Aritmetický koreň n-tého stupňa nezáporného čísla je nezáporné číslo n-tý stupeňčo sa rovná:

Stupeň koreňa je prirodzené číslo, väčší ako 1.

3.

4.

Špeciálne prípady:

1. Ak je koreňový exponent nepárne celé číslo(), potom môže byť radikálny výraz záporný.

V prípade nepárneho exponentu rovnica pre akúkoľvek skutočnú hodnotu a celé číslo VŽDY má jeden koreň:

Pre koreň nepárneho stupňa platí nasledujúca identita:

,

2. Ak je koreňový exponent párne celé číslo (), potom radikálny výraz nemôže byť negatívny.

V prípade párneho exponentu, Eq. Má

pri jediný koreň

a ak a

Pre odmocninu párneho stupňa platí nasledujúca identita:

Pre odmocninu párneho stupňa platia nasledujúce rovnosti::

Mocninná funkcia, jej vlastnosti a graf.

Mocninná funkcia a jej vlastnosti.

Mocninná funkcia s prirodzeným exponentom. Funkcia y = x n, kde n je prirodzené číslo, sa nazýva mocninná funkcia s prirodzeným exponentom. Pre n = 1 dostaneme funkciu y = x, jej vlastnosti:

Priama úmernosť. Priama úmernosť je funkcia definovaná vzorcom y = kx n, kde číslo k sa nazýva koeficient úmernosti.

Uveďme si vlastnosti funkcie y = kx.

Definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel.

y = kx - nie dokonca funkciu(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) Pre k > 0 sa funkcia zvyšuje a pre k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Graf (priamka) je znázornený na obrázku II.1.

Ryža. II.1.

Keď n=2 dostaneme funkciu y = x 2, jej vlastnosti:

Funkcia y -x 2. Uveďme si vlastnosti funkcie y = x 2.

y = x 2 - párna funkcia (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

Funkcia počas intervalu klesá.

V skutočnosti, ak , potom - x 1 > - x 2 > 0, a preto

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, t.j. a to znamená, že funkcia klesá.

Graf funkcie y=x2 je parabola. Tento graf je znázornený na obrázku II.2.

Ryža. II.2.

Keď n = 3 dostaneme funkciu y = x 3, jej vlastnosti:

Definičný obor funkcie je celý číselný rad.

y = x 3 - nepárna funkcia (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Funkcia y = x 3 rastie pozdĺž celej číselnej osi. Graf funkcie y = x 3 je znázornený na obrázku. Nazýva sa to kubická parabola.

Graf (kubická parabola) je znázornený na obrázku II.3.

Ryža. II.3.

Nech n je ľubovoľné párne prirodzené číslo väčšie ako dva:

n = 4, 6, 8,... . V tomto prípade má funkcia y = x n rovnaké vlastnosti ako funkcia y = x 2. Graf takejto funkcie pripomína parabolu y = x 2, iba vetvy grafu v |n| >1 čím strmšie idú nahor, tým väčšie n a čím viac „pritlačené“ k osi x, tým väčšie n.

Nech n je ľubovoľné nepárne číslo väčšie ako tri: n = = 5, 7, 9, ... . V tomto prípade má funkcia y = x n rovnaké vlastnosti ako funkcia y = x 3. Graf takejto funkcie pripomína kubickú parabolu (len vetvy grafu idú strmšie nahor a nadol, čím väčšie n je. Všimnite si tiež, že na intervale (0; 1) sa graf mocninnej funkcie y = x n pohybuje smerom od osi x pomalšie, čím sa x zvyšuje, tým viac ako n.

Mocninná funkcia s exponentom celého záporného čísla. Uvažujme funkciu y = x - n, kde n je prirodzené číslo. Keď n = 1, dostaneme y = x - n alebo y = Vlastnosti tejto funkcie:

Graf (hyperbola) je znázornený na obrázku II.4.

Prvá úroveň

Koreň a jeho vlastnosti. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Pokúsme sa zistiť, čo je tento pojem „koreň“ a „s čím sa jedáva“. Aby sme to urobili, pozrime sa na príklady, s ktorými ste sa už na hodine stretli (dobre, alebo sa s tým ešte len chystáte).

