Čo sú to polygóny? Lekcia "Polygóny"

V tejto lekcii začneme Nová téma a zaviesť pre nás nový pojem: „polygón“. Pozrieme sa na základné pojmy spojené s polygónmi: strany, vrcholové uhly, konvexnosť a nekonvexnosť. Potom preukážeme najdôležitejšie fakty ako napríklad veta o súčte vnútorné rohy mnohouholník, veta o súčte vonkajších uhlov mnohouholníka. V dôsledku toho sa priblížime k štúdiu špeciálnych prípadov polygónov, o ktorých budeme uvažovať v ďalších lekciách.

Téma: Štvoruholníky

Lekcia: Mnohouholníky

V kurze geometrie študujeme vlastnosti geometrické tvary a už sme zvážili najjednoduchšie z nich: trojuholníky a kruhy. Zároveň sme diskutovali aj o špecifických špeciálnych prípadoch týchto obrazcov, ako sú pravý, rovnoramenný a pravidelný trojuholník. Teraz je čas hovoriť o všeobecnejších a komplexnejších číslach - polygóny.

So špeciálnym prípadom polygóny už poznáme - ide o trojuholník (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Trojuholník

Už samotný názov zdôrazňuje, že ide o postavu s tromi uhlami. Preto v mnohouholník môže ich byť veľa, t.j. viac ako tri. Nakreslíme napríklad päťuholník (pozri obr. 2), t.j. figúrka s piatimi rohmi.

Ryža. 2. Pentagon. Konvexný mnohouholník

Definícia.Polygón- obrazec pozostávajúci z niekoľkých bodov (viac ako dvoch) a zodpovedajúceho počtu segmentov, ktoré ich postupne spájajú. Tieto body sa nazývajú vrcholov polygón a segmenty sú strany. V tomto prípade žiadne dve susedné strany neležia na tej istej priamke a žiadne dve nesusediace strany sa nepretínajú.

Definícia.Pravidelný mnohouholník je konvexný mnohouholník, v ktorom sú všetky strany a uhly rovnaké.

akýkoľvek mnohouholník rozdeľuje rovinu na dve oblasti: vnútornú a vonkajšiu. Vnútorná oblasť sa označuje aj ako mnohouholník.

Inými slovami, napríklad keď hovoria o päťuholníku, majú na mysli celý jeho vnútorný región aj jeho hranicu. A do vnútorný priestor zahŕňajú aj všetky body, ktoré ležia vo vnútri mnohouholníka, t.j. bod sa vzťahuje aj na päťuholník (pozri obr. 2).

Polygóny sa tiež niekedy nazývajú n-uholníky, aby sa zdôraznilo, že sa berie do úvahy všeobecný prípad prítomnosti nejakého neznámeho počtu uhlov (n kusov).

Definícia. Polygónový obvod- súčet dĺžok strán mnohouholníka.

Teraz sa musíme zoznámiť s typmi polygónov. Delia sa na konvexné A nekonvexné. Napríklad polygón znázornený na obr. 2 je konvexný a na obr. 3 nekonvexné.

Ryža. 3. Nekonvexný mnohouholník

Definícia 1. Polygón volal konvexné, ak pri kreslení priamky cez ktorúkoľvek jej stranu, celú mnohouholník leží iba na jednej strane tejto priamky. Nekonvexné sú všetci ostatní polygóny.

Je ľahké si predstaviť, že pri predĺžení ktorejkoľvek strany päťuholníka na obr. 2 to všetko bude na jednej strane tejto priamky, t.j. je konvexná. Ale pri kreslení priamky cez štvoruholník na obr. 3 už vidíme, že ho rozdeľuje na dve časti, t.j. nie je konvexná.

Existuje však iná definícia konvexnosti mnohouholníka.

Definícia 2. Polygón volal konvexné, ak pri výbere ľubovoľných dvoch jeho vnútorných bodov a ich spojení s úsečkou sú všetky body úsečky zároveň vnútornými bodmi mnohouholníka.

Ukážku použitia tejto definície môžeme vidieť na príklade konštrukcie segmentov na obr. 2 a 3.

