Pravidelný šesťhranný hranol. Geometria - stereometria, vzdialenosť medzi čiarami

Vzdialenosť medzi dvoma priamymi čiarami.

Úloha C2

V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA1B1C1,
ktorých všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť medzi priamkami AB a CB1

Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami je vzdialenosť medzi jednou z pretínajúcich sa čiar a rovinou prechádzajúcou ďalšou čiarou rovnobežnou s prvou.

Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami, potrebujete:

1. Nakreslite rovinu cez jednu z čiar rovnobežných s druhou čiarou.

2. Z ľubovoľného bodu na prvom riadku spustite kolmicu na rovinu a nájdite jej dĺžku. To znamená, že problém spočíva v nájdení vzdialenosti od bodu k rovine.

Dá sa to urobiť pomocou geometrickej metódy alebo pomocou súradnicovej metódy..jpg" align="left" width="132" height="168">

Dokážme, že rovina MCC1 je kolmá na priamku AB, a teda na rovinu A1B1C:

Úsečka MC je stred, a teda aj výška rovnostranného trojuholníka ABC. Priamka KM je rovnobežná s priamkou CC1, a preto je kolmá na AB. To znamená, že priamka AB je kolmá na dve pretínajúce sa priamky roviny MCC1, a preto je kolmá na rovinu.

Teraz zvážte v rovine MCC1 správny trojuholník ISS a zakreslite do nej výšku MR:

Dĺžka nadmorskej výšky MP trojuholníka je vzdialenosť medzi priamkami AB a CB1, ktorú musíme nájsť.

Aby sme našli výšku MR, vyjadríme plochu trojuholníka ISS dvakrát

Umiestnime náš hranol do súradnicového systému. Ak riešime problém s kockou alebo pravouhlým hranolom, potom je voľba súradnicového systému zrejmá: počiatok súradníc umiestnime do jedného z vrcholov kocky a nasmerujeme osi pozdĺž hrán. V prípade hranola to nie je také zrejmé.

Súradnicový systém musíme zvoliť tak, aby súradnice bodu M a bodov A1, B1 a C, definujúcich rovinu A1B1C, boli vypočítané v čo najväčšom rozsahu. jednoduchým spôsobom a obsahovať čo najviac núl. Preto je vhodné zvoliť takýto súradnicový systém:

Zapíšme si súradnice bodov, ktoré potrebujeme:

Medzi obrovským počtom stereometrických problémov v učebniciach geometrie, v rôznych zbierkach úloh a učebniciach na prípravu na vysoké školy sú problémy s nájdením vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami mimoriadne zriedkavé. Možno je to spôsobené tak úzkosťou ich praktického použitia (vo vzťahu k školským osnovám, na rozdiel od „víťazných“ úloh na výpočet plôch a objemov), ako aj zložitosťou tejto témy.

Prax vykonanie jednotnej štátnej skúšky ukazuje, že mnohí študenti ani nezačnú plniť úlohy z geometrie zahrnuté v skúške. Na zabezpečenie úspešného dokončenia geometrických úloh so zvýšenou úrovňou zložitosti je potrebné vyvinúť flexibilitu myslenia, schopnosť analyzovať zamýšľanú konfiguráciu a izolovať v nej časti, ktorých zváženie umožňuje nájsť spôsob, ako vyriešiť problém. problém.

Školský kurz zahŕňa štúdium štyroch spôsobov riešenia problémov hľadania vzdialenosti medzi pretínajúcimi sa čiarami. Výber metódy je určený v prvom rade charakteristikami konkrétnej úlohy, možnosťami, ktoré poskytuje na výber, a po druhé, schopnosťami a charakteristikami „priestorového myslenia“ konkrétneho študenta. Každá z týchto metód vám umožňuje vyriešiť najviac Hlavná časťúlohy - zostrojenie úsečky kolmej na obe križujúce sa čiary (pre výpočtovú časť úloh sa nevyžaduje delenie na metódy).

Základné metódy riešenia úloh zisťovania vzdialenosti medzi križujúcimi sa čiarami

Zistenie dĺžky spoločnej kolmice dvoch šikmých čiar, t.j. segment s koncami na týchto čiarach a kolmý na každú z týchto čiar.

