto:

a: b = (a · 10) : (b · 10), a: b = (a · 100) : (b · 100) a tak ďalej.

Sformulujme pravidlo:

Definícia 2

Ak chcete rozdeliť jeden posledný desatinný zlomok druhým:

1. Posuňte čiarku v deliteľovi a deliteľovi doprava o počet číslic potrebných na to, aby sa deliteľ zmenil na prirodzené číslo. Ak v dividende nie je dostatok znakov, pridáme k nej na pravej strane nuly.

2. Potom vydeľte zlomok po stĺpci výsledným prirodzeným číslom.

Pozrime sa na konkrétny problém.

Príklad 7

Vydeľte 7,287 číslom 2,1.

Riešenie: Aby bol deliteľ prirodzeným číslom, musíme posunúť desatinné miesto o jedno miesto doprava. Prešli sme teda k deleniu desatinného zlomku 72, 87 číslom 21. Výsledné čísla zapíšeme do stĺpca a vypočítame

odpoveď: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

Príklad 8

Vypočítajte 16.30.021.

Riešenie

Budeme musieť posunúť čiarku o tri miesta. Na to nie je dostatok číslic v deliteľovi, čo znamená, že musíte použiť ďalšie nuly. Myslíme si, že výsledkom bude:

Vidíme periodické opakovanie zvyškov 4, 19, 1, 10, 16, 13. V tomto podiele sa opakujú 1, 9, 0, 4, 7 a 5. Potom je naším výsledkom periodický desatinný zlomok 776, (190476).

odpoveď: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)

Metóda, ktorú sme opísali, vám umožňuje urobiť opak, teda rozdeliť prirodzené číslo konečným desatinným zlomkom. Pozrime sa, ako sa to robí.

Príklad 9

Vypočítajte, koľko je 3 5, 4.

Riešenie

Je zrejmé, že budeme musieť presunúť čiarku na správne miesto. Potom môžeme pristúpiť k deleniu 30, 0 číslom 54. Údaje zapíšeme do stĺpca a vypočítame výsledok:

Opakovaním zvyšku dostaneme konečné číslo 0, (5), čo je periodický desatinný zlomok.

odpoveď: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

Ako deliť desatinné miesta 1000, 100, 10 atď.

Podľa už preštudovaných pravidiel delenia obyčajných zlomkov je delenie zlomku desiatkami, stovkami, tisíckami podobné ako násobenie 1/1000, 1/100, 1/10 atď.. Ukazuje sa, že vykonať delenie v r. v tomto prípade stačí jednoducho presunúť desatinnú čiarku na požadované čísla Ak v čísle nie je dostatok hodnôt na prenos, musíte pridať požadovaný počet núl.

Príklad 10

Takže 56, 21: 10 = 5, 621 a 0, 32: 100 000 = 0, 0000032.

V prípade nekonečných desatinných zlomkov postupujeme rovnako.

Príklad 11

Napríklad 3, (56): 1 000 = 0, 003 (56) a 593, 374...: 100 = 5, 93374....

Ako deliť desatinné miesta 0,001, 0,01, 0,1 atď.

Rovnakým pravidlom môžeme rozdeliť aj zlomky na uvedené hodnoty. Táto akcia bude podobná násobeniu 1000, 100, 10, resp. Aby sme to dosiahli, posunieme čiarku na jednu, dve alebo tri číslice v závislosti od podmienok problému a pridáme nuly, ak v čísle nie je dostatok číslic.

Príklad 12

Napríklad 5,739: 0,1 = 57,39 a 0,21: 0,00001 = 21 000.

Toto pravidlo platí aj pre nekonečné desatinné zlomky. Odporúčame vám len dávať si pozor na periódu zlomku, ktorá sa objaví v odpovedi.

Takže, 7, 5 (716) : 0, 01 = 757, (167), pretože potom, čo sme posunuli čiarku v desatinnom zlomku 7, 5716716716... o dve miesta doprava, dostali sme 757, 167167....

Ak máme v príklade neperiodické zlomky, tak je všetko jednoduchšie: 394, 38283...: 0, 001 = 394382, 83....

