Čo je to parabola? Parabola

Trieda 10 . Krivky druhého rádu.

10.1. Elipsa. Kanonická rovnica. Poloosi, excentricita, graf.

10.2. Hyperbola. Kanonická rovnica. Poloosi, excentricita, asymptoty, graf.

10.3. Parabola. Kanonická rovnica. Parabolický parameter, graf.

Krivky druhého rádu na rovine sú čiary, ktorých implicitná definícia má tvar:

Kde
- dané reálne čísla,
- súradnice bodov krivky. Najdôležitejšie čiary medzi krivkami druhého rádu sú elipsa, hyperbola a parabola.

10.1. Elipsa. Kanonická rovnica. Poloosi, excentricita, graf.

Definícia elipsy.Elipsa je rovinná krivka, ktorej súčet vzdialeností od dvoch pevných bodov
rovinou do akéhokoľvek bodu

(tie.). Body
sa nazývajú ohniská elipsy.

Rovnica kanonickej elipsy:
. (2)

(alebo os
) prechádza trikmi
, a pôvod je bod - nachádza sa v strede segmentu
(obr. 1). Elipsa (2) je symetrická vzhľadom na súradnicové osi a počiatok (stred elipsy). Trvalé
,
sa volajú poloosi elipsy.

Ak je elipsa daná rovnicou (2), potom ohniská elipsy nájdeme takto.

1) Najprv určíme, kde ležia ohniská: ohniská ležia na súradnicovej osi, na ktorej sú umiestnené hlavné poloosi.

2) Potom sa vypočíta ohnisková vzdialenosť (vzdialenosť od ohniska k pôvodu).

o
ohniská ležia na osi
;
;
.

o
ohniská ležia na osi
;
;
.

Výstrednosť elipsa sa nazýva množstvo: (at
);(at
).

Vždy elipsa
. Excentricita slúži ako charakteristika kompresie elipsy.

Ak sa elipsa (2) posunie tak, že stred elipsy zasiahne bod

,
, potom rovnica výslednej elipsy má tvar

.

10.2. Hyperbola. Kanonická rovnica. Poloosi, excentricita, asymptoty, graf.

Definícia hyperboly.Hyperbola je rovinná krivka, v ktorej je absolútna hodnota rozdielu vzdialeností od dvoch pevných bodov
rovinou do akéhokoľvek bodu
táto krivka má konštantnú hodnotu nezávislú od bodu
(tie.). Body
sa nazývajú ohniská hyperboly.

Kanonická rovnica hyperboly:
alebo
. (3)

Táto rovnica sa získa, ak je súradnicová os
(alebo os
) prechádza trikmi
, a pôvod je bod - nachádza sa v strede segmentu
. Hyperboly (3) sú symetrické podľa súradnicových osí a začiatku. Trvalé
,
sa volajú poloosi hyperboly.

Ohniská hyperboly sa nachádzajú takto.

Pri hyperbole
ohniská ležia na osi
:
(obr. 2.a).

Pri hyperbole
ohniská ležia na osi
:
(obr. 2.b)

Tu - ohnisková vzdialenosť (vzdialenosť od ohniska k pôvodu). Vypočítava sa podľa vzorca:
.

Výstrednosť hyperbola je množstvo:

(Pre
);(Pre
).

Hyperbola bola vždy
.

Asymptoty hyperbol(3) sú dve priame čiary:
. Obe vetvy hyperboly sa približujú k asymptotám neobmedzene so stúpaním .

Konštrukcia hyperbolového grafu by sa mala vykonať nasledovne: najprv pozdĺž poloosi
postavíme pomocný obdĺžnik so stranami rovnobežnými so súradnicovými osami; potom nakreslite priame čiary cez opačné vrcholy tohto obdĺžnika, to sú asymptoty hyperboly; nakoniec zobrazujeme vetvy hyperboly, dotýkajú sa stredov zodpovedajúcich strán pomocného obdĺžnika a približujú sa rastom na asymptoty (obr. 2).

