Ústne zadania: násobenie jednočlenu mnohočlenom. Násobenie polynómu monomom

NR MOBU "Poykovskaya stredná škola č. 2"

Verejná lekcia algebra v 7. ročníku

na túto tému:

"Násobenie jednočlena polynómom"

Učitelia matematiky

Limar T.A.

Mesto Poikovsky, 2014

Metodické informácie

Typ lekcie

Lekcia „objavovania“ nových poznatkov

Ciele lekcie (vzdelávacie, rozvojové, vzdelávacie)

Cieľ aktivity vyučovacej hodiny : rozvíjanie schopnosti študentov samostatne konštruovať nové metódy konania na tému „Násobenie monomílu polynómom“ založené na metóde reflexívnej sebaorganizácie.

Vzdelávací účel : rozšírenie pojmovej bázy na tému „Polynómy“ začlenením nových prvkov do nej: násobenie jednočlenov mnohočlenmi.

Ciele lekcie

vzdelávacie:

Vytvorte algoritmus na násobenie monomílu polynómom, zvážte príklady jeho použitia.

vyvíja:

Rozvoj pozornosti, pamäti, schopnosti uvažovať a ospravedlňovať svoje činy prostredníctvom riešenia problematického problému;

rozvoj kognitívny záujem k predmetu;

Formovanie emocionálne pozitívneho postoja u žiakov využívaním aktívnych foriem vyučovania a využívania IKT;

Rozvoj reflexných schopností prostredníctvom analýzy výsledkov lekcií a sebaanalýzy vlastných úspechov.

vzdelávacie:

Rozvoj komunikačných schopností žiakov prostredníctvom organizácie skupinovej, párovej a frontálnej práce v triede.

Použité metódy

Verbálne metódy(rozhovor, čítanie),

Vizuálne (ukážka prezentácie),

hľadanie problémov,

Metóda reflexnej sebaorganizácie (metóda aktivity),

Vznik osobného UUD.

Didaktická podpora lekcie:

Počítačová prezentácia,

Karty úloh,

Karty na hodnotenie práce na lekcii,

Kartičky s praktickými úlohami pre Nová téma.

Etapy lekcií

Učiteľské aktivity

Aktivity študentov

Organizačná fáza. (1 minúta)

Ciele: aktualizácia vedomostí študentov, určenie cieľov hodiny, rozdelenie triedy do skupín (rôznych úrovní), výber vedúceho skupiny.

Psychologická nálada, pozdrav študentov.

Pozdraví študentov a pomenuje epigraf hodiny. Ponúka zaujať miesta vo vopred rozdelených skupinách a dáva predbežné pokyny.

Dobrý deň, prosím posaďte sa. Chlapci, tisíce rokov predtým, ako sme sa narodili, Aristoteles povedal, že „...matematika... odhaľuje poriadok, symetriu a istotu, a to sú najdôležitejšie druhy krásy.“ A po každej hodine je vo svete matematiky menej neistoty. Dúfam, že dnes vy a ja objavíme niečo nové pre seba.

Počas hodiny vyplníte hodnotiaci hárok, ktorý máte na laviciach, po splnení každej úlohy.

Žiaci sú usadení vo vopred rozdelených skupinách. Zoznámte sa s výsledkovou listinou.

Slovné počítanie.

Účel: skontrolovať asimiláciu teoretického materiálu na tému: „Násobenie monomiálu monomilom. Exponenciácia“ a schopnosť aplikovať ju v praxi, rozvoj myslenia študentov, uvedomenie si hodnoty spoločné aktivity, boj o úspech skupiny.

a) matematický diktát.

Dajte podobné monomály.

a) 2x+4y+6x=

b) -4a+c-3a=

c) 3c+2d+5d=

d) -2d +4a-3a=

2. Vynásobte jednočlen jednočlenom

a) -2xy 3x

b) (-4av) (-2c)

d) (-5av) (2z)

e) 2z (x + y)

Učiteľ ponúka dokončenie matematického diktátu napísaného na tabuli. Sleduje správne prevedenie a vedie k štúdiu nového materiálu.

Spolu so študentmi formuluje účel a tému hodiny

- Ktoré číslo z diktátu ti robilo najväčšie ťažkosti?

