Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Cez ktorýkoľvek bod možno nakresliť nekonečné množstvo priamych čiar.

Cez akékoľvek dva nezhodné body možno nakresliť jednu priamku.

Dve rôznobežné čiary v rovine alebo sa pretínajú v jediný bod, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:

• čiary sa pretínajú;

• čiary sú rovnobežné;

• priamky sa pretínajú.

Rovno riadok— algebraická krivka prvého rádu: priamka v karteziánskom súradnicovom systéme

je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica priamky.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

a konštantný A, B sa zároveň nerovnajú nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštánt A, B A S Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- počiatkom prechádza priamka

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU

. B = C = 0, A ≠0- priamka sa zhoduje s osou OU

. A = C = 0, B = 0- priamka sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť znázornená v v rôznych formách v závislosti od akejkoľvek danosti

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmo na priamku, daný rovnicou

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

Riešenie. Pri A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x - y + C = 0. Ak chcete nájsť koeficient C

Do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda

C = -1. Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Potom rovnica priamky,

prechádza cez tieto body:

Ak niektorý z menovateľov rovná nule, príslušný čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Zapnuté

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

Ak x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal sklon rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.

Ak všeobecná rovnica rovno Ax + Wu + C = 0 viesť k:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovaného riadku v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení -С dostaneme:

alebo kde

Geometrický význam koeficienty je, že koeficient a je súradnica priesečníka

rovný s osou oh, A b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ax + Wu + C = 0 deliť číslom ktorá sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ*C< 0.

R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke,

A φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5r - 65 = 0. Povinné napísať Rôzne druhy rovnice

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi priamkami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y = k1x + b1, y = k2x + b2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé

Ak k1 = -1/k2 .

Veta.

Priamy Ax + Wu + C = 0 A Aix + B1y + C1 = 0 paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

Ai = λA, B1 = λB. Ak tiež С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Wu + C = 0 definovaný ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice spadnutá z bodu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M A M 1:

(1)

Súradnice x 1 A o 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daný bod M 0 kolmá

daná priama čiara. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Cez ktorýkoľvek bod možno nakresliť nekonečné množstvo priamych čiar.

Cez akékoľvek dva nezhodné body možno nakresliť jednu priamku.

Dve rôznobežné čiary v rovine sa buď pretínajú v jednom bode, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti pre relatívnu polohu dvoch čiar:

• čiary sa pretínajú;

• čiary sú rovnobežné;

• priamky sa pretínajú.

Rovno riadok— algebraická krivka prvého rádu: priamka v karteziánskom súradnicovom systéme

je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica priamky.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

a konštantný A, B sa zároveň nerovnajú nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštánt A, B A S Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- počiatkom prechádza priamka

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU

. B = C = 0, A ≠0- priamka sa zhoduje s osou OU

. A = C = 0, B = 0- priamka sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od danej veličiny

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmá na priamku danú rovnicou

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

Riešenie. Pri A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x - y + C = 0. Ak chcete nájsť koeficient C

Do výsledného výrazu dosadíme súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 - 2 + C = 0, teda

C = -1. Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Potom rovnica priamky,

prechádza cez tieto body:

Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Zapnuté

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

Ak x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal sklon rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.

Ak je všeobecná rovnica priamky Ax + Wu + C = 0 viesť k:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovaného riadku v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení -С dostaneme:

alebo kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnicou priesečníka

rovný s osou oh, A b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ax + Wu + C = 0 deliť číslom ktorá sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ*C< 0.

R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke,

A φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5r - 65 = 0. Vyžaduje sa na písanie rôznych typov rovníc

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi priamkami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y = k1x + b1, y = k2x + b2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé

Ak k1 = -1/k2 .

Veta.

