Ako zistiť rovnicu priamky pomocou 2 bodov. Rovnica priamky, ktorá prechádza dvoma danými bodmi: príklady, riešenia

Tento článok odhaľuje, ako získať rovnicu priamky prechádzajúcej cez dve dané body v pravouhlom súradnicovom systéme umiestnenom v rovine. Odvoďme rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi v pravouhlom súradnicovom systéme. Názorne si ukážeme a vyriešime niekoľko príkladov súvisiacich s preberanou látkou.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pred získaním rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je potrebné venovať pozornosť niektorým skutočnostiam. Existuje axióma, ktorá hovorí, že cez dva divergentné body v rovine je možné nakresliť priamku a iba jednu. Inými slovami, dva dané body na rovine sú definované priamkou prechádzajúcou týmito bodmi.

Ak je rovina definovaná pravouhlým súradnicovým systémom Oxy, potom akákoľvek priamka v nej zobrazená bude zodpovedať rovnici priamky v rovine. Existuje aj súvislosť s usmerňovacím vektorom priamky Tento údaj postačuje na zostavenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.

Pozrime sa na príklad riešenia podobného problému. Je potrebné vytvoriť rovnicu pre priamku a prechádzajúcu dvoma divergentnými bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2), ktoré sa nachádzajú v karteziánskom súradnicovom systéme.

V kanonickej rovnici priamky v rovine, ktorá má tvar x - x 1 a x = y - y 1 a y, je pravouhlý súradnicový systém O x y určený priamkou, ktorá sa s ňou pretína v bode so súradnicami M 1 (x 1, y 1) s vodiacim vektorom a → = (a x , a y) .

Je potrebné vytvoriť kanonickú rovnicu priamky a, ktorá bude prechádzať dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2).

Priama a má smerový vektor M 1 M 2 → so súradnicami (x 2 - x 1, y 2 - y 1), keďže pretína body M 1 a M 2. Získali sme potrebné údaje na transformáciu kanonickej rovnice so súradnicami smerového vektora M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) a súradnicami bodov M 1 na nich ležiacich. (x1,y1) a M2(x2,y2). Získame rovnicu v tvare x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Zvážte obrázok nižšie.

Po výpočtoch zapíšeme parametrické rovnice priamky na rovine, ktorá prechádza dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2). Získame rovnicu tvaru x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y2 + (y2 - y1) · λ.

Pozrime sa bližšie na riešenie niekoľkých príkladov.

Príklad 1

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej 2 danými bodmi so súradnicami M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Riešenie

Kanonická rovnica pre priamku pretínajúcu sa v dvoch bodoch so súradnicami x 1, y 1 a x 2, y 2 má tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Podľa podmienok úlohy máme, že x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Je potrebné dosadiť číselné hodnoty do rovnice x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odtiaľto dostávame, že kanonická rovnica má tvar x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odpoveď: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ak potrebujete vyriešiť problém s iným typom rovnice, potom môžete najskôr prejsť na kanonickú, pretože je ľahšie z nej prejsť na akúkoľvek inú.

Príklad 2

Skladať všeobecná rovnica priamka prechádzajúca bodmi so súradnicami M 1 (1, 1) a M 2 (4, 2) v súradnicovom systéme O x y.

Riešenie

Najprv si musíte zapísať kanonickú rovnicu danej priamky, ktorá prechádza danými dvoma bodmi. Dostaneme rovnicu v tvare x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Uveďme kanonickú rovnicu do požadovaného tvaru, potom dostaneme:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 r - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odpoveď: x - 3 y + 2 = 0 .

Príklady takýchto úloh boli rozoberané v školských učebniciach na hodinách algebry. Školské úlohy sa líšili tým, že bola známa rovnica priamky s uhlovým koeficientom, ktorá mala tvar y = k x + b. Ak potrebujete nájsť hodnotu sklonu k a číslo b, pre ktoré rovnica y = k x + b definuje priamku v sústave O x y, ktorá prechádza bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 ( x 2, y 2), kde x 1 ≠ x 2. Keď x 1 = x 2 , potom uhlový koeficient nadobudne hodnotu nekonečna a priamka M 1 M 2 je definovaná všeobecnou neúplnou rovnicou tvaru x - x 1 = 0 .

Pretože body M 1 A M 2 sú na priamke, potom ich súradnice spĺňajú rovnicu y 1 = k x 1 + b a y 2 = k x 2 + b. Je potrebné vyriešiť sústavu rovníc y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b pre k a b.

Aby sme to dosiahli, nájdeme k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

S týmito hodnotami k a b sa rovnica priamky prechádzajúcej cez dané dva body stáva y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo y = y2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Zapamätať si také obrovské množstvo vzorcov naraz je nemožné. K tomu je potrebné zvýšiť počet opakovaní pri riešení úloh.

Príklad 3

Napíšte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom prechádzajúcou bodmi so súradnicami M 2 (2, 1) a y = k x + b.

Riešenie

Na vyriešenie úlohy použijeme vzorec s uhlovým koeficientom v tvare y = k x + b. Koeficienty k a b musia nadobúdať takú hodnotu, aby daná rovnica zodpovedala priamke prechádzajúcej cez dva body so súradnicami M 1 (- 7, - 5) a M 2 (2, 1).