Napríklad máme rovnicu. Aké je riešenie tejto rovnice? Aké čísla možno odmocniť a získať? Keď si pamätáte tabuľku násobenia, môžete ľahko dať odpoveď: a (koniec koncov, keď sa vynásobia dve záporné čísla, získa sa kladné číslo)! Pre zjednodušenie zaviedli matematici špeciálny pojem odmocniny a priradili jej špeciálny symbol.

Definujme aritmetickú druhú odmocninu.

Prečo musí byť číslo nezáporné? Čomu sa to napríklad rovná? No, dobre, skúsme vybrať jeden. Možno tri? Skontrolujeme: , nie. Možno, ? Opäť skontrolujeme: . No nehodí sa to? Dá sa to očakávať – pretože neexistujú čísla, ktoré po odmocnení dávajú záporné číslo!
Toto si musíte zapamätať: číslo alebo výraz pod koreňovým znakom musí byť nezáporný!

Tí najpozornejší si však už zrejme všimli, že definícia hovorí, že riešenie odmocniny z „čísla sa nazýva toto nezápornéčíslo, ktorého druhá mocnina sa rovná ". Niektorí z vás si povedia, že na úplnom začiatku sme analyzovali príklad, vybrané čísla, ktoré sa dajú odmocniť a získať, odpoveď bola a, ale tu hovoríme o nejakom „nezápornom čísle“! Táto poznámka je celkom namieste. Tu stačí rozlišovať medzi pojmami kvadratických rovníc a aritmetickou druhou odmocninou čísla. Napríklad, nie je ekvivalentné s výrazom.

Z toho vyplýva, že, teda, resp. (Prečítajte si tému "")

A z toho vyplýva.

Samozrejme, je to veľmi mätúce, ale je potrebné si uvedomiť, že znamienka sú výsledkom riešenia rovnice, keďže pri riešení rovnice musíme zapísať všetky X, ktoré po dosadení do pôvodnej rovnice dajú správny výsledok. V našom kvadratická rovnica vhodné pre oboch.

Ak však stačí vziať druhú odmocninu z niečoho, potom vždy dostaneme jeden nezáporný výsledok.

Teraz skúste vyriešiť túto rovnicu. Všetko už nie je také jednoduché a hladké, však? Skúste si prejsť čísla, možno niečo vyjde? Začnime úplne od začiatku - od nuly: - nezmestí, ideme ďalej - menej ako tri, tiež pozametať, čo keby. Skontrolujeme: - tiež nevhodné, pretože... to je viac ako tri. Je to rovnaký príbeh so zápornými číslami. Čo by sme teda teraz mali robiť? Naozaj nám hľadanie nič nedalo? Ani nie, teraz už s istotou vieme, že odpoveďou bude nejaké číslo medzi a, ako aj medzi a. Riešenia samozrejme nebudú celé čísla. Navyše nie sú racionálni. Takže, čo bude ďalej? Nakreslíme funkciu grafu a označíme na nej riešenia.

Pokúsme sa oklamať systém a získať odpoveď pomocou kalkulačky! Poďme z toho dostať koreň! Oh-oh-och, ukázalo sa, že. Toto číslo nikdy nekončí. Ako si to môžete zapamätať, keď na skúške nebude kalkulačka!? Všetko je veľmi jednoduché, nemusíte si to pamätať, stačí si zapamätať (alebo vedieť rýchlo odhadnúť) približnú hodnotu. a samotné odpovede. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne, aby sa zjednodušilo písanie takýchto čísel, bol zavedený pojem odmocniny.

Pozrime sa na ďalší príklad, aby sme to potvrdili. Pozrime sa na nasledujúci problém: potrebujete prejsť štvorcové pole so stranou km diagonálne, koľko km musíte prejsť?

Najzrejmejšou vecou je zvážiť trojuholník oddelene a použiť Pytagorovu vetu: . Teda, . Aká je tu teda požadovaná vzdialenosť? Je zrejmé, že vzdialenosť nemôže byť záporná, to sme pochopili. Odmocnina dvoch je približne rovnaká, ale ako sme už uviedli, - je už úplná odpoveď.

Ak chcete vyriešiť príklady s koreňmi bez toho, aby ste spôsobovali problémy, musíte ich vidieť a rozpoznať. Na to potrebujete poznať aspoň druhé mocniny čísel od do a vedieť ich aj rozpoznať. Napríklad potrebujete vedieť, čo sa rovná štvorcu, a tiež naopak, čo sa rovná štvorcu.