Priamy Ax + Wu + C = 0 A Aix + B1y + C1 = 0 paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

Ai = λA, B1 = λB. Ak tiež С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Wu + C = 0 definovaný ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice spadnutá z bodu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M A M 1:

(1)

Súradnice x 1 A o 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo

daná priama čiara. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Rovnica priamky na rovine.
Smerový vektor je rovný. Normálny vektor

Priamka v rovine je jednou z najjednoduchších geometrické tvary, ktorý poznáte už zo základnej školy a dnes sa naučíme, ako si s ním poradiť pomocou metód analytickej geometrie. Aby ste zvládli materiál, musíte byť schopní postaviť priamku; vedieť, aká rovnica definuje priamku, najmä priamku prechádzajúcu počiatkom súradníc a priamky rovnobežné so súradnicovými osami. Tieto informácie nájdete v príručke Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií, vytvoril som ju pre Mathana, ale časť o lineárnej funkcii sa ukázala ako veľmi vydarená a podrobná. Preto, milé čajníky, najprv sa tam zohrejte. Okrem toho musíte mať základné vedomosti o vektory, inak bude pochopenie materiálu neúplné.

Zapnuté túto lekciu Pozrieme sa na spôsoby, ako môžete vytvoriť rovnicu priamky v rovine. Odporúčam nezanedbávať praktické príklady (aj keď sa to zdá veľmi jednoduché), keďže im poskytnem základné a dôležité fakty, technické techniky, ktoré budú potrebné v budúcnosti, a to aj v iných sekciách vyššej matematiky.

• Ako napísať rovnicu priamky s uhlovým koeficientom?
• ako?
• Ako nájsť smerový vektor pomocou všeobecnej rovnice priamky?
• Ako napísať rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom?

a začíname:

Rovnica priamky so sklonom

Známa „školská“ forma rovnice s priamkou sa nazýva rovnica priamky so sklonom. Napríklad, ak je rovnicou daná priamka, jej sklon je: . Pozrime sa na geometrický význam tohto koeficientu a ako jeho hodnota ovplyvňuje umiestnenie čiary:

V kurze geometrie je to dokázané sklon priamky sa rovná dotyčnica uhla medzi kladným smerom osia tento riadok: a uhol sa „odskrutkuje“ proti smeru hodinových ručičiek.

Aby kresba nebola neprehľadná, kreslila som uhly len pre dve rovné čiary. Zoberme si „červenú“ čiaru a jej sklon. Podľa vyššie uvedeného: (uhol „alfa“ je označený zeleným oblúkom). Pre „modrú“ priamku s uhlovým koeficientom platí rovnosť (uhol „beta“ je označený hnedým oblúkom). A ak je známa dotyčnica uhla, v prípade potreby sa dá ľahko nájsť a samotný roh pomocou inverznej funkcie - arkustangens. Ako sa hovorí, trigonometrický stôl alebo mikrokalkulačka vo vašich rukách. teda uhlový koeficient charakterizuje stupeň sklonu priamky k osi x.

Možné sú tieto prípady:

1) Ak je sklon záporný: potom čiara, zhruba povedané, ide zhora nadol. Príkladmi sú „modré“ a „malinové“ priame čiary na výkrese.

2) Ak je sklon kladný: čiara ide zdola nahor. Príklady - „čierne“ a „červené“ rovné čiary na výkrese.

3) Ak je sklon nula: , potom rovnica nadobudne tvar a zodpovedajúca priamka je rovnobežná s osou. Príkladom je „žltá“ priamka.

4) Pre skupinu čiar rovnobežných s osou (na výkrese nie je žiadny príklad, okrem samotnej osi), uhlový koeficient neexistuje (tangens 90 stupňov nie je definovaný).

Čím väčší je koeficient sklonu v absolútnej hodnote, tým strmší je lineárny graf..

Zvážte napríklad dve priame čiary. Tu má teda rovinka strmší sklon. Pripomínam, že modul vám umožňuje ignorovať znamenie, len nás zaujíma absolútne hodnoty uhlové koeficienty.

Priamka je zasa strmšia ako priamka .

Naopak: čím menší je koeficient sklonu v absolútnej hodnote, tým plochejšia je priamka.

Pre rovné čiary nerovnosť je pravdivá, teda priamka je plochejšia. Detská šmykľavka, aby ste si nerobili modriny a hrbolčeky.