Body M 1 A M 2 sú umiestnené na priamke, potom ich súradnice musia urobiť z rovnice y = k x + b skutočnú rovnosť. Z toho dostaneme, že - 5 = k · (- 7) + b a 1 = k · 2 + b. Spojme rovnicu do sústavy - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b a vyriešime.

Pri nahradení to dostaneme

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Teraz sú hodnoty k = 2 3 a b = - 1 3 dosadené do rovnice y = k x + b. Zistíme, že požadovaná rovnica prechádzajúca danými bodmi bude rovnica v tvare y = 2 3 x - 1 3 .

Tento spôsob riešenia predurčuje výdavky veľká kvantitačas. Existuje spôsob, akým sa úloha rieši doslova v dvoch krokoch.

Napíšme kanonickú rovnicu priamky prechádzajúcej cez M 2 (2, 1) a M 1 (- 7, - 5), ktorá má tvar x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔ x + 79 = y + 56.

Teraz prejdime k rovnici sklonu. Dostaneme, že: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odpoveď: y = 2 3 x - 1 3 .

Ak v trojrozmernom priestore existuje pravouhlý súradnicový systém O x y z s dvomi danými nezhodnými bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), priamka M prechádzajúca cez ne 1 M 2, je potrebné získať rovnicu tejto priamky.

Máme, že kanonické rovnice tvaru x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z a parametrické rovnice tvaru x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ sú schopné definovať priamku v súradnicovom systéme O x y z, prechádzajúcu bodmi so súradnicami (x 1, y 1, z 1) so smerovým vektorom a → = (a x, a y, a z).

Rovné M 1 M 2 má smerový vektor v tvare M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), kde priamka prechádza bodom M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), teda kanonická rovnica môže mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zasa parametrické x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ.

Zoberme si kresbu, ktorá zobrazuje 2 dané body v priestore a rovnicu priamky.

Príklad 4

Napíšte rovnicu priamky definovanej v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z trojrozmerného priestoru, prechádzajúcej danými dvoma bodmi so súradnicami M 1 (2, - 3, 0) a M 2 (1, - 3, - 5).

Riešenie

Je potrebné nájsť kanonickú rovnicu. Pretože hovoríme o o trojrozmernom priestore, čo znamená, že keď danými bodmi prechádza priamka, požadovaná kanonická rovnica bude mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Podľa podmienky máme, že x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Z toho vyplýva, že potrebné rovnice budú napísané takto:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odpoveď: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.

Cez ktorýkoľvek bod možno nakresliť nekonečné množstvo priamych čiar.

Cez akékoľvek dva nezhodné body možno nakresliť jednu priamku.

Dve rôznobežné čiary v rovine alebo sa pretínajú v jediný bod, alebo sú

paralelný (vyplýva z predchádzajúceho).

V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti relatívnu polohu dve rovné čiary:

čiary sa pretínajú;

čiary sú rovnobežné;

priamky sa pretínajú.

Rovno riadok— algebraická krivka prvého rádu: priamka v karteziánskom súradnicovom systéme

je daná v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).

Všeobecná rovnica priamky.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

a konštantný A, B sa zároveň nerovnajú nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecný

rovnica priamky. V závislosti od hodnôt konštánt A, B A S Možné sú tieto špeciálne prípady:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- počiatkom prechádza priamka

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0)- priamka rovnobežná s osou Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- priamka rovnobežná s osou OU

. B = C = 0, A ≠0- priamka sa zhoduje s osou OU

. A = C = 0, B = 0- priamka sa zhoduje s osou Oh

Rovnica priamky môže byť znázornená v v rôznych formách v závislosti od akejkoľvek danosti

počiatočné podmienky.

Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme vektor so zložkami (A, B)

kolmá na priamku danú rovnicou

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1; 2) kolmo na vektor (3, -1).

Riešenie. Pri A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x - y + C = 0. Ak chcete nájsť koeficient C

Dosadíme súradnice daného bodu A do výsledného výrazu. Dostaneme teda: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú uvedené dva body v priestore M 1 (x 1 , y 1 , z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Potom rovnica priamky,

prechádza cez tieto body:

Ak niektorý z menovateľov rovná nule, príslušný čitateľ by mal byť nastavený na nulu. Zapnuté

rovine, rovnica priamky napísaná vyššie je zjednodušená:

Ak x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Ak x 1 = x 2 .

Zlomok = k volal sklon rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Riešenie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.

Ak je všeobecná rovnica priamky Ax + Wu + C = 0 viesť k:

a určiť , potom sa výsledná rovnica nazýva

rovnica priamky so sklonom k.

Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať úlohu

priamka cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého komponenty spĺňajú podmienku

Aai + Ba2 = 0 volal smerový vektor priamky.

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcej bodom A(1, 2).