Ak sa hyperboly (3) posunú tak, aby ich stred zasiahol bod
a poloosi zostanú rovnobežné s osami
,
, potom sa rovnica výsledných hyperbol zapíše do tvaru

,
.

10.3. Parabola. Kanonická rovnica. Parabolický parameter, graf.

Definícia paraboly.Parabola je rovinná krivka pre ktorýkoľvek bod
táto krivka je vzdialenosť od
do pevného bodu rovina (nazývaná ohnisko paraboly) sa rovná vzdialenosti od
na pevnú priamku v rovine(nazýva sa priamka paraboly) .

Rovnica kanonickej paraboly:
, (4)

Kde - konštanta tzv parameter paraboly.

Bodka
parabola (4) sa nazýva vrchol paraboly. Os
je os symetrie. Ohnisko paraboly (4) je v bode
, priamková rovnica
. Parabolové grafy (4) s významom
A
sú znázornené na obr. 3.a a 3.b.

Rovnica
tiež definuje parabolu v rovine
, ktorého osi v porovnaní s parabolou (4),
,
vymenené miesta.

Ak sa parabola (4) posunie tak, aby jej vrchol zasiahol bod
a os symetrie zostane rovnobežná s osou
, potom rovnica výslednej paraboly má tvar

.

Prejdime na príklady.

Príklad 1. Krivka druhého rádu je daná rovnicou
. Pomenujte túto krivku. Nájdite jeho ohniská a výstrednosť. Nakreslite krivku a jej ohniská do roviny
.

Riešenie. Táto krivka je elipsa so stredom v bode
a nápravové hriadele
. To sa dá ľahko overiť výmenou
. Táto transformácia znamená prechod z daného karteziánskeho súradnicového systému
do nového karteziánskeho súradnicového systému
, ktorej os
rovnobežne s osami
,
. Táto transformácia súradníc sa nazýva posun systému
presne tak . IN nový systém súradnice
rovnica krivky sa transformuje na kanonickú rovnicu elipsy
, jeho graf je znázornený na obr. 4.

Poďme nájsť triky.
, takže triky
elipsa umiestnená na osi
.. V súradnicovom systéme
:
. Pretože
, v starom súradnicovom systéme
ohniská majú súradnice.

Príklad 2. Zadajte názov krivky druhého rádu a uveďte jej graf.

Riešenie. Vyberme dokonalé štvorce na základe výrazov obsahujúcich premenné A .

Teraz je možné rovnicu krivky prepísať takto:

Daná krivka je teda elipsa so stredom v bode
a nápravové hriadele
. Získané informácie nám umožňujú nakresliť jej graf.

Príklad 3. Uveďte názov a graf čiary
.

Riešenie. . Toto je kanonická rovnica elipsy so stredom v bode
a nápravové hriadele
.

Pretože,
, uzatvárame: daná rovnica definuje na rovine
dolná polovica elipsy (obr. 5).

Príklad 4. Uveďte názov krivky druhého rádu
. Nájdite jeho zameranie, výstrednosť. Uveďte graf tejto krivky.

- kanonická rovnica hyperboly s poloosami
.

Ohnisková vzdialenosť.

Znamienko mínus sa nachádza pred výrazom s , takže triky
hyperboly ležia na osi
:. Vetvy hyperboly sú umiestnené nad a pod osou
.

- excentricita hyperboly.

Asymptoty hyperboly: .

Zostrojenie grafu tejto hyperboly sa vykonáva v súlade s postupom uvedeným vyššie: zostrojíme pomocný obdĺžnik, nakreslíme asymptoty hyperboly, nakreslíme vetvy hyperboly (pozri obr. 2.b).

Príklad 5. Zistite typ krivky daný rovnicou
a naplánovať to.

- hyperbola so stredom v bode
a nápravové hriadele.