Prečo je to potrebné?

Predĺžte si svoje trápenie Znalosť vyššie uvedených skutočností vám umožní okamžite vidieť svoje chyby, najmä chyby pri vytváraní grafov - ak sa ukáže, že kresba „očividne nie je v poriadku“. Je vhodné, aby ste hneď bolo jasné, že napríklad priamka je veľmi strmá a ide zdola nahor a priamka je veľmi plochá, pritlačená blízko osi a ide zhora nadol.

V geometrických problémoch sa často objavuje niekoľko priamych čiar, takže je vhodné ich nejako označiť.

Označenia: rovné čiary sú označené ako malé s latinskými písmenami: . Obľúbenou možnosťou je označiť ich pomocou rovnakého písmena s prirodzenými dolnými indexmi. Napríklad päť riadkov, na ktoré sme sa práve pozreli, možno označiť .

Pretože každá priamka je jednoznačne určená dvoma bodmi, možno ju označiť týmito bodmi: atď. Označenie jasne naznačuje, že body patria k čiare.

Je čas sa trochu zahriať:

Ako napísať rovnicu priamky s uhlovým koeficientom?

Ak je známy bod patriaci do určitej čiary a uhlový koeficient tejto čiary, potom rovnica tejto čiary je vyjadrená vzorcom:

Príklad 1

Napíšte rovnicu pre priamku so sklonom, ak je známe, že bod patrí danej priamke.

Riešenie: Zostavme rovnicu priamky pomocou vzorca . V tomto prípade:

Odpoveď:

Vyšetrenie sa robí jednoducho. Najprv sa pozrieme na výslednú rovnicu a uistíme sa, že náš svah je na mieste. Po druhé, súradnice bodu musia spĺňať túto rovnicu. Zapojme ich do rovnice:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že bod vyhovuje výslednej rovnici.

Záver: Rovnica bola nájdená správne.

Zložitejší príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 2

Napíšte rovnicu pre priamku, ak je známe, že jej uhol sklonu voči kladnému smeru osi je , a bod patrí tejto priamke.

Ak máte nejaké ťažkosti, znova si prečítajte teoretický materiál. Presnejšie, praktickejšie, veľa dôkazov preskočím.

Zazvonilo posledný hovor, promócia sa skončila a za bránami našej rodnej školy nás čaká samotná analytická geometria. Vtipom je koniec... Alebo možno ešte len začínajú =)

Nostalgicky mávame perom známemu a zoznamujeme sa so všeobecnou rovnicou priamky. Pretože v analytickej geometrii sa používa presne toto:

Všeobecná rovnica priamky má tvar: , kde sú nejaké čísla. Zároveň koeficienty súčasne sa nerovnajú nule, pretože rovnica stráca svoj význam.

Oblečme sa do obleku a spojme rovnicu s koeficientom sklonu. Najprv presuňme všetky pojmy do ľavá strana:

Výraz s „X“ musí byť uvedený na prvé miesto:

Rovnica má v zásade už tvar , ale podľa pravidiel matematickej etikety musí byť koeficient prvého člena (v tomto prípade) kladný. Zmena znamenia:

Zapamätaj si to technická vlastnosť! Prvý koeficient (najčastejšie) robíme kladným!

V analytickej geometrii bude takmer vždy uvedená rovnica priamky všeobecná forma. V prípade potreby sa dá ľahko zredukovať na „školský“ tvar s uhlovým koeficientom (s výnimkou priamych čiar rovnobežných s osou ordinátov).

Položme si otázku čo dosť viete postaviť rovnú čiaru? Dva body. Ale o tom detský prípad neskôr, teraz palice so šípkami pravidlo. Každá rovinka má veľmi špecifický sklon, ktorému sa dá ľahko „prispôsobiť“. vektor.

Vektor, ktorý je rovnobežný s priamkou, sa nazýva smerový vektor tejto priamky. Je zrejmé, že každá priamka má nekonečný počet smerových vektorov a všetky budú kolineárne (ko-smerové alebo nie - na tom nezáleží).