Zachytili ste, čo je druhá odmocnina? Potom vyriešte niekoľko príkladov.

Príklady.

No a ako to dopadlo? Teraz sa pozrime na tieto príklady:

Odpovede:

Kockový koreň

Zdá sa, že sme vyriešili koncept druhej odmocniny, teraz sa pokúsme zistiť, čo je odmocnina a aký je ich rozdiel.

Odmocnina čísla je číslo, ktorého kocka sa rovná. Všimli ste si, že tu je všetko oveľa jednoduchšie? Neexistujú žiadne obmedzenia možné hodnoty hodnoty pod znamienkom odmocniny kocky aj extrahované číslo. To znamená, že odmocninu kocky možno extrahovať z ľubovoľného čísla: .

Rozumiete, čo je koreň kocky a ako ho extrahovať? Potom pokračujte a vyriešte príklady.

Príklady.

Odpovede:

Koreň - oh stupeň

Dobre, pochopili sme pojmy odmocniny a kocky. Teraz zhrňme poznatky získané s konceptom 1. koreň.

1. koreňčísla je číslo, ktorého mocnina je rovnaká, t.j.

ekvivalent.

Ak - dokonca, To:

• s negatívom, výraz nedáva zmysel (párne odmocniny záporných čísel nemožno odstrániť!);
• za nezáporné() výraz má jeden nezáporný koreň.

Ak je – nepárne, výraz má jedinečný koreň pre ľubovoľný.

Nezľaknite sa, platia tu rovnaké zásady ako pri odmocninách a kockách. Teda princípy, ktoré sme pri zvažovaní uplatňovali odmocniny, rozšíriť na všetky korene párneho stupňa.

A vlastnosti, ktoré boli použité pre koreň kocky, platia pre korene nepárneho stupňa.

No, už je to jasnejšie? Pozrime sa na príklady:

Tu je všetko viac-menej jasné: najprv sa pozrieme - áno, stupeň je párny, číslo pod odmocninou je kladné, čo znamená, že našou úlohou je nájsť číslo, ktorého štvrtá mocnina nám dá. No, nejaké dohady? Možno, ? presne tak!

Takže stupeň je rovný - nepárny, číslo pod odmocninou je záporné. Našou úlohou je nájsť číslo, ktoré po zvýšení na mocninu produkuje. Je dosť ťažké okamžite si všimnúť koreň. Svoje vyhľadávanie však môžete okamžite zúžiť, však? Po prvé, požadované číslo je určite záporné a po druhé, možno si všimnúť, že je nepárne, a preto je požadované číslo nepárne. Pokúste sa nájsť koreň. Samozrejme, môžete to pokojne odmietnuť. Možno, ?

Áno, toto sme hľadali! Všimnite si, že na zjednodušenie výpočtu sme použili vlastnosti stupňov: .

Základné vlastnosti koreňov

To je jasné? Ak nie, potom by po zhliadnutí príkladov malo všetko zapadnúť.

Násobenie koreňov

Ako rozmnožiť korene? Najjednoduchšia a najzákladnejšia vlastnosť pomáha odpovedať na túto otázku:

Začnime niečím jednoduchým:

Nie sú korene výsledných čísel presne extrahované? Žiadny problém – tu je niekoľko príkladov:

Čo ak nie sú dvaja, ale viac násobiteľov? Rovnaký! Vzorec na násobenie koreňov funguje s ľubovoľným počtom faktorov:

Čo s tým môžeme robiť? No, samozrejme, schovajte tri pod odmocninou, pamätajte na to, že trojka je druhá odmocnina z!

Prečo to potrebujeme? Áno, len pre rozšírenie našich možností pri riešení príkladov:

Ako sa vám páči táto vlastnosť koreňov? Zjednodušuje to život? Pre mňa je to presne tak! Len si to musíte pamätať Môžeme zadať iba kladné čísla pod znamienkom párneho stupňa.