Pretože , dospejeme k záveru: daná rovnica určuje tú časť hyperboly, ktorá leží napravo od priamky
. Je lepšie kresliť hyperbolu v pomocnom súradnicovom systéme
, získané zo súradnicového systému
posun
a potom zvýraznite požadovanú časť hyperboly hrubou čiarou

Príklad 6. Zistite typ krivky a nakreslite jej graf.

Riešenie. Vyberme úplný štvorec na základe výrazov s premennou :

Prepíšeme rovnicu krivky.

Toto je rovnica paraboly s jej vrcholom v bode
. Pomocou transformácie posunu sa rovnica paraboly dostane do kanonického tvaru
, z čoho je zrejmé, že ide o parameter paraboly. Zamerajte sa paraboly v systéme
má súradnice
,, a v systéme
(podľa transformácie posunu). Graf paraboly je znázornený na obr. 7.

Domáca úloha.

1. Nakreslite elipsy dané rovnicami:
Nájdite ich poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu a označte na grafoch elipsy umiestnenie ich ohnísk.

2. Nakreslite hyperboly dané rovnicami:
Nájdite ich poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu a označte na grafoch hyperboly umiestnenie ich ohnísk. Napíšte rovnice pre asymptoty daných hyperbol.

3. Nakreslite paraboly dané rovnicami:
. Nájdite ich parameter, ohniskovú vzdialenosť a označte na grafoch paraboly umiestnenie ohniska.

4. Rovnica
definuje časť krivky 2. rádu. Nájdite kanonickú rovnicu tejto krivky, zapíšte jej názov, nakreslite jej graf a zvýraznite na nej tú časť krivky, ktorá zodpovedá pôvodnej rovnici.

Ako postaviť parabolu? Existuje niekoľko spôsobov, ako vykresliť graf kvadratickej funkcie. Každý z nich má svoje pre a proti. Zvážme dva spôsoby.

Začnime nanesením kvadratickej funkcie v tvare y=x²+bx+c a y= -x²+bx+c.

Príklad.

Nakreslite graf funkcie y=x²+2x-3.

Riešenie:

y=x²+2x-3 je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nahor. Súradnice vrcholov paraboly

Z vrcholu (-1;-4) zostavíme graf paraboly y=x² (ako od začiatku súradníc. Namiesto (0;0) - vrchol (-1;-4). Z (-1; -4) ideme doprava o 1 jednotku a hore o 1, potom doľava o 1 a hore o 1, potom: 2 - doprava, 4 - hore, 2 - doľava, 3 - 9 - hore, 3 -; vľavo, 9 - hore Ak týchto 7 bodov nestačí, potom 4 vpravo, 16 hore atď.).

Graf kvadratickej funkcie y= -x²+bx+c je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol. Na zostrojenie grafu hľadáme súradnice vrcholu a z nich zostrojíme parabolu y= -x².

Príklad.

Nakreslite graf funkcie y= -x²+2x+8.

Riešenie:

y= -x²+2x+8 je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nadol. Súradnice vrcholov paraboly

Zhora zostavíme parabolu y= -x² (1 - vpravo, 1 - dole; 1 - vľavo, 1 - dole; 2 - vpravo, 4 - dole; 2 - vľavo, 4 - dole atď.):

Táto metóda vám umožňuje rýchlo zostaviť parabolu a nespôsobuje ťažkosti, ak viete, ako zobraziť funkcie y=x² a y= -x². Nevýhoda: ak sú súradnice vrcholu zlomkové čísla, nie je veľmi vhodné zostaviť graf. Ak to potrebujete vedieť presné hodnoty body priesečníka grafu s osou Ox, budete musieť dodatočne vyriešiť rovnicu x²+bx+c=0 (alebo -x²+bx+c=0), aj keď tieto body možno priamo určiť z výkresu.

Ďalším spôsobom, ako zostrojiť parabolu, sú body, to znamená, že na grafe môžete nájsť niekoľko bodov a nakresliť cez ne parabolu (pričom úsečka x=xₒ je jej osou symetrie). Zvyčajne na to berú vrchol paraboly, priesečníky grafu so súradnicovými osami a 1-2 ďalšie body.