Smerový vektor označím takto: .

Ale jeden vektor nestačí na vytvorenie priamky, vektor je voľný a nie je viazaný na žiadny bod v rovine. Preto je dodatočne potrebné poznať nejaký bod, ktorý patrí k čiare.

Ako napísať rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora?

Ak je známy určitý bod patriaci do priamky a smerový vektor tejto priamky, potom rovnicu tejto priamky možno zostaviť pomocou vzorca:

Niekedy je tzv kanonická rovnica rovno .

Čo robiť, keď jedna zo súradníc sa rovná nule, pochopíme na praktických príkladoch nižšie. Mimochodom, všimnite si - oboje naraz súradnice sa nemôžu rovnať nule, pretože nulový vektor neurčuje konkrétny smer.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku pomocou bodu a smerového vektora

Riešenie: Zostavme rovnicu priamky pomocou vzorca. V tomto prípade:

Pomocou vlastností proporcie sa zbavíme zlomkov:

A prinášame rovnicu celkový vzhľad:

Odpoveď:

V takýchto príkladoch spravidla nie je potrebné kresliť, ale kvôli pochopeniu:

Na výkrese vidíme začiatočný bod, pôvodný smerový vektor (môže byť vykreslený z akéhokoľvek bodu roviny) a zostrojenú priamku. Mimochodom, v mnohých prípadoch je najvhodnejšie zostrojiť priamku pomocou rovnice s uhlovým koeficientom. Je ľahké transformovať našu rovnicu do formy a ľahko vybrať iný bod na vytvorenie rovnej čiary.

Ako bolo uvedené na začiatku odseku, priama čiara má nekonečne veľa smerových vektorov a všetky sú kolineárne. Napríklad som nakreslil tri takéto vektory: . Nech už zvolíme akýkoľvek smerový vektor, výsledkom bude vždy rovnaká priamka rovnica.

Vytvorme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:

Vyriešenie pomeru:

Vydeľte obe strany -2 a získajte známu rovnicu:

Rovnakým spôsobom môžu záujemcovia testovať vektory alebo akýkoľvek iný kolineárny vektor.

Teraz vyriešme inverzný problém:

Ako nájsť smerový vektor pomocou všeobecnej rovnice priamky?

Veľmi jednoduché:

Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je smerový vektor tejto priamky.

Príklady hľadania smerových vektorov priamych čiar:

Tento príkaz nám umožňuje nájsť iba jeden smerový vektor z nekonečného počtu, ale viac nepotrebujeme. Aj keď v niektorých prípadoch je vhodné znížiť súradnice smerových vektorov:

Rovnica teda špecifikuje priamku, ktorá je rovnobežná s osou a súradnice výsledného smerového vektora sú vhodne delené –2, čím sa získa presne základný vektor ako smerový vektor. Logické.

Podobne rovnica určuje priamku rovnobežnú s osou a vydelením súradníc vektora číslom 5 dostaneme jednotkový vektor ako smerový vektor.

Teraz poďme na to Príklad kontroly 3. Príklad išiel hore, preto pripomínam, že sme v ňom zostavili rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora

Po prvé, pomocou rovnice priamky rekonštruujeme jej smerový vektor: – všetko je v poriadku, dostali sme pôvodný vektor (v niektorých prípadoch môže byť výsledkom kolineárny vektor k pôvodnému, čo je zvyčajne ľahké si všimnúť podľa proporcionality zodpovedajúcich súradníc).

Po druhé, súradnice bodu musia vyhovovať rovnici. Dosadíme ich do rovnice:

Bola dosiahnutá správna rovnosť, čo nás veľmi teší.

Záver: Úloha bola dokončená správne.

Príklad 4

Napíšte rovnicu pre priamku pomocou bodu a smerového vektora

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie. Dôrazne sa odporúča skontrolovať pomocou algoritmu, o ktorom sme práve hovorili. Snažte sa vždy (ak je to možné) skontrolovať koncept. Je hlúpe robiť chyby tam, kde sa im dá 100% vyhnúť.