Definícia. Uhlopriečka mnohouholníka je akýkoľvek segment spájajúci dva nesusediace vrcholy.

Na opis vlastností mnohouholníkov existujú dve najdôležitejšie vety o ich uhloch: veta o súčte vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka A veta o súčte vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka. Pozrime sa na ne.

Veta. Na súčte vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka (n-gon).

Kde je počet jeho uhlov (stran).

Dôkaz 1. Znázornime na obr. 4 konvexný n-uholník.

Ryža. 4. Konvexný n-uholník

Z vrcholu nakreslíme všetky možné uhlopriečky. Rozdeľujú n-uholník na trojuholníky, pretože každá zo strán mnohouholníka tvorí trojuholník, okrem strán susediacich s vrcholom. Z obrázku je ľahké vidieť, že súčet uhlov všetkých týchto trojuholníkov sa bude presne rovnať súčtu vnútorných uhlov n-uholníka. Keďže súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je , potom súčet vnútorných uhlov n-uholníka je:

Q.E.D.

Dôkaz 2. Ďalší dôkaz tejto vety je možný. Nakreslíme podobný n-uholník na obr. 5 a spojte ktorýkoľvek z jeho vnútorných bodov so všetkými vrcholmi.

Ryža. 5.

Získali sme rozdelenie n-uholníka na n trojuholníkov (koľko strán má trojuholníkov). Súčet všetkých ich uhlov sa rovná súčtu vnútorných uhlov mnohouholníka a súčtu uhlov vo vnútornom bode a toto je uhol. Máme:

Q.E.D.

Osvedčené.

Podľa dokázanej vety je zrejmé, že súčet uhlov n-uholníka závisí od počtu jeho strán (na n). Napríklad v trojuholníku a súčet uhlov je . V štvoruholníku a súčet uhlov je atď.

Veta. Na súčte vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka (n-gon).

Kde je počet jeho uhlov (stran) a , ..., sú vonkajšie uhly.

Dôkaz. Znázornime konvexný n-uholník na obr. 6 a označujú jeho vnútorné a vonkajšie uhly.

Ryža. 6. Konvexný n-uholník s určenými vonkajšími uhlami

Pretože Vonkajší roh je spojený s vnútorným ako susediaci a podobne pre zostávajúce vonkajšie rohy. potom:

Pri transformáciách sme použili už osvedčenú vetu o súčte vnútorných uhlov n-uholníka.

Osvedčené.

Z dokázanej vety to vyplýva zaujímavý faktže súčet vonkajších uhlov konvexného n-uholníka sa rovná na počte jeho uhlov (stran). Mimochodom, na rozdiel od súčtu vnútorných uhlov.

Bibliografia

Alexandrov A.D. a iné Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2006.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. ročník. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Profmeter.com.ua ().
Narod.ru ().
Xvatit.com ().

Domáca úloha

Vlastnosti polygónov

Mnohouholník je geometrický útvar, zvyčajne definovaný ako uzavretá prerušovaná čiara bez vlastných priesečníkov (jednoduchý mnohouholník (obr. 1a)), niekedy sú však povolené priesečníky (vtedy nie je mnohouholník jednoduchý).

Vrcholy mnohouholníka sa nazývajú vrcholy mnohouholníka a segmenty sa nazývajú strany mnohouholníka. Vrcholy mnohouholníka sa nazývajú susedné, ak sú koncami jednej z jeho strán. Segmenty spájajúce nesusediace vrcholy mnohouholníka sa nazývajú diagonály.

Uhol (alebo vnútorný uhol) konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol, ktorý zvierajú jeho strany zbiehajúce sa v tomto vrchole a uhol sa vypočíta zo strany mnohouholníka. Najmä uhol môže presiahnuť 180°, ak polygón nie je konvexný.

Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol susediaci s vnútorným uhlom mnohouholníka v tomto vrchole. Vonkajší uhol je vo všeobecnosti rozdiel medzi 180° a vnútorným uhlom. Pre > 3 má každý vrchol -uholníka 3 uhlopriečky, takže celkový počet uhlopriečok -uholníka je rovnaký.