Nakreslite graf funkcie y=x²+5x+4.

Riešenie:

y=x²+5x+4 je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nahor. Súradnice vrcholov paraboly

to znamená, že vrchol paraboly je bod (-2,5; -2,25).

hľadajú . V priesečníku s osou Ox y=0: x²+5x+4=0. Korene kvadratická rovnica x1=-1, x2=-4, to znamená, že sme dostali dva body na grafe (-1; 0) a (-4; 0).

V priesečníku grafu s osou Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Získali sme bod (0; 4).

Na objasnenie grafu môžete nájsť ďalší bod. Zoberme si x=1, potom y=1²+5∙1+4=10, čiže ďalší bod na grafe je (1; 10). Tieto body označíme na súradnicovej rovine. Berúc do úvahy symetriu paraboly voči priamke prechádzajúcej jej vrcholom, označíme ďalšie dva body: (-5; 6) a (-6; 10) a nakreslíme cez ne parabolu:

Nakreslite graf funkcie y= -x²-3x.

Riešenie:

y= -x²-3x je kvadratická funkcia. Graf je parabola s vetvami nadol. Súradnice vrcholov paraboly

Vrchol (-1,5; 2,25) je prvým bodom paraboly.

V priesečníkoch grafu s osou x y=0, teda riešime rovnicu -x²-3x=0. Jeho korene sú x=0 a x=-3, teda (0;0) a (-3;0) - ďalšie dva body na grafe. Bod (o; 0) je zároveň priesečníkom paraboly so zvislou osou.

Pri x=1 y=-1²-3∙1=-4, teda (1; -4) je ďalší bod na vykreslenie.

Zostrojenie paraboly z bodov je v porovnaní s prvou metódou náročnejšou na prácu. Ak parabola nepretína os Ox, bude potrebných viac ďalších bodov.

Skôr než budeme pokračovať v konštrukcii grafov kvadratických funkcií v tvare y=ax²+bx+c, uvažujme o zostrojení grafov funkcií pomocou geometrických transformácií. Najpohodlnejšie je tiež zostrojiť grafy funkcií v tvare y=x²+c pomocou jednej z týchto transformácií – paralelného prekladu.

Kategória: |

Predstavme si pravouhlý súradnicový systém, kde . Nechajte os prechádzať cez ohnisko F parabola a kolmá na smerovú čiaru a os prechádza uprostred medzi ohniskom a smerovou čiarou. Označme vzdialenosť medzi ohniskom a smerovou osou. Potom priamková rovnica.

Číslo sa nazýva ohniskový parameter paraboly. Nech je aktuálny bod paraboly. Nech je ohniskový polomer bodu hyperboly Nech je vzdialenosť od bodu k priamke. Potom ( kresba 27.)

Nákres 27.

Podľa definície paraboly. teda

Urobme druhú mocninu rovnice a dostaneme:

(15)

kde (15) je kanonická rovnica paraboly, ktorá je symetrická okolo osi a prechádza počiatkom.

Skúmanie vlastností paraboly

1) Vrchol paraboly:

Rovnica (15) je splnená číslami, a preto parabola prechádza počiatkom.

2) Parabolická symetria:

Nech patrí do paraboly, teda skutočnej rovnosti. Bod je symetrický k bodu vzhľadom na os, preto je parabola symetrická vzhľadom na os x.

Excentricita paraboly:

Definícia 4.2. Excentricita paraboly je číslo rovné jednej.

Pretože podľa definície paraboly.

4) Tangenta paraboly:

Dotyčnica k parabole v bode dotyčnice je daná rovnicou

Kde ( kresba 28.)

Nákres 28.

Obraz paraboly

Nákres 29.

Pomocou ESO-Mathcad:

kresba 30.)