Riešenie. Budeme hľadať rovnicu požadovaného riadku v tvare: Ax + By + C = 0. Podľa definície

koeficienty musia spĺňať tieto podmienky:

1 * A + (-1) * B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0, alebo x + y + C / A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

x + y - 3 = 0

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С≠0, potom po delení -С dostaneme:

alebo kde

Geometrický význam koeficienty je, že koeficient a je súradnica priesečníka

rovný s osou oh, A b- súradnica priesečníka priamky s osou OU.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 = 0. Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak obe strany rovnice Ax + Wu + C = 0 deliť číslom ktorá sa volá

normalizačný faktor, potom dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normálna rovnica priamky.

Znamienko ± normalizačného faktora musí byť zvolené tak, aby μ*C< 0.

R- dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke,

A φ - uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Oh.

Príklad. Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5r - 65 = 0. Povinné napísať Rôzne druhy rovníc

túto priamku.

Rovnica tejto priamky v segmentoch:

Rovnica tejto priamky so sklonom: (vydeliť 5)

Rovnica priamky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,

rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom.

Uhol medzi priamkami v rovine.

Definícia. Ak sú uvedené dva riadky y = k1x + b1, y = k2x + b2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami

bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k1 = k2. Dve čiary sú kolmé

Ak k1 = -1/k2 .

Veta.

Priamy Ax + Wu + C = 0 A Aix + B1y + C1 = 0 paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne

Ai = λA, B1 = λB. Ak tiež С 1 = λС, potom sa čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok

sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku.

Definícia. Čiara prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y = kx + b

reprezentovaný rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Wu + C = 0 definovaný ako:

Dôkaz. Nechajte bod M 1 (x 1, y 1)- základňa kolmice spadnutá z bodu M za danú

priamy. Potom vzdialenosť medzi bodmi M A M 1:

(1)

Súradnice x 1 A o 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo

daná priama čiara. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta je dokázaná.

Rovnica priamky na rovine.

Ako je známe, každý bod v rovine je určený dvoma súradnicami v nejakom súradnicovom systéme. Súradnicové systémy môžu byť rôzne v závislosti od výberu základu a pôvodu.

Definícia. Rovnica priamky sa nazýva vzťah y = f(x) medzi súradnicami bodov, ktoré tvoria túto priamku.

Všimnite si, že rovnica priamky môže byť vyjadrená parametricky, to znamená, že každá súradnica každého bodu je vyjadrená prostredníctvom nejakého nezávislého parametra t.

Typickým príkladom je trajektória pohybujúceho sa bodu. V tomto prípade zohráva úlohu parametra čas.

Rovnica priamky na rovine.

Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť špecifikovaná rovnicou prvého poriadku

Ax + Wu + C = 0,

Navyše konštanty A a B sa zároveň nerovnajú nule, t.j. A 2 + B 2  0. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky.

V závislosti od hodnôt konštánt A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:

C = 0, A  0, B  0 – priamka prechádza počiatkom

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - priamka rovnobežná s osou Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – priamka rovnobežná s osou Oy

B = C = 0, A  0 – priamka sa zhoduje s osou Oy

A = C = 0, B  0 – priamka sa zhoduje s osou Ox

Rovnica priamky môže byť prezentovaná v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek daných počiatočných podmienok.

Rovnica priamky z bodu a normálového vektora.

Definícia. V kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku danú rovnicou Ax + By + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A(1, 2) kolmým na vektor (3, -1).

Pri A = 3 a B = -1 zostavme rovnicu priamky: 3x – y + C = 0. Pre zistenie koeficientu C dosadíme do výsledného výrazu súradnice daného bodu A.

Dostaneme: 3 – 2 + C = 0, teda C = -1.

Spolu: požadovaná rovnica: 3x – y – 1 = 0.

Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.

Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi je:

Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by mal byť nastavený na nulu.

V rovine je rovnica priamky napísaná vyššie zjednodušená:

ak x 1  x 2 a x = x 1, ak x 1 = x 2.

Zlomok
=k sa volá sklon rovno.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A(1, 2) a B(3, 4).

Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:

Rovnica priamky pomocou bodu a sklonu.

Ak sa všeobecná rovnica priamky Ax + By + C = 0 zredukuje na tvar:

a určiť
, potom sa výsledná rovnica nazýva rovnica priamky so sklonomk.

Rovnica priamky z bodu a smerového vektora.

Analogicky s bodom, ktorý berie do úvahy rovnicu priamky cez normálový vektor, môžete zadať definíciu priamky cez bod a smerový vektor priamky.

Definícia. Každý nenulový vektor ( 1,  2), ktorého zložky spĺňajú podmienku A 1 + B 2 = 0 sa nazýva smerovací vektor priamky.

Ax + Wu + C = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádza cez bod A(1, 2).

Budeme hľadať rovnicu požadovanej priamky v tvare: Ax + By + C = 0. V súlade s definíciou musia koeficienty spĺňať podmienky:

1A + (-1)B = 0, t.j. A = B.

Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C = 0 alebo x + y + C/A = 0.

pri x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, t.j. požadovaná rovnica:

Rovnica priamky v segmentoch.

Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ах + Ву + С = 0 С 0, potom po delení –С dostaneme:
alebo

, Kde

Geometrický význam koeficientov je, že koeficient A je súradnica priesečníka priamky s osou Ox a b– súradnica priesečníka priamky s osou Oy.

Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky x – y + 1 = 0 Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.

C = 1,
a = -1, b = 1.

Normálna rovnica priamky.

Ak sú obe strany rovnice Ax + By + C = 0 delené číslom
ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme

xcos + ysin - p = 0 –

normálna rovnica priamky.

Znamienko  normalizačného faktora treba zvoliť tak, aby С< 0.

p je dĺžka kolmice spustenej od začiatku k priamke a  je uhol, ktorý zviera táto kolmica s kladným smerom osi Ox.

Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky 12x – 5y – 65 = 0 Pre túto priamku je potrebné napísať rôzne typy rovníc.

rovnica tejto priamky v segmentoch:

rovnica tejto priamky so sklonom: (delíme 5)

normálna rovnica priamky:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Treba poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky rovnobežné s osami alebo prechádzajúce počiatkom súradníc.

Príklad. Priamka odreže rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Napíšte rovnicu priamky, ak plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi je 8 cm2.

Rovnica priamky je:
a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nie je vhodné podľa podmienok problému.

Celkom:
alebo x + y – 4 = 0.

Príklad. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom A(-2, -3) a počiatkom.

Rovnica priamky je:
kde xi = yi = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Uhol medzi priamkami v rovine.

Definícia. Ak sú dané dve čiary y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, potom ostrý uhol medzi týmito čiarami bude definovaný ako

Dve čiary sú rovnobežné, ak k 1 = k 2.

Dve čiary sú kolmé, ak k 1 = -1/k 2 .

Veta. Priame čiary Ax + Wu + C = 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sú paralelné, keď sú koeficienty A proporcionálne 1 =  A, B 1 =  B. Ak aj C 1 =  C, potom sa čiary zhodujú.

Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie sústavy rovníc týchto priamok.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom

kolmo na túto čiaru.

Definícia. Priamka prechádzajúca bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmá na priamku y = kx + b je vyjadrená rovnicou:

Vzdialenosť od bodu k čiare.

Veta. Ak je daný bod M(x). 0 , r 0 ), potom je vzdialenosť k priamke Ах + Ву + С =0 definovaná ako

Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku.

Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta je dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

ki = -3; k2 = 2 tg =
;  = /4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.

Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.

Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.

Nájdeme rovnicu strany AB:
; 4x = 6r – 6;

2x – 3r + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.

k = . Potom y =
. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu:
odkiaľ b = 17. Celkom:
.

Odpoveď: 3x + 2r – 34 = 0.

Analytická geometria v priestore.

Rovnica priamky v priestore.

Rovnica priamky v priestore danej bodom a

smerový vektor.

Zoberme si ľubovoľnú čiaru a vektor (m, n, p), rovnobežne s danou čiarou. Vektor volal vodiaci vektor rovno.

Na priamke vezmeme dva ľubovoľné body M 0 (x 0 , y 0 , z 0) a M (x, y, z).

M 1

Označme vektory polomerov týchto bodov ako A , to je jasné - =
.

Pretože vektory
A sú kolineárne, potom je vzťah pravdivý
= t, kde t je nejaký parameter.

Celkovo môžeme napísať: = + t.

Pretože táto rovnica je splnená súradnicami ľubovoľného bodu na priamke, potom výsledná rovnica je parametrická rovnica priamky.

Táto vektorová rovnica môže byť reprezentovaná v súradnicovom tvare:

Transformáciou tohto systému a porovnaním hodnôt parametra t získame kanonické rovnice priamky v priestore:

Definícia. Smerové kosínusy priame sú smerové kosínusy vektora , ktoré možno vypočítať pomocou vzorcov:

;

.

Odtiaľto dostaneme: m: n: p = cos : cos : cos.

Nazývajú sa čísla m, n, p uhlové koeficienty rovno. Pretože je nenulový vektor, potom sa m, n a p nemôžu súčasne rovnať nule, ale jedno alebo dve z týchto čísel sa môžu rovnať nule. V tomto prípade by v rovnici riadku mali byť zodpovedajúce čitateľa nastavené na nulu.

Rovnica priamky v priestore

cez dva body.

Ak na priamke v priestore označíme dva ľubovoľné body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom súradnice týchto bodov musia spĺňať rovnicu priamky získané vyššie:

Okrem toho pre bod M 1 môžeme napísať:

Spoločným riešením týchto rovníc dostaneme:

Toto je rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi v priestore.

Všeobecné rovnice priamky v priestore.

Rovnicu priamky možno považovať za rovnicu priesečníka dvoch rovín.

Ako je uvedené vyššie, rovinu vo vektorovom tvare možno špecifikovať rovnicou:

+ D = 0, kde

- rovina normálna; - polomer je vektor ľubovoľného bodu v rovine.

Kanonické rovnice priamky v priestore sú rovnice, ktoré definujú priamku prechádzajúcu daným bodom kolineárne so smerovým vektorom.