Ako rozdeliť zmiešané číslo alebo zlomok desatinnou čiarkou a naopak

Tento úkon redukujeme aj na operácie s obyčajnými zlomkami. Ak to chcete urobiť, musíte ho vymeniť desatinné čísla zodpovedajúce obyčajné zlomky a zmiešané číslo zapíšte ako nevlastný zlomok.

Ak delíme neperiodický zlomok obyčajným alebo zmiešaným číslom, musíme to urobiť naopak, nahradiť spoločný zlomok alebo zmiešané číslo s príslušným desatinným zlomkom.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Nájdite prvú číslicu podielu (výsledok delenia). Ak to chcete urobiť, vydeľte prvú číslicu dividendy deliteľom. Výsledok zapíšte pod deliteľa.

V našom príklade je prvá číslica dividendy 3. Vydeľte 3 12. Keďže 3 je menšie ako 12, výsledok delenia bude 0. Pod deliteľa napíšte 0 – toto je prvá číslica podielu.

Výsledok vynásobte deliteľom. Výsledok násobenia zapíšte pod prvú číslicu deliteľa, pretože toto je číslica, ktorú ste práve delili deliteľom.

V našom príklade je 0 × 12 = 0, takže pod 3 napíšte 0.

Odčítajte výsledok násobenia od prvej číslice dividendy. Napíšte svoju odpoveď na nový riadok.

V našom príklade: 3 – 0 = 3. Napíšte 3 priamo pod 0.

Posuňte druhú číslicu dividendy nadol. Ak to chcete urobiť, zapíšte si ďalšiu číslicu dividendy vedľa výsledku odčítania.

V našom príklade je dividenda 30. Druhá číslica dividendy je 0. Posuňte ju nadol tak, že vedľa 3 (výsledok odčítania) napíšete 0. Dostanete číslo 30.

Výsledok vydeľte deliteľom. Nájdete druhú číslicu kvocientu. Za týmto účelom vydeľte číslo nachádzajúce sa na spodnom riadku deliteľom.

V našom príklade vydeľte 30 12. 30 ÷ 12 = 2 plus nejaký zvyšok (keďže 12 x 2 = 24). Za 0 pod deliteľa napíšte 2 - to je druhá číslica podielu.
Ak nenájdete vhodnú číslicu, prechádzajte číslicami, kým výsledok násobenia číslice deliteľom nebude menší a najbližšie k číslu, ktoré sa nachádza v stĺpci ako posledné. V našom príklade zvážte číslo 3. Vynásobte ho deliteľom: 12 x 3 = 36. Keďže 36 je väčšie ako 30, číslo 3 nie je vhodné. Teraz zvážte číslo 2. 12 x 2 = 24. 24 je menšie ako 30, takže číslo 2 je správne riešenie.

Opakujte vyššie uvedené kroky, aby ste našli ďalšie číslo. Opísaný algoritmus sa používa v akomkoľvek probléme s dlhým delením.

Vynásobte druhú číslicu podielu deliteľom: 2 x 12 = 24.
Výsledok násobenia (24) zapíšte pod posledné číslo v stĺpci (30).
Odčítajte menšie číslo od väčšieho. V našom príklade: 30 - 24 = 6. Výsledok (6) napíšte na nový riadok.

Ak sú v dividende stále číslice, ktoré je možné posunúť nadol, pokračujte v procese výpočtu. V opačnom prípade pokračujte ďalším krokom.

V našom príklade ste sa posunuli nadol o poslednú číslicu dividendy (0). Takže prejdite na ďalší krok.

V prípade potreby použite na rozšírenie dividendy desatinnú čiarku. Ak je delenec deliteľný deliteľom, tak na poslednom riadku dostanete číslo 0. To znamená, že problém je vyriešený a pod deliteľa je napísaná odpoveď (vo forme celého čísla). Ak je ale úplne dole v stĺpci akákoľvek iná hodnota ako 0, je potrebné dividendu rozšíriť pridaním desatinnej čiarky a pridaním 0. Pripomeňme, že to nemení hodnotu dividendy.

V našom príklade posledný riadok obsahuje číslo 6. Preto napravo od 30 (dividenda) napíšte desatinnú čiarku a potom napíšte 0. Za nájdené číslice podielu tiež umiestnite desatinnú čiarku, ktorú napíšte pod deliteľa (za túto čiarku zatiaľ nič nepíšte!) .