Skúsme to zistiť Kde boli to práve ťažkosti, ktoré vznikli a prečo?

- Účel našej lekcie: naučiť sa násobiť jednočlen polynómom (platnosť vášho riešenia).

Téma lekcie: "U násobenie jednočlenu mnohočlenom“.

Študenti plnia úlohy. Spolu s učiteľom formuluje účel a tému hodiny. Zapíšte si tému hodiny do zošitov.

(očakávaná odpoveď študentov d)

Vypracujte (sformulujte) pravidlo pre násobenie jednočlenu mnohočlenom.

Vedenie k novej téme

Cieľ: pripraviť študentov na učenie sa nového materiálu .

Pracovať v skupinách.

Skupina č.1.

Vypočítajte.

15 80+15 20= 1200+300=1500

15 (80+20)=15 100=1500

Skupina č.2

Vypočítajte.

20 40+20 100=800+2000=2800

20 (40+100)=20 140=2800

Skupina č.3.

Vypočítajte.

6(2a+3a)=6,5a=30a

6 2a+6 3a=12a+18a=30

Skupina č.4

Vypočítajte

7 (4x+2x)= 7 6x=42

7 4x+7 2x=28x+14x=42x

Učiteľ dáva pokyny. Kontroluje vykonávanie.

Každá skupina musí nájsť význam dvoch výrazov. Porovnajte ich a napíšte záver ako rovnosť alebo nerovnosť.

Žiaci riešia príklady v skupinách a vyvodzujú závery.

1 člen z každej skupiny napíše záver na tabuľu.

Na tabuli je napísané:

15 80+15 20=15 (80+20)

20 40+20 100=20 (40+100)

6 (2a+3a)=62a+6 3

7 (4x+2x)=7 4x+7 2x

Študenti sa hodnotia na výsledkovej listine. Ak je záver formulovaný a napísaný správne, dávajú 5.

„Objavenie“ nového materiálu študentmi.
Cieľ: rozvíjanie schopnosti študentov samostatne konštruovať nové metódy konania na tému „Násobenie monomílu polynómom“ založené na metóde reflexívnej sebaorganizácie.

Dokončenie úlohy „Vyplňte prázdne miesta“

Snímka 2.

2z ∙(x +y )=2z ∙ +2z ∙

3x(a+b)= a+b

Po minúte sa objaví na tabuli správne riešenie.

Učiteľ dáva pokyny.

Vykonáva prieskum. Vyvodzuje záver.

Pomocou rovníc napísaných na tabuli doplňte medzery v nasledujúcich výrazoch

Všimnite si, čo je pred zátvorkou?

Čo je v zátvorkách?

Aká je odpoveď?

A tak poďme na záver, ako vynásobiť monomický polynóm. Po troch minútach prezentujte svoj materiál triede (pomocou bieleho listu papiera a fixiek).

Sumarizuje

Skontrolujte, či ste pravidlo formulovali správne. Na to otvorte učebnicu na str.

Študenti pracujú v skupinách, pričom každá skupina diskutuje o tom, ako vyplniť prázdne miesta.

Skontrolujte, či sú medzery správne vyplnené.

Každá skupina predloží svoju hypotézu a predloží ju triede, prejde všeobecnou diskusiou a vyvodí záver.

Prečítajte si nahlas pravidlo z učebnice.

Monomiálny

Polynóm

Nový polynóm

Primárna konsolidácia.

Cieľ: precvičovanie zručností násobenia jednočlena mnohočlenom, rozvíjanie myslenia žiakov, uvedomenie si hodnoty spoločných aktivít, boj o úspech skupiny, zvyšovanie motivácie vzdelávacie aktivity.

Pracovať v skupinách.

Skupina č.1,3

x∙(

m∙(n +3)=__________________; 7a ∙(2b-3c) = _______________;

Skupina č.2,4

a∙(c-y) = ___________________ ; c∙(c+d)=___________________ ;

m∙(y+5)=__________________ ; 6m∙(2n-3k) = ______________ ;

7

Učiteľ dáva pokyny.

Vezmite si to na stôl číslo karty 2 Predpokladom je, že pri rozhodovaní sa pravidlo vyslovovať navzájom.