Nájdenie vzdialenosti od jednej z pretínajúcich sa čiar k rovine rovnobežnej s ňou, ktorá prechádza druhou čiarou.

Nájdenie vzdialenosti medzi dvoma rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi danými pretínajúcimi sa priamkami.

Zistenie vzdialenosti od bodu, ktorý je priemetom jednej z pretínajúcich sa priamok do roviny, ktorá je na ňu kolmá (takzvaná „obrazovka“), k priemetu inej priamky na rovnakú rovinu.

Ukážme si všetky štyri metódy pomocou nasledujúceho najjednoduchšieho úloha: „V kocke s hranou A nájdite vzdialenosť medzi ľubovoľnou hranou a uhlopriečkou plochy, ktorá ju nepretína.“ Odpoveď: .

Obrázok 1

h skr je kolmá na rovinu bočnej plochy obsahujúcej uhlopriečku d a je teda kolmá na okraj, h skr a je vzdialenosť medzi okrajom A a diagonálne d.

Obrázok 2

Rovina A je rovnobežná s hranou a prechádza danou uhlopriečkou, teda danou h skr nie je len vzdialenosť od hrany k rovine A, ale aj vzdialenosť od hrany k danej uhlopriečke.

Obrázok 3

Roviny A a B sú rovnobežné a prechádzajú cez dve dané šikmé čiary, preto sa vzdialenosť medzi týmito rovinami rovná vzdialenosti medzi dvomi šikmými čiarami.

Obrázok 4

Rovina A je kolmá na hranu kocky. Pri premietnutí na uhlopriečky A d táto uhlopriečka sa otočí na jednu zo strán základne kocky. Toto h skr je vzdialenosť medzi priamkou obsahujúcou hranu a priemetom uhlopriečky do roviny C, a teda medzi priamkou obsahujúcou hranu a uhlopriečkou.

Pozrime sa podrobnejšie na aplikáciu každej metódy pre mnohosteny študované v škole.

Použitie prvej metódy je dosť obmedzené: dobre sa používa iba v niektorých problémoch, pretože je dosť ťažké určiť a zdôvodniť v najjednoduchších problémoch presné a v zložitých problémoch približné umiestnenie spoločnej kolmice dvoch pretínajúcich sa linky. Navyše, pri hľadaní dĺžky tejto kolmice v zložitých problémoch môže človek naraziť na neprekonateľné ťažkosti.

Úloha 1. V pravouhlom rovnobežnostene s rozmermi a, b, h nájdite vzdialenosť medzi bočným okrajom a uhlopriečkou základne, ktorá sa s ním nepretína.

Obrázok 5

Nechajte AHBD. Keďže A 1 A je kolmá na rovinu ABCD, potom A 1 A AH.

AH je kolmá na obe križujúce sa čiary, preto AH je vzdialenosť medzi čiarami A 1 A a BD? V pravouhlom trojuholníku ABD, keď poznáme dĺžky nôh AB a AD, nájdeme výšku AH pomocou vzorcov na výpočet plochy pravouhlého trojuholníka. odpoveď:

Úloha 2. V pravidelnom 4-hrannom ihlane s bočnou hranou L a základná strana a nájdite vzdialenosť medzi apotémou a stranou základne pretínajúcej bočnú plochu obsahujúcu tento apotém.

Obrázok 6

SHCD je ako apotém, ADCD je ako ABCD je štvorec. Preto je DH vzdialenosť medzi priamkami SH a AD. DH sa rovná polovici bočného CD. odpoveď:

Použitie tejto metódy je obmedzené aj tým, že ak dokážete rýchlo zostrojiť (alebo nájsť hotovú) rovinu prechádzajúcu jednou z pretínajúcich sa priamok a rovnobežnú s inou priamkou, potom zostrojíte kolmicu z akéhokoľvek bodu druhá priamka k tejto rovine (vnútri mnohostenu) spôsobuje ťažkosti. Avšak v jednoduchých problémoch, kde zostrojenie (alebo nájdenie) zadanej kolmice nespôsobuje ťažkosti, je táto metóda najrýchlejšia a najjednoduchšia, a preto dostupná.

Problém 2. Riešenie vyššie uvedeného problému pomocou tejto metódy nespôsobuje žiadne zvláštne ťažkosti.

