Riadky druhého rádu.
Elipsa a jej kanonická rovnica. Kruh

Po dôkladnom preštudovaní priamky v rovine Pokračujeme v štúdiu geometrie dvojrozmerného sveta. Stávky sú dvojnásobné a pozývam vás na návštevu malebnej galérie elips, hyperbol, parabol, ktoré sú typickými predstaviteľmi linky druhého rádu. Exkurzia sa už začala, a to prvá stručná informácia o celej výstave na rôznych poschodiach múzea:

Pojem algebraickej priamky a jej poradie

Čiara na rovine sa nazýva algebraické, ak v afinný súradnicový systém jeho rovnica má tvar , kde je polynóm pozostávajúci z členov tvaru ( – reálne číslo, – nezáporné celé čísla).

Ako vidíte, rovnica algebraickej priamky neobsahuje sínus, kosínus, logaritmy a iné funkčné beau monde. Sú tam len X a Y nezáporné celé čísla stupňa.

Poradie riadkov rovná maximálnej hodnote pojmov v ňom zahrnutých.

Podľa zodpovedajúcej vety pojem algebraickej čiary, ako aj jej poradie, nezávisia od výberu afinný súradnicový systém, preto pre jednoduchosť existencie predpokladáme, že všetky nasledujúce výpočty prebiehajú v Kartézske súradnice.

Všeobecná rovnica riadok druhého rádu má tvar , kde – ľubovoľné reálne čísla (Je zvykom písať to s faktorom dva) a koeficienty sa zároveň nerovnajú nule.

Ak , potom sa rovnica zjednoduší na , a ak sa koeficienty zároveň nerovnajú nule, tak je to presne toto všeobecná rovnica „plochej“ čiary, ktorý predstavuje riadok prvého poriadku.

Mnohí pochopili význam nových pojmov, ale napriek tomu, aby sme 100% asimilovali materiál, strčíme prsty do zásuvky. Ak chcete určiť poradie riadkov, musíte vykonať iteráciu všetky termíny jeho rovnice a nájdite pre každú z nich súčet stupňov prichádzajúce premenné.

Napríklad:

výraz obsahuje „x“ na 1. mocninu;
výraz obsahuje „Y“ na 1. mocnine;
V člene nie sú žiadne premenné, takže súčet ich mocnín je nulový.

Teraz poďme zistiť, prečo rovnica definuje čiaru druhý objednať:

výraz obsahuje „x“ na 2. mocnine;
sčítanec má súčet mocnín premenných: 1 + 1 = 2;
výraz obsahuje „Y“ na 2. mocnine;
všetky ostatné výrazy - menej stupňa.

Maximálna hodnota: 2

Ak do našej rovnice dodatočne pridáme povedzme, potom to už určí riadok tretieho rádu. Je zrejmé, že všeobecný tvar čiarovej rovnice 3. rádu obsahuje „úplnú množinu“ členov, pričom súčet mocnin premenných sa rovná trom:
, kde koeficienty sa zároveň nerovnajú nule.

Ak pridáte jeden alebo viac vhodných výrazov, ktoré obsahujú , potom už budeme hovoriť o riadky 4. rádu, atď.

S algebraickými čiarami 3., 4. a vyšších rádov sa budeme musieť stretnúť viackrát, najmä pri oboznamovaní sa s polárny súradnicový systém.

Vráťme sa však k všeobecnej rovnici a spomeňme si na jej najjednoduchšie školské variácie. Ako príklad sa ponúka parabola, ktorej rovnica sa dá ľahko zredukovať celkový vzhľad a hyperbola s ekvivalentnou rovnicou . Nie všetko je však také hladké...

Značná nevýhoda všeobecná rovnica je, že takmer vždy nie je jasné, ktorú líniu nastavuje. Ani v tom najjednoduchšom prípade si okamžite neuvedomíte, že ide o hyperbolu. Takéto rozloženia sú dobré iba na maškaráde, takže v priebehu analytickej geometrie uvažujeme typická úloha uvedenie priamkovej rovnice 2. rádu do kanonického tvaru.

Aký je kanonický tvar rovnice?

Toto je všeobecne akceptované štandardný pohľad rovnice, kedy je v priebehu niekoľkých sekúnd jasné, aký geometrický objekt definuje. Okrem toho je kanonická forma veľmi vhodná na riešenie mnohých praktických problémov. Tak napríklad podľa kanonická rovnica „plochý“ rovný, po prvé je hneď jasné, že ide o priamku a po druhé, bod, ktorý k nej patrí, a smerový vektor sú ľahko viditeľné.

Je zrejmé, že akékoľvek riadok 1. poriadku je priamka. Na druhom poschodí nás už nečaká strážca, ale oveľa rozmanitejšia spoločnosť deviatich sôch:

Klasifikácia línií druhého rádu

Pomocou špeciálneho súboru akcií sa každá rovnica riadku druhého rádu zredukuje na jednu z nasledujúcich foriem:

(a sú kladné reálne čísla)

1) – kanonická rovnica elipsy;

2) – kanonická rovnica hyperboly;

3) – kanonická rovnica paraboly;

4) – imaginárny elipsa;

5) – pár pretínajúcich sa čiar;

6) – pár imaginárny pretínajúce sa čiary (s jedným platným priesečníkom na začiatku);

7) – pár rovnobežných čiar;

8) – pár imaginárny rovnobežné čiary;

9) – pár zhodných čiar.

Niektorí čitatelia môžu mať dojem, že zoznam je neúplný. Napríklad v bode č.7 rovnica určuje dvojicu priamy, rovnobežné s osou a vyvstáva otázka: kde je rovnica, ktorá určuje priamky rovnobežné s osou? Odpovedz nepovažuje sa za kanonické. Rovné čiary predstavujú rovnaký štandardný prípad otočený o 90 stupňov a dodatočný záznam v klasifikácii je nadbytočný, keďže neprináša nič zásadne nové.

Je ich teda deväť a iba deväť rôzne druhy linky 2. rádu, no v praxi sa najčastejšie vyskytujú elipsa, hyperbola a parabola.