Nech je daný bod a smerový vektor. Ľubovoľný bod leží na priamke l iba ak sú vektory a kolineárne, t.j. je pre ne splnená podmienka:

Vyššie uvedené rovnice sú kanonické rovnice priamky.

čísla m , n A p sú projekcie smerového vektora na súradnicové osi. Keďže vektor je nenulový, potom všetky čísla m , n A p sa nemôže súčasne rovnať nule. Ale jeden alebo dva z nich sa môžu ukázať ako nula. V analytickej geometrii je napríklad povolený nasledujúci záznam:

čo znamená, že projekcie vektora na os Oj A Oz sa rovnajú nule. Preto vektor aj priamka definovaná kanonickými rovnicami sú kolmé na osi Oj A Oz, teda lietadlá yOz .

Príklad 1 Napíšte rovnice pre priamku v priestore kolmom na rovinu a prechádza cez priesečník tejto roviny s osou Oz .

Riešenie. Nájdite priesečník tejto roviny s osou Oz. Od akéhokoľvek bodu ležiaceho na osi Oz, má teda súradnice , za predpokladu, že v danej rovnici roviny x = y = 0, dostaneme 4 z- 8 = 0 alebo z= 2. Preto je priesečník tejto roviny s osou Oz má súradnice (0; 0; 2) . Pretože je požadovaná čiara kolmá na rovinu, je rovnobežná s jej normálovým vektorom. Preto smerovým vektorom priamky môže byť normálový vektor danej rovine.

Teraz si napíšme požadované rovnice priamky prechádzajúcej bodom A= (0; 0; 2) v smere vektora:

Rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi

Priamka môže byť definovaná dvoma bodmi, ktoré na nej ležia A V tomto prípade môže byť smerovým vektorom priamky vektor . Potom nadobudnú tvar kanonické rovnice priamky

Vyššie uvedené rovnice určujú priamku prechádzajúcu cez dva dané body.

Príklad 2 Napíšte rovnicu pre priamku v priestore prechádzajúcu bodmi a .

Riešenie. Zapíšme si požadované rovnice priamky vo forme uvedenej vyššie v teoretickom odkaze:

Od , potom je požadovaná priamka kolmá na os Oj .

Rovná ako priesečník rovín

Priamku v priestore možno definovať ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín, t. j. ako množinu bodov spĺňajúcu systém dvoch lineárnych rovníc.

Rovnice sústavy sa nazývajú aj všeobecné rovnice priamky v priestore.

Príklad 3 Zostavte kanonické rovnice priamky v priestore dané všeobecnými rovnicami

Riešenie. Ak chcete napísať kanonické rovnice priamky alebo, čo je to isté, rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body, musíte nájsť súradnice ľubovoľných dvoch bodov na priamke. Môžu to byť napríklad priesečníky priamky s akýmikoľvek dvomi súradnicovými rovinami yOz A xOz .

Priesečník priamky a roviny yOz má abscisu X= 0. Preto za predpokladu, že v tomto systéme rovníc X= 0, dostaneme systém s dvoma premennými:

Jej rozhodnutie r = 2 , z= 6 spolu s X= 0 definuje bod A(0; 2; 6) požadovaný riadok. Veriť potom v daný systém rovníc r= 0, dostaneme systém

Jej rozhodnutie X = -2 , z= 0 spolu s r= 0 definuje bod B(-2; 0; 0) priesečník priamky s rovinou xOz .

Teraz si zapíšme rovnice priamky prechádzajúcej bodmi A(0; 2; 6) a B (-2; 0; 0) :

alebo po vydelení menovateľov číslom -2:

Tento článok pokračuje v téme rovnice priamky v rovine: tento typ rovnice budeme považovať za všeobecnú rovnicu priamky. Definujme vetu a dajme jej dôkaz; Poďme zistiť, čo je neúplná všeobecná rovnica priamky a ako urobiť prechody zo všeobecnej rovnice na iné typy rovníc priamky. Celú teóriu posilníme ilustráciami a riešeniami praktických problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nech je v rovine zadaný pravouhlý súradnicový systém O x y.

Veta 1

Akákoľvek rovnica prvého stupňa, ktorá má tvar A x + B y + C = 0, kde A, B, C sú nejaké reálne čísla (A a B sa súčasne nerovnajú nule), definuje priamku v pravouhlý súradnicový systém v rovine. Na druhej strane, akákoľvek priamka v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine je určená rovnicou, ktorá má tvar A x + B y + C = 0 pre určitú množinu hodnôt A, B, C.

Dôkaz

Táto veta pozostáva z dvoch bodov, každý z nich dokážeme.

Dokážme, že rovnica A x + B y + C = 0 definuje v rovine priamku.

Nech existuje nejaký bod M 0 (x 0, y 0), ktorého súradnice zodpovedajú rovnici A x + B y + C = 0. Teda: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odčítajte od ľavej a pravej strany rovníc A x + B y + C = 0 ľavú a pravú stranu rovnice A x 0 + B y 0 + C = 0, získame novú rovnicu, ktorá vyzerá ako A (x - x 0) + B (y - y0) = 0. Je to ekvivalent A x + B y + C = 0.