V prípade, že jedna zo súradníc smerového vektora je nulová, postupujte veľmi jednoducho:

Príklad 5

Riešenie: Vzorec nie je vhodný, pretože menovateľ na pravej strane je nula. Existuje východ! Pomocou vlastností proporcie prepíšeme vzorec do formulára a zvyšok sa valí po hlbokej koľaji:

Odpoveď:

Vyšetrenie:

1) Obnovte smerový vektor čiary:
– výsledný vektor je kolineárny s pôvodným smerovým vektorom.

2) Dosaďte súradnice bodu do rovnice:

Získa sa správna rovnosť

Záver: úloha dokončená správne

Vynára sa otázka, prečo sa obťažovať vzorcom, ak existuje univerzálna verzia, ktorá bude fungovať v každom prípade? Dôvody sú dva. Po prvé, vzorec je vo forme zlomku oveľa lepšie zapamätateľné. A po druhé, nevýhodou univerzálneho vzorca je to riziko zámeny sa výrazne zvyšuje pri dosadzovaní súradníc.

Príklad 6

Napíšte rovnicu pre priamku pomocou bodu a smerového vektora.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Vráťme sa k dvom všadeprítomným bodom:

Ako napísať rovnicu priamky pomocou dvoch bodov?

Ak sú známe dva body, potom rovnicu priamky prechádzajúcej týmito bodmi možno zostaviť pomocou vzorca:

V skutočnosti je to typ vzorca a tu je dôvod, prečo: ak sú známe dva body, potom bude vektor smerovým vektorom danej čiary. Na lekcii Vektory pre figuríny zvažovali sme najjednoduchší problém - ako nájsť súradnice vektora z dvoch bodov. Podľa tohto problému sú súradnice smerového vektora:

Poznámka : body možno „prehodiť“ a použiť vzorec . Takéto riešenie bude ekvivalentné.

Príklad 7

Napíšte rovnicu priamky pomocou dvoch bodov .

Riešenie: Používame vzorec:

Kombinácia menovateľov:

A zamiešajte balíček:

Teraz je čas zbaviť sa zlomkových čísel. V tomto prípade musíte obe strany vynásobiť 6:

Otvorte zátvorky a spomeňte si na rovnicu:

Odpoveď:

Vyšetrenie je zrejmé - súradnice počiatočných bodov musia spĺňať výslednú rovnicu:

1) Dosaďte súradnice bodu:

Skutočná rovnosť.

2) Dosaďte súradnice bodu:

Skutočná rovnosť.

Záver: Rovnica úsečky je napísaná správne.

Ak aspoň jeden bodov nevyhovuje rovnici, hľadajte chybu.

Stojí za zmienku, že grafické overenie je v tomto prípade ťažké, pretože zostrojte priamku a zistite, či k nej body patria , nie je to také jednoduché.

Spomeniem ešte pár technické body riešenia. Možno je v tomto probléme výhodnejšie použiť zrkadlový vzorec a v rovnakých bodoch urob rovnicu:

Menej zlomkov. Ak chcete, môžete vykonať riešenie až do konca, výsledkom by mala byť rovnaká rovnica.

Druhým bodom je pozrieť sa na konečnú odpoveď a zistiť, či sa dá ďalej zjednodušiť? Napríklad, ak dostanete rovnicu , potom je vhodné ju zmenšiť o dve: – rovnica bude definovať rovnakú priamku. To je však už téma na rozhovor relatívnu polohu čiar.

Po prijatí odpovede v príklade 7 som pre každý prípad skontroloval, či sú VŠETKY koeficienty rovnice deliteľné 2, 3 alebo 7. Aj keď najčastejšie k takýmto redukciám dochádza pri riešení.

Príklad 8

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodmi .

Toto je príklad nezávislého riešenia, ktoré vám umožní lepšie pochopiť a precvičiť výpočtové techniky.