Mnohouholník s tromi vrcholmi sa nazýva trojuholník, so štyrmi - štvoruholník, s piatimi - päťuholník atď.

Polygón s n nazývané vrcholy n- námestie.

Plochý mnohouholník je obrazec, ktorý pozostáva z mnohouholníka a konečnej časti ním ohraničenej plochy.

Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak je splnená jedna z nasledujúcich (ekvivalentných) podmienok:

1. leží na jednej strane ľubovoľnej priamky spájajúcej jej susedné vrcholy. (t.j. predĺženia strán mnohouholníka nepretínajú jeho ostatné strany);
2. je to priesečník (t. j. spoločná časť) viacerých polrovín;
3. každý segment s koncami v bodoch patriacich do polygónu patrí celý do neho.

Konvexný mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky strany rovnaké a všetky uhly sú rovnaké, napríklad rovnostranný trojuholník, štvorec a päťuholník.

O konvexnom mnohouholníku sa hovorí, že je opísaný okolo kruhu, ak sa všetky jeho strany dotýkajú nejakého kruhu

Pravidelný mnohouholník je mnohouholník, v ktorom sú všetky uhly a všetky strany rovnaké.

Vlastnosti polygónov:

1 Každá uhlopriečka konvexného -uholníka, kde >3, ho rozloží na dva konvexné mnohouholníky.

2 Súčet všetkých uhlov konvexného trojuholníka je rovnaký.

D-vo: Vetu dokážeme metódou matematickej indukcie. Pri = 3 je to zrejmé. Predpokladajme, že veta platí pre -gon, kde <, a dokázať to za -gon.

Nech je daný mnohouholník. Nakreslíme si uhlopriečku tohto mnohouholníka. Podľa vety 3 sa mnohouholník rozloží na trojuholník a konvexný trojuholník (obr. 5). Podľa indukčnej hypotézy. Na druhej strane, . Pridanie týchto rovnosti a zohľadnenie toho (- vnútorný uhlový lúč ) A (- vnútorný uhlový lúč ), dostaneme keď dostaneme: .

3 Okolo akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka môžete opísať kružnicu a iba jednu.

D-vo: Nechaj pravidelný mnohouholník, a a sú osy uhlov a (obr. 150). Odvtedy teda * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Dokážme to O = OA 2 = O =… = OA P . Trojuholník O rovnoramenné teda O= O. Podľa druhého kritéria rovnosti trojuholníkov teda O = O. Podobne je dokázané, že O = O atď. Takže pointa O je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov mnohouholníka, teda kružnica so stredom O polomer O je ohraničený okolo mnohouholníka.

Dokážme teraz, že existuje len jeden opísaný kruh. Zvážte niektoré tri vrcholy mnohouholníka, napr. A 2 , . Keďže týmito bodmi prechádza len jeden kruh, tak okolo polygónu … Nemôžete opísať viac ako jeden kruh.

4 Kruh môžete vpísať do akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka, a to iba do jedného.
5 Kruh vpísaný do pravidelného mnohouholníka sa dotýka strán mnohouholníka v ich stredoch.
6 Stred kružnice opísanej okolo pravidelného mnohouholníka sa zhoduje so stredom kružnice vpísanej do toho istého mnohouholníka.
7 Symetria:

Hovorí sa, že postava má symetriu (symetrickú), ak existuje taký pohyb (nie identický), ktorý túto postavu premietne do seba.

7.1. Všeobecný trojuholník nemá osi ani stredy súmernosti, je asymetrický. Rovnoramenný (ale nie rovnostranný) trojuholník má jednu os symetrie: kolmicu na základňu.
7.2. Rovnostranný trojuholník má tri osi symetrie (kolmice na strany) a rotačnú symetriu okolo stredu s uhlom rotácie 120°.

7.3 Každý pravidelný n-uholník má n osí symetrie, všetky prechádzajú jeho stredom. Má tiež rotačnú symetriu okolo stredu s uhlom natočenia.