Nákres 30.

a) Konštrukcia bez použitia IKT: Na zostrojenie paraboly nastavíme pravouhlý súradnicový systém so stredom v bode O a jednotkový segment. Ohnisko označíme na osi OX, keďže nakreslíme takú a smernicu paraboly. Zostrojíme kružnicu v bode s polomerom rovným vzdialenosti od priamky po priamku paraboly. Kruh pretína čiaru v bodoch . Zostrojíme parabolu tak, aby prechádzala cez počiatok a cez body.( kresba 31.)

Nákres 31.

b) Pomocou ESO-Mathcad:

Výsledná rovnica vyzerá takto: . Aby sme vytvorili riadok druhého rádu v programe Mathcad, zredukujeme rovnicu na tvar: .( kresba 32.)

Nákres 32.

Pre zhrnutie práce o teórii úsečiek druhého rádu v elementárnej matematike a pre pohodlie využívania informácií o úsečkách pri riešení úloh uvedieme všetky údaje o úsečkách 2. rádu do tabuľky č.1.

Tabuľka č.1.

Čiary druhého rádu v elementárnej matematike

Názov riadku 2. rádu	Kruh	Elipsa	Hyperbola	Parabola
Charakteristické vlastnosti
Rovnica priamky
Výstrednosť
Rovnica dotyčnice v bode (X 0 ; r 0 )
Zamerajte sa
Priemery čiar		Kde k je sklon	Kde k je sklon	Kde k je sklon

Možnosti využitia IKT pri štúdiu liniek druhého rádu

Proces informatizácie, ktorý dnes pokrýva všetky aspekty života modernej spoločnosti, má viacero prioritných oblastí, medzi ktoré by, samozrejme, mala patriť aj informatizácia školstva. Je základným základom pre globálnu racionalizáciu ľudskej intelektuálnej činnosti prostredníctvom využívania informačných a komunikačných technológií (IKT).

Polovica 90-tych rokov minulého storočia až dodnes sa vyznačuje rozšíreným používaním a dostupnosťou osobných počítačov v Rusku, rozšíreným využívaním telekomunikácií, ktoré umožňujú zavádzanie rozvinutých vzdelávacích informačných technológií do vzdelávacieho procesu, jeho zlepšovanie a modernizáciu, zlepšovanie kvalita vedomostí, zvýšenie motivácie k učeniu, maximálne využitie princípu individualizácie učenia. Informačné technológie pre vzdelávanie sú v tejto etape informatizácie školstva nevyhnutným nástrojom.

Informačné technológie nielen uľahčujú prístup k informáciám a otvárajú možnosti pre variabilitu vzdelávacích aktivít, ich individualizáciu a diferenciáciu, ale umožňujú aj novým spôsobom reorganizovať interakciu všetkých predmetov učenia, vybudovať vzdelávací systém, v ktorom budú študent by bol aktívnym a rovnocenným účastníkom vzdelávacích aktivít.

Formovanie nového informačných technológií v rámci predmetových hodín podnecujú potrebu tvorby nových softvérových a metodických komplexov zameraných na kvalitatívne zlepšenie efektivity vyučovacej hodiny. Preto pre úspešné a cielené použitie v vzdelávací proces nástroje informačných technológií by učitelia mali poznať všeobecný popis princípy fungovania a didaktické možnosti softvérových aplikácií a následne ich na základe svojich skúseností a odporúčaní „zabudovať“ do vzdelávacieho procesu.

Štúdium matematiky je v súčasnosti spojené s množstvom čŕt a vývinových ťažkostí. školské vzdelanie v našej krajine.

V matematickom vzdelávaní sa objavila takzvaná kríza. Dôvody sú nasledovné:

Pri zmene priorít v spoločnosti a vo vede, teda priorita humanitných vied v súčasnosti rastie;

v znižovaní počtu hodín matematiky v škole;

Izolácia obsahu matematického vzdelávania od života;

Má malý vplyv na pocity a emócie študentov.

Dnes zostáva otvorená otázka: „Ako čo najefektívnejšie využiť potenciálne možnosti moderných informačných a komunikačných technológií pri výučbe školákov, vrátane matematiky?