Podobne ako v predchádzajúcom odseku: ak je vo vzorci jeden z menovateľov (súradnica smerového vektora) sa stane nulou, potom ho prepíšeme do tvaru . Opäť si všimnite, ako nemotorne a zmätene vyzerá. Nevidím veľký zmysel prinášať praktické príklady, keďže takýto problém sme už vlastne riešili (pozri č. 5, 6).

Priamy normálny vektor (normálny vektor)

čo je normálne? Jednoducho povedané, normálna je kolmá. To znamená, že normálový vektor priamky je kolmý na danú priamku. Je zrejmé, že každá priamka ich má nekonečný počet (rovnako ako smerových vektorov) a všetky normálové vektory priamky budú kolineárne (kolineárne alebo nie, na tom nezáleží).

Manipulácia s nimi bude ešte jednoduchšia ako s vodiacimi vektormi:

Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je normálový vektor tejto priamky.

Ak je potrebné z rovnice opatrne „vytiahnuť“ súradnice smerového vektora, potom je možné súradnice normálového vektora jednoducho „odstrániť“.

Normálny vektor je vždy ortogonálny k smerovému vektoru priamky. Overme si ortogonalitu týchto vektorov pomocou skalárny súčin:

Uvediem príklady s rovnakými rovnicami ako pre smerový vektor:

Je možné zostrojiť rovnicu priamky s jedným bodom a normálovým vektorom? Cítim to vo svojich črevách, je to možné. Ak je známy normálny vektor, potom je smer samotnej priamky jasne definovaný - ide o „tuhú štruktúru“ s uhlom 90 stupňov.

Ako napísať rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom?

Ak je známy určitý bod patriaci do priamky a normálový vektor tejto priamky, potom rovnica tejto priamky je vyjadrená vzorcom:

Tu všetko fungovalo bez zlomkov a iných prekvapení. Toto je náš normálny vektor. Milovať ho. A rešpekt =)

Príklad 9

Napíšte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor čiary.

Riešenie: Používame vzorec:

Všeobecná rovnica priamky bola získaná, skontrolujme:

1) „Odstráňte“ súradnice normálneho vektora z rovnice: – áno, skutočne, pôvodný vektor bol získaný z podmienky (alebo by sa mal získať kolineárny vektor).

2) Skontrolujeme, či bod spĺňa rovnicu:

Skutočná rovnosť.

Keď sa presvedčíme, že rovnica je zložená správne, dokončíme druhú, ľahšiu časť úlohy. Vyberieme smerový vektor priamky:

Odpoveď:

Na obrázku vyzerá situácia takto:

Na účely školenia podobná úloha na samostatné riešenie:

Príklad 10

Napíšte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor čiary.

Záverečná časť hodiny bude venovaná menej bežným, ale aj dôležitým typom rovníc priamky v rovine

Rovnica priamky v segmentoch.
Rovnica priamky v parametrickom tvare

Rovnica priamky v segmentoch má tvar , kde sú nenulové konštanty. Niektoré typy rovníc nemôžu byť reprezentované v tejto forme, napríklad priama úmernosť (keďže voľný člen sa rovná nule a neexistuje spôsob, ako dostať jeden na pravú stranu).

Toto je, obrazne povedané, „technický“ typ rovnice. Bežnou úlohou je reprezentovať všeobecnú rovnicu priamky ako rovnicu priamky v segmentoch. Ako je to pohodlné? Rovnica priamky v segmentoch umožňuje rýchlo nájsť priesečníky priamky so súradnicovými osami, čo môže byť veľmi dôležité v niektorých úlohách vyššej matematiky.

Nájdite priesečník priamky s osou. Zmeníme „y“ na nulu a rovnica bude mať tvar . Požadovaný bod sa získa automaticky: .

To isté s osou – bod, v ktorom priamka pretína ordinátovú os.

Lekcia zo série „Geometrické algoritmy“

Dobrý deň, milý čitateľ!

Dnes sa začneme učiť algoritmy súvisiace s geometriou. Faktom je, že v počítačovej vede existuje pomerne veľa problémov s olympiádou súvisiacich s výpočtovou geometriou a riešenie takýchto problémov často spôsobuje ťažkosti.