Najprv sa pozrime na elipsu. Ako obvykle sa sústredím na tie body, ktoré majú veľký význam na riešenie problémov a ak potrebujete podrobné odvodenie vzorcov, dôkazy viet, pozrite si napríklad učebnicu Bazyleva/Atanasjana alebo Aleksandrova.

Elipsa a jej kanonická rovnica

Pravopis... prosím neopakujte chyby niektorých používateľov Yandexu, ktorí sa zaujímajú o „ako postaviť elipsu“, „rozdiel medzi elipsou a oválom“ a „excentricita elipsy“.

Kanonická rovnica elipsy má tvar , kde sú kladné reálne čísla a . Samotnú definíciu elipsy sformulujem neskôr, ale teraz je čas dať si pauzu od rozprávania a vyriešiť bežný problém:

Ako postaviť elipsu?

Áno, vezmi si to a nakresli. Úloha sa vyskytuje často a významná časť študentov sa s kresbou nevyrovná správne:

Príklad 1

Zostrojte elipsu, daný rovnicou

Riešenie: Najprv privedieme rovnicu do kanonickej podoby:

Prečo priniesť? Jednou z výhod kanonickej rovnice je, že vám umožňuje okamžite určiť vrcholy elipsy, ktoré sa nachádzajú v bodoch. Je ľahké vidieť, že súradnice každého z týchto bodov vyhovujú rovnici.

V tomto prípade :


Segment čiary volal hlavná os elipsa;
úsečka – vedľajšej osi;
číslo volal polohlavný hriadeľ elipsa;
číslo – vedľajšej osi.
v našom príklade: .

Ak si chcete rýchlo predstaviť, ako konkrétna elipsa vyzerá, stačí sa pozrieť na hodnoty „a“ ​​a „be“ jej kanonickej rovnice.

Všetko je v poriadku, elegantné a krásne, ale je tu jedna výhrada: kresbu som urobil pomocou programu. A môžete urobiť kresbu pomocou akejkoľvek aplikácie. V drsnej realite je však na stole károvaný papier a na rukách nám tancujú myši v kruhoch. Ľudia s umeleckým talentom sa, samozrejme, môžu hádať, ale máte aj myši (hoci menšie). Nie je zbytočné, že ľudstvo vynašlo pravítko, kompas, uhlomer a ďalšie jednoduché zariadenia na kreslenie.

Z tohto dôvodu je nepravdepodobné, že budeme schopní presne nakresliť elipsu, ak poznáme iba vrcholy. Je v poriadku, ak je elipsa malá, napríklad s poloosami. Prípadne môžete zmenšiť mierku a podľa toho aj rozmery výkresu. Vo všeobecnosti je však veľmi žiaduce nájsť ďalšie body.

Existujú dva prístupy ku konštrukcii elipsy – geometrický a algebraický. Nemám rád konštrukciu pomocou kružidla a pravítka, pretože algoritmus nie je najkratší a kresba je výrazne neprehľadná. V prípade núdze si prosím pozrite učebnicu, ale v skutočnosti je oveľa racionálnejšie použiť nástroje algebry. Z rovnice elipsy v návrhu rýchlo vyjadríme:

Rovnica sa potom rozdelí na dve funkcie:
– definuje horný oblúk elipsy;
– definuje spodný oblúk elipsy.

Elipsa definovaná kanonickou rovnicou je symetrická vzhľadom na súradnicové osi, ako aj vzhľadom na počiatok. A to je skvelé – symetria je takmer vždy predzvesťou darčekov zadarmo. Očividne stačí riešiť 1. súradnicovú štvrtinu, takže funkciu potrebujeme . Vyvoláva to otázku hľadania ďalších bodov s úsečkami . Ťuknime na tri SMS správy na kalkulačke:

Samozrejme, je tiež pekné, že ak sa vo výpočtoch urobí vážna chyba, okamžite sa to prejaví počas výstavby.

Označme body na výkrese (červená), symetrické body na zvyšných oblúkoch ( Modrá farba) a opatrne prepojte celú spoločnosť čiarou:


Počiatočný náčrt je lepšie nakresliť veľmi tenko a až potom zatlačte ceruzkou. Výsledkom by mala byť celkom slušná elipsa. Mimochodom, chceli by ste vedieť, čo je to za krivku?

Definícia elipsy. Ohniská elipsy a excentricita elipsy

Elipsa je špeciálny prípad oválu. Slovo „ovál“ by sa nemalo chápať vo filistínskom zmysle („dieťa nakreslilo ovál“ atď.). Ide o matematický pojem, ktorý má podrobnú formuláciu. Účel túto lekciu nie je úvahou o teórii oválov a ich rôznych typoch, ktorým sa v štandardnom kurze analytickej geometrie prakticky nevenuje pozornosť. A v súlade s aktuálnejšími potrebami okamžite prejdeme k prísnej definícii elipsy:

Elipsa je množina všetkých bodov roviny, súčet vzdialeností ku každému z dvoch daných bodov, tzv triky elipsa - je konštantná veličina, číselne rovná dĺžke hlavná os tejto elipsy: .
V tomto prípade sú vzdialenosti medzi ohniskami menšie ako táto hodnota: .

Teraz bude všetko jasnejšie:

Predstavte si, že modrá bodka „cestuje“ pozdĺž elipsy. Takže bez ohľadu na to, aký bod elipsy vezmeme, súčet dĺžok segmentov bude vždy rovnaký:

Uistime sa, že v našom príklade je hodnota súčtu skutočne rovná ôsmim. V duchu umiestnite bod „um“ na pravý vrchol elipsy a potom: , čo je potrebné skontrolovať.

Ďalší spôsob kreslenia je založený na definícii elipsy. Vyššia matematika je niekedy príčinou napätia a stresu, takže je čas na ďalšiu vybíjanú. Vezmite prosím papier Whatman alebo veľký hárok kartónu a pripevnite ho na stôl dvoma klincami. To budú triky. Na vyčnievajúce hlavičky nechtov priviažte zelenú niť a ceruzkou ju potiahnite až na doraz. Tuha ceruzky skončí v určitom bode, ktorý patrí elipse. Teraz začnite pohybovať ceruzkou pozdĺž kúska papiera, pričom držte zelenú niť napnutú. Pokračujte v procese, kým sa nevrátite na východiskový bod... skvelé... kresbu môže skontrolovať lekár a učiteľ =)

Ako nájsť ohniská elipsy?