Keď párne n Niektoré osi symetrie prechádzajú cez protiľahlé vrcholy, iné cez stredy protiľahlých strán.

Za nepárny n každá os prechádza vrchom a stredom opačnej strany.

Stred pravidelného mnohouholníka s párnym počtom strán je jeho stredom symetrie. Pravidelný mnohouholník s nepárnym počtom strán nemá stred symetrie.

8 Podobnosť:

S podobnosťou a -gon prechádza do -gon, polrovina do polroviny, teda konvexná n- uhol sa stáva konvexným n- gon.

Veta: Ak strany a uhly konvexných mnohouholníkov spĺňajú rovnosti:

kde je pódiový koeficient

potom sú tieto polygóny podobné.

8.1 Pomer obvodov dvoch podobných polygónov sa rovná koeficientu podobnosti.
8.2. Pomer plôch dvoch konvexných podobných mnohouholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

teorém o obvode mnohouholníkového trojuholníka

§ 1 Pojem trojuholníka

V tejto lekcii sa zoznámite s takými tvarmi, ako sú trojuholníky a mnohouholníky.

Ak sú tri body, ktoré neležia na tej istej čiare, spojené segmentmi, dostanete trojuholník. Trojuholník má tri vrcholy a tri strany.

Pred vami je trojuholník ABC, má tri vrcholy (bod A, bod B a bod C) a tri strany (AB, AC a CB).

Mimochodom, tieto isté strany možno nazvať inak:

AB=BA, AC=SA, CB=BC.

Strany trojuholníka zvierajú vo vrcholoch trojuholníka tri uhly. Na obrázku vidíte uhol A, uhol B, uhol C.

Trojuholník je teda geometrický útvar tvorený tromi segmentmi, ktoré spájajú tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke.

§ 2 Pojem mnohouholník a jeho druhy

Okrem trojuholníkov existujú štvoruholníky, päťuholníky, šesťuholníky atď. Jedným slovom sa dajú nazvať polygóny.

Na obrázku vidíte štvoruholník DMKE.

Body D, M, K a E sú vrcholy štvoruholníka.

Segmenty DM, MK, KE, ED sú stranami tohto štvoruholníka. Rovnako ako v prípade trojuholníka, strany štvoruholníka zvierajú vo vrcholoch štyri uhly, ako ste uhádli, odtiaľ názov - štvoruholník. Pre tento štvoruholník vidíte na obrázku uhol D, uhol M, uhol K a uhol E.

Ktoré štvoruholníky už poznáte?

Štvorec a obdĺžnik! Každý z nich má štyri rohy a štyri strany.

Ďalším typom mnohouholníka je päťuholník.

Body O, P, X, Y, T sú vrcholy päťuholníka a úsečky TO, OP, PX, XY, YT sú strany tohto päťuholníka. Päťuholník má päť uhlov a päť strán.

Koľko uhlov a strán má podľa vás šesťuholník? Správne, šesť! Podobným spôsobom môžeme povedať, koľko strán, vrcholov alebo uhlov má konkrétny mnohouholník. A môžeme konštatovať, že trojuholník je tiež mnohouholník, ktorý má práve tri uhly, tri strany a tri vrcholy.

V tejto lekcii ste sa teda zoznámili s pojmami ako trojuholník a mnohouholník. Dozvedeli sme sa, že trojuholník má 3 vrcholy, 3 strany a 3 uhly, štvoruholník má 4 vrcholy, 4 strany a 4 uhly, päťuholník má 5 strán, 5 vrcholov, 5 uhlov atď.

Zoznam použitej literatúry:

Matematika 5. ročník. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. a ďalšie 31. vyd. - M: 2013.
Didaktické materiály pre matematiku 5. ročník. Autor - Popov M.A. - rok 2013
Počítame bez chýb. Práca s autotestom v 5.-6. ročníku matematiky. Autor - Minaeva S.S. - rok 2014
Didaktické materiály pre matematiku 5. ročník. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Testy a samostatná práca z matematiky 5. ročník. Autori - Popov M.A. - rok 2012
Matematika. 5. ročník: výchovný. pre študentov všeobecného vzdelávania. inštitúcie / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009

Ako sa nazýva mnohouholník? Typy polygónov. POLYGON, plochý geometrický útvar s tromi alebo viacerými stranami pretínajúcimi sa v troch alebo viacerých bodoch (vrcholoch). Definícia. Mnohouholník je geometrický útvar ohraničený zo všetkých strán uzavretou prerušovanou čiarou, pozostávajúcou z troch alebo viacerých segmentov (spojok). Trojuholník je určite mnohouholník. Mnohouholník je obrazec, ktorý má päť alebo viac uhlov.