Vykonajte partnerskú recenziu, skupina 1 si vymení karty so skupinou 3 a skupina 2 so skupinou 4. Obodujte skupiny na výsledkovej listine:

5 správne splnených úloh – skóre „5“; 4 - "4"; 3- "3"; menej ako 3 - "2".

Dokončite úlohu na kartách a vykonajte vzájomné kontroly.

Zodpovedný člen skupiny #1 sa pýta ktoréhokoľvek člena skupiny #3. Poskytuje známku na výsledkovej listine.

zodpovedný člen skupiny #2 sa pýta ktoréhokoľvek člena skupiny #4. Pridá známku do výsledkovej listiny

6. Matematické cvičenia.
Cieľ: zvýšiť alebo udržať duševnú výkonnosť detí v triede;

poskytnúť žiakom krátkodobý aktívny odpočinok počas vyučovacej hodiny.

Učiteľ dáva pokyny, ukazuje kartičky, na ktorých sú napísané jednočleny, mnohočleny a výrazy, ktoré nie sú ani jednočlenmi, ani mnohočlenmi.

Žiaci vykonávajú cvičenia na príkazy

„Monomiálny“ - zdvihnuté ruky; „Polynóm“ - ruky pred vami; „Iný výraz“ - ruky do strán;

Zavreli sme oči, potichu napočítali do 30 a otvorili oči.

Matematické loto

Cieľ: upevniť algoritmus na násobenie jednočlena polynómom a podnietiť záujem o matematiku

Skupina č.1,3

c(3a-4c)=3ac-12vs;

3) 3c(x-3y)=3cx-9cy;

4) -n(x-m)=-nx+nm;

5) 3z (x-y)= 3zx-3zy .

Karty s odpoveďami:

3:00 – 12:00; 3ac+12s; 3ac-4v

zx+2zy; zx-2zy; zx+2y;

3cx-9cy; 3cx+9cy; 3cx-3cy;

Nx+nm; nx+nm; nx-nm;

3zx-3zy; 3zx-y; zx-zy.

Skupina č.2,4

Vynásobte jednočlen polynómom

A(3b+c)=-3av-as;

4x (5c-s)=20cx-4xs;

a(3c+2b)=3ac+2ba

1. 5a(b+3d)=5ab+15ad

Karty s odpoveďami:

3av-ac; 3av+ac; vy;

20cx -4xs ; 20cx + 4xs ; 5c - 4xs;

3ac+2ba; 3ac+6ba; 3ac-2ba;

cp-5 cm; St-5m; p-5 cm.

5ab+ad; 5ab+5b; 5ab+15ad

Rozdáva obálky. Hovorí o pravidlách hry. Jedna obálka obsahuje 5 príkladov na násobenie jednočlenu mnohočlenom a 15 kartičiek s odpoveďami.

Vysvetľujem, ako hodnotiť vykonanú prácu.

Skupina dostane skóre „5“, ak ako prvá dokončí všetky úlohy správne, 4 úlohy – „4“; 3 úlohy - „3“, menej ako tri - „2“, skupina, ktorá dokončí hru lotto ako druhá, po splnení všetkých úloh, správne získa skóre „4“, tretia – „3“, posledná – „ 2“.

Dostávajte obálky s úlohami.

Vynásobte jednočlen jednočlenom.

Vyberte správne odpovede zo všetkých uvedených kariet.

Osobný test.

Prijmite kartu autotestu. Uveďte známku do výsledkovej listiny.

8 . Reflexia učebných aktivít na hodine (zhrnutie hodiny).

Cieľ: sebahodnotenie žiakov výsledkov ich výchovno-vzdelávacej činnosti, uvedomenie si spôsobu budovania hraníc a uplatňovania nového spôsobu konania.

Úvodná konverzácia o otázkach na snímke:

Aký algoritmus na násobenie monomiálu polynómom existuje v matematike?

Čo je výsledkom vašich aktivít?

Učiteľ analyzuje hodnotiace hárky (ich výsledky sú viditeľné na snímke)

Vráti sa k mottu lekcie, vytvorí paralelu medzi epigrafom a algoritmom vyvinutým v lekcii.