Vo vyššie uvedenom príklade som zobrazil „hotové“ ohniská a teraz sa naučíme, ako ich extrahovať z hĺbky geometrie.

Ak je elipsa daná kanonickou rovnicou, potom jej ohniská majú súradnice , kde to je vzdialenosť od každého ohniska k stredu symetrie elipsy.

Výpočty sú jednoduchšie dusená repa:

! Konkrétne súradnice ohnísk nemožno identifikovať s významom „tse“! Opakujem, že toto je VZDIALENOSŤ od každého ohniska do stredu(ktorý vo všeobecnom prípade nemusí byť umiestnený presne v mieste pôvodu).
A preto vzdialenosť medzi ohniskami tiež nemôže byť viazaná na kanonickú polohu elipsy. Inými slovami, elipsu je možné presunúť na iné miesto a hodnota zostane nezmenená, pričom ohniská prirodzene zmenia svoje súradnice. Berte to prosím do úvahy pri ďalšom skúmaní témy.

Excentricita elipsy a jej geometrický význam

Excentricita elipsy je pomer, ktorý môže nadobúdať hodnoty v rozsahu .

V našom prípade:

Poďme zistiť, ako závisí tvar elipsy od jej excentricity. Pre to opraviť ľavý a pravý vrchol uvažovanej elipsy, to znamená, že hodnota hlavnej poloosi zostane konštantná. Potom bude mať vzorec excentricity tvar: .

Začnime približovať hodnotu excentricity k jednote. To je možné len vtedy, ak . Čo to znamená? ...pamätajte na triky . To znamená, že ohniská elipsy sa budú „pohybovať“ pozdĺž osi x k bočným vrcholom. A keďže „zelené segmenty nie sú gumené“, elipsa sa nevyhnutne začne sploštiť a zmení sa na tenšiu a tenšiu klobásu navlečenú na osi.

teda čím bližšie je hodnota excentricity elipsy k jednote, tým je elipsa predĺžená.

Teraz modelujme opačný proces: ohniská elipsy kráčali k sebe, blížili sa k stredu. To znamená, že hodnota „ce“ je čoraz menšia, a preto excentricita smeruje k nule: .
V tomto prípade sa „zelené segmenty“ naopak „preplnia“ a začnú „tlačiť“ elipsu nahor a nadol.

teda Čím je hodnota excentricity bližšie k nule, tým je elipsa podobná... pozrite sa na obmedzujúci prípad, keď sa ohniská úspešne zjednotia na začiatku:

Kruh je špeciálny prípad elipsy

V prípade rovnosti poloosí má totiž kanonická rovnica elipsy tvar , ktorý sa reflexne transformuje na rovnicu kruhu so stredom v počiatku polomeru „a“, dobre známu zo školy.

V praxi sa častejšie používa zápis s „hovoriacim“ písmenom „er“: . Polomer je dĺžka segmentu, pričom každý bod kruhu je vzdialený od stredu o polomer.

Všimnite si, že definícia elipsy zostáva úplne správna: ohniská sa zhodujú a súčet dĺžok zhodných segmentov pre každý bod na kruhu je konštantný. Keďže vzdialenosť medzi ohniskami je , potom excentricita akéhokoľvek kruhu je nulová.

Zostrojenie kruhu je jednoduché a rýchle, stačí použiť kružidlo. Niekedy je však potrebné zistiť súradnice niektorých jej bodov, v tomto prípade ideme známou cestou - rovnicu prenesieme do veselého Matanova tvaru:

– funkcia horného polkruhu;
– funkcia spodného polkruhu.

Po ktorom nájdeme požadované hodnoty, odlíšiť, integrovať a robiť iné dobré veci.

Článok je, samozrejme, len orientačný, ale ako môžete žiť vo svete bez lásky? Kreatívna úloha pre samostatné riešenie

Príklad 2

Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak je známe jedno z jej ohnísk a vedľajšia os (stred je v počiatku). Nájdite vrcholy, ďalšie body a nakreslite čiaru na výkrese. Vypočítajte excentricitu.

Riešenie a kreslenie na konci hodiny

Pridajme akciu:

Otočiť a paralelne preložiť elipsu

Vráťme sa ku kanonickej rovnici elipsy, totiž k stavu, ktorého záhada trápi zvedavé mysle už od prvej zmienky o tejto krivke. Tak sme sa pozreli na elipsu , ale nie je možné v praxi rovnicu splniť ? Napokon, aj tu sa však zdá, že ide o elipsu!

Tento druh rovnice je zriedkavý, ale vyskytuje sa. A vlastne definuje elipsu. Poďme demystifikovať:

V dôsledku konštrukcie bola získaná naša natívna elipsa otočená o 90 stupňov. teda - Toto nekanonický záznam elipsa . Záznam!- rovnica nedefinuje žiadnu inú elipsu, keďže na osi nie sú žiadne body (ohniská), ktoré by vyhovovali definícii elipsy.

Definícia. Elipsa je geometrické miesto bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností každého z nich od dvoch daných bodov tejto roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota (za predpokladu, že táto hodnota je väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami) .

Označme ohniská vzdialenosťou medzi nimi - , a konštantnú hodnotu rovnajúcu sa súčtu vzdialeností od každého bodu elipsy k ohniskám (podľa podmienky).