Opakujte kroky popísané vyššie, aby ste našli ďalšie číslo. Hlavnou vecou je nezabudnúť umiestniť desatinnú čiarku za dividendu aj za nájdené číslice kvocientu. Zvyšok procesu je podobný postupu opísanému vyššie.

V našom príklade posuňte 0 nadol (ktorú ste napísali za desatinnou čiarkou). Dostanete číslo 60. Teraz toto číslo vydeľte deliteľom: 60 ÷ 12 = 5. Za 2 (a za desatinnou čiarkou) pod deliteľa napíšte 5. Toto je tretia číslica kvocientu. Takže konečná odpoveď je 2,5 (nulu pred 2 možno ignorovať).

Pravidlo na delenie desatinných zlomkov prirodzenými číslami.

Štyri rovnaké hračky stoja spolu 921 rubľov 20 kopejok. Koľko stojí jedna hračka (pozri obr. 1)?

Ryža. 1. Ilustrácia problému

Riešenie

Ak chcete zistiť cenu jednej hračky, musíte túto sumu vydeliť štyrmi. Prepočítajme sumu na kopejky:

Odpoveď: náklady na jednu hračku sú 23 030 kopejok, to znamená 230 rubľov 30 kopejok alebo 230,3 rubľov.

Tento problém môžete vyriešiť bez prevodu rubľov na kopecky, to znamená, že desatinný zlomok vydelíte prirodzeným číslom: .

Odpoveď: 230,3 rubľov.

Ak je dividenda menšia ako deliteľ, kvocient začne od nuly.

Ak chcete deliť desatinný zlomok 10, 100, 1000 atď., musíte posunúť desatinnú čiarku v tomto zlomku o toľko číslic doľava, koľko núl je za jednotkou v deliteľovi.

V tejto lekcii sme sa naučili, ako deliť desatinný zlomok prirodzeným číslom. Zvažovali sme možnosť s obyčajným prirodzeným číslom, ako aj možnosť, pri ktorej dochádza k deleniu cifernou jednotkou (10, 100, 1000 atď.).

Riešte rovnice:

Ak chcete nájsť neznámeho deliteľa, musíte rozdeliť dividendu podielom. To je .

Rozdeľujeme do stĺpca. Po odstránení čísla 4 (počet desatín je prvá číslica za desatinnou čiarkou v dividende 134,4) dáme do podielu čiarku a pokračujeme v delení:

Zapíšme si pravidlo a pouvažujme nad jeho aplikáciou na príkladoch.

Pri delení desatinného zlomku prirodzeným číslom:

1) deliť bez toho, aby ste venovali pozornosť čiarke;

2) keď sa končí delenie celej časti, dáme do podielu čiarku.

Ak je celočíselná časť menšia ako deliteľ, potom je celá časť podielu nula.

Príklady delenia desatinných miest prirodzenými číslami.

Delíme bez toho, aby sme venovali pozornosť čiarke, to znamená, že delíme 348 6. Pri delení 34 6 berieme po 5 5∙6=30, 34-30=4, to znamená, že zvyšok je 4.

Rozdiel medzi delením desatinného zlomku prirodzeným číslom a delením celých čísel je len v tom, že po dokončení delenia celočíselnej časti dáme do podielu čiarku. To znamená, že pri prechode cez čiarku, predtým, ako ju zoberieme na zvyšok delenia celej časti, 4, číslo 8 z zlomkovej časti, napíšeme do podielu čiarku.

Dáme dole 8. 48:6=8. Súkromne píšeme 8.

Takže 34,8:6=5,8.

Keďže 5 nie je deliteľné 12, zapíšeme do podielu nulu. Delenie celej časti je dokončené, do podielu dáme čiarku.

Zoberieme 1. Pri delení 51 12 vezmeme 4. Zvyšok je 3.

Dáme dole 6. 36:12=3.

Teda 5,16:12=0,43.

3) 0,646:38=?

Celočíselná časť dividendy obsahuje nulu. Keďže nula nie je deliteľná 38, do kvocientu dáme 0 Delenie celočíselnej časti je ukončené, do podielu teda napíšeme čiarku.