Predložte hodnotiace hárky, ktoré jasne ukazujú výsledky vašich aktivít.

Vráťme sa ešte raz k mottu našej hodiny: „...matematika... odhaľuje poriadok, symetriu a istotu, a to sú najdôležitejšie druhy krásy.“ Algoritmus, ktorý sme dnes na hodine vyvinuli, nám pomôže robiť nové objavy v budúcnosti: násobenie polynómu polynómom nám pomôže naučiť sa skrátené vzorce násobenia, o ktorých sa veľa hovorí v algebre. Čaká nás veľa zaujímavých a dôležitých vecí.

Ďakujem za lekciu!!!

Študenti robia sebaanalýzu svojej práce, pamätajú si algoritmus naučený v triede a odpovedajú na otázky.

APLIKÁCIA.

KARTA #1.

Skupina č.1.

Vypočítajte.

15 80+15 20= ______________________________

15 (80+20)= _______________________________

KARTA #1.

Skupina č.2

Vypočítajte.

20 40+20 100 =_________________________________

20 (40+100)= __________________________________

KARTA #1.

Skupina č.3.

Vypočítajte.

6 (2a+3a)=______________________________________________

6 2a+6 3a=______________________________________________

KARTA č.1

Skupina č.4

Vypočítajte

7 (4x+2x)= ______________________________________

7 4x+7 2x= ______________________________________

KARTA #2.

Skupina č.3

x∙( z +y) = __________________; a ∙(c +d)=___________________;

5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.

KARTA №4.

Skupina č.2

7x ∙(5d -8d)= ______ - ________= _______.

KARTA #2.

Skupina č.1

x∙( z +y) = __________________; a ∙(c +d)=___________________;

m∙(n+3)=__________________ ; 7a∙(2b-3c) = _______________;

5x∙(3a-6a)= _______ -________= _______.

KARTA №2.

Skupina č.2

a ∙(c -y) = ___________________; c ∙(c +d )=___________________ ;

m∙(y +5)=__________________ ; 6m ∙(2n -3k) = ______________ ;

7x ∙(5d -8d)= ______ - ________= _______.

matematické loto (každá dve kópie)

c(3a-4c)

z(x+2y)

3c (x-3y)

-n(x-m)

3z(x-y)

-а (3 x + с)

4x(5c -s)

a(3c+2b)

c(p-5m)

5a(b+3d)

Odpovede na lotto (každý po dve kópie)

3:00 – 12:00 hod

3ac+12sun

3ac-4v

zx+2zy;

zx-2zy

zx+2r

3skh-9su

3cx-3cy

3сх+3су

Nx+nm

nx+nm

nx-nm

zx-zy

3zx-y

3zx-3zy

3av-ac

3av+ac;

vy

20cx-4xs

20cx + 4xs

5c -4xs

3ac+2ba

3ac+6ba

3ac-2ba

cp - 5 cm

St -5 m

p-5 cm.

5ab+ad

5ab + 5b

V prezentovanej video lekcii sa budeme podrobne zaoberať otázkou násobenia polynómu akýmkoľvek výrazom, ktorý spĺňa definíciu „monómu“ alebo monomiálu. Monomial môže byť ľubovoľná voľná číselná hodnota reprezentovaná prirodzené číslo(v akomkoľvek stupni, s akýmkoľvek znakom) alebo nejaká premenná (s podobnými atribútmi). Stojí za to pripomenúť, že polynóm je množina algebraických prvkov nazývaných členy polynómu. Niekedy môžu byť niektorým členom priradené podobnosti a skrátené. Dôrazne sa odporúča vykonať postup uvedenia podobných výrazov po operácii násobenia. Konečná odpoveď bude v tomto prípade štandardizovaná forma polynómu.

Ako vyplýva z nášho videa, proces násobenia monomilu polynómom možno posudzovať z dvoch pozícií: lineárna algebra a geometria. Uvažujme o operácii násobenia polynómu na každej strane - to prispieva k univerzálnosti aplikácie pravidiel, najmä v prípade zložitých problémov.