Zostrojme kartézsky súradnicový systém tak, že ohniská sú na osi x a počiatok súradníc sa zhoduje so stredom segmentu (obr. 44). Potom budú mať ohniská nasledujúce súradnice: ľavé ohnisko a pravé ohnisko. Odvoďme rovnicu elipsy v súradnicovom systéme, ktorý sme si vybrali. Na tento účel zvážte ľubovoľný bod elipsy. Podľa definície elipsy sa súčet vzdialeností od tohto bodu k ohniskám rovná:

Pomocou vzorca pre vzdialenosť medzi dvoma bodmi teda získame

Aby sme túto rovnicu zjednodušili, napíšeme ju vo forme

Potom dostaneme druhú mocninu oboch strán rovnice

alebo po zrejmých zjednodušeniach:

Teraz znova odmocníme obe strany rovnice, potom máme:

alebo po rovnakých transformáciách:

Keďže podľa podmienky v definícii elipsy je číslo kladné. Predstavme si notáciu

Potom bude mať rovnica nasledujúci tvar:

Podľa definície elipsy súradnice ktoréhokoľvek z jej bodov spĺňajú rovnicu (26). Ale rovnica (29) je dôsledkom rovnice (26). V dôsledku toho jej vyhovujú aj súradnice ktoréhokoľvek bodu elipsy.

Dá sa ukázať, že súradnice bodov, ktoré neležia na elipse, nespĺňajú rovnicu (29). Rovnica (29) je teda rovnicou elipsy. Nazýva sa to kanonická rovnica elipsy.

Stanovme tvar elipsy pomocou jej kanonickej rovnice.

V prvom rade si dajme pozor na to, že táto rovnica obsahuje len párne mocniny x a y. To znamená, že ak niektorý bod patrí do elipsy, potom obsahuje aj bod symetrický s bodom vzhľadom na os x a bod symetrický s bodom vzhľadom na os súradnice. Elipsa má teda dve na seba kolmé osi súmernosti, ktoré sa v nami zvolenom súradnicovom systéme zhodujú so súradnicovými osami. Osi symetrie elipsy budeme odteraz nazývať osami elipsy a ich priesečník stredom elipsy. Os, na ktorej sa nachádzajú ohniská elipsy (v tomto prípade os x), sa nazýva ohnisková os.

Najprv určme tvar elipsy v prvej štvrtine. Aby sme to dosiahli, vyriešme rovnicu (28) pre y:

Je zrejmé, že tu , keďže y nadobúda imaginárne hodnoty. Pri zvyšovaní z 0 na a klesá y z b na 0. Časť elipsy ležiaca v prvej štvrtine bude oblúk ohraničený bodmi B (0; b) a ležiaci na súradnicových osiach (obr. 45). Teraz pomocou symetrie elipsy dospejeme k záveru, že elipsa má tvar znázornený na obr. 45.

Priesečníky elipsy s osami sa nazývajú vrcholy elipsy. Zo symetrie elipsy vyplýva, že okrem vrcholov má elipsa ešte dva vrcholy (pozri obr. 45).

Segmenty a spojovacie protiľahlé vrcholy elipsy, ako aj ich dĺžky, sa nazývajú hlavná a vedľajšia os elipsy. Čísla a a b sa nazývajú hlavné a vedľajšie poloosi elipsy.

Pomer polovice vzdialenosti medzi ohniskami k hlavnej poloosi elipsy sa nazýva excentricita elipsy a zvyčajne sa označuje písmenom:

Pretože je excentricita elipsy menšia ako jednota: Excentricita charakterizuje tvar elipsy. Zo vzorca (28) totiž vyplýva, že čím menšia je excentricita elipsy, tým menej sa jej vedľajšia os b líši od hlavnej osi a, t.j. čím je elipsa menej pretiahnutá (pozdĺž ohniskovej osi).

V obmedzujúcom prípade je výsledkom kružnica s polomerom a: , alebo . Zároveň sa zdá, že ohniská elipsy sa spájajú v jednom bode - v strede kruhu. Excentricita kruhu je nula:

Spojenie medzi elipsou a kružnicou možno zistiť z iného uhla pohľadu. Ukážme, že elipsu s poloosami a a b môžeme považovať za priemet kružnice s polomerom a.

Uvažujme dve roviny P a Q, ktoré medzi sebou zvierajú taký uhol a, pre ktorý (obr. 46). Zostrojme súradnicový systém v rovine P a v rovine Q systém Oxy so spoločným počiatkom O a spoločnou osou úsečky, ktorá sa zhoduje s priesečníkom rovín. Uvažujme kruh v rovine P

so stredom v počiatku a polomerom rovným a. Nech je ľubovoľne zvolený bod na kružnici, nech je jej priemet do roviny Q a nech je priemet bodu M na os Ox. Ukážme, že bod leží na elipse s poloosami a a b.

Krivky druhého rádu na rovine sú priamky definované rovnicami, v ktorých sú premenné súradnice X A r sú obsiahnuté v druhom stupni. Patria sem elipsa, hyperbola a parabola.

Všeobecný tvar rovnice krivky druhého rádu je nasledujúci:

Kde A B C D E F- čísla a aspoň jeden z koeficientov A, B, C nerovná sa nule.

Pri riešení úloh s krivkami druhého rádu sa najčastejšie uvažuje s kanonickými rovnicami elipsy, hyperboly a paraboly. Je ľahké prejsť k nim zo všeobecných rovníc, tomu bude venovaný príklad 1 úloh s elipsami.

Elipsa daná kanonickou rovnicou

Definícia elipsy. Elipsa je množina všetkých bodov roviny, pre ktoré je súčet vzdialeností k bodom nazývaným ohniská konštantnou hodnotou väčšou ako vzdialenosť medzi ohniskami.

Ohniská sú znázornené ako na obrázku nižšie.

Kanonická rovnica elipsy má tvar:

Kde a A b (a > b) - dĺžky poloosi, t.j. polovica dĺžok segmentov odrezaných elipsou na súradnicových osiach.

Priamka prechádzajúca ohniskami elipsy je jej osou symetrie. Ďalšou osou symetrie elipsy je priamka prechádzajúca stredom úsečky kolmej na túto úsečku. Bodka O priesečník týchto čiar slúži ako stred symetrie elipsy alebo jednoducho stred elipsy.

Os x elipsy sa pretína v bodoch ( a, O) A (- a, O) a zvislá os je v bodoch ( b, O) A (- b, O). Tieto štyri body sa nazývajú vrcholy elipsy. Úsek medzi vrcholmi elipsy na osi x sa nazýva jej hlavná os a na osi y - vedľajšia os. Ich segmenty od vrchu po stred elipsy sa nazývajú poloosi.