Počítač je výborným pomocníkom pri štúdiu tém, ako je „Kvadratická funkcia“, pretože pomocou špeciálnych programov môžete vytvárať grafy rôznych funkcií, skúmať funkcie, ľahko určovať súradnice priesečníkov, vypočítať plochy uzavretých útvarov atď. Napríklad na hodine algebry v 9. ročníku venovanej transformácii grafu (naťahovanie, stláčanie, posúvanie súradnicových osí) môžete vidieť iba zmrazený výsledok konštrukcie, zatiaľ čo je možné vidieť celú dynamiku postupných akcií učiteľa a študenta. na obrazovke monitora.

Počítač ako žiadny iný technické prostriedky, presne, jasne a napínavo odhaľuje žiakovi ideálne matematické modely, t.j. o čo by sa malo dieťa pri svojom praktickom konaní snažiť.

Koľko ťažkostí musí prejsť učiteľ matematiky, aby žiakov presvedčil, že dotyčnica ku grafu kvadratickej funkcie v bode dotyku prakticky splýva s grafom funkcie. Demonštrovať túto skutočnosť na počítači je veľmi jednoduché – stačí zúžiť interval pozdĺž osi Ox a zistiť, že vo veľmi malom okolí dotykového bodu sa graf funkcie a dotyčnica zhodujú. Všetky tieto akcie prebiehajú pred očami študentov. Tento príklad poskytuje podnet na aktívnu reflexiu na hodine. Používanie počítača je možné pri vysvetľovaní nového učiva na hodine aj pri kontrole. Pomocou týchto programov, napríklad „Môj test“, si študent môže samostatne otestovať úroveň teoretických vedomostí a dokončiť teoretické a praktické úlohy. Programy sú pohodlné vďaka svojej všestrannosti. Môžu byť použité ako na sebakontrolu, tak aj na kontrolu učiteľom.

Rozumná integrácia matematiky a výpočtovej techniky nám umožní bohatšie a hlbšie nahliadnuť do procesu riešenia problému a procesu chápania matematických zákonitostí. Okrem toho počítač pomôže formovať grafickú, matematickú a mentálnu kultúru žiakov a pomocou počítača môžete pripraviť didaktické materiály: kartičky, anketové hárky, testy a pod. možnosť samostatne vypracovať testy na danú tému, počas ktorých bude záujem a kreativita.

Preto je potrebné čo najviac využívať počítače na hodinách matematiky. Využitie informačných technológií pomôže zlepšiť kvalitu vedomostí, rozšíri obzory štúdia kvadratickej funkcie, a tým pomôže nájsť nové perspektívy pre udržanie záujmu študentov o predmet a tému, a teda aj pre lepší, pozornejší postoj k nemu. . Moderné informačné technológie sa dnes stávajú najdôležitejším nástrojom modernizácie školy ako celku – od riadenia až po vzdelávanie a zabezpečenie dostupnosti vzdelávania.

Parabola je ťažisko bodov, pre ktoré je vzdialenosť od nejakého pevného bodu v rovine, nazývaného ohnisko, rovná vzdialenosti od nejakej pevnej priamky, nazývanej smerová čiara (za predpokladu, že táto priamka neprechádza ohniskom) .

Ohnisko paraboly sa zvyčajne označuje písmenom F, vzdialenosť od ohniska po smerové písmeno R. Veľkosť p volal parameter paraboly. Obraz paraboly je na obr. 61 (komplexné vysvetlenie tejto kresby dostane čitateľ po prečítaní niekoľkých nasledujúcich odsekov).

Komentujte. V súlade s P° 100 hovorí, že parabola má excentricitu =1.

Nech je daná nejaká parabola (zároveň predpokladáme, že parameter R). Predstavme si v rovine kartézsky pravouhlý súradnicový systém, ktorého osi budú umiestnené špeciálnym spôsobom vzhľadom na túto parabolu. Menovite nakreslíme os x cez ohnisko kolmo na smerovú čiaru a považujeme ju za smerovanú od smerovej čiary k ohnisku; Počiatok súradníc umiestnime do stredu medzi zameranie a primárka (obr. 61). Odvoďme rovnicu tejto paraboly v tomto súradnicovom systéme.