Obrázok 7

Rovina EFM je rovnobežná s priamkou AD, pretože AD ​​|| E.F. V tejto rovine leží priamka MF, preto sa vzdialenosť medzi priamkou AD a rovinou EFM rovná vzdialenosti medzi priamkou AD a priamkou MF. Urobme OHAD. OHEF, OHMO, teda OH(EFM), teda OH je vzdialenosť medzi priamkou AD a rovinou EFM, a teda vzdialenosť medzi priamkou AD a priamkou MF. Nájdite OH z trojuholníka AOD.

Úloha 3. V pravouhlom rovnobežnostene s rozmermi a,b A h nájdite vzdialenosť medzi bočnou hranou a uhlopriečkou kvádra, ktorá sa s ním nepretína.

Obrázok 8

Priamka AA 1 je rovnobežná s rovinou BB 1 D 1 D, B 1 D patrí do tejto roviny, preto sa vzdialenosť od AA 1 k rovine BB 1 D 1 D rovná vzdialenosti medzi priamkami AA 1 a B 1 D. Prenesme mimo AHBD. Tiež AH B 1 B, teda AH(BB 1 D 1 D), teda AHB 1 D, teda AH je požadovaná vzdialenosť. Nájdite AH z pravouhlého trojuholníka ABD.

odpoveď:

Úloha 4. V pravidelnom šesťhrannom hranole A:F 1 s výškou h a základná strana a nájdite vzdialenosť medzi čiarami:

Obrázok 9 Obrázok 10

a) AA 1 a ED 1.

Uvažujme rovinu E 1 EDD 1 . A 1 E 1 EE 1, A 1 E 1 E 1 D 1 teda

A 1 E 1 (E 1 EDD 1). Tiež A 1 E 1 AA 1 . Preto AiEi je vzdialenosť od priamky AAi k rovine EiEDDi. ED 1 (E 1 EDD 1) Preto je AE 1 vzdialenosť od priamky AA 1 k priamke ED 1. Nájdeme A 1 E 1 z trojuholníka F 1 A 1 E 1 pomocou kosínusovej vety. odpoveď:

b) AF a uhlopriečka BE 1.

Narysujme priamku FH z bodu F kolmého na BE. EE 1 FH, FHBE, teda FH(BEE 1 B 1), teda FH je vzdialenosť medzi priamkou AF a (BEE 1 B 1), a teda vzdialenosť medzi priamkou AF a uhlopriečkou BE 1. odpoveď:

SPÔSOB III

Použitie tejto metódy je extrémne obmedzené, pretože rovina rovnobežná s jednou z priamok (metóda II) sa dá ľahšie zostrojiť ako dve rovnobežné roviny, avšak metóda III sa môže použiť v hranoloch, ak pretínajúce sa priamky patria rovnobežným plochám, pretože ako aj v prípadoch, keď v mnohostene je ľahké zostrojiť rovnobežné úseky obsahujúce dané čiary.

Úloha 4.

Obrázok 11

a) Roviny BAA 1 B 1 a DEE 1 D 1 sú rovnobežné, pretože AB || ED a AA 1 || EE 1. ED 1 DEE 1 D 1, AA 1 (BAA 1 B 1), preto sa vzdialenosť medzi priamkami AA 1 a ED 1 rovná vzdialenosti medzi rovinami BAA 1 B 1 a DEE 1 D 1. A 1 E 1 AA 1 , A 1 E 1 A 1 B 1 , teda A 1 E 1 BAA 1 B 1 . Podobne dokážeme, že A 1 E 1 (DEE 1 D 1). A1E1 je teda vzdialenosť medzi rovinami BAA1B1 a DEE1D1, a teda medzi priamkami AA1 a ED1. A 1 E 1 nájdeme z trojuholníka A 1 F 1 E 1, ktorý je rovnoramenný s uhlom A 1 F 1 E 1 rovným . odpoveď:

Obrázok 12

b) Vzdialenosť medzi AF a uhlopriečkou BE 1 sa zistí podobne.

Úloha 5. V kocke s hranou A nájdite vzdialenosť medzi dvoma nepretínajúcimi sa uhlopriečkami dvoch susedných plôch.

Tento problém je v niektorých učebniciach považovaný za klasický, ale spravidla je jeho riešenie dané metódou IV, ale je celkom prístupné riešeniu metódou III.