Ak a = b, potom rovnica elipsy nadobudne tvar . Toto je rovnica kruhu s polomerom a, a kruh je špeciálny prípad elipsy. Elipsu možno získať z kruhu s polomerom a, ak ho stlačíte do a/b krát pozdĺž osi Oj .

Príklad 1 Skontrolujte, či je čiara daná všeobecnou rovnicou , elipsa.

Riešenie. Transformujeme všeobecnú rovnicu. Uplatňujeme prenos voľného termínu na pravá strana, delením rovnice člen po člen rovnakým číslom a zmenšením zlomkov:

Odpoveď. Rovnica získaná ako výsledok transformácií je kanonickou rovnicou elipsy. Preto je táto čiara elipsa.

Príklad 2 Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej poloosi sú 5 a 4.

Riešenie. Pozeráme sa na vzorec pre kanonickú rovnicu elipsy a náhrady: hlavná poloos je a= 5, vedľajšia os je b= 4. Získame kanonickú rovnicu elipsy:

Body a , označené zelenou farbou na hlavnej osi, kde

sa volajú triky.

volal výstrednosť elipsa.

Postoj b/a charakterizuje „sploštenosť“ elipsy. Čím menší je tento pomer, tým viac je elipsa pretiahnutá pozdĺž hlavnej osi. Stupeň predĺženia elipsy sa však častejšie vyjadruje prostredníctvom excentricity, ktorej vzorec je uvedený vyššie. Pre rôzne elipsy sa excentricita mení od 0 do 1, pričom vždy zostáva menšia ako jednota.

Príklad 3 Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak vzdialenosť medzi ohniskami je 8 a hlavnou osou je 10.

Riešenie. Urobme niekoľko jednoduchých záverov:

Ak sa hlavná os rovná 10, potom jej polovica, t.j. poloos a = 5 ,

Ak je vzdialenosť medzi ohniskami 8, potom číslo c ohniskových súradníc sa rovná 4.

Nahradíme a vypočítame:

Výsledkom je kanonická rovnica elipsy:

Príklad 4. Napíšte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej hlavná os je 26 a jej excentricita je .

Riešenie. Ako vyplýva z veľkosti hlavnej osi a rovnice excentricity, hlavná poloos elipsy a= 13. Z rovnice excentricity vyjadríme číslo c, potrebné na výpočet dĺžky vedľajšej poloosi:

.

Vypočítame druhú mocninu dĺžky vedľajšej poloosi:

Zostavíme kanonickú rovnicu elipsy:

Príklad 5. Určte ohniská elipsy dané kanonickou rovnicou.

Riešenie. Nájdite číslo c, ktorý určuje prvé súradnice ohnísk elipsy:

.

Dostaneme ohniská elipsy:

Príklad 6. Ohniská elipsy sú umiestnené na osi Vôl symetrické podľa pôvodu. Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak:

1) vzdialenosť medzi ohniskami je 30 a hlavná os je 34

2) vedľajšia os 24 a jedno z ohniskov je v bode (-5; 0)

3) excentricita a jedno z ohniskov je v bode (6; 0)

Pokračujme v riešení problémov elipsy spoločne

Ak je ľubovoľný bod elipsy (označený zelenou farbou v pravej hornej časti elipsy na výkrese) a je to vzdialenosť k tomuto bodu od ohniska, potom vzorce pre vzdialenosti sú nasledovné:

Pre každý bod patriaci do elipsy je súčet vzdialeností od ohnísk konštantnou hodnotou rovnajúcou sa 2 a.

Čiary definované rovnicami

sa volajú riaditeľky elipsa (na výkrese sú pozdĺž okrajov červené čiary).

Z dvoch rovníc vyššie vyplýva, že pre ktorýkoľvek bod elipsy

,

kde a sú vzdialenosti tohto bodu od smerových osí a .

Príklad 7. Daná elipsa. Napíšte rovnicu pre jeho smerové čiary.

Riešenie. Pozrieme sa na priamkovú rovnicu a zistíme, že potrebujeme nájsť excentricitu elipsy, t.j. Máme na to všetky údaje. Vypočítame:

.

Získame rovnicu osí elipsy:

Príklad 8. Zostavte kanonickú rovnicu elipsy, ak jej ohniská sú body a smerové čiary sú priamky.

Elipsa je geometrické miesto bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom F_1 a F_2 je konštantná hodnota (2a) väčšia ako vzdialenosť (2c) medzi týmito bodmi. dané body(Obr. 3.36, a). Táto geometrická definícia vyjadruje ohnisková vlastnosť elipsy.

Ohnisková vlastnosť elipsy

Body F_1 a F_2 sa nazývajú ohniská elipsy, vzdialenosť medzi nimi 2c=F_1F_2 je ohnisková vzdialenosť, stred O segmentu F_1F_2 je stred elipsy, číslo 2a je dĺžka hlavnej osi elipsy. elipsa (podľa toho je číslo a hlavnou polosou elipsy). Segmenty F_1M a F_2M spájajúce ľubovoľný bod M elipsy s jej ohniskami sa nazývajú ohniskové polomery bodu M. Úsečka spájajúca dva body elipsy sa nazýva tetiva elipsy.

Pomer e=\frac(c)(a) sa nazýva excentricita elipsy. Z definície (2a>2c) vyplýva, že 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Geometrická definícia elipsy, vyjadrujúci jeho ohniskovú vlastnosť, je ekvivalentný jeho analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou elipsy:

Vskutku, predstavme si pravouhlý súradnicový systém (obr. 3.36c). Za počiatok súradnicového systému berieme stred O elipsy; berieme priamku prechádzajúcu ohniskami (ohnisková os alebo prvá os elipsy) ako os x (kladný smer na nej je z bodu F_1 do bodu F_2); zoberme si priamku kolmú na ohniskovú os a prechádzajúcu stredom elipsy (druhá os elipsy) ako zvislú os (smer na osi y je zvolený tak, aby pravouhlý súradnicový systém Oxy bol správny) .