Pozrime sa, kde inde to môže byť užitočné. Napríklad problém vyžaduje porovnanie dvoch čísel:

To viac:

Nedá sa to povedať hneď. Využime teda vlastnosť rozobratého zadania čísla pod znak koreňa? Potom pokračujte:

No, veď čo väčšie číslo pod znakom koreňa, tým väčší je samotný koreň! Tie. Ak potom, . Z toho pevne usudzujeme. A nikto nás nepresvedčí o opaku!

Predtým sme zadali násobiteľ pod znamienkom koreňa, ale ako ho odstrániť? Musíte to len započítať do faktorov a extrahovať to, čo extrahujete!

Bolo možné ísť inou cestou a rozšíriť sa o ďalšie faktory:

Nie je to zlé, však? Ktorýkoľvek z týchto prístupov je správny, rozhodnite sa, ako chcete.

Tu je napríklad nasledujúci výraz:

V tomto príklade je stupeň párny, ale čo ak je nepárny? Opäť použite vlastnosti mocnin a všetko zohľadnite:

Zdá sa, že všetko je jasné, ale ako extrahovať odmocninu čísla na mocninu? Tu je napríklad toto:

Celkom jednoduché, však? Čo ak je stupeň viac ako dva? Postupujeme podľa rovnakej logiky pomocou vlastností stupňov:

No, je všetko jasné? Potom tu je príklad:

Toto sú úskalia, o nich vždy stojí za zapamätanie. To sa v skutočnosti odráža v príkladoch nehnuteľností:

za nepárne: pre párne a:

To je jasné? Posilnite príkladmi:

Áno, vidíme, že odmocnina je párna, záporné číslo pod odmocninou je tiež párna mocnina. No funguje to rovnako? Tu je čo:

To je všetko! Tu je niekoľko príkladov:

Mám to? Potom pokračujte a vyriešte príklady.

Príklady.

Odpovede.

Ak ste dostali odpovede, potom môžete pokojne pokračovať ďalej. Ak nie, pochopme tieto príklady:

Pozrime sa na dve ďalšie vlastnosti koreňov:

Tieto vlastnosti je potrebné analyzovať na príkladoch. Dobre, urobíme to?

Mám to? Zabezpečme to.

Príklady.

Odpovede.

KORENE A ICH VLASTNOSTI. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Aritmetická druhá odmocnina

Rovnica má dve riešenia: a. Sú to čísla, ktorých druhá mocnina sa rovná.

Zvážte rovnicu. Poďme to vyriešiť graficky. Nakreslíme graf funkcie a čiaru na úrovni. Riešením budú priesečníky týchto čiar. Vidíme, že aj táto rovnica má dve riešenia – jedno kladné, druhé záporné:

Ale v tomto prípade riešenia nie sú celé čísla. Navyše nie sú racionálni. Aby sme si tieto iracionálne rozhodnutia zapísali, zavedieme špeciálny symbol druhej odmocniny.

Aritmetická druhá odmocnina je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná. Keď výraz nie je definovaný, pretože Neexistuje žiadne číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná zápornému číslu.

Odmocnina: .

Napríklad, . A z toho vyplýva, že resp.

Dovoľte mi ešte raz upriamiť vašu pozornosť, toto je veľmi dôležité: Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo: !

Kockový koreňčíslo je číslo, ktorého kocka sa rovná. Kocka je definovaná pre každého. Dá sa extrahovať z ľubovoľného čísla: . Ako vidíte, môže nadobudnúť aj záporné hodnoty.

Tá odmocnina čísla je číslo, ktorého mocnina je rovnaká, t.j.

Ak je párny, potom:

• ak, potom tý koreň a nie je definovaný.
• ak, potom nezáporný koreň rovnice sa nazýva aritmetický koreň tého stupňa a označuje sa.

Ak je - nepárne, potom má rovnica jedinečný koreň pre ľubovoľnú.

Všimli ste si, že vľavo nad znamienkom koreňa píšeme jeho stupeň? Ale nie pre druhú odmocninu! Ak vidíte koreň bez stupňa, znamená to, že je štvorcový (stupne).

Príklady.

Základné vlastnosti koreňov

KORENE A ICH VLASTNOSTI. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Druhá odmocnina (aritmetická odmocnina) od nezáporného čísla sa nazýva toto nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná

Vlastnosti koreňa:

Aritmetický koreň druhého stupňa

Definícia 1

Druhá odmocnina (alebo druhá odmocnina) z $a$ zavolajte číslo, ktoré sa po druhej mocnine rovná $a$.