V algebraickom zmysle sa násobenie polynómu monomom riadi štandardným pravidlom pre násobenie súčtom: každý prvok súčtu sa musí vynásobiť nastavená hodnota a výsledná hodnota sa algebraicky pripočíta. Stojí za to pochopiť, že každý polynóm je rozšírený algebraický súčet. Po vynásobení každého člena polynómu určitou hodnotou dostaneme nový algebraický súčet, ktorý sa zvyčajne zníži na štandardný pohľad, ak je to samozrejme možné.

V tomto prípade zvážte vynásobenie polynómu:

3a * (2a 2 + 3c - 3)

Je ľahké pochopiť, že výraz (2a 2 + 3c - 3) je polynóm a 3a je voľný faktor. Na vyriešenie tohto výrazu stačí vynásobiť každý z troch členov polynómu číslom 3a:

Stojí za to pamätať, že znamenie je dôležitý atribút premenná vpravo a nemožno ju stratiť. Znak „+“ sa spravidla nepíše, ak začína výraz. Pri násobení číselných výrazov sa jednoducho vynásobia všetky koeficienty premenných. Rovnaké premenné zvyšujú stupeň. Rôzne premenné zostávajú nezmenené a sú zapísané v jednom prvku: a*c = ac. Znalosť týchto jednoduchých pravidiel sčítania prispieva k správnemu a rýchlemu riešeniu každého takéhoto cvičenia.

Získali sme tri hodnoty, ktoré sú v skutočnosti členmi konečného polynómu, čo je odpoveď na príklad. Musíte len algebraicky pridať tieto hodnoty:

6a 3 + 9ac + (- 9a) = 6a 3 + 9ac - 9a

Otvárame zátvorky a zachovávame znamienka, pretože ide o algebraické sčítanie a podľa definície je medzi jednočlenmi znamienko „plus“. Výsledný štandardný tvar polynómu je správnou odpoveďou na uvedený príklad.

Geometrický tvar násobenia polynómu monomom je proces hľadania oblasti obdĺžnika. Predpokladajme, že máme obdĺžnik so stranami a a c. Obrázok je rozdelený dvoma segmentmi na tri obdĺžniky s rôznymi oblasťami, takže strana c je spoločná alebo rovnaká pre všetkých. A strany a1, a2 a a3 sa sčítajú s počiatočným a. Ako je známe z axiomatickej definície oblasti obdĺžnika, na nájdenie tohto parametra je potrebné vynásobiť strany: S = a*c. Alebo S = (al + a2 + a3) * c. Vynásobme polynóm (tvorený stranami menších obdĺžnikov) monomom - hlavnou stranou obrazca a získame výraz pre S: a1*c + a2*c + a3*c. Ak sa však pozriete pozorne, všimnete si, že tento polynóm je súčtom plôch troch menších obdĺžnikov, ktoré tvoria počiatočný obrazec. Veď pre prvý obdĺžnik S = a1c (podľa axiómy) atď. Algebraicky sa správnosť úvahy pri pridávaní polynómu potvrdzuje výpočtami lineárnej algebry. A geometricky - pravidlá pre pridávanie oblastí do jedného najjednoduchšieho obrázku.

Pri vykonávaní manipulácií s násobením polynómu monomom by ste mali pamätať na to, že v tomto prípade sa stupne monomiu a polynómu (celkom) sčítavajú - a výsledná hodnota je stupeň nového polynómu (odpoveď).

Všetky vyššie uvedené pravidlá spolu so základmi algebraického sčítania sú použité v príkladoch najjednoduchšieho zjednodušenia výrazov, kde sa podobné pojmy redukujú a prvky sa násobia, aby sa celý polynóm zjednodušil.

§ 1 Násobenie mnohočlenu jednočlenom

Pri násobení polynómov sa môžeme zaoberať dvoma typmi operácií: násobením polynómu monomom a násobením polynómu polynómom. V tejto lekcii sa naučíme, ako vynásobiť polynóm monomom.

Základným pravidlom, ktoré sa používa pri násobení mnohočlenu jednočlenom, je distributívna vlastnosť násobenia. Pripomeňme si:

Ak chcete vynásobiť súčet číslom, môžete vynásobiť každý výraz týmto číslom a pridať výsledné produkty.