Vytvorme rovnicu pre elipsu pomocou jej geometrickej definície, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť. Vo vybranom súradnicovom systéme určíme súradnice ohnísk F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pre ľubovoľný bod M(x,y) patriaci do elipsy máme:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Zapísaním tejto rovnosti v súradnicovom tvare dostaneme:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Presunieme druhý radikál na pravú stranu, odmocníme obe strany rovnice a prinesieme podobné pojmy:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Šípka doľava ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Po delení 4 odmocníme obe strany rovnice:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Po určení b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dostaneme b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Vydelením oboch strán a^2b^2\ne0 sa dostaneme ku kanonickej rovnici elipsy:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Preto je zvolený súradnicový systém kanonický.

Ak sa ohniská elipsy zhodujú, potom je elipsa kružnica (obr. 3.36,6), keďže a=b. V tomto prípade bude každý pravouhlý súradnicový systém s počiatkom v bode kanonický O\ekviv F_1\ekviv F_2 a rovnica x^2+y^2=a^2 je rovnica kruhu so stredom v bode O a polomerom rovným a.

Zdôvodnením v opačné poradie, možno ukázať, že všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (3.49), a iba oni, patria do geometrického miesta bodov nazývaného elipsa. Inými slovami, analytická definícia elipsy je ekvivalentná jej geometrická definícia, vyjadrujúci ohniskovú vlastnosť elipsy.

Riadiaca vlastnosť elipsy

Smerové čiary elipsy sú dve priame čiary prebiehajúce rovnobežne s osou kanonického súradnicového systému v rovnakej vzdialenosti \frac(a^2)(c) od nej. Pri c=0, keď je elipsa kruh, neexistujú žiadne smerové čiary (môžeme predpokladať, že smerové čiary sú v nekonečne).

Elipsa s excentricitou 0 ťažisko bodov v rovine, pre každý z nich je pomer vzdialenosti k danému bodu F (ohnisko) k vzdialenosti k danej priamke d (smernica), ktorá neprechádza daným bodom, konštantný a rovný excentricite. e ( režijná vlastnosť elipsy). Tu sú F a d jedným z ohniskov elipsy a jednej z jej priamych osí, ktoré sa nachádzajú na jednej strane súradnicovej osi kanonického súradnicového systému, t.j. F_1,d_1 alebo F_2,d_2 .

V skutočnosti napríklad pre ohnisko F_2 a smerovku d_2 (obr. 3.37,6) je podmienka \frac(r_2)(\rho_2)=e možno napísať v súradnicovom tvare:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Zbaviť sa iracionality a nahradiť e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dospejeme ku rovnici kanonickej elipsy (3.49). Podobné úvahy možno vykonať pre zameranie F_1 a riaditeľa d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Rovnica elipsy v polárnom súradnicovom systéme

Rovnica elipsy v polárnom súradnicovom systéme F_1r\varphi (obr. 3.37, c a 3.37 (2)) má tvar

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

kde p=\frac(b^2)(a) je ohniskový parameter elipsy.

V skutočnosti zvoľme ľavé ohnisko F_1 elipsy ako pól polárneho súradnicového systému a lúč F_1F_2 ako polárnu os (obr. 3.37, c). Potom pre ľubovoľný bod M(r,\varphi) podľa geometrickej definície (ohniskovej vlastnosti) elipsy máme r+MF_2=2a. Vyjadríme vzdialenosť medzi bodmi M(r,\varphi) a F_2(2c,0) (pozri):

\begin(zarovnané)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (zarovnané)

Preto v súradnicovom tvare má rovnica elipsy F_1M+F_2M=2a tvar

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Izolujeme radikál, odmocníme obe strany rovnice, vydelíme 4 a uvedieme podobné pojmy:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Vyjadrite polárny polomer r a vykonajte náhradu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Geometrický význam koeficientov v rovnici elipsy

Nájdime priesečníky elipsy (pozri obr. 3.37a) so súradnicovými osami (vrcholmi elipsy). Ak do rovnice dosadíme y=0, nájdeme priesečníky elipsy s osou x (s ohniskovou osou): x=\pm a. Preto je dĺžka segmentu ohniskovej osi obsiahnutá vo vnútri elipsy rovná 2a. Tento segment, ako je uvedené vyššie, sa nazýva hlavná os elipsy a číslo a je polohlavná os elipsy. Ak dosadíme x=0, dostaneme y=\pm b. Preto je dĺžka segmentu druhej osi elipsy obsiahnutá vo vnútri elipsy rovná 2b. Tento segment sa nazýva vedľajšia os elipsy a číslo b je vedľajšia os elipsy.

naozaj, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a a rovnosť b=a získame len v prípade c=0, keď je elipsa kružnica. Postoj k=\frac(b)(a)\leqslant1 sa nazýva elipsový kompresný pomer.

Poznámky 3.9

1. Priamky x=\pm a,~y=\pm b ohraničujú hlavný obdĺžnik v rovine súradníc, vo vnútri ktorého je elipsa (pozri obr. 3.37, a).

2. Elipsu možno definovať ako ťažisko bodov získané stlačením kružnice na jej priemer.

Nech je rovnica kruhu v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy x^2+y^2=a^2. Pri stlačení na os x s koeficientom 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Dosadením kružníc x=x" a y=\frac(1)(k)y" do rovnice dostaneme rovnicu pre súradnice obrazu M"(x",y") bodu M(x,y). ):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

keďže b=k\cdot a . Toto je kanonická rovnica elipsy.

3. Súradnicové osi (kanonického súradnicového systému) sú osami symetrie elipsy (nazývané hlavné osi elipsy) a jej stred je stredom symetrie.

Ak totiž bod M(x,y) patrí do elipsy . potom do tej istej elipsy patria aj body M"(x,-y) a M""(-x,y), symetrické k bodu M vzhľadom na súradnicové osi.