Zoberme si ľubovoľný bod na rovine M a označte jeho súradnice pomocou X A u. Označme ďalej podľa r vzdialenosť od bodu M zamerať (r=FM), cez r- vzdialenosť od bodu M k pani riaditeľke. Bodka M bude na (danej) parabole vtedy a len vtedy

Ak chcete získať požadovanú rovnicu, musíte nahradiť premenné v rovnosti (1) r A A ich vyjadrenia cez aktuálne súradnice x, y. Všimnite si, že zameranie F má súradnice; berúc do úvahy a aplikovanie vzorca (2) P° 18. nájdeme:

(2)

Označme podľa Q základňa kolmice spadnutá z bodu M k pani riaditeľke. Samozrejme, bodka Q má súradnice; odtiaľto a zo vzorca (2) P° 18 dostaneme:

(3),

(pri extrakcii koreňa sme brali s naším znamienkom, keďže - číslo je kladné; vyplýva to z toho, že bod M(x;y) by mala byť na tej strane riaditeľa, kde je zameranie, t.j. mala by byť x > , odkiaľ Nahradenie v rovnosti (1) g a d ich výrazy (2) a (3), nájdeme:

(4)

Toto je rovnica príslušnej paraboly v určenom súradnicovom systéme, pretože je splnená súradnicami bodu M(x;y) vtedy a len vtedy, ak bod M leží na tejto parabole.

Aby sme dostali rovnicu paraboly v jednoduchšej forme, odmocnime obe strany rovnosti (4); dostaneme:

(5),

Rovnicu (6) sme odvodili ako dôsledok rovnice (4). Je ľahké ukázať, že rovnica (4) môže byť odvodená ako dôsledok rovnice (6). V skutočnosti je z rovnice (6) zrejmé („ naopak") je odvodená rovnica (5); ďalej z rovnice (5) máme.

Definícia 1

Parabola je krivka tvorená geometrickým súborom bodov umiestnených v rovnakej vzdialenosti od určitého bodu $F$, nazývaného ohnisko a neleží ani na tejto krivke, ani na priamke $d$.

To znamená, že pomer vzdialeností od ľubovoľného bodu na parabole k ohnisku a od toho istého bodu k priamke je vždy rovný jednej, tento pomer sa nazýva excentricita.

Termín „excentricita“ sa používa aj pre hyperboly a elipsy.

Základné pojmy z rovnice kanonickej paraboly

Bod $F$ sa nazýva ohnisko paraboly a priamka $d$ je jej osou.

Os symetrie paraboly je priamka prechádzajúca vrcholom paraboly $O$ a jej ohniskom $F$ tak, že so smerovou osou $d$ zviera pravý uhol.

Vrchol paraboly je bod, od ktorého je vzdialenosť od smerovej čiary minimálna. Tento bod rozdeľuje vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru na polovicu.

Aká je kanonická rovnica paraboly?

Definícia 2

Kanonická rovnica paraboly je pomerne jednoduchá, ľahko zapamätateľná a má nasledujúci tvar:

$y^2 = 2px$, pričom číslo $p$ musí byť väčšie ako nula.

Číslo $p$ z rovnice sa nazýva "ohniskový parameter".

Táto rovnica paraboly, respektíve tento vzorec najčastejšie používaný vo vyššej matematike, je použiteľný v prípade, keď sa os paraboly zhoduje s osou $OX$, čiže parabola je umiestnená akoby na jej boku.

Parabola opísaná rovnicou $x^2 = 2py$ je parabola, ktorej os sa zhoduje s osou $OY$, ako sme na takéto paraboly v škole zvyknutí.

A parabola, ktorá má pred druhou časťou rovnice mínus ($y^2 = - 2px$), je otočená o 180° vzhľadom na kanonickú parabolu.

Parabola je špeciálny prípad krivky 2. rádu, resp všeobecný pohľad rovnica pre parabolu vyzerá úplne rovnako ako pre všetky takéto krivky a je vhodná pre všetky prípady, nielen vtedy, keď je parabola rovnobežná s $OX$.

V tomto prípade diskriminant vypočítaný podľa vzorca $B^2 – 4AC$ rovná nule a samotná rovnica vyzerá takto: $Ax^2 + B\cdot x\cdot y + C\cdot y^2 + D\cdot x + E\cdot y + F = 0$

Odvodenie grafom kanonickej rovnice pre parabolu

Obrázok 1. Graf a výstup kanonická rovnica paraboly

Z definície uvedenej vyššie v tomto článku zostavíme rovnicu pre parabolu s vrcholom umiestneným v priesečníku súradnicových osí.

Pomocou existujúceho grafu z neho určíme body $x$ a $y$ $F$ z definície parabolickej krivky uvedenej vyššie, $x = \frac(p)(2)$ a $y = 0$.

Najprv vytvorte rovnicu pre priamku $d$ a zapíšme si ju: $x = - \frac(p)(2)$.

Pre ľubovoľný bod M ležiaci na našej krivke podľa definície platí nasledujúci vzťah:

$FM$ = $MM_d$ (1), kde $M_d$ je priesečník kolmice nakreslenej z bodu $M$ s osou $d$.

X a Y pre tento bod sa rovnajú $\frac(p)(2)$ $y$.

Napíšme rovnicu (1) v súradnicovom tvare:

$\sqrt((x - \frac(p)(2))^2 + y^2 )= x + \frac(p)(2)$

Teraz, aby ste sa zbavili koreňa, musíte odmocniť obe strany rovnice:

$(x - \frac(p)(2))^2 + y^2 = x^2 +px^2 + \frac(p^2)(4)$

Po zjednodušení dostaneme kanonickú rovnicu paraboly: $y^2 = px$.

Parabola opísaná kvadratickou funkciou

Rovnica, ktorá opisuje parabolu s jej vrcholom umiestneným kdekoľvek na grafe a nemusí sa nevyhnutne zhodovať s priesečníkom súradnicových osí, vyzerá takto:

$y = ax^2 + bx + c$.

Ak chcete vypočítať $x$ a $y$ pre vrchol takejto paraboly, musíte použiť nasledujúce vzorce:

$x_A = - \frac(b)(2a)$

$y_A = - \frac(D)(4a)$, kde $D = b^2 – 4ac$.

Príklad 1

Príklad zostavenia klasickej parabolickej rovnice

Úloha. Keď poznáte polohu ohniska, vytvorte kanonickú rovnicu paraboly. Súradnice ohniska $F$ sú $(4; 0)$.

Keďže uvažujeme parabolu, ktorej graf je daný kanonickou rovnicou, jej vrchol $O$ sa nachádza v priesečníku osí x a y, preto vzdialenosť od ohniska k vrcholu je rovná $\frac (1)(2)$ ohniskového parametra $\frac(p )(2) = $4. Jednoduchými výpočtami zistíme, že samotný ohniskový parameter je $p = 8$.

Po dosadení hodnoty $p$ do kanonického tvaru rovnice sa naša rovnica zmení na $y^2 = 16x$.

Ako napísať rovnicu paraboly pomocou existujúceho grafu

Príklad 2

Obrázok 2. Kanonická rovnica pre parabolu, graf a príklad riešenia

Najprv musíme vybrať bod $M$, ktorý patrí do grafu našej funkcie, a vynechať z neho kolmice na osiach $OX$ a $OY$, zapísať jeho x a y, v našom prípade bod $M$ je $(2;2) $.

Teraz musíme nahradiť $x$ a $y$ získané pre tento bod do kanonickej rovnice paraboly $y^2 = px$, dostaneme:

$2^2 = 2 \cdot 2p$

Redukovaním dostaneme nasledujúcu parabolickú rovnicu $y^2 = 2 \cdot x$.