Príklad 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, čo znamená, že číslo $7$ je 2. odmocninou čísla $49$;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, čo znamená, že číslo $0.9$ je 2. odmocninou čísla $0.81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, čo znamená, že číslo $1$ je 2. odmocninou čísla $1$.

Poznámka 2

Jednoducho povedané, pre akékoľvek číslo $a

$a=b^2$ pre záporné $a$ je nesprávne, pretože $a=b^2$ nemôže byť záporné pre žiadnu hodnotu $b$.

Dá sa usúdiť, že pre reálne čísla nemôže byť 2. odmocnina záporného čísla.

Poznámka 3

Pretože $0^2=0 \cdot 0=0$, potom z definície vyplýva, že nula je 2. odmocninou nuly.

Definícia 2

Aritmetický koreň 2. stupňa čísla $a$($a \ge 0$) je nezáporné číslo, ktoré sa po druhej mocnine rovná $a$.

Korene 2. stupňa sa tiež nazývajú odmocniny.

Aritmetický koreň 2. stupňa čísla $a$ je označený ako $\sqrt(a)$ alebo môžete vidieť zápis $\sqrt(a)$. Ale najčastejšie pre druhú odmocninu je číslo $2$ koreňový exponent- nešpecifikované. Znak „$\sqrt( )$“ je znakom aritmetického koreňa 2. stupňa, ktorý sa tiež nazýva „ radikálne znamenie" Pojmy „koreň“ a „radikál“ sú názvy toho istého objektu.

Ak je pod aritmetickým koreňovým znakom číslo, potom sa volá radikálne číslo a ak výraz, potom – radikálny prejav.

Záznam $\sqrt(8)$ sa číta ako „aritmetický koreň 2. stupňa ôsmich“ a slovo „aritmetický“ sa často nepoužíva.

Definícia 3

Podľa definície aritmetický koreň 2. stupňa dá sa napísať:

Pre akékoľvek $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Ukázali sme rozdiel medzi druhým koreňom a aritmetickým druhým koreňom. Ďalej budeme brať do úvahy iba korene nezáporných čísel a výrazov, t.j. iba aritmetika.

Aritmetický koreň tretieho stupňa

Definícia 4

Aritmetický odmocnina 3. stupňa (alebo odmocnina) z čísla $a$($a \ge 0$) je nezáporné číslo, ktoré sa pri delení na kocku rovná $a$.

Často sa slovo aritmetika vynecháva a hovorí sa „tretí koreň čísla $a$“.

Aritmetický koreň 3. stupňa $a$ je označený ako $\sqrt(a)$, znak „$\sqrt( )$“ je znakom aritmetického koreňa 3. stupňa a číslo $3$ v tento zápis sa nazýva koreňový index. Zavolá sa číslo alebo výraz, ktorý sa objaví pod koreňovým znakom radikálny.

Príklad 2

$\sqrt(3,5)$ – aritmetická odmocnina 3. stupňa z $3,5$ alebo odmocnina z $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – aritmetická odmocnina 3. stupňa z $x+5$ alebo odmocnina z $x+5$.

Aritmetický n-tý koreň

Definícia 5

Aritmetika n-tý koreň stupňa od čísla $a \ge 0$ sa volá nezáporné číslo, ktoré sa po umocnení $n$-tej rovná $a$.

Zápis pre aritmetický koreň stupňa $n$ z $a \ge 0$:

kde $a$ je radikálne číslo alebo výraz,

rozhodneme sa jednoduchá úloha nájdením strany štvorca, ktorého plocha je 9 cm2. Ak predpokladáme, že strana štvorca A cm, potom zostavíme rovnicu podľa podmienok úlohy:

A X A = 9

A2 = 9

A2-9 = 0

(A-3)(A+3)=0

A=3 alebo A=-3

Dĺžka strany štvorca nemôže byť záporné číslo, preto je potrebná strana štvorca 3 cm.

Pri riešení rovnice sme našli čísla 3 a -3, ktorých druhé mocniny sú 9. Každé z týchto čísel sa nazýva druhá odmocnina čísla 9. Nezápor týchto koreňov, teda číslo 3, sa nazýva aritmetický koreň čísla.