4. Z rovnice elipsy v polárnom súradnicovom systéme r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(pozri obr. 3.37, c), ukazuje sa geometrický význam ohniskový parameter je polovica dĺžky tetivy elipsy prechádzajúcej jej ohniskom kolmo na ohniskovú os (r=p pri \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Excentricita e charakterizuje tvar elipsy, a to rozdiel medzi elipsou a kružnicou. Čím väčšie e, tým je elipsa predĺžená a čím bližšie je e k nule, tým bližšie je elipsa ku kružnici (obr. 3.38a). Ak vezmeme do úvahy, že e=\frac(c)(a) a c^2=a^2-b^2 , dostaneme

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

kde k je elipsový kompresný pomer, 0

6. Rovnica \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 v a

7. Rovnica \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definuje elipsu so stredom v bode O"(x_0,y_0), ktorej osi sú rovnobežné so súradnicovými osami (obr. 3.38, c). Táto rovnica sa redukuje na kanonickú pomocou paralelného posunu (3.36).

Keď a=b=R rovnica (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje kružnicu s polomerom R so stredom v bode O"(x_0,y_0) .

Parametrická rovnica elipsy

Parametrická rovnica elipsy v kanonickom súradnicovom systéme má tvar

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Nahradením týchto výrazov do rovnice (3.49) dospejeme k hlavnej trigonometrickej identite \cos^2t+\sin^2t=1.

Príklad 3.20. Nakreslite elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 v kanonickom súradnicovom systéme Oxy. Nájdite poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu, kompresný pomer, ohniskový parameter, rovnice smerovej čiary.

Riešenie. Porovnaním danej rovnice s kanonickou určíme poloosi: a=2 - hlavná poloos, b=1 - vedľajšia poloos elipsy. Hlavný obdĺžnik postavíme so stranami 2a=4,~2b=2 so stredom v počiatku (obr. 3.39). Vzhľadom na symetriu elipsy ju pasujeme do hlavného obdĺžnika. V prípade potreby určte súradnice niektorých bodov elipsy. Napríklad dosadením x=1 do rovnice elipsy dostaneme

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Preto body so súradnicami \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- patrí do elipsy.

Výpočet kompresného pomeru k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ohnisková vzdialenosť 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); výstrednosť e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ohniskový parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Zostavíme priamkové rovnice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Šípka vľavo~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Elipsa je geometrické miesto bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom F_1 a F_2 je konštantná hodnota (2a), väčšia ako vzdialenosť (2c) medzi týmito danými bodmi (obr. 3,36, a). Táto geometrická definícia vyjadruje ohnisková vlastnosť elipsy.

Ohnisková vlastnosť elipsy

Body F_1 a F_2 sa nazývajú ohniská elipsy, vzdialenosť medzi nimi 2c=F_1F_2 je ohnisková vzdialenosť, stred O segmentu F_1F_2 je stred elipsy, číslo 2a je dĺžka hlavnej osi elipsy. elipsa (podľa toho je číslo a hlavnou polosou elipsy). Segmenty F_1M a F_2M spájajúce ľubovoľný bod M elipsy s jej ohniskami sa nazývajú ohniskové polomery bodu M. Úsečka spájajúca dva body elipsy sa nazýva tetiva elipsy.

Pomer e=\frac(c)(a) sa nazýva excentricita elipsy. Z definície (2a>2c) vyplýva, že 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Geometrická definícia elipsy, vyjadrujúci jeho ohniskovú vlastnosť, je ekvivalentný jeho analytickej definícii - priamka daná kanonickou rovnicou elipsy:

Vskutku, predstavme si pravouhlý súradnicový systém (obr. 3.36c). Za počiatok súradnicového systému berieme stred O elipsy; berieme priamku prechádzajúcu ohniskami (ohnisková os alebo prvá os elipsy) ako os x (kladný smer na nej je z bodu F_1 do bodu F_2); zoberme si priamku kolmú na ohniskovú os a prechádzajúcu stredom elipsy (druhá os elipsy) ako zvislú os (smer na osi y je zvolený tak, aby pravouhlý súradnicový systém Oxy bol správny) .

Vytvorme rovnicu pre elipsu pomocou jej geometrickej definície, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť. Vo vybranom súradnicovom systéme určíme súradnice ohnísk F_1(-c,0),~F_2(c,0). Pre ľubovoľný bod M(x,y) patriaci do elipsy máme:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Zapísaním tejto rovnosti v súradnicovom tvare dostaneme:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Presunieme druhý radikál na pravú stranu, odmocníme obe strany rovnice a prinesieme podobné pojmy:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Šípka doľava ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Po delení 4 odmocníme obe strany rovnice:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Po určení b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dostaneme b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Vydelením oboch strán a^2b^2\ne0 sa dostaneme ku kanonickej rovnici elipsy:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Preto je zvolený súradnicový systém kanonický.

Ak sa ohniská elipsy zhodujú, potom je elipsa kružnica (obr. 3.36,6), keďže a=b. V tomto prípade bude každý pravouhlý súradnicový systém s počiatkom v bode kanonický O\ekviv F_1\ekviv F_2 a rovnica x^2+y^2=a^2 je rovnica kruhu so stredom v bode O a polomerom rovným a.

Uskutočnením uvažovania v opačnom poradí je možné ukázať, že všetky body, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu (3.49), a iba oni, patria do ťažiska bodov nazývaného elipsa. Inými slovami, analytická definícia elipsy je ekvivalentná jej geometrickej definícii, ktorá vyjadruje ohniskovú vlastnosť elipsy.

Riadiaca vlastnosť elipsy

Smerové čiary elipsy sú dve priame čiary prebiehajúce rovnobežne s osou kanonického súradnicového systému v rovnakej vzdialenosti \frac(a^2)(c) od nej. Pri c=0, keď je elipsa kruh, neexistujú žiadne smerové čiary (môžeme predpokladať, že smerové čiary sú v nekonečne).

Elipsa s excentricitou 0 ťažisko bodov v rovine, pre každý z nich je pomer vzdialenosti k danému bodu F (ohnisko) k vzdialenosti k danej priamke d (smernica), ktorá neprechádza daným bodom, konštantný a rovný excentricite. e ( režijná vlastnosť elipsy). Tu sú F a d jedným z ohniskov elipsy a jednej z jej priamych osí, ktoré sa nachádzajú na jednej strane súradnicovej osi kanonického súradnicového systému, t.j. F_1,d_1 alebo F_2,d_2 .