Definícia. Štvoruholník je plochý geometrický útvar pozostávajúci zo štyroch bodov (vrcholov štvoruholníka) a štyroch po sebe idúcich segmentov, ktoré ich spájajú (strany štvoruholníka).

Obdĺžnik je štvoruholník so všetkými pravými uhlami. Sú pomenované podľa počtu strán alebo vrcholov: TROJUHOLNÍK (trojstranný); QUADAGON (štvorstranný); PENTAGON (päťstranný) atď. V elementárnej geometrii sa obrazec nazýva obrazec ohraničený rovnými čiarami nazývanými strany. Body, v ktorých sa strany pretínajú, sa nazývajú vrcholy. Mnohouholník má viac ako tri uhly. Toto je akceptované alebo dohodnuté.

Trojuholník je trojuholník. A štvoruholník tiež nie je mnohouholník a nenazýva sa štvoruholník - je to štvorec, kosoštvorec alebo lichobežník. Skutočnosť, že polygón s tromi stranami a tromi uhlami má svoj vlastný názov „trojuholník“, ho nezbavuje jeho štatútu mnohouholníka.

Pozrite sa, čo je „POLYGON“ v iných slovníkoch:

Dozvedáme sa, že tento údaj je ohraničený uzavretou prerušovanou čiarou, ktorá zase môže byť jednoduchá, uzavretá. Povedzme si niečo o tom, že polygóny môžu byť ploché, pravidelné alebo konvexné. Kto by nepočul o tajomnom Bermudskom trojuholníku, v ktorom bez stopy miznú lode a lietadlá? Ale trojuholník, ktorý je nám známy z detstva, je plný mnohých zaujímavých a tajomných vecí.

Aj keď, samozrejme, za mnohouholník možno považovať aj postavu pozostávajúcu z troch uhlov

Na charakterizáciu postavy to však nestačí. Prerušovaná čiara A1A2...An je obrazec, ktorý pozostáva z bodov A1,A2,...An a segmentov A1A2, A2A3,..., ktoré ich spájajú. Jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara sa nazýva mnohouholník, ak jej susedné články neležia na rovnakej priamke (obr. 5). Dosaďte konkrétne číslo, napríklad 3, v slove „polygón“ namiesto časti „veľa“, dostanete trojuholník. Všimnite si, že koľko uhlov je, toľko je strán, takže tieto obrazce by sme mohli nazvať polylaterálne.

Nech A1A2...A n je daný konvexný mnohouholník a n>3. Nakreslíme do nej diagonály (z jedného vrcholu)

Súčet uhlov každého trojuholníka je 1800 a počet týchto trojuholníkov n je 2. Preto súčet uhlov konvexného n - trojuholníka A1A2...A n je 1800* (n - 2). Veta bola dokázaná. Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol susediaci s vnútorným uhlom mnohouholníka v tomto vrchole.

V štvoruholníku nakreslite priamku tak, aby ju rozdelila na tri trojuholníky

Štvoruholník nikdy nemá tri vrcholy na tej istej priamke. Slovo „polygón“ znamená, že všetky postavy v tejto rodine majú „mnoho uhlov“. Prerušovaná čiara sa nazýva jednoduchá, ak nemá žiadne vlastné priesečníky (obr. 2, 3).

Dĺžka prerušovanej čiary je súčtom dĺžok jej článkov (obr. 4). V prípade n=3 veta platí. Takže štvorec môže byť nazývaný inak - pravidelný štvoruholník. Takéto postavy už dlho zaujímajú remeselníkov, ktorí zdobili budovy.