Táto vlastnosť násobenia platí aj pre akciu odčítania. V doslovnom zápise distributívna vlastnosť násobenia vyzerá takto:

(a + b) ∙ c = ac + bc

(a - b) ∙ c = ac - bc

Zoberme si príklad: vynásobte polynóm (5ab - 3a2) monomom 2b.

Zaveďme nové premenné a označme 5ab písmenom x, 3a2 písmenom y, 2b písmenom c. Potom bude náš príklad vyzerať takto:

(5аb - 3а2) ∙ 2b = (x - y) ∙с

Podľa distributívneho zákona sa to rovná xc - yc. Teraz sa vráťme k pôvodnému významu nových premenných. Dostaneme:

5аb∙2b - 3а2∙2b

Teraz prenesme výsledný polynóm do štandardného tvaru. Dostaneme výraz:

Pravidlo teda možno formulovať takto:

Ak chcete vynásobiť polynóm monomom, musíte vynásobiť každý člen polynómu týmto monomom a pridať výsledné produkty.

Rovnaké pravidlo platí pri násobení jednočlenu mnohočlenom.

§ 2 Príklady na tému lekcie

Pri násobení polynómov v praxi, aby nedošlo k zámene s určovaním výsledných znamienok, sa odporúča najskôr určiť a ihneď zapísať znamienko súčinu a až potom nájsť a zapísať súčin čísel a premenných. Takto to vyzerá s konkrétnymi príkladmi.

Príklad 1. (4а2b - 2а) ∙ (-5аb).

Tu je potrebné vynásobiť jednočlen - 5ab dvoma jednočlenmi, ktoré tvoria polynóm, 4a2b a - 2a. Prvý kus bude mať znamienko „-“ a druhý diel bude mať znamienko „+“. Takže riešenie bude vyzerať takto:

(4a2b - 2a) ∙ (-5ab) = - 4a2b ∙ 5ab + 2a ∙ 5ab = -20a3b2 + 10a2b

Príklad 2. -xy(2x - 3y +5).

Tu budeme musieť vykonať tri operácie násobenia, pričom znamienko prvého súčinu je „-“, znamienko druhého „+“ a znamienko tretieho „-“. Riešenie vyzerá takto:

Xy(2x - 3y + 5) = -xy∙2x + xy∙3y - xy∙5 = -2x2y + 3xy2 - 5xy.

Zoznam použitej literatúry:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník v 2 častiach, 1. časť, Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. – 10. vydanie, revidované – Moskva, „Mnemosyne“, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník v 2 častiach, 2. časť, Problémová kniha pre vzdelávacie inštitúcie / [A.G. Mordkovich a ďalší]; upravil A.G. Mordkovich - 10. vydanie, revidované - Moskva, "Mnemosyne", 2007
3. JA. Tulchinskaya, Algebra 7. ročník. Bleskový prieskum: príručka pre študentov inštitúcií všeobecného vzdelávania, 4. vydanie, revidované a rozšírené, Moskva, „Mnemosyne“, 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. ročník. Tematické testovacie práce V nový formulár pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií, spracoval A.G. Mordkovich, Moskva, „Mnemosyne“, 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. ročník. Samostatná práca pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií, spracoval A.G. Mordkovich - 6. vydanie, stereotypné, Moskva, „Mnemosyne“, 2010

Špeciálnym prípadom násobenia mnohočlenu mnohočlenom je násobenie mnohočlenu jednočlenom. V tomto článku sformulujeme pravidlo na vykonanie tejto akcie a analyzujeme teóriu na praktických príkladoch.

Pravidlo pre násobenie polynómu monomom

Poďme zistiť, čo je základom násobenia polynómu monomom. Táto akcia spolieha na distributívnu vlastnosť násobenia vo vzťahu k sčítaniu. Doslova je táto vlastnosť zapísaná takto: (a + b) c = a c + b c (a, b a c– nejaké čísla). V tomto zázname výraz (a + b) c je presne súčinom polynómu (a + b) a monomiu c. Pravá strana rovnosti a · c + b · c je súčet súčinov monomilov a A b podľa monomial c.

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje formulovať pravidlo pre násobenie polynómu monomom:

Definícia 1

Ak chcete vykonať akciu násobenia polynómu monomom, musíte:

• zapíšte súčin mnohočlenu a jednočlenu, ktoré je potrebné vynásobiť;
• vynásobte každý člen polynómu daným monomom;
• nájsť súčet výsledných produktov.