V skutočnosti napríklad pre ohnisko F_2 a smerovku d_2 (obr. 3.37,6) je podmienka \frac(r_2)(\rho_2)=e možno napísať v súradnicovom tvare:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Zbaviť sa iracionality a nahradiť e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dospejeme ku kanonickej rovnici elipsy (3.49). Podobné úvahy možno vykonať pre zameranie F_1 a riaditeľa d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Rovnica elipsy v polárnom súradnicovom systéme

Rovnica elipsy v polárnom súradnicovom systéme F_1r\varphi (obr. 3.37, c a 3.37 (2)) má tvar

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

kde p=\frac(b^2)(a) je ohniskový parameter elipsy.

V skutočnosti zvoľme ľavé ohnisko F_1 elipsy ako pól polárneho súradnicového systému a lúč F_1F_2 ako polárnu os (obr. 3.37, c). Potom pre ľubovoľný bod M(r,\varphi) podľa geometrickej definície (ohniskovej vlastnosti) elipsy máme r+MF_2=2a. Vyjadríme vzdialenosť medzi bodmi M(r,\varphi) a F_2(2c,0) (pozri odsek 2 poznámok 2.8):

\begin(zarovnané)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (zarovnané)

Preto v súradnicovom tvare má rovnica elipsy F_1M+F_2M=2a tvar

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Izolujeme radikál, odmocníme obe strany rovnice, vydelíme 4 a uvedieme podobné pojmy:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Vyjadrite polárny polomer r a vykonajte náhradu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Geometrický význam koeficientov v rovnici elipsy

Nájdime priesečníky elipsy (pozri obr. 3.37a) so súradnicovými osami (vrcholmi elipsy). Ak do rovnice dosadíme y=0, nájdeme priesečníky elipsy s osou x (s ohniskovou osou): x=\pm a. Preto je dĺžka segmentu ohniskovej osi obsiahnutá vo vnútri elipsy rovná 2a. Tento segment, ako je uvedené vyššie, sa nazýva hlavná os elipsy a číslo a je polohlavná os elipsy. Ak dosadíme x=0, dostaneme y=\pm b. Preto je dĺžka segmentu druhej osi elipsy obsiahnutá vo vnútri elipsy rovná 2b. Tento segment sa nazýva vedľajšia os elipsy a číslo b je vedľajšia os elipsy.

naozaj, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a a rovnosť b=a získame len v prípade c=0, keď je elipsa kružnica. Postoj k=\frac(b)(a)\leqslant1 sa nazýva elipsový kompresný pomer.

Poznámky 3.9

1. Priamky x=\pm a,~y=\pm b ohraničujú hlavný obdĺžnik v rovine súradníc, vo vnútri ktorého je elipsa (pozri obr. 3.37, a).

2. Elipsu možno definovať ako ťažisko bodov získané stlačením kružnice na jej priemer.

Nech je rovnica kruhu v pravouhlom súradnicovom systéme Oxy x^2+y^2=a^2. Pri stlačení na os x s koeficientom 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Dosadením kružníc x=x" a y=\frac(1)(k)y" do rovnice dostaneme rovnicu pre súradnice obrazu M"(x",y") bodu M(x,y). ):

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

keďže b=k\cdot a . Toto je kanonická rovnica elipsy.

3. Súradnicové osi (kanonického súradnicového systému) sú osami symetrie elipsy (nazývané hlavné osi elipsy) a jej stred je stredom symetrie.

Ak totiž bod M(x,y) patrí do elipsy . potom do tej istej elipsy patria aj body M"(x,-y) a M""(-x,y), symetrické k bodu M vzhľadom na súradnicové osi.

4. Z rovnice elipsy v polárnom súradnicovom systéme r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(pozri obr. 3.37, c), je objasnený geometrický význam ohniskového parametra - je to polovica dĺžky tetivy elipsy prechádzajúcej jej ohniskom kolmo na ohniskovú os ( r = p pri \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Excentricita e charakterizuje tvar elipsy, a to rozdiel medzi elipsou a kružnicou. Čím väčšie e, tým je elipsa predĺžená a čím bližšie je e k nule, tým bližšie je elipsa ku kružnici (obr. 3.38a). Ak vezmeme do úvahy, že e=\frac(c)(a) a c^2=a^2-b^2 , dostaneme

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

kde k je elipsový kompresný pomer, 0

6. Rovnica \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 v a

7. Rovnica \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definuje elipsu so stredom v bode O"(x_0,y_0), ktorej osi sú rovnobežné so súradnicovými osami (obr. 3.38, c). Táto rovnica sa redukuje na kanonickú pomocou paralelného posunu (3.36).

Keď a=b=R rovnica (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje kružnicu s polomerom R so stredom v bode O"(x_0,y_0) .

Parametrická rovnica elipsy

Parametrická rovnica elipsy v kanonickom súradnicovom systéme má tvar

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Vskutku, dosadením týchto výrazov do rovnice (3.49) dospejeme k hlavnej trigonometrickej identite \cos^2t+\sin^2t=1 .

Príklad 3.20. Nakreslite elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 v kanonickom súradnicovom systéme Oxy. Nájdite poloosi, ohniskovú vzdialenosť, excentricitu, kompresný pomer, ohniskový parameter, rovnice smerovej čiary.

Riešenie. Porovnaním danej rovnice s kanonickou určíme poloosi: a=2 - hlavná poloos, b=1 - vedľajšia poloos elipsy. Postavíme základný obdĺžnik so stranami 2a=4,~2b=2 so stredom v počiatku (obr. 3.39). Vzhľadom na symetriu elipsy ju pasujeme do hlavného obdĺžnika. V prípade potreby určte súradnice niektorých bodov elipsy. Napríklad dosadením x=1 do rovnice elipsy dostaneme

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Preto body so súradnicami \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- patrí do elipsy.

Výpočet kompresného pomeru k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ohnisková vzdialenosť 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); výstrednosť e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ohniskový parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Zostavíme priamkové rovnice: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Šípka doľava~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Ak chcete vykonávať výpočty, musíte povoliť ovládacie prvky ActiveX!