Počet vrcholov sa rovná počtu strán. Polyline sa nazýva uzavretá, ak sa jej konce zhodujú. Robili krásne vzory, napríklad na parketách. náš päťcípa hviezda- pravidelná päťuholníková hviezda.

Ale nie všetky bežné mnohouholníky sa dali použiť na výrobu parkiet. Pozrime sa bližšie na dva typy mnohouholníkov: trojuholník a štvoruholník. Mnohouholník, v ktorom sú všetky vnútorné uhly rovnaké, sa nazýva pravidelný. Polygóny sú pomenované podľa počtu strán alebo vrcholov.

Téma: „Typy mnohouholníkov“.

9. ročníka

SHL č.20

Učiteľ: Kharitonovič T.I.Účel lekcie: štúdium typov polygónov.

Učebná úloha: aktualizovať, rozširovať a zovšeobecňovať vedomosti študentov o polygónoch; vytvoriť predstavu o „ komponentov” mnohouholník; vykonať množstevný prieskum základné prvky pravidelné mnohouholníky (od trojuholníka po n-uholník);

Vývojová úloha: rozvíjať schopnosť analyzovať, porovnávať, vyvodzovať závery, rozvíjať výpočtové schopnosti, ústnu a písomnú matematickú reč, pamäť, ako aj samostatnosť v myslení a vzdelávacie aktivity, schopnosť pracovať vo dvojiciach a skupinách; rozvíjať výskumné a vzdelávacie aktivity;

Vzdelávacia úloha: pestovať samostatnosť, aktivitu, zodpovednosť za zadanú prácu, vytrvalosť pri dosahovaní cieľa.

Vybavenie: interaktívna tabuľa (prezentácia)

Počas vyučovania

Prezentácia zobrazujúca: „Polygóny“

"Príroda hovorí jazykom matematiky, písmenami tohto jazyka ... matematickými číslami." G.Galliley

Na začiatku hodiny sa trieda rozdelí na pracovné skupiny (v našom prípade rozdelené do 3 skupín)

1. Call stage-

a) aktualizácia vedomostí študentov o danej téme;

b) vzbudenie záujmu o preberanú tému, motivácia každého žiaka k vzdelávacej činnosti.

Technika: Hra „Veríš, že...“, organizácia práce s textom.

Formy práce: frontálna, skupinová.

„Veríš, že...“

1. ... slovo „mnohouholník“ naznačuje, že všetky figúry v tejto rodine majú „veľa uhlov“?

2. ... patrí trojuholník do veľkej rodiny mnohouholníkov, ktoré sa vyznačujú rôznymi geometrickými tvarmi v rovine?

3. ... je štvorec pravidelný osemuholník (štyri strany + štyri rohy)?

Dnes v lekcii budeme hovoriť o polygónoch. Dozvedáme sa, že tento údaj je ohraničený uzavretou prerušovanou čiarou, ktorá zase môže byť jednoduchá, uzavretá. Povedzme si niečo o tom, že polygóny môžu byť ploché, pravidelné alebo konvexné. Jedným z plochých polygónov je trojuholník, s ktorým ste už dlho oboznámení (môžete študentom ukázať plagáty zobrazujúce polygóny, prerušovanú čiaru, ukázať im rôzne druhy, môžete použiť aj PPS).

2. Štádium koncepcie

Cieľ: získať nové informácie, pochopiť ich, vybrať si ich.

Technika: cikcak.

Formy práce: individuálna->párová->skupinová.

Každý člen skupiny dostane text k téme vyučovacej hodiny a text je zostavený tak, aby obsahoval už študentom známe aj informácie úplne nové. Spolu s textom žiaci dostávajú otázky, na ktoré treba nájsť odpovede v tomto texte.

Polygóny. Typy polygónov.

Kto by nepočul o tajomnom Bermudskom trojuholníku, v ktorom bez stopy miznú lode a lietadlá? Ale trojuholník, ktorý je nám známy z detstva, je plný mnohých zaujímavých a tajomných vecí.

Popri nám už známych typoch trojuholníkov rozdelených podľa strán (škálový, rovnoramenný, rovnostranný) a uhlov (akútny, tupý, pravouhlý), patrí trojuholník do veľkej rodiny mnohouholníkov, ktoré sa vyznačujú mnohými rôznymi geometrickými tvarmi na lietadlo.

Slovo „polygón“ znamená, že všetky figúry v tejto rodine majú „mnoho uhlov“. Na charakterizáciu postavy to však nestačí.

Prerušovaná čiara A1A2...An je obrazec, ktorý pozostáva z bodov A1,A2,...An a segmentov A1A2, A2A3,..., ktoré ich spájajú. Body sa nazývajú vrcholy lomenej čiary a segmenty sa nazývajú spojnice lomenej čiary. (obr. 1)

Prerušovaná čiara sa nazýva jednoduchá, ak nemá žiadne vlastné priesečníky (obr. 2, 3).

Polyline sa nazýva uzavretá, ak sa jej konce zhodujú. Dĺžka prerušovanej čiary je súčtom dĺžok jej článkov (obr. 4)

Jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara sa nazýva mnohouholník, ak jej susedné články neležia na rovnakej priamke (obr. 5).

Dosaďte konkrétne číslo, napríklad 3, v slove „polygón“ namiesto časti „veľa“, dostanete trojuholník. Alebo 5. Potom - päťuholník. Všimnite si, že koľko uhlov je, toľko je strán, takže tieto obrazce by sme mohli nazvať polylaterálne.

Vrcholy prerušovanej čiary sa nazývajú vrcholy mnohouholníka a spojnice prerušovanej čiary sa nazývajú strany mnohouholníka.

Mnohouholník rozdeľuje rovinu na dve oblasti: vnútornú a vonkajšiu (obr. 6).

Rovinný mnohouholník alebo mnohouholníková oblasť je konečná časť roviny ohraničená mnohouholníkom.

Dva vrcholy mnohouholníka, ktoré sú koncami jednej strany, sa nazývajú susedné. Vrcholy, ktoré nie sú koncami jednej strany, nie sú susedné.

Mnohouholník s n vrcholmi, a teda n stranami, sa nazýva n-uholník.

Hoci najmenší počet strán mnohouholníka je 3. Ale trojuholníky, keď sú navzájom spojené, môžu vytvárať ďalšie obrazce, ktoré sú zase tiež mnohouholníkmi.

Segmenty spájajúce nesusediace vrcholy mnohouholníka sa nazývajú diagonály.

Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak leží v rovnakej polrovine vzhľadom na akúkoľvek priamku obsahujúcu jeho stranu. V tomto prípade sa samotná priamka považuje za súčasť POLROVINY

Uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol, ktorý zvierajú jeho strany zbiehajúce sa v tomto vrchole.

Dokážme vetu (o súčte uhlov konvexného n-uholníka): Súčet uhlov konvexného n-uholníka sa rovná 1800*(n - 2).

Dôkaz. V prípade n=3 veta platí. Nech A1A2...A n je daný konvexný mnohouholník a n>3. Nakreslíme do nej uhlopriečky (z jedného vrcholu). Keďže je mnohouholník konvexný, tieto uhlopriečky ho rozdeľujú na n – 2 trojuholníky. Súčet uhlov mnohouholníka je súčtom uhlov všetkých týchto trojuholníkov. Súčet uhlov každého trojuholníka je 1800 a počet týchto trojuholníkov n je 2. Preto súčet uhlov konvexného n trojuholníka A1A2...A n je 1800* (n - 2). Veta bola dokázaná.

Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka v danom vrchole je uhol susediaci s vnútorným uhlom mnohouholníka v tomto vrchole.

Konvexný mnohouholník sa nazýva pravidelný, ak sú všetky jeho strany rovnaké a všetky uhly sú rovnaké.

Takže štvorec môže byť nazývaný inak - pravidelný štvoruholník. Pravidelné sú aj rovnostranné trojuholníky. Takéto postavy už dlho zaujímajú remeselníkov, ktorí zdobili budovy. Robili krásne vzory, napríklad na parketách. Ale nie všetky bežné mnohouholníky sa dali použiť na výrobu parkiet. Parkety nemôžu byť vyrobené z bežných osemuholníkov. Faktom je, že každý uhol sa rovná 1350. A ak je nejaký bod vrcholom dvoch takýchto osemuholníkov, potom ich podiel bude 2700 a tretí osemuholník sa tam nemá kam zmestiť: 3600 - 2700 = 900. Ale napr. štvorec to stačí. Preto môžete vyrobiť parkety z pravidelných osemuholníkov a štvorcov.

Aj hviezdičky majú pravdu. Naša päťcípa hviezda je pravidelná päťuholníková hviezda. A ak otočíte štvorec okolo stredu o 450, získate pravidelnú osemhrannú hviezdu.

Čo je to prerušovaná čiara? Vysvetlite, čo sú vrcholy a väzby lomenej čiary.

Ktorá prerušovaná čiara sa nazýva jednoduchá?

Ktorá prerušovaná čiara sa nazýva uzavretá?

Ako sa nazýva mnohouholník? Ako sa nazývajú vrcholy mnohouholníka? Ako sa nazývajú strany mnohouholníka?

Ktorý mnohouholník sa nazýva plochý? Uveďte príklady polygónov.

Čo je n – štvorec?

Vysvetlite, ktoré vrcholy mnohouholníka susedia a ktoré nie.

Aká je uhlopriečka mnohouholníka?

Ktorý mnohouholník sa nazýva konvexný?

Vysvetlite, ktoré uhly mnohouholníka sú vonkajšie a ktoré vnútorné?

Ktorý mnohouholník sa nazýva pravidelný? Uveďte príklady pravidelných mnohouholníkov.

Aký je súčet uhlov konvexného n-uholníka? Dokázať to.

Študenti pracujú s textom, hľadajú odpovede na položené otázky, potom sa vytvárajú expertné skupiny, v ktorých sa pracuje na rovnakých problémoch: študenti zdôrazňujú hlavné body, vypracúvajú podporné zhrnutie a prezentujú informácie v jednom z grafické formy. Po dokončení práce sa študenti vrátia do svojich pracovných skupín.

3. Fáza odrazu -

a) hodnotenie svojich vedomostí, výzva k ďalšiemu kroku vedomostí;

b) pochopenie a osvojenie si prijatých informácií.

Recepcia: výskumná práca.

Formy práce: individuálna->párová->skupinová.

Pracovné skupiny zahŕňajú špecialistov na zodpovedanie každej časti navrhovaných otázok.

Po návrate do pracovnej skupiny odborník oboznámi ostatných členov skupiny s odpoveďami na svoje otázky. Skupina si vymieňa informácie medzi všetkými členmi pracovnej skupiny. Teda v každom pracovná skupina, vďaka práci odborníkov dostáva svoju podobu Všeobecná myšlienka na študovanú tému.

Výskumštudentov- vyplnenie tabuľky.

Pravidelné mnohouholníky Výkres Počet strán Počet vrcholov Súčet všetkých vnútorných uhlov Vnútorná miera stupňov. uhol Miera stupňa vonkajšieho uhla Počet uhlopriečok

A) trojuholník

B) štvoruholník

B) päťdierkové

D) šesťuholník

D) n-uholník

Riešenie zaujímavé úlohy na tému lekcie.

1) Koľko strán má pravidelný mnohouholník, ktorého vnútorný uhol je 1350?

2) V určitom mnohouholníku sú všetky vnútorné uhly navzájom rovnaké. Môže byť súčet vnútorných uhlov tohto mnohouholníka: 3600, 3800?

3) Je možné postaviť päťuholník s uhlami 100,103,110,110,116 stupňov?

Zhrnutie lekcie.

Zapisovanie domácej úlohy: STRANA 66-72 č. 15,17 A ÚLOHA: V KVDRIAGÓNE NAKRESLITE ROVNÚ ČIARU TAK, ABY HO ROZDELIL NA TRI TROJUHOLNÍKY.

Reflexia formou testov (na interaktívnej tabuli)