Je celkom logické akceptovať fakt, že odmocninu možno nájsť od čísiel až po tretiu mocninu (kocka), štvrtú mocninu atď. A v princípe je koreň inverznou operáciou umocňovania.

Rootn stupeň z čísla α je také číslo b, Kde b n = α .

Tu n- obyčajne sa volá prirodzené číslo koreňový index(alebo stupeň koreňa); spravidla je väčší alebo rovný 2, pretože prípad n = 1 banálny.

Označený na liste ako symbol (koreňový znak) na pravej strane je tzv radikálny. číslo α - radikálny prejav. V našom príklade s partiou by riešenie mohlo vyzerať takto: pretože (± 3) 2 = 9 .

Dostali sme kladné a záporné hodnoty koreňa. Táto funkcia komplikuje výpočty. Pre dosiahnutie jednoznačnosti bol zavedený koncept aritmetický koreň, ktorého hodnota je vždy so znamienkom plus, teda len kladná.

Root volal aritmetika, ak je extrahovaný z kladného čísla a sám je kladným číslom.

Napríklad,

Existuje len jeden aritmetický koreň daného stupňa z daného čísla.

Operácia výpočtu sa zvyčajne nazýva „ extrakcia koreňov n stupeň“ spomedzi α . V podstate vykonávame operáciu inverznú k zvýšeniu na mocninu, konkrétne nájdenie základne moci b podľa známeho ukazovateľa n a výsledok pozdvihnutia k moci

α = mld.

Korene druhého a tretieho stupňa sa v praxi používajú častejšie ako iné, a preto dostali špeciálne pomenovania.

Druhá odmocnina: V tomto prípade je zvykom nepísať exponent 2 a výraz „odmocnina“ bez uvedenia exponentu najčastejšie znamená druhú odmocninu. Geometricky interpretovaná je dĺžka strany štvorca, ktorej plocha sa rovná α .

Odmocnina kocky: Geometricky interpretovaná dĺžka hrany kocky, ktorej objem sa rovná α .

Vlastnosti aritmetických koreňov.

1) Pri výpočte aritmetický koreň produktu, je potrebné extrahovať z každého faktora zvlášť

Napríklad,

2) Na výpočet koreň zlomku, je potrebné ho extrahovať z čitateľa a menovateľa tohto zlomku

Napríklad,

3) Pri výpočte koreň stupňa, musíte exponent vydeliť koreňovým exponentom

Napríklad,

Prvé výpočty súvisiace s extrakciou druhej odmocniny boli nájdené v prácach matematikov starovekého Babylonu a Číny, Indie, Grécka (o úspechoch staroveký Egypt v zdrojoch nie sú v tomto smere žiadne informácie).

Matematici starovekého Babylonu (2. tisícročie pred Kristom) používali na extrakciu druhej odmocniny špeciálnu numerickú metódu. Počiatočná aproximácia pre druhú odmocninu bola nájdená na základe prirodzeného čísla najbližšieho ku koreňu (v menšom smere) n. Prezentácia radikálneho výrazu vo forme: a=n2+r, dostaneme: x 0 = n+r/2n, potom sa použil iteračný proces spresňovania:

Iterácie v tejto metóde konvergujú veľmi rýchlo. pre ,

Napríklad, a=5; n=2; r = 1; x 0 = 9/4 = 2,25 a dostaneme postupnosť aproximácií:

V konečnej hodnote sú všetky číslice správne okrem poslednej.

Gréci formulovali problém zdvojnásobenia kocky, ktorý sa zredukoval na zostrojenie odmocniny pomocou kružidla a pravítka. Pravidlá pre výpočet akéhokoľvek stupňa celého čísla študovali matematici v Indii a arabských štátoch. Potom boli široko rozvinuté v stredovekej Európe.

Dnes, pre pohodlie výpočtu štvorcových a kockových koreňov, sú kalkulačky široko používané.

Koreňový stupeň n z reálneho čísla a, Kde n- prirodzené číslo, takéto reálne číslo sa nazýva X, n ktorého tý stupeň sa rovná a.

Koreňový stupeň n z čísla a je označené symbolom. Podľa tejto definície.

Nájdenie koreňa n stupňa spomedzi a nazývaná extrakcia koreňov. číslo A sa nazýva radikálne číslo (výraz), n- koreňový indikátor. Za nepárny n je tam koreň n-tá mocnina pre akékoľvek reálne číslo a. Keď párne n je tam koreň n-tá mocnina len pre nezáporné čísla a. Ak chcete rozlíšiť koreň n stupňa spomedzi a, zavádza sa pojem aritmetického koreňa n stupňa spomedzi a.

Pojem aritmetického koreňa stupňa N

Ak n- prirodzené číslo, väčšie 1 , potom je tu len jedno nezáporné číslo X tak, aby bola splnená rovnosť. Toto číslo X nazývaný aritmetický koreň n mocnina nezáporného čísla A a je určený. číslo A sa nazýva radikálne číslo, n- koreňový indikátor.

Takže podľa definície zápis , kde , znamená po prvé to a po druhé, že, t.j. .

Pojem titul s racionálnym exponentom

Stupeň s prirodzeným exponentom: let A je skutočné číslo a n- prirodzené číslo väčšie ako jedna, n-tá mocnina čísla A zavolajte do práce n faktory, z ktorých každý je rovnaký A, t.j. . číslo A- základ diplomu, n- exponent. Mocnina s nulovým exponentom: podľa definície, ak , potom . Nulová mocnina čísla 0 nedáva zmysel. Stupeň so záporným exponentom celého čísla: predpokladá sa podľa definície, ak a n je prirodzené číslo, teda . Stupeň so zlomkovým exponentom: podľa definície sa predpokladá, ak a n- prirodzené číslo, m je celé číslo, potom .

Operácie s koreňmi.

Vo všetkých nižšie uvedených vzorcoch symbol znamená aritmetický koreň (radikálový výraz je kladný).

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná pomeru koreňov dividendy a deliteľa:

3. Pri zvýšení odmocniny na mocninu stačí povýšiť radikálne číslo na túto mocninu:

4. Ak zväčšíte stupeň odmocniny n-krát a súčasne zvýšite radikálne číslo na n-tú mocninu, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň odmocniny n-krát a súčasne vytiahnete n-tý odmocninec radikálového čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Rozšírenie pojmu titul. Doteraz sme uvažovali o stupňoch len s prirodzenými exponentmi; ale operácie s mocninami a odmocninami môžu viesť aj k záporným, nulovým a zlomkovým exponentom. Všetky tieto exponenty vyžadujú dodatočnú definíciu.

Titul so záporným exponentom. Mocnina určitého čísla so záporným (celočíselným) exponentom je definovaná ako mocnina rovnakého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote záporného exponentu:

Teraz vzorec a m: a n = a m - n možno použiť nielen pre m väčšie ako n, ale aj pre m menšie ako n.

PRÍKLAD a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Ak chceme, aby vzorec a m: a n = a m - n platil pre m = n, potrebujeme definíciu nultého stupňa.

Titul s nulovým indexom. Mocnina akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom je 1.

PRÍKLADY. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Aby ste zvýšili reálne číslo a na mocninu m / n, musíte extrahovať n-tu odmocninu m-tej mocniny tohto čísla a:

O výrazoch, ktoré nemajú žiadny význam. Existuje niekoľko takýchto výrazov.

Prípad 1.

Kde a ≠ 0 neexistuje.

V skutočnosti, ak predpokladáme, že x je určité číslo, tak v súlade s definíciou operácie delenia máme: a = 0 x, t.j. a = 0, čo je v rozpore s podmienkou: a ≠ 0

Prípad 2

Akékoľvek číslo.

V skutočnosti, ak predpokladáme, že tento výraz sa rovná určitému číslu x, potom podľa definície operácie delenia máme: 0 = 0 · x. Ale táto rovnosť platí pre akékoľvek číslo x, čo je potrebné dokázať.

naozaj,

Riešenie zvážte tri hlavné prípady:

1) x = 0 – táto hodnota nevyhovuje túto rovnicu

2) pre x > 0 dostaneme: x / x = 1, t.j. 1 = 1, čo znamená, že x je ľubovoľné číslo; ale ak vezmeme do úvahy, že v našom prípade x > 0, odpoveď je x > 0;

3) pri x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

v tomto prípade neexistuje riešenie. Takže x > 0.