Vysvetlime si ďalej daný algoritmus.

Na vytvorenie súčinu mnohočlenu a jednočlenu sa pôvodný mnohočlen uzavrie do zátvoriek; potom sa medzi ňu a daný monomiál umiestni znamienko násobenia. Ak monomický znak začína znamienkom mínus, musí byť tiež uvedený v zátvorkách. Napríklad súčin polynómu − 4 x 2 + x − 2 a monomiálny 7 r napíšme to ako (− 4 x 2 + x − 2) 7 r a súčin polynómu a 5 b − 6 a b a monomiálny - 3 a 2 dajte to do tvaru: (a 5 b − 6 a b) (– 3 a 2).

Ďalším krokom algoritmu je vynásobenie každého člena polynómu daným monomom. Zložkami mnohočlenu sú monočleny, t.j. V podstate musíme vynásobiť jednočlen jednočlenom. Predpokladajme, že po prvom kroku algoritmu sme dostali výraz (2 x 2 + x + 3) 5 x, potom druhým krokom je vynásobenie každého člena polynómu 2 x 2 + x + 3 s monomiálom 5 x, čím sa získa: 2 x 2 5 x = 10 x 3, x 5 x = 5 x 2 a 3 5 x = 15 x. Výsledkom budú monomiály 10 x 3, 5 x 2 a 15 x.

Poslednou akciou podľa pravidla je pridanie výsledných produktov. Z navrhovaného príkladu po dokončení tohto kroku algoritmu získame: 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

Všetky kroky sú štandardne napísané ako reťazec rovnosti. Napríklad nájdenie súčinu polynómu 2 x 2 + x + 3 a monomiálny 5 x napíšeme to takto: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x. Vylúčením prechodného výpočtu druhého kroku je možné krátke riešenie napísať takto: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

Uvažované príklady umožňujú všimnúť si dôležitá nuansa: Vynásobením mnohočlenu a jednočlenu vznikne mnohočlen. Toto tvrdenie platí pre akýkoľvek násobiteľný polynóm a monomál.

Analogicky sa monočlen vynásobí polynómom: daný monočlen sa vynásobí každým členom polynómu a výsledné produkty sa spočítajú.

Príklady násobenia mnohočlenu jednočlenom

Príklad 1

Je potrebné nájsť produkt: 1, 4 · x 2 - 3, 5 · y · - 2 7 · x.

Riešenie

Prvý krok pravidla už bol dokončený - práca bola zaznamenaná. Teraz vykonáme ďalší krok vynásobením každého člena polynómu daným monomom. V tomto prípade je vhodné najskôr previesť desatinné zlomky na obyčajné zlomky. Potom dostaneme:

1, 4 x 2 - 3, 5 r - 2 7 x = 1, 4 x 2 - 2 7 x - 3, 5 r - 2 7 x = = - 1, 4 2 7 x 2 x + 3, 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y

odpoveď: 1, 4 · x 2 - 3, 5 · y · - 2 7 · x = - 2 5 · x 3 + x · y.

Ujasnime si, že ak je pôvodný polynóm a/alebo monomický zadaný v neštandardnej forme, pred nájdením ich súčinu je vhodné ich zredukovať na štandardný tvar.

Príklad 2

Daný polynóm 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 a monomiálny − 0 5 · a · b · (− 2) · a. Musíte nájsť ich prácu.

Riešenie

Vidíme, že zdrojové údaje sú prezentované v neštandardnej forme, takže pre pohodlie ďalších výpočtov ich dáme do štandardnej formy:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a = (− 0 , 5) · (− 2) · (a · a) · b = 1 · a 2 · b = a 2 · b 3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 · a) − 2 · a 2 = 1 + 4 · a − 2 · a 2

Teraz vynásobme monomiál a 2 b pre každý člen polynómu 1 + 4 · a − 2 · a 2

a 2 b (1 + 4 a − 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (− 2 a 2) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