Obrázok 13

Určité ťažkosti v tejto úlohe spôsobuje dôkaz kolmosti uhlopriečky A 1 C k obom rovnobežným rovinám (AB 1 D 1 || BC 1 D). B 1 CBC 1 a BC 1 A 1 B 1, preto je priamka BC 1 kolmá na rovinu A 1 B 1 C, a teda BC 1 A 1 C. Tiež A 1 CBD. V dôsledku toho je priamka A 1 C kolmá na rovinu BC 1 D. Výpočtová časť úlohy nespôsobuje žiadne zvláštne ťažkosti, pretože h skr= EF zistíme ako rozdiel medzi uhlopriečkou kocky a výškami dvoch rovnakých pravidelných ihlanov A 1 AB 1 D 1 a CC 1 BD.

METÓDA IV.

Táto metóda má pomerne široké uplatnenie. Pre úlohy strednej a zvýšenej náročnosti ju možno považovať za hlavnú. Netreba ju používať len vtedy, keď jedna z troch predchádzajúcich metód funguje jednoduchšie a rýchlejšie, pretože v takýchto prípadoch môže metóda IV len skomplikovať riešenie problému, prípadne sťažiť jeho dosiahnutie. Túto metódu je veľmi výhodné použiť v prípade kolmosti pretínajúcich sa čiar, pretože nie je potrebné konštruovať projekciu jednej z čiar na „obrazovku“

Úloha 5. Rovnaký „klasický“ problém (s nepretínajúcimi sa uhlopriečkami dvoch susedných stien kocky) sa prestane zdať zložitý, len čo sa nájde „obrazovka“ – diagonálny rez kocky.

Obrázok 14

Obrazovka :

Obrázok 15

Uvažujme rovinu A 1 B 1 CD. C 1 F (A 1 B 1 CD), pretože C 1 FB 1 C a C1 FA 1 B 1. Potom bude projekcia C 1 D na „obrazovku“ segment DF. Urobme EMDF. Segment EM bude vzdialenosť medzi dvoma nepretínajúcimi sa uhlopriečkami dvoch susedných plôch. Nájdite EM z pravouhlého trojuholníka EDF. Odpoveď:

Úloha 6. V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde nájdite vzdialenosť a uhol medzi čiarami kríženia: bočná hrana l a základná strana a.

Obrázok 16

V tomto a podobných problémoch vedie metóda IV k riešeniu rýchlejšie ako iné metódy, pretože po skonštruovaní rezu, ktorý hrá úlohu „siete“ kolmej na AC (trojuholník BDM), je jasné, že už nie je potrebné konštruovať premietanie ďalšej priamky (BM) na túto obrazovku. DH je požadovaná vzdialenosť. DH sa zistí z trojuholníka MDB pomocou plošných vzorcov. odpoveď: .

Stránka už preskúmala niektoré typy problémov zo stereometrie, ktoré sú zahrnuté v jednej skupine úloh na skúšku z matematiky.Napríklad úlohy o .

Hranol sa nazýva pravidelný, ak sú jeho strany kolmé na základne a leží na základniach pravidelný mnohouholník. To znamená, že pravidelný hranol je rovný hranol s pravidelným mnohouholníkom na jeho základni.

Pravidelný šesťhranný hranol má na základni pravidelný šesťuholník, bočné strany sú obdĺžniky.

V tomto článku nájdete úlohy na riešenie hranola, ktorého základňou je pravidelný šesťuholník. V riešení nie sú žiadne špeciálne funkcie ani ťažkosti. Aký to má zmysel? Vzhľadom na pravidelný šesťuholníkový hranol musíte vypočítať vzdialenosť medzi dvoma vrcholmi alebo nájsť daný uhol. Problémy sú nakoniec jednoduché, riešením je nájsť prvok v pravouhlom trojuholníku.

Používa sa Pytagorova veta a. Vyžaduje sa znalosť definícií goniometrických funkcií v pravouhlom trojuholníku.

Nezabudnite sa pozrieť na informácie o pravidelnom šesťuholníku v.Budete tiež potrebovať zručnosť ich extrakcie. veľké číslo. Môžete vyriešiť mnohosteny, vypočítali aj vzdialenosť medzi vrcholmi a uhlami.

Stručne: čo je pravidelný šesťuholník?

Je známe, že v pravidelnom šesťuholníku sú strany rovnaké. Okrem toho sú uhly medzi stranami rovnaké.

* Opačné strany sú rovnobežné.

Ďalšie informácie

Polomer kružnice opísanej okolo pravidelného šesťuholníka sa rovná jej strane. *To sa potvrdzuje veľmi jednoducho: ak spojíme protiľahlé vrcholy šesťuholníka, dostaneme šesť rovnakých rovnostranných trojuholníkov. Prečo rovnostranný?

Každý trojuholník má s vrcholom ležiacim v strede uhol rovný 60 0 (360:6=60). Pretože dve strany trojuholníka so spoločným vrcholom v strede sú rovnaké (toto sú polomery opísanej kružnice), potom každý uhol na základni takéhoto rovnoramenný trojuholník sa tiež rovná 60 stupňom.

To znamená, že pravidelný šesťuholník, obrazne povedané, pozostáva zo šiestich rovnakých rovnostranných trojuholníkov.

Aká ďalšia skutočnosť je užitočná pri riešení problémov? Vrcholový uhol šesťuholníka (uhol medzi jeho priľahlými stranami) je 120 stupňov.

*Zámerne sme sa nedotkli vzorcov pre bežný N-uholník. Tieto vzorce podrobne zvážime v budúcnosti, tu jednoducho nie sú potrebné.

Zoberme si úlohy:

272533. V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sú všetky hrany rovné 48. Nájdite vzdialenosť medzi bodmi A a E 1 .

Uvažujme pravouhlý trojuholník AA 1 E 1 . Podľa Pytagorovej vety:

*Uhol medzi stranami pravidelného šesťuholníka je 120 stupňov.

Sekcia AE 1 je prepona, AA 1 a A1E1 nohy. Rebro AA 1 vieme. Catet A 1 E 1 môžeme nájsť použitie pomocou .

Veta: Druhá mocnina ktorejkoľvek strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov jeho dvoch ďalších strán bez dvojnásobku súčinu týchto strán kosínusom uhla medzi nimi.

Preto

Podľa Pytagorovej vety:

odpoveď: 96

*Upozorňujeme, že druhá mocnina 48 nie je potrebná.

V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sú všetky hrany 35. Nájdite vzdialenosť medzi bodmi B a E.

Hovorí sa, že všetky hrany sa rovnajú 35, to znamená, že strana šesťuholníka ležiaceho na základni sa rovná 35. A tiež, ako už bolo povedané, polomer kruhu opísaného okolo neho sa rovná rovnakému číslu.

teda

odpoveď: 70

273353. V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sa všetky hrany rovnajú štyridsiatim koreňom z piatich. Nájdite vzdialenosť medzi bodmi B a E1.

Uvažujme pravouhlý trojuholník BB 1 E 1 . Podľa Pytagorovej vety:

Segment B 1 E 1 sa rovná dvom polomerom kružnice opísanej okolo pravidelného šesťuholníka a jej polomer sa rovná strane šesťuholníka, tj.

teda

odpoveď: 200

273683. V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sú všetky hrany rovné 45. Nájdite dotyčnicu uhla AD 1 D.

Uvažujme pravouhlý trojuholník ADD 1, v ktorom AD rovný priemeru kružnice opísanej okolo základne. Je známe, že polomer kružnice opísanej okolo pravidelného šesťuholníka sa rovná jej strane.

teda

odpoveď: 2

V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sú všetky hrany rovné 23. Nájdite uhol DAB. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Zvážte pravidelný šesťuholník:

V ňom sú uhly medzi stranami 120°. znamená,

Na dĺžke samotného okraja nezáleží;

odpoveď: 60

V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sú všetky hrany rovné 10. Nájdite uhol AC 1 C. Odpoveď uveďte v stupňoch.

Uvažujme pravouhlý trojuholník AC 1 C:

Poďme nájsť A.C.. V pravidelnom šesťuholníku sú uhly medzi jeho stranami rovné 120 stupňom, potom podľa kosínusovej vety pre trojuholníkABC:

teda

Takže uhol AC 1 C sa rovná 60 stupňom.

odpoveď: 60

274453. V pravidelnom šesťhrannom hranole ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 sú všetky hrany rovné 10. Nájdite uhol AC 1 C. Odpoveď uveďte v stupňoch.

\(\blacktriangleright\) Križujúce sa čiary sú čiary, cez ktoré nemožno nakresliť jednu rovinu.

Znak prechodu čiar: ak prvá priamka pretína rovinu, v ktorej leží druhá priamka v bode, ktorý neleží na druhej priamke, potom sa takéto priamky pretínajú.

\(\blacktriangleright\) Pretože cez jednu z pretínajúcich sa čiar prechádza práve jedna rovina rovnobežná s druhou čiarou vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami je vzdialenosť medzi jednou z týchto čiar a rovinou prechádzajúcou druhou čiarou rovnobežnou s prvou.

Ak sa teda priamky \(a\) a \(b\) pretínajú, potom:

Krok 1. Nakreslite priamku \(c\rovnobežné b\) tak, aby priamka \(c\) pretínala priamku \(a\) . Rovina \(\alpha\) prechádzajúca priamkami \(a\) a \(c\) bude rovinou rovnobežnou s priamkou \(b\) .

Krok 2. Z priesečníka čiar \(a\) a \(c\) (\(a\cap c=H\) ) spustite kolmicu \(HB\) na čiaru \(b\) (najskôr metóda).

Alebo z ľubovoľného bodu \(B"\) čiary \(b\) pustite kolmicu na čiaru \(c\) (druhá metóda).

V závislosti od podmienok problému môže byť jedna z týchto dvoch metód oveľa vhodnejšia ako druhá.

Úloha 1 #2452

Úroveň úlohy: Jednoduchšia ako jednotná štátna skúška

V kocke \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) , ktorej hrana je \(\sqrt(32)\) , nájdite vzdialenosť medzi čiarami \(DB_1\) a \(CC_1\) .

Priame línie \(DB_1\) a \(CC_1\) sa krížia podľa vlastnosti, pretože priamka \(DB_1\) pretína rovinu \((DD_1C_1)\), v ktorej leží \(CC_1\), v bode \(D\), ktorý neleží na \(CC_1\) .

Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami budeme hľadať ako vzdialenosť medzi priamkou \(CC_1\) a rovinou prechádzajúcou cez \(DB_1\) rovnobežnou s \(CC_1\) . Pretože \(DD_1\paralelná CC_1\) , potom je rovina \((B_1D_1D)\) rovnobežná s \(CC_1\) .
Dokážme, že \(CO\) je kolmé na túto rovinu. V skutočnosti \(CO\perp BD\) (ako uhlopriečky štvorca) a \(CO\perp DD_1\) (keďže hrana \(DD_1\) je kolmá na celú rovinu \((ABC)\))) . Teda \(CO\) je kolmé na dve pretínajúce sa priamky z roviny, teda \(CO\perp (B_1D_1D)\) .

\(AC\) , ako uhlopriečka štvorca sa rovná \(AB\sqrt2\) , tj \(AC=\sqrt(32)\cdot \sqrt2=8\). Potom \(CO=\frac12\cdot AC=4\) .

odpoveď: 4

Úloha 2 #2453

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Daná kocka \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Nájdite vzdialenosť medzi čiarami \(AB_1\) a \(BC_1\), ak sa hrana kocky rovná \(a\) .

1) Všimnite si, že tieto čiary sa pretínajú podľa atribútu, pretože priamka \(AB_1\) pretína rovinu \((BB_1C_1)\), v ktorej leží \(BC_1\), v bode \(B_1\), ktorý neleží na \(BC_1\) .
Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami budeme hľadať ako vzdialenosť medzi priamkou \(BC_1\) a rovinou prechádzajúcou cez \(AB_1\) rovnobežnou s \(BC_1\) .

Aby sme to urobili, nakreslíme \(AD_1\) - je rovnobežné s \(BC_1\) . Preto je podľa kritéria rovina \((AB_1D_1)\paralelná BC_1\) .

2) Položme kolmicu \(C_1H\) na túto rovinu a dokážme, že bod \(H\) bude padať na pokračovanie úsečky \(AO\) , kde \(O\) je priesečník uhlopriečky štvorca \(A_1B_1C_1D_1\) .
Skutočne, pretože vlastnosťou štvorca \(C_1O\perp B_1D_1\) , potom podľa vety troch je kolmé premietanie \(HO\perp B_1D_1\) . Ale \(\trojuholník AB_1D_1\) je rovnoramenný, preto \(AO\) je medián a nadmorská výška. To znamená, že bod \(H\) musí ležať na priamke \(AO\) .

3) Uvažujme rovinu \((AA_1C_1)\) .

\(\trojuholník AA_1O\sim \trojuholník OHC_1\) v dvoch rohoch ( \(\uhol AA_1O=\uhol OHC_1=90^\circ\), \(\uhol AOA_1=\uhol HOC_1\) ). teda

\[\dfrac(C_1H)(AA_1)=\dfrac(OC_1)(AO) \qquad (*)\]

Podľa Pytagorovej vety z \(\trojuholník AA_1O\) : \

Preto z \((*)\) teraz môžeme nájsť kolmicu

odpoveď:

\(\dfrac a(\sqrt3)\)

Úloha 3 #2439

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

\(OK\) je kolmé na čiaru \(A_1B\) .
Naozaj, vykonajte \(KH\paralelný B_1C_1\) (teda \(H\v AB_1\) ). Potom pretože \(B_1C_1\perp (AA_1B_1)\) , potom tiež \(KH\perp (AA_1B_1)\) . Potom podľa vety o troch kolmiciach (keďže priemet je \(HO\perp A_1B\) ) je šikmá \(KO\perp A_1B\) , čo je dôvod.
\(KO\) je teda požadovaná vzdialenosť.

Všimni si \(\trojuholník AOK\sim \trojuholník AC_1B_1\)(v dvoch rohoch). teda

\[\dfrac(AO)(AC_1)=\dfrac(OK)(B_1C_1) \quad \Rightarrow \quad OK=\dfrac(\sqrt6\cdot \sqrt2)(2\sqrt3)=1.\]

Ak je to veľmi podrobné...

Je zrejmé, že časť uvedená v podmienke je $%AA_1MN$%, kde $%M$% a $%N$% sú stredy hrán $%B_1C_1$% a $%BC$% (a rovina takého rezu, samozrejme, kolmá na roviny základní). Tie. keďže tento rez je štvorec, potom výška hranola (jeho bočná hrana) = výška pravidelného trojuholníka $%AN = h = a\cdot \sqrt(3)/2 = 2\sqrt(7)\cdot \sqrt(3)/ 2 = \sqrt(21)$%.
Hľadáme vzdialenosť medzi prekročením $%A_1B$% a $%AM$%.

„Zlé“ riešenie (nech je aj jedno, pretože sa často používa pri iných problémoch). Zostrojíme rovinu obsahujúcu napríklad priamku $%AM$% a rovnobežnú priamku $%A_1B$% (mohli by sme naopak nakresliť rovinu prechádzajúcu cez $%A_1B$% a rovnobežnú s $%AM $%). Ak to chcete urobiť: cez t. $%M$% nakreslíme priamku $%ME || A_1B$%; rovina definovaná rovnobežkami $%A_1B$% a $%AM$% pretína 2 rovnobežné roviny základní pozdĺž PARALELNÝCH línií, t.j. ak bod $%E$% patrí k "nižšiemu" základu, potom tam musí byť $%A_1M || BE$% (t.j. $%BA_1ME$% je rovnobežník a $%BE = A_1M = \sqrt(21)$%). Teraz je podľa konštrukcie $%A_1B$% rovnobežná s rovinou $%AME$% (od $%A_1B || ME$%) a hľadáme vzdialenosť od akéhokoľvek bodu $%A_1B$% (napr. , z bodu $%B$% ) do roviny $%AME$%. Je to výška $%BAME$% pyramídy vytiahnutej z hornej časti $%B$% po základňu $%AME$%. Ale je ťažké postaviť takú výšku $%H$%, takže hľadáme „cez objem“. Na jednej strane $%V_(BAME) = 1/3\cdot S_(\Delta AME)\cdot H$% a na druhej strane: $%V_(BAME) = 1/3\cdot S_(BAE) \cdot MN$% (keďže výška od bodu $%M$% po základňu $%BAE$% bude výška hranola $%MN = \sqrt(21)$% (hoci výška bude „ vonku“ samotná pyramída $%BAME$%, ale to nič nemení)).
V $%\Delta ABE$% je uhol $%\uhol ABE = 60^0 + 90^0 = 150^0$% a plocha trojuholníka $%S_(ABE) = 1/2\cdot 2\sqrt( 7) \cdot \sqrt(21) \cdot sin(150^0) = 7 \sqrt(3)/2$%. Tie. objem pyramídy: $%V_(BAME) = 1/3\cdot 7\sqrt(3) /2 \cdot \sqrt(21) = 7\sqrt(7) /2$%
Zostáva len nájsť oblasť trojuholníka $%AME$%. „Poznáme“ (nájdeme) jeho strany: $%AM = \sqrt(2) \cdot \sqrt(21) = \sqrt(42)$% (toto je uhlopriečka štvorca), $%ME = A_1B = \sqrt( (2 \sqrt(7))^2 + (\sqrt(21))^2 ) = \sqrt( 28 + 21) = 7$% a $%AE$% - z trojuholníka $% BAE$% podľa kosínovej vety: $% AE^2 = 21 + 28 - 2\cdot 2\sqrt(7) \cdot \sqrt(21)\cdot (-\sqrt(3))/2 = 49 + 2 \cdot 7 \cdot 3 = 91 $%. Tie. (ešte raz) strany: $%AM = \sqrt(42)$%, $%ME = 7 = \sqrt(49)$% a $%AE = \sqrt(91)$%. Ale % 91 $ = 42 + 49 % %, t.j. $%AE^2 = AM^2 + ME^2$%, t.j. "podľa vety konvertovať na Pytagorovu vetu" trojuholník je pravouhlý ($%AM \perp ME$%). Potom jeho oblasť: $%S_(AME) = 1/2\cdot AM\cdot AE = 1/2\cdot 7\sqrt(42)$%.
To znamená $%1/3\cdot 1/2 \cdot 7\sqrt(42) \cdot H = 7\sqrt(7)/2$ %, odkiaľ $%H = 3\sqrt(7)/\sqrt ( 42) = 3/\sqrt(6) = \sqrt(6)/2$% --vzdialenosť od bodu $%B$% (a od priamky $%A_1B$% k rovine $%AME$% (rovnaká na vzdialenosť medzi krížením).

Teraz normálny spôsob riešenia =)) Nájdite rovinu kolmú na priamku $%AM$%. "Priamka je kolmá na rovinu, ak je kolmá na dve nerovnobežné priamky ležiace v tejto rovine." Je zrejmé, že $%AM \perp A_1N$% (pretože toto sú uhlopriečky štvorca). Okrem toho, $%AN$% je projekcia naklonenej $%AM$% na "spodnú" základňu. A ak je projekcia $%AN \perp BC$%, potom šikmá je $%AM\perp BC$% (teória 3 kolmíc). Ďalším spôsobom je povedať, že priama čiara $%BC$% leží v rovine základne, ktorá je kolmá na rovinu $%ANM$%, a $%BC$% je kolmá na $%AN$% - priesečník týchto rovín, čo znamená, že $ %BC$% je kolmé na celú rovinu $%ANM$%, potom $%BC\perp AM$%. Teda $%AM\perp A_1N$% a $%AM\perp BC$%, čo znamená, že $%AM$% je kolmé na rovinu $%BA_1N$%. Ale priamka $%A_1B$% patrí do tejto roviny vo všeobecnosti (do tejto roviny ju ani netreba premietať). Tie. vytvorením kolmice na stranu $%BA_1$% (t.j. $%OT\perp A_1B$%) z bodu $%O$% (priesečník $%AM$% s rovinou $%BA_1N$%) - získame všeobecné kolmé dve križovatky (jej dĺžka = vzdialenosť medzi nimi). Trojuholník $%\Delta BNA_1$% je pravouhlý ($%\uhol BNA_1 = 90^0)$% a úsečka $%OT$% je polovica kolmice na preponu. A páchateľ. k prepone: $%NK = BN\cdot A_1N / A_1B = \sqrt(7)\cdot \sqrt(42)/7 = \sqrt(6)$%. A vzdialenosť $%OT = \sqrt(6)/2$%