Výsledná rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou pre kolmosť vektorov n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x). 0, y - y 0 ). Množina bodov M (x, y) teda definuje priamku v pravouhlom súradnicovom systéme kolmú na smer vektora n → = (A, B). Môžeme predpokladať, že to tak nie je, ale potom by vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) neboli kolmé a rovnosť A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 by nebolo pravdivé.

V dôsledku toho rovnica A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definuje určitú čiaru v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine, a preto ekvivalentná rovnica A x + B y + C = 0 definuje rovnaký riadok. Takto sme dokázali prvú časť vety.

Dokážme, že akúkoľvek priamku v pravouhlom súradnicovom systéme v rovine možno špecifikovať rovnicou prvého stupňa A x + B y + C = 0.

Definujme priamku a v pravouhlom súradnicovom systéme na rovine; bod M 0 (x 0, y 0), ktorým táto priamka prechádza, ako aj normálový vektor tejto priamky n → = (A, B) .

Nech existuje aj nejaký bod M (x, y) - plávajúca bodka na priamke. V tomto prípade sú vektory n → = (A, B) a M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) navzájom kolmé a ich skalárny produkt je tam nula:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Prepíšeme rovnicu A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, zadefinujeme C: C = - A x 0 - B y 0 a ako konečný výsledok dostaneme rovnicu A x + B y + C = 0.

Takže sme dokázali druhú časť vety a dokázali sme celú vetu ako celok.

Definícia 1

Rovnica tvaru Ax + By + C = 0 - Toto všeobecná rovnica priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systémeOxy.

Na základe overenej vety môžeme konštatovať, že priamka a jej všeobecná rovnica definovaná v rovine v pevnom pravouhlom súradnicovom systéme sú neoddeliteľne spojené. Inými slovami, pôvodný riadok zodpovedá jeho všeobecnej rovnici; všeobecná rovnica priamky zodpovedá danej priamke.

Z dôkazu vety tiež vyplýva, že koeficienty A a B pre premenné x a y sú súradnice normálového vektora priamky, ktorý je daný všeobecnou rovnicou priamky A x + B y + C = 0.

Uvažujme konkrétny príklad všeobecná rovnica priamky.

Nech je daná rovnica 2 x + 3 y - 2 = 0, čo zodpovedá priamke v danom pravouhlom súradnicovom systéme. Normálny vektor tejto čiary je vektor n → = (2, 3) Nakreslíme si danú priamku do výkresu.

Môžeme konštatovať aj nasledovné: priamka, ktorú vidíme na výkrese, je určená všeobecnou rovnicou 2 x + 3 y - 2 = 0, keďže tejto rovnici zodpovedajú súradnice všetkých bodov na danej priamke.

Rovnicu λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 získame vynásobením oboch strán všeobecnej rovnice priamky číslom λ, ktoré sa nerovná nule. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej rovnici, preto bude opisovať rovnakú priamku v rovine.

Definícia 2

Kompletná všeobecná rovnica priamky– taká všeobecná rovnica priamky A x + B y + C = 0, v ktorej sú čísla A, B, C odlišné od nuly. Inak platí rovnica neúplné.

Analyzujme všetky variácie neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

Keď A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, všeobecná rovnica má tvar B y + C = 0. Takáto neúplná všeobecná rovnica definuje v pravouhlom súradnicovom systéme O x y priamku, ktorá je rovnobežná s osou O x, pretože pre akúkoľvek reálnu hodnotu x bude mať premenná y hodnotu - C B . Inými slovami, všeobecná rovnica priamky A x + B y + C = 0, keď A = 0, B ≠ 0, udáva polohu bodov (x, y), ktorých súradnice sa rovnajú rovnakému číslu. - C B .
Ak A = 0, B ≠ 0, C = 0, všeobecná rovnica má tvar y = 0. Táto neúplná rovnica definuje os x Ox.
Keď A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, dostaneme neúplnú všeobecnú rovnicu A x + C = 0, ktorá definuje priamku rovnobežnú s ordinátou.
Nech A ≠ 0, B = 0, C = 0, potom neúplná všeobecná rovnica nadobudne tvar x = 0, a toto je rovnica súradnicovej priamky O y.
Nakoniec pre A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 má neúplná všeobecná rovnica tvar A x + B y = 0. A táto rovnica opisuje priamku, ktorá prechádza počiatkom. V skutočnosti dvojica čísel (0, 0) zodpovedá rovnosti A x + B y = 0, pretože A · 0 + B · 0 = 0.

Poďme si graficky znázorniť všetky vyššie uvedené typy neúplnej všeobecnej rovnice priamky.

Príklad 1

Je známe, že daná priamka je rovnobežná s osou ordinátov a prechádza bodom 2 7, - 11. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu daného riadku.