V priebehu niekoľkých lekcií sa budeme zaoberať niekoľkými základnými podúlohami, na ktorých je založené riešenie väčšiny problémov výpočtovej geometrie.

V tejto lekcii vytvoríme program pre nájdenie rovnice priamky, prechádzajúci daný dva body. Na riešenie geometrických problémov potrebujeme určité znalosti výpočtovej geometrie. Časť hodiny budeme venovať ich spoznávaniu.

Pohľady z výpočtovej geometrie

Výpočtová geometria je oblasť počítačovej vedy, ktorá študuje algoritmy na riešenie geometrických problémov.

Počiatočnými údajmi pre takéto problémy môže byť množina bodov v rovine, množina segmentov, mnohouholník (špecifikovaný napríklad zoznamom jeho vrcholov v smere hodinových ručičiek) atď.

Výsledkom môže byť buď odpoveď na nejakú otázku (napríklad patrí bod do segmentu, či sa dva segmenty pretínajú, ...), alebo nejaký geometrický objekt (napríklad najmenší konvexný mnohouholník, spájajúce dané body, oblasť polygónu atď.).

Problémy výpočtovej geometrie budeme uvažovať iba v rovine a iba v karteziánskom súradnicovom systéme.

Vektory a súradnice

Na uplatnenie metód výpočtovej geometrie je potrebné preložiť geometrické obrázky do reči čísel. Budeme predpokladať, že rovina má kartézsky súradnicový systém, v ktorom sa smer otáčania proti smeru hodinových ručičiek nazýva kladný.

Geometrické objekty teraz dostávajú analytický výraz. Na určenie bodu teda stačí uviesť jeho súradnice: dvojicu čísel (x; y). Segment je možné určiť zadaním súradníc jeho koncov, priamku je možné určiť zadaním súradníc dvojice jeho bodov.

Ale naším hlavným nástrojom na riešenie problémov budú vektory. Dovoľte mi preto pripomenúť niekoľko informácií o nich.

Úsečka AB, čo má pointu A sa považuje za začiatok (bod aplikácie) a bod IN– koniec, nazývaný vektor AB a označte buď , alebo tučným písmom malé písmeno, Napríklad A .

Na označenie dĺžky vektora (teda dĺžky zodpovedajúceho segmentu) použijeme symbol modulu (napríklad ).

Ľubovoľný vektor bude mať súradnice rovné rozdielu medzi zodpovedajúcimi súradnicami jeho konca a začiatku:

,

tu sú body A A B mať súradnice resp.

Na výpočty použijeme koncept orientovaný uhol, teda uhol zohľadňujúci vzájomného usporiadania vektory.

Orientovaný uhol medzi vektormi a A b kladné, ak rotácia pochádza z vektora a na vektor b sa vykonáva v pozitívnom smere (proti smeru hodinových ručičiek) av druhom prípade negatívne. Pozri obr. 1a, obr. 1b. Hovorí sa tiež, že dvojica vektorov a A b pozitívne (negatívne) orientované.

Hodnota orientovaného uhla teda závisí od poradia, v ktorom sú vektory uvedené, a môže nadobúdať hodnoty v intervale.

Mnoho problémov vo výpočtovej geometrii využíva koncept vektorových (šikmých alebo pseudoskalárnych) súčinov vektorov.

Vektorový súčin vektorov a a b je súčinom dĺžok týchto vektorov a sínusu uhla medzi nimi:

.

Krížový súčin vektorov v súradniciach:

Výraz vpravo je determinant druhého rádu:

Na rozdiel od definície uvedenej v analytickej geometrii ide o skalár.

Znamienko vektorového súčinu určuje vzájomnú polohu vektorov:

a A b pozitívne orientovaný.

Ak je hodnota , potom pár vektorov a A b negatívne orientované.

Krížový súčin nenulových vektorov je nula vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne ( ). To znamená, že ležia na rovnakej línii alebo na rovnobežných líniách.

Pozrime sa na niekoľko jednoduchých problémov, ktoré sú nevyhnutné pri riešení zložitejších.

Zo súradníc dvoch bodov určme rovnicu priamky.

Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva rôzne body určené ich súradnicami.

Nech sú na priamke uvedené dva nezhodné body: so súradnicami (x1; y1) a so súradnicami (x2; y2). Podľa toho má vektor so začiatkom v bode a koncom v bode súradnice (x2-x1, y2-y1). Ak je P(x, y) ľubovoľný bod na našej priamke, súradnice vektora sa rovnajú (x-x1, y – y1).

Pomocou vektorového súčinu možno podmienku kolinearity vektorov zapísať takto:

Tie. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Poslednú rovnicu prepíšeme takto:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Takže priamka môže byť špecifikovaná rovnicou v tvare (1).

Úloha 1. Sú uvedené súradnice dvoch bodov. Nájdite jeho vyjadrenie v tvare ax + by + c = 0.

V tejto lekcii sme sa naučili nejaké informácie o výpočtovej geometrii. Riešili sme úlohu nájsť rovnicu priamky zo súradníc dvoch bodov.

V ďalšej lekcii si vytvoríme program na nájdenie priesečníka dvoch priamok daných našimi rovnicami.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

Navyše konštanty A a B nie sú súčasne rovné nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštanta A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – priamka prechádza počiatkom

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - priamka rovnobežná s osou Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – priamka rovnobežná s osou Oy

B = C = 0, A ≠0 – priamka sa zhoduje s osou Oy

A = C = 0, B ≠0 – priamka sa zhoduje s osou Ox

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.

Rovnica priamky z bodu a normálového vektora

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku danú rovnicou Ax + By + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1, 2) kolmým na (3, -1).

Riešenie. Pri A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x – y + C = 0. Aby sme našli koeficient C, dosadíme do výsledného výrazu súradnice daného bodu A. Dostaneme: 3 – 2 + C = 0, teda C = -1 . Spolu: požadovaná rovnica: 3x – y – 1 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi

Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi je:

Ak sa niektorý z menovateľov rovná nule, príslušný čitateľ by sa mal rovnať nule. Rovnica riadku napísaná vyššie je v rovine zjednodušená:

ak x 1 ≠ x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2.

Zlomok = k sa nazýva sklon rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky z bodu a sklonu

Ak súčet Ax + Bu + C = 0, vedie k tvaru:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonomk.

Rovnica priamky z bodu a smerového vektora

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať definíciu priamky cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého zložky spĺňajú podmienku A α 1 + B α 2 = 0, sa nazýva smerovací vektor priamky.

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. V súlade s definíciou musia koeficienty spĺňať podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom rovnica priamky má tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0. pre x = 1, y = 2 dostaneme C/ A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

Rovnica priamky v segmentoch

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení –С dostaneme: alebo

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient A je súradnica priesečníka priamky s osou Ox a b– súradnica priesečníka priamky s osou Oy.

Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky x – y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v úsečkách.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky

Ak sa obe strany rovnice Ax + By + C = 0 vynásobia číslom ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normálna rovnica priamky. Znamienko ± normalizačného faktora sa musí zvoliť tak, aby μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x – 5y – 65 = 0. Pre túto priamku je potrebné napísať rôzne typy rovníc.

rovnica tejto priamky v segmentoch:

rovnica tejto priamky so sklonom: (delíme 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom súradníc.

Príklad. Priamka odreže rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Napíšte rovnicu priamky, ak plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi je 8 cm2.

Riešenie. Rovnica priamky má tvar: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Príklad. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom A(-2, -3) a počiatkom.

Riešenie. Rovnica priamky je: kde xi = yi = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Uhol medzi rovnými čiarami v rovine

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako

.

Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2. Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/ k 2.

Veta.Čiary Ax + Bу + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú rovnobežné, keď sú koeficienty A 1 = λA, B 1 = λB úmerné. Ak aj C 1 = λC, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku

Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako

.

Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

(1)

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta bola dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

ki = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.

Riešenie. Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.

Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.

Riešenie. Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b. k = . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .

Odpoveď: 3 x + 2 roky – 34 = 0.