Počiatočné údaje sme nemohli zredukovať na štandardnú formu: riešenie by bolo ťažkopádnejšie. V tomto prípade by posledným krokom bola potreba priviesť podobných členov. Pre pochopenie uvádzame riešenie podľa tejto schémy:

− 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = = − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · a − 0 , 5 · a · · b · (− 2) · a · (− 2 · a 2) − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · 3 · a − 0, 5 · a · b · (− 2) · a · (− 2) = = 3 · a 2 · b + a 3 · b − 2 · a 4 · b + 3 · a 3 · b − 2 · a 2 · b = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b

odpoveď: − 0 , 5 · a · b · (− 2) · a · (3 + a − 2 · a 2 + 3 · a − 2) = a 2 · b + 4 · a 3 · b − 2 · a 4 · b.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Zapnuté túto lekciuŠtudovať sa bude operácia násobenia polynómu monomom, ktorá je základom pre štúdium násobenia polynómov. Pripomeňme si distributívny zákon násobenia a sformulujme pravidlo pre násobenie ľubovoľného polynómu jednočlenom. Pripomeňme si aj niektoré vlastnosti stupňov. Okrem toho budú pri vykonávaní rôznych príkladov formulované typické chyby.

Predmet:Polynómy. Aritmetické operácie s jednočlenmi

lekcia:Násobenie polynómu monomom. Typické úlohy

Operácia násobenia mnohočlenu mnohočlenom je základom pre uvažovanie o operácii vynásobenia mnohočlenu mnohočlenom a najprv sa musíte naučiť, ako násobiť mnohočlen jednočlenom, aby ste pochopili násobenie mnohočlenov.

Základom tejto operácie je distributívny zákon násobenia. Pripomeňme mu:

V podstate vidíme pravidlo pre násobenie polynómu, v tomto prípade dvojčlenu, monočlenom a toto pravidlo možno formulovať takto: ak chcete vynásobiť polynóm monomom, musíte vynásobiť každý člen mnohočlenu číslom tento monomial. Pridajte algebraicky získané produkty a potom vykonajte polynóm potrebné opatrenia- menovite ho uveďte do štandardného formulára.

Pozrime sa na príklad:

komentár: tento príklad sa rieši presným dodržiavaním pravidla: každý člen mnohočlenu sa vynásobí jednočlenom. Aby sme dobre pochopili a osvojili si distributívny zákon, v tomto príklade boli členy polynómu nahradené x a y, v uvedenom poradí, a monomický znak c, po čom bola vykonaná elementárna akcia v súlade s distributívnym zákonom a počiatočné hodnoty boli nahradené. Mali by ste byť opatrní so znamienkami a správne násobiť mínus jedna.

Pozrime sa na príklad násobenia trojčlenu jednočlenom a presvedčte sa, že sa nelíši od tej istej operácie s dvojčlenom:

Prejdime k riešeniu príkladov:

Komentár: tento príklad je riešený podľa distributívneho zákona a podobne ako predchádzajúci príklad - každý člen mnohočlenu sa vynásobí jednočlenom, výsledný mnohočlen je už zapísaný v štandardnom tvare, takže ho nemožno zjednodušiť.

Príklad 2 - vykonajte akcie a získajte polynóm v štandardnom tvare:

Komentár: na vyriešenie tohto príkladu najskôr vynásobíme prvý a druhý dvojčlen podľa distribučného zákona, potom výsledný mnohočlen uvedieme do štandardného tvaru – uvedieme podobné členy.

Teraz sformulujme hlavné problémy spojené s operáciou násobenia polynómu monomom a uveďme príklady ich riešenia.

Úloha 1 - zjednodušte výraz:

Komentár: tento príklad je riešený podobne ako predchádzajúci, a to tak, že najprv sa polynómy vynásobia zodpovedajúcimi monomály a potom sa podobné zmenšia.

Úloha 2 - zjednodušte a vypočítajte:

Príklad 1:;

Komentár: tento príklad je riešený podobne ako predchádzajúci, len s dodatkom, že po prinesení podobných výrazov je potrebné namiesto premennej dosadiť jej konkrétnu hodnotu a vypočítať hodnotu polynómu. Pripomeňme, že je ľahké množiť desiatkový o desať, musíte posunúť desatinné miesto o jedno miesto doprava.