Riešenie

Priamka rovnobežná so zvislou osou je daná rovnicou v tvare A x + C = 0, v ktorej A ≠ 0. Podmienka určuje aj súradnice bodu, ktorým úsečka prechádza, pričom súradnice tohto bodu spĺňajú podmienky neúplnej všeobecnej rovnice A x + C = 0, t.j. rovnosť je pravdivá:

A27 + C = 0

Z nej je možné určiť C, ak dáme A nejakú nenulovú hodnotu, napríklad A = 7. V tomto prípade dostaneme: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Poznáme oba koeficienty A a C, dosadíme ich do rovnice A x + C = 0 a dostaneme požadovanú priamku: 7 x - 2 = 0

odpoveď: 7 x - 2 = 0

Príklad 2

Na výkrese je priamka, musíte si zapísať jej rovnicu.

Riešenie

Daný výkres nám umožňuje jednoducho vziať počiatočné údaje na vyriešenie problému. Na výkrese vidíme, že daná priamka je rovnobežná s osou O x a prechádza bodom (0, 3).

Priamka, ktorá je rovnobežná s úsečkou, je určená neúplnou všeobecnou rovnicou B y + C = 0. Nájdite hodnoty B a C. Súradnice bodu (0, 3), keďže ním daná priamka prechádza, budú spĺňať rovnicu priamky B y + C = 0, potom platí rovnosť: B · 3 + C = 0. Nastavme B na inú hodnotu ako nulu. Povedzme B = 1, v takom prípade z rovnosti B · 3 + C = 0 môžeme nájsť C: C = - 3. Pomocou známych hodnôt B a C získame požadovanú rovnicu priamky: y - 3 = 0.

odpoveď: y-3 = 0.

Všeobecná rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v rovine

Danú priamku necháme prechádzať bodom M 0 (x 0, y 0), potom jej súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici priamky, t.j. platí rovnosť: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odčítajme ľavú a pravú stranu tejto rovnice od ľavej a pravej strany všeobecnej úplnej rovnice priamky. Dostaneme: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, táto rovnica je ekvivalentná pôvodnej všeobecnej, prechádza bodom M 0 (x 0, y 0) a má normál vektor n → = (A, B) .

Výsledok, ktorý sme získali, umožňuje zapísať všeobecnú rovnicu priamky so známymi súradnicami normálového vektora priamky a súradnicami určitého bodu tejto priamky.

Príklad 3

Daný je bod M 0 (- 3, 4), ktorým prechádza priamka, a normálový vektor tejto priamky n → = (1, - 2) . Je potrebné zapísať rovnicu daného riadku.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám umožňujú získať potrebné údaje na zostavenie rovnice: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. potom:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problém sa dal vyriešiť inak. Všeobecná rovnica priamky je A x + B y + C = 0. Daný normálny vektor nám umožňuje získať hodnoty koeficientov A a B, potom:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Teraz nájdime hodnotu C pomocou bodu M 0 (- 3, 4) určeného podmienkou úlohy, cez ktorý priamka prechádza. Súradnice tohto bodu zodpovedajú rovnici x - 2 · y + C = 0, t.j. - 3 - 2 4 + C = 0. Preto C = 11. Požadovaná priamka rovnica má tvar: x - 2 · y + 11 = 0.

odpoveď: x - 2 y + 11 = 0.

Príklad 4

Je daná priamka 2 3 x - y - 1 2 = 0 a bod M 0 ležiaci na tejto priamke. Známa je iba úsečka tohto bodu a rovná sa - 3. Je potrebné určiť ordinátu daného bodu.

Riešenie

Označme súradnice bodu M 0 ako x 0 a y 0 . Zdrojové údaje naznačujú, že x 0 = - 3. Keďže bod patrí k danej priamke, potom jeho súradnice zodpovedajú všeobecnej rovnici tejto priamky. Potom bude rovnosť pravdivá:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Definujte y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

odpoveď: - 5 2

Prechod od všeobecnej rovnice priamky k iným typom rovníc priamky a naopak

Ako vieme, existuje niekoľko typov rovníc pre rovnakú priamku v rovine. Výber typu rovnice závisí od podmienok problému; je možné si vybrať ten, ktorý je vhodnejší na jeho riešenie. Zručnosť previesť rovnicu jedného typu na rovnicu iného typu je tu veľmi užitočná.

Najprv uvažujme prechod od všeobecnej rovnice tvaru A x + B y + C = 0 ku kanonickej rovnici x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Ak A ≠ 0, potom prenesieme člen B y na pravá strana všeobecná rovnica. Na ľavej strane vyberieme A zo zátvoriek. V dôsledku toho dostaneme: A x + C A = - B y.

Túto rovnosť možno zapísať ako podiel: x + C A - B = y A.

Ak B ≠ 0, ponecháme len člen A x na ľavej strane všeobecnej rovnice, ostatné prenesieme na pravú stranu, dostaneme: A x = - B y - C. Zo zátvoriek vyberieme – B, potom: A x = - B y + C B .

Prepíšme rovnosť do tvaru podielu: x - B = y + C B A.

Samozrejme, výsledné vzorce sa netreba učiť naspamäť. Stačí poznať algoritmus akcií pri prechode zo všeobecnej rovnice na kanonickú.

Príklad 5

Je daná všeobecná rovnica priamky 3 y - 4 = 0. Je potrebné ju pretransformovať na kanonickú rovnicu.

Riešenie

Pôvodnú rovnicu napíšme ako 3 y – 4 = 0. Ďalej postupujeme podľa algoritmu: člen 0 x zostáva na ľavej strane; a na pravú stranu vložíme - 3 zo zátvoriek; dostaneme: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Výslednú rovnosť zapíšme ako podiel: x - 3 = y - 4 3 0 . Takto sme dostali rovnicu kanonického tvaru.

Odpoveď: x - 3 = y - 4 3 0.

Ak chcete transformovať všeobecnú rovnicu priamky na parametrickú, najprv vykonajte prechod na kanonickú formu a potom prechod z kanonická rovnica priamka na parametrické rovnice.

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapíšte si parametrické rovnice pre tento riadok.

Riešenie

Urobme prechod zo všeobecnej rovnice na kanonickú:

2 x - 5 rokov - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 r + 1 ⇔ 2 x = 5 r + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Teraz vezmeme obe strany výslednej kanonickej rovnice rovné λ, potom:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

odpoveď:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Všeobecnú rovnicu možno previesť na rovnicu priamky so sklonom y = k · x + b, ale iba vtedy, keď B ≠ 0. Pre prechod necháme na ľavej strane člen B y, zvyšok sa prenesie na pravú. Dostaneme: B y = - A x - C . Vydeľme obe strany výslednej rovnosti B, odlišnou od nuly: y = - A B x - C B.

Príklad 7

Všeobecná rovnica priamky je daná: 2 x + 7 y = 0. Túto rovnicu musíte previesť na rovnicu sklonu.

Riešenie

Vykonajte potrebné akcie podľa algoritmu:

2 x + 7 r = 0 ⇔ 7 r - 2 x ⇔ r = - 2 7 x

odpoveď: y = -27 x.

Zo všeobecnej rovnice priamky stačí jednoducho získať rovnicu v segmentoch tvaru x a + y b = 1. Aby sme urobili takýto prechod, presunieme číslo C na pravú stranu rovnosti, obe strany výslednej rovnosti vydelíme – C a nakoniec prenesieme koeficienty pre premenné x a y do menovateľov:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Príklad 8

Je potrebné transformovať všeobecnú rovnicu priamky x - 7 y + 1 2 = 0 na rovnicu priamky v segmentoch.

Riešenie

Presuňme 1 2 na pravú stranu: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Vydelme obe strany rovnosti -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

odpoveď: x-12 + y114 = 1.

Vo všeobecnosti je spätný prechod tiež jednoduchý: od iných typov rovníc k všeobecnému.

Rovnicu čiary v segmentoch a rovnicu s uhlovým koeficientom možno ľahko previesť na všeobecnú jednoduchým zhromaždením všetkých výrazov na ľavej strane rovnosti:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Kanonická rovnica sa prevedie na všeobecnú podľa nasledujúcej schémy:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Ak chcete prejsť z parametrických, najprv prejdite na kanonickú a potom na všeobecnú:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Príklad 9

Sú uvedené parametrické rovnice priamky x = - 1 + 2 · λ y = 4. Je potrebné zapísať všeobecnú rovnicu tohto riadku.

Riešenie

Urobme prechod z parametrické rovnice na kanonické:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Prejdime od kánonického k všeobecnému:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

odpoveď: y-4 = 0

Príklad 10

Je daná rovnica priamky v segmentoch x 3 + y 1 2 = 1. Je potrebné urobiť prechod na celkový vzhľad rovníc

Riešenie:

Rovnicu jednoducho prepíšeme do požadovaného tvaru:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

odpoveď: 1 3 x + 2 y - 1 = 0.

Zostavenie všeobecnej rovnice priamky

Vyššie sme si povedali, že všeobecnú rovnicu možno napísať so známymi súradnicami normálového vektora a súradnicami bodu, ktorým priamka prechádza. Takáto priamka je definovaná rovnicou A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tam sme tiež analyzovali zodpovedajúci príklad.

Teraz sa pozrime na viac komplexné príklady, v ktorom najprv musíte určiť súradnice normálového vektora.

Príklad 11

Daná je priamka rovnobežná s priamkou 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Známy je aj bod M 0 (4, 1), ktorým daná priamka prechádza. Je potrebné zapísať rovnicu daného riadku.

Riešenie

Počiatočné podmienky nám hovoria, že priamky sú rovnobežné, potom ako normálový vektor priamky, ktorej rovnicu je potrebné napísať, vezmeme smerový vektor priamky n → = (2, - 3): 2 x - 3 r + 3 3 = 0. Teraz poznáme všetky potrebné údaje na vytvorenie všeobecnej rovnice čiary:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

odpoveď: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Príklad 12

Daná priamka prechádza počiatkom kolmo na priamku x - 2 3 = y + 4 5. Pre daný riadok je potrebné vytvoriť všeobecnú rovnicu.

Riešenie

Normálový vektor danej priamky bude smerový vektor priamky x - 2 3 = y + 4 5.

Potom n → = (3, 5) . Priamka prechádza počiatkom, t.j. cez bod O (0, 0). Vytvorme všeobecnú rovnicu pre daný riadok:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odpoveď: 3 x + 5 y = 0 .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter