Riešenie limitov online. Vypočítajte limity funkcií online

Inštrukcie

Priamy výpočet limitov je spojený predovšetkým s limitami racionálnych Qm(x)/Rn(x), kde Q a R sú polynómy. Ak sa limit vypočíta ako x →a (a je číslo), potom môže vzniknúť neistota napr. Aby ste to odstránili, vydeľte čitateľa a menovateľa (x-a). Opakujte operáciu, kým nezmizne neistota. Delenie polynómov sa vykonáva takmer rovnakým spôsobom ako delenie čísel. Vychádza zo skutočnosti, že delenie a násobenie sú inverzné operácie. Príklad je znázornený na obr. 1.

Aplikácia prvého pozoruhodného limitu. Vzorec pre prvý pozoruhodný limit je znázornený na obr. 2a. Ak ho chcete použiť, skonvertujte svoj vzorový výraz do príslušného tvaru. Vždy sa to dá urobiť čisto algebraicky alebo zmenou premennej. Hlavnou vecou je nezabudnúť, že ak je sínus kx, potom menovateľ je tiež kx. Príklad je znázornený na obr. 2e. Okrem toho, ak vezmeme do úvahy, že tgx=sinx/cosx, cos0=1, potom sa ako dôsledok objaví (pozri obr. 2b). arcsin(sinx)=x a arctg(tgx)=x. Preto sú tu ešte dva dôsledky (obr. 2c. a 2d). Vznikla pomerne široká škála metód.

Pozoruhodné je použitie druhého limitu (pozri obr. 3a). Limity tohto typu slúžia na elimináciu typu. Ak chcete vyriešiť príslušné problémy, jednoducho transformujte podmienku na štruktúru zodpovedajúcu typu limity. Pamätajte, že pri povýšení výrazu na silu, ktorá už je v nejakej moci, sa znásobia. Zodpovedajúci je znázornený na obr. 2e.Použite substitúciu α=1/х a získajte dôsledok druhej pozoruhodnej limity (obr. 2b). Ak vezmeme logaritmus oboch strán tohto následku k základu a, dostaneme sa k druhému následku v a pre a = e (pozri obr. 2c). Vykonajte náhradu a^x-1=y. Potom x=log(a)(1+y). Ako x má tendenciu k nule, y má tiež tendenciu k nule. Preto vzniká tretí dôsledok (pozri obr. 2d).

Aplikácia ekvivalentných infinitezimálov Infinitezimálne funkcie sú ekvivalentné ako x →a, ak limita ich pomeru α(x)/γ(x) je rovná jednej. Pri výpočte limity pomocou takýchto infinitezimál jednoducho napíšte γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) je infinitezimálom vyššieho rádu maličkosti ako α(x). Pre to lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Ak chcete zistiť ekvivalenciu, použite to isté úžasné limity. Metóda vám umožňuje výrazne zjednodušiť proces a urobiť ho transparentnejším.

Zdroje:

Shipachev V.S. Vyššia matematika. Učebnica pre univerzity. - 3. vyd., vymazané. - M.: Vyššie. škola, 1996. - 496 s.: ill.

Funkcia je jedným zo základných matematických pojmov. jej limit– to je hodnota, ku ktorej má argument tendenciu o limit túto veľkosť. Môžete to vypočítať pomocou niektorých techník, napríklad pravidla Bernoulli-L'Hopital.

Inštrukcie

Kalkulovať limit V daný bod x0, mali by ste nahradiť túto hodnotu argumentu do výrazu funkcie pod znakom lim. Vôbec nie je potrebné, aby táto patrila do oblasti o limit zmeny funkcií. Ak limit O limit en a rovní jednociferné číslo, potom sa hovorí, že funkcia konverguje. Ak nemôže byť o limit en alebo nekonečný v konkrétnom bode, potom existuje divergencia.

Riešenie: Dosaďte hodnotu x = -2 do výrazu:lim (x² – 6 x - 14)/(2 x² + 3 x - 6) = -1/2.

Riešenie nie je vždy také zrejmé a jednoduché, najmä ak je výraz príliš ťažkopádny. V tomto prípade by ste mali najskôr zjednodušiť jeho redukciu, zoskupovanie alebo nahradenie premennej: lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→- 2) (10 y3 - 1)/(2 y3 + y) = 9/2.

Často situácie nemožné limit leniya limit a najmä ak argument smeruje k nekonečnu alebo nule. Substitúcia neprináša očakávaný výsledok, čo vedie k neo limit vlastnosti formulára alebo [∞/∞]. Potom je použiteľný L'Hopital-Bernoulli, čo zahŕňa nájdenie prvej derivácie. Napríklad vypočítajte limit limit (x² – 5 x -14)/(2 x²+ x - 6) pri x→-2.

Solution.lim (x² – 5 x -14)/(2 x² + x - 6) = .

Nájdite deriváciu:lim (2 x - 5)/(4 x + 1) = 9/7.

lim (sinx/x) = 1 pre x → 0, platí to aj naopak: lim (x/sinx) = 1; x → 0. Argumentom môže byť akákoľvek konštrukcia, hlavná vec je, že jej hodnota smeruje k nule: lim (x³ – 5 x² + x)/sin(x³ – 5 x² + x) = 1; x → 0.

Video k téme

teória limity je pomerne rozsiahla oblasť matematickej analýzy. Tento koncept je aplikovateľný na funkciu a je konštrukciou troch prvkov: zápisu lim, výrazu pod limitným znakom a limitnej hodnoty argumentu.

Inštrukcie

Na výpočet limity je potrebné, čomu sa funkcia rovná v bode zodpovedajúcom limitnej hodnote argumentu. V niektorých prípadoch nemá konečné riešenie a nahradenie hodnoty, ku ktorej premenná smeruje, dáva tvar „nula k nule“ alebo „nekonečno k nekonečnu“. V tomto prípade platí , odvodené Bernoullim a L'Hopitalom, čo zahŕňa prevzatie prvej derivácie.

Ako každá matematická funkcia, limita môže obsahovať pod znamienkom funkčný výraz, ktorý je príliš ťažkopádny alebo nepohodlný na jednoduchú substitúciu. Potom je potrebné ho najskôr zjednodušiť, zaužívanými metódami, zoskupením, pridaním spoločného činiteľa a nahradením premennej, čím sa zmení limitná hodnota argumentu.

Máte šťastie, funkčný výraz dáva zmysel pre danú limitnú hodnotu argumentu. Toto je najjednoduchší prípad výpočtu limitu. Teraz vyriešte nasledujúci problém, ktorý zahŕňa nejednoznačný koncept nekonečna: lim_(x→∞) (5 - x).

Bernoulliho-L'Hopitalovo pravidlo:lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = . limit (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 – 8) = 8.

Nahradenie premennej: lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/( 125 + 5) = 27/26.

Grécke písmeno π (pi, pi) zvyčajne označuje pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Toto číslo, ktorý sa pôvodne objavil v dielach starovekých geometrov, sa neskôr ukázal ako veľmi dôležitý v mnohých odvetviach matematiky. To znamená, že to musíte vedieť vypočítať.

Inštrukcie

π - iracionálne číslo. To znamená, že ho nemožno reprezentovať ako zlomok s celým číslom a menovateľom. Navyše, π je transcendentálne číslo, teda nemôže slúžiť žiadnej algebraická rovnica. teda presná hodnotačísla π sa nedajú zapísať. Existujú však metódy, ktoré vám umožňujú vypočítať ho s ľubovoľným požadovaným stupňom presnosti.

Najstaršie, používané geometrami Grécka a Egypta, hovoria, že π sa približne rovná odmocnina od 10 alebo zlomku 256/81. Ale tieto vzorce dávajú hodnotu π rovnajúcu sa 3,16, a to zjavne nestačí.

S rozvojom diferenciálneho počtu a ďalších nových matematických disciplín majú vedci k dispozícii nový nástroj – mocninné rady. Gottfried Wilhelm Leibniz v roku 1674 zistil, že séria
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
konverguje v limite rovnajúcej sa π/4. Výpočet tohto súčtu je jednoduchý, ale na dosiahnutie dostatočnej presnosti je potrebných veľa krokov, pretože rad konverguje veľmi pomaly.

Následne boli objavené ďalšie mocninové rady, ktoré umožnili vypočítať π rýchlejšie ako pomocou Leibnizovho radu. Napríklad je známe, že tan(π/6) = 1/√3, teda arctan(1/√3) = π/6.
Funkcia arkustangens je rozšírená do mocninového radu a pre nastavená hodnota v dôsledku toho dostaneme:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3... + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
Pomocou tohto a ďalších podobných vzorcov čísloπ už bolo vypočítané s presnosťou na milióny desatinných miest.

Poznámka

Existuje mnoho spôsobov, ako vypočítať Pi. Najjednoduchšia a najzrozumiteľnejšia je numerická metóda Monte Carlo, ktorej podstata sa scvrkáva na najjednoduchší výpočet bodov na ploche. double y=polomer*polomer-x*x; vrátiť y; ) Program zobrazuje hodnoty Pi v závislosti od polomeru a počtu bodov. Čitateľovi ostáva už len to, aby si ho sám skompiloval a spustil s parametrami, aké chce.

Užitočné rady

Ale neúnavní vedci pokračovali a pokračovali vo výpočte desatinných miest pí, čo je v skutočnosti veľmi netriviálna úloha, pretože to nemôžete vypočítať len v stĺpci: toto číslo je nielen iracionálne, ale aj transcendentálne (to sú len tie čísla, ktoré nie sú, sú vypočítané podľa jednoduché rovnice). Vedcom na Tokijskej univerzite sa podarilo vytvoriť svetový rekord vo výpočte čísla Pi na 12 411 biliónov číslic.

Zdroje:

História Pi

Matematické metódy sa používajú v mnohých oblastiach vedy. Toto tvrdenie sa týka najmä diferenciálneho počtu. Napríklad, ak vypočítate druhú derivát funkcie vzdialenosti od časovej premennej, potom môžete nájsť zrýchlenie hmotného bodu.

Inštrukcie

Pre deriváty vyšších rádov sú zachované pravidlá a metódy diferenciácie. To sa týka niektorých elementárne funkcie, operácie sčítania a delenia, ako aj komplexné funkcie tvaru u(g(x)): u’ = C’ = 0 – derivácia konštanty; u’ = x’ = 1 – najjednoduchší z jedného argumentu; u’ = (x^a)’ = a x^(a-1); u’ = (а^х)’ = а^х ln а – exponenciálna funkcia;

Aritmetické operácie dvojice funkcií u(x) a g(x): (u + g)’ = u’ + g’; (u g)’ = u’ g + g’ u; (u/g)’ = (u’g – g’u)/g².

Ten druhý je dosť ťažký derivát komplexná funkcia. Na tento účel sa používajú metódy numerickej diferenciácie, hoci výsledok je približný, existuje takzvaná chyba aproximácie α:u''(x) = (u(x + h) – 2 u(x) + u(x - h) )/h² + α (h²) – Newtonov interpolačný polynóm;u''(x) = (-u(x + 2 h) + 16 u(x + h) – 30 u(x) + 16 u(x - h ) – u(x – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Striling.

Tieto vzorce obsahujú určitú hodnotu h. Nazýva sa to aproximácia, ktorej výber musí byť optimálny, aby sa minimalizovala chyba výpočtu. Výber správnu hodnotu h sa nazýva postupná regulácia: |u(x + h) – u(x)| > ε, kde ε je nekonečne malé.

Metóda výpočtu druhej derivácie sa používa pre celkový diferenciál druhého rádu. V tomto prípade sa pre každý argument vypočítava súkromne a podieľa sa na konečnom vyjadrení vo forme násobiteľa príslušného diferenciálu dх, dy atď.: d² u = ∂u'/∂х d²х + ∂u'/∂ y d²у + ∂u' /∂z d²z.

Príklad: nájdite druhú derivát funkcie u = 2 x sin x – 7 x³ + x^5/tg x.

Solutionu' = 2 hriechy x + 2 x cos x – 21 x² + 5 x^4/tg x – x²/sin² x;u'' = 4 cos x – 2 x hriech x – 42 x + 20 x³/tg x – 5 x^4/sin² x – 2 x/sin² x + 2 x² cos x/sin³ x.

Na štúdium povahy správania sa používajú metódy diferenciálneho počtu funkcie v matematickej analýze. Toto však nie je jediná oblasť ich použitia, ktorú je často potrebné nájsť derivát na výpočet limitných hodnôt v ekonomike, na výpočet rýchlosti alebo zrýchlenia vo fyzike.

Inštrukcie

Neistotu tvaru [∞-∞] odhalíme, ak máme na mysli rozdiel ľubovoľných zlomkov. Znížením tohto rozdielu na spoločného menovateľa získate určitý pomer funkcií.

Neistoty typu 0^∞, 1^∞, ∞^0 vznikajú pri výpočte typu p(x)^q(x). V tomto prípade sa používa predbežná diferenciácia. Potom bude mať požadovaný limit A podobu produktu, prípadne s hotovým menovateľom. Ak nie, potom môžete použiť metódu z príkladu 3. Hlavná vec je nezabudnúť si zapísať konečnú odpoveď v tvare e^A (pozri obr. 5).

Video k téme

Zdroje:

vypočítajte limit funkcie bez použitia L'Hopitalovho pravidla v roku 2019

Inštrukcie

Limita je určité číslo, ku ktorému smeruje premenná alebo hodnota výrazu. Premenné alebo funkcie majú zvyčajne tendenciu k nule alebo nekonečnu. Pri limite nula sa množstvo považuje za nekonečne malé. Inými slovami, veličiny, ktoré sú premenlivé a blížia sa k nule, sa nazývajú infinitezimálne. Ak smeruje k nekonečnu, potom sa nazýva nekonečná limita. Zvyčajne sa píše v tvare:
limx=+∞.

Má množstvo vlastností, z ktorých niektoré sú . Nižšie sú uvedené hlavné.
- jedno množstvo má len jeden limit;

Hranica konštantnej hodnoty rovná hodnote táto konštanta;

Hranica sumy sa rovná súčtu limitov: lim(x+y)=lim x + lim y;

Limit súčinu sa rovná súčinu limitov: lim(xy)=lim x * lim y

Konštantný faktor môže byť za hranicou znamienka: lim(Cx) = C * lim x, kde C=konšt;

Limita kvocientu sa rovná kvocientu limitov: lim(x/y)=lim x / lim y.

Pri problémoch s limitmi sa vyskytujú ako číselné výrazy a tieto výrazy. Môže to vyzerať najmä takto:
lim xn=a (pre n→∞).
Nižšie je jednoduchý limit:
limit 3n +1 /n+1

n→∞.
Ak chcete vyriešiť túto limitu, vydeľte celý výraz n jednotkami. Je známe, že ak je jednota deliteľná určitou hodnotou n→∞, potom limita 1/n rovná nule. Platí to aj naopak: ak n→0, potom 1/0=∞. Vydelením celého príkladu číslom n ho napíšte do nižšie uvedeného formulára a získajte:
limit 3+1/n/1+1/n=3

Pri riešení limitov môžu vzniknúť výsledky nazývané neistoty. V takýchto prípadoch platia pravidlá L'Hopital. K tomu zopakujú funkciu, čím sa príklad dostane do podoby, v ktorej by sa dal riešiť. Existujú dva typy neistôt: 0/0 a ∞/∞. Príklad s neistotou môže vyzerať najmä takto:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8

Video k téme

Výpočet limitov funkcie- základ matematického rozboru, ktorému je venovaných veľa strán v učebniciach. Niekedy však nie je jasná nielen definícia, ale ani samotná podstata limitu. Rozprávanie jednoduchým jazykom, limita je približovanie sa jednej premennej veličiny, ktorá závisí od inej, k určitej konkrétnej jednotlivej hodnote, keď sa táto iná veličina mení. Pre úspešné výpočty stačí mať na pamäti jednoduchý algoritmus riešenia.

Nech pre $x\to a$ sú funkcie $f(x)$ a $\varphi(x)$ obe nekonečne malé alebo obe nekonečne veľké. Potom je ich vzťah nedefinovaný v bode $x=a$ , v takom prípade sa hovorí, že predstavuje neistotu typu $\left[\frac(0)(0)\right]$ resp. Tento vzťah môže mať konečnú alebo nekonečnú hranicu v bode $x=a$ . Nájdenie tejto hranice sa nazýva odhalenie neistoty.

t_E1_p217_1
Veta(L'Hopital-Bernoulliho veta.)
Nech sú v nejakom okolí $P$ body $x=a$ funkcie $f(x)$ a $g(x)$ diferencovateľné všade okrem, možno, samotného bodu $x=a$, a nech $g "(x )\neq0$ na $P$. Ak sú funkcie $f(x)$ a $\varphi(x)$ súčasne buď nekonečne malé alebo nekonečne veľké pre $x\to a$ a existuje limit pomer $\frac (f"(x))(\varphi"(x))$ ich derivátov pre $x\to a$ , potom existuje aj limit na pomer $\frac(f(x))( g(x))$ svojich funkcií a

(1)

\begin(align) \lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))( g"(x)). \end(zarovnať)

Pravidlo () platí aj v prípade, keď $a=\infty$ .

m_KR_p156_1
Metóda(L'Hopitalovo pravidlo. Zverejnenie neistôt typu $\left[\frac(0)(0)\right]$ a $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$.)
Na základe vety () existuje všeobecná metóda nájdenie hranice vzťahu dvoch funkcií na základe rovnosti
$$\lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))(g"( x)).$$
Táto metóda sa nazýva L'Hopitalovo pravidlo .
Ak sú splnené podmienky vety () pre deriváty $f"(x)$ a $g"(x)$, potom možno znovu použiť L'Hopitalovo pravidlo:
$$\lim\limits_(x\to a)\frac(f(x))(g(x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f"(x))(g"( x))=\lim\limits_(x\to a)\frac(f""(x))(g""(x)).$$
V tomto prípade by sa v každom štádiu aplikácie L'Hopitalovho pravidla malo použiť identické transformácie, ktoré zjednodušia vzťah, a tiež kombinovať toto pravidlo s akýmikoľvek inými metódami na výpočet limitov.

e_E1_p218_1

Príklad
Nájsť $$\lim\limits_(x\to0)\frac(e^(2x)-1)(\arctan5x).$$
Pomocou vzorca () dostaneme: $$\lim\limits_(x\to0)\frac(e^(2x)-1)(\arctan5x)=\left[\frac(0)(0)\right]=\lim\limits_(x\to0 )\frac(2e^(2x))(\frac(1)(1+25x^2)\cdot5)=\frac(2)(5),$$ od $e^(2x)\to1$ a $\frac(1)(1+25x^2)\to1$ pri $x\to0$ .

e_E1_p218_1

Príklad
Nájsť $$\lim\limits_(x\to\infty)\frac(\ln2x)(x^3).$$
Dvojitým použitím vzorca () dostaneme: $$\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln^2x)(x^3)=\left[\frac(\infty)(\infty)\right]=\lim\limits_(x \to+\infty)\frac(\frac(2\ln x)(x))(3x^2)=\frac(2)(3)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln x)(x^3)=\frac(2)(3)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(x))(3x^2)=0,$$

e_E1_p218_1

Príklad
Nájsť $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3).$$
Používame vzorec (): $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\frac(1)(\cos^ 2x)-\cos x)(3x^2)=\frac(1)(3)\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos^3x)(x^2\cos^2x). $$
Oslobodme menovateľa zlomku od faktora $\cos^2x$ , keďže má limit $1$ pri $x\to0$ . Rozšírme rozdiel kociek v čitateli a uvoľnime čitateľa z faktora $(1+\cos x+\cos^2x)$ , ktorý má pri $x\to0$ limit $3$. Po týchto zjednodušeniach dostaneme $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos x)(x^2 ).$$
Opäť použijeme vzorec (): $$\lim\limits_(x\to0)\frac(\tan x-\sin x)(x^3)=\lim\limits_(x\to0)\frac(1-\cos x)(x^2 )=\lim\limits_(x\to0)\frac(\sin x)(2x).$$
Pomocou prvého úžasná hranica, získame konečnú odpoveď $\frac(1)(2)$ bez použitia L'Hopitalovho pravidla.

m_E1_p219_1
Metóda(L'Hopitalovo pravidlo. Rozširujúca sa neistota typu $\left$ .)
Kalkulovať $\lim\limits_(x\to a)f(x)g(x)$, kde $f(x)$ je nekonečne malé a $g(x)$ je nekonečne veľká funkcia pre $x\to a$ , súčin by mal byť transformovaný do tvaru $\frac(f(x))(1 /g( x))$ (neistota typu $\left[\frac(0)(0)\right]$ ) alebo do tvaru $\frac(g(x))(1/f(x)) $ (neistota typu $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$) a potom použite L'Hopitalovo pravidlo.

e_E1_p219_1

Príklad
Nájsť $$\lim\limits_(x\to1)\sin(x-1)\cdot\tan\frac(\pi x)(2).$$
Máme: $$\begin(pole)(c)\lim\limits_(x\to1)\sin(x-1)\cdot\tan\frac(\pi x)(2)=\left=\lim\limits_(x \to1)\frac(\sin(x-1))(\cot\frac(\pi x)(2))=\left[\frac(0)(0)\right]=\\=\lim\ limity_(x\to1)\frac(\cos(x-1))(-\frac(\pi)(2)\frac(1)(\sin^2\frac(\pi x)(2))) =-\frac(2)(\pi)\lim\limits_(x\to1)\cos(x-1)\sin^2\frac(\pi x)(2)=-\frac(2)(\ pi).\end(pole)$$

m_E1_p220_1
Metóda(L'Hopitalovo pravidlo. Rozširujúca sa neistota typu $\left[\infty-\infty\right]$ .)
Kalkulovať $\lim\limits_(x\to a)(f(x)-g(x))$, kde $f(x)$ a $g(x)$ sú nekonečne veľké funkcie pre $x\to a$ , rozdiel by sa mal transformovať do tvaru $f(x)\vľavo(1-\frac(g(x))(f(x))\vpravo)$, potom odhalte neistotu $\frac(g(x))(f(x))$ typu $\left[\frac(\infty)(\infty)\right]$. Ak $\lim\limits_(x\to a)\frac(g(x))(f(x))\neq1$, To $\lim\limits_(x\to a)(f(x)-\varphi(x))=\infty$. Ak $\lim\limits_(x\to a)\frac(\varphi(x))(f(x))=1$, potom získame neistotu typu $[\infty\cdot0]$ uvažovaného vyššie.

e_E1_p220_1

Príklad
Nájsť $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x).$$
Máme: $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x)=[\infty-\infty]=\lim\limits_(x\to+\infty)x\left(1-\frac( \ln^3x)(x)\vpravo).$$
Pretože $$\begin(pole)(c)\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ln^3x)(x)=\left[\frac(\infty)(\infty)\right]= \lim\limits_(x\to+\infty)\frac(3\ln^2x\cdot\frac(1)(x))(1)=3\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\ ln^2x)(x)=\\=3\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(2\ln x\cdot\frac(1)(x))(1)=6\lim\limits_ (x\to+\infty)\frac(\ln x)(x)=6\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(x))(1)=6\lim\ limity_(x\to+\infty)\frac(1)(x)=0,\end(pole)$$ To $$\lim\limits_(x\to+\infty)(x-\ln^3x)=+\infty.$$

m_E1_p221_1
Metóda(L'Hopitalovo pravidlo. Zverejnenie neistôt typu $\left$ , $\left[\infty^0\right]$ , $\left$ .)
Vo všetkých troch prípadoch máme na mysli výpočet limity výrazu $\left(f(x)\right)^(g(x))$ , kde $f(x)$ je v prvom prípade nekonečne malé, v druhom prípade case infinitely large , v treťom prípade funkcia, ktorá má limitu rovnú jednej. Funkcia $g(x)$ je v prvých dvoch prípadoch nekonečne malá a v treťom prípade nekonečne veľká.
Logaritmovaním výrazu $\left(f(x)\right)^(g(x))$ dostaneme rovnosť
$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$
Nájdeme limit $\ln y$ , po ktorom nájdeme limit $y$ . Vo všetkých troch prípadoch je $\ln y$ neistota typu $$, ktorej spôsob zverejnenia bol načrtnutý vyššie.

e_E1_p221_1

Príklad
Nájsť $$\lim\limits_(x\to+\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x).$$
Predstavme si notáciu $y=\vľavo(1+\frac(1)(x)\vpravo)^(2x)$. Potom $\ln y=2x\ln\vľavo(1+\frac(1)(x)\vpravo)$ je neistota $[\infty\cdot0]$ . Transformácia výrazu $\ln y$ do tvaru $\ln y=2\frac(\ln\vľavo(1+\frac(1)(x)\vpravo))(1/x)$, zistíme pomocou L'Hopitalovho pravidla $$\lim\limits_(x\to+\infty)\ln y=2\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(\frac(1)(1+\frac(1)(x))\ left(-\frac(1)(x^2)\right))(-\frac(1)(x^2))=2\lim\limits_(x\to+\infty)\frac(1)(1 +\frac(1)(x))=2,$$
teda $$\lim\limits_(x\to+\infty)y=\lim\limits_(x\to+\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^(2x)=e^2 .$$

Pravidlo hovorí, že ak funkcie f(X) A g(X) majú tieto podmienky:

potom je tu . Navyše, veta platí aj pre iné bázy (pre uvedenú bázu bude podaný dôkaz).

Príbeh

Metódu na odhalenie tohto druhu neistoty publikoval L'Hopital vo svojej práci „Analysis of Infinitesimals“, vydanej v tom istom roku. V predslove k tomuto dielu L'Hopital poukazuje na to, že bez váhania použil objavy Leibniza a bratov Bernoulliovcov a „nemá nič proti tomu, aby si nárokovali svoje autorské práva na čokoľvek, čo chcú“. Johann Bernoulli si urobil nárok na celé L'Hopitalovo dielo a najmä po L'Hopitalovej smrti publikoval prácu pod pozoruhodným názvom „Vylepšenie mojej metódy publikovanej v „Analýza infinitezimálov“ na určenie hodnoty zlomku, ktorého čitateľ a menovateľ niekedy zmizne.“

Dôkaz

Infinitezimálny pomer

Dokážme vetu pre prípad, keď sa limity funkcií rovnajú nule (tzv. neurčitosť tvaru ).

Keďže sa pozeráme na funkcie f A g len v pravom prerazenom polosusedstve bodu a, môžeme ich na tomto mieste priebežne definovať: nech f(a) = g(a) = 0 . Vezmime si nejaké X z uvažovaného polosusedstva a aplikujte na segment Cauchyho vetu. Touto vetou dostaneme:

ale f(a) = g(a) = 0 , Preto .

Src="/pictures/wiki/files/56/85e2b8bb13d6fb1ddcf88e22a4bb6ef2.png" border="0"> pre konečný limit a src="/pictures/wiki/files/101/e8b2f2b8861947c872d46 forp4d"> nekonečno,

čo je definícia limity pomeru funkcií.

Pomer nekonečne veľký

Dokážme vetu pre neurčitosti tvaru .

Na začiatok nech je limita pomeru derivácií konečná a rovná A. Potom, keď sa snažíme X Komu a na pravej strane možno tento vzťah zapísať ako A+ α, kde α - (1). Zapíšme si túto podmienku:

Poďme to napraviť t zo segmentu a aplikovať Cauchyho vetu na všetky X zo segmentu:

, ktorý možno zredukovať do nasledujúcej podoby:

Pre X, celkom blízko a, výraz dáva zmysel; limit prvého činiteľa pravej strany je rovný jednej (keďže f(t) A g(t) sú konštanty a f(X) A g(X) majú tendenciu k nekonečnu). To znamená, že tento faktor sa rovná 1 + β, kde β je nekonečne malá funkcia ako X Komu a napravo. Zapíšme si definíciu tejto skutočnosti pomocou rovnakej hodnoty ako v definícii pre α:

Zistili sme, že vzťah funkcií môže byť reprezentovaný v tvare (1 + β)( A+ a) a . Pre každý daný údaj možno nájsť také, že modul rozdielu medzi pomerom funkcií a A bola menšia ako , čo znamená, že hranica pomeru funkcií sa skutočne rovná A .

Ak je limit A je nekonečný (povedzme, že sa rovná plus nekonečnu), potom

(x))(g"(x))>2M)" src="/pictures/wiki/files/101/e46c5113c49712376d1c357b5b202a65.png" border="0">.

V definícii β budeme brať ; prvý faktor na pravej strane bude väčší ako 1/2, keď X, celkom blízko a a potom src="/pictures/wiki/files/50/2f7ced4a9b4b06f7b9085e982250dbcf.png" border="0">.

Pre ostatné základy sú dôkazy podobné tým, ktoré sú uvedené.

Príklady

(Len v prípade, že čitateľ aj menovateľ OBA majú tendenciu k 0; alebo k; alebo k.)

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „pravidlo L'Hopital“ v iných slovníkoch:

Historicky nesprávny názov pre jedno zo základných pravidiel zverejňovania neistoty. L. p. našiel I. Bernoulli a oznámil ho G. L'Hopitalovi (Pozri L'Hopital), ktorý toto pravidlo zverejnil v roku 1696. Pozri Neurčité výrazy ... Veľká sovietska encyklopédia

Zverejnenie neistôt tvaru znížením limity pomeru funkcií na limitu pomeru derivácií uvažovaných funkcií. Teda pre prípad, keď sú reálne funkcie f a g definované v punktovanom pravostrannom susedstve číselného bodu... ... Matematická encyklopédia

Bernoulliho L'Hopitalovo pravidlo je metóda na hľadanie limitov funkcií, odhaľovanie neurčitostí formy a. Veta odôvodňujúca metódu hovorí, že za určitých podmienok sa limita pomeru funkcií rovná limite pomeru ich derivácií.... ... Wikipedia

V matematickej analýze je L'Hopitalovo pravidlo metódou na nájdenie limity funkcií, ktorá odhaľuje neistoty tvaru 0 / 0 a. Veta odôvodňujúca metódu hovorí, že za určitých podmienok sa limita pomeru funkcií rovná limite... ... Wikipedia

Už sme začali chápať limity a ich riešenie. Pokračujme v horúcom prenasledovaní a vymyslime, ako vyriešiť limity podľa L'Hopitalovho pravidla. Toto jednoduché pravidlo schopný vám pomôcť dostať sa zo zákerných a zložitých pascí, ktoré učitelia radi používajú v príkladoch na testoch z vyššej matematiky a počtu. Riešenie pomocou L'Hopitalovho pravidla je jednoduché a rýchle. Hlavná vec je vedieť rozlišovať.

L'Hopitalovo pravidlo: História a definícia

V skutočnosti to nie je presne L'Hopitalovo pravidlo, ale pravidlo L'Hopital-Bernoulli. Sformuloval ho švajčiarsky matematik Johann Bernoulli a Francúz Guillaume L'Hopital prvýkrát publikoval vo svojej učebnici infinitesimals v slávnej 1696 rok. Viete si predstaviť, ako ľudia museli riešiť limity s odhalením neistôt, kým sa tak stalo? Nie sme.

Pred začatím analýzy L'Hopitalovho pravidla odporúčame prečítať si úvodný článok o a spôsoboch ich riešenia. V úlohách sa často vyskytuje formulácia: nájdite limit bez použitia L'Hopitalovho pravidla. Prečítajte si o technikách, ktoré vám s tým pomôžu, v našom článku.

Ak máte čo do činenia s limitami zlomkov dvoch funkcií, buďte pripravení: čoskoro narazíte na neurčitosť tvaru 0/0 alebo nekonečno/nekonečno. Čo to znamená? Čitateľ a menovateľ výrazu majú tendenciu k nule alebo nekonečnu. Čo robiť s takýmto limitom je na prvý pohľad úplne nejasné. Ak však použijete L'Hopitalovo pravidlo a trochu premýšľate, všetko zapadne na svoje miesto.

Ale sformulujme L'Hopital-Bernoulliho pravidlo. Aby sme boli úplne presní, vyjadruje to veta. L'Hopitalovo pravidlo, definícia:

Ak sú dve funkcie diferencovateľné v okolí bodu x=a v tomto bode miznú a existuje limit na pomer derivátov týchto funkcií, potom kedy X usilovať sa o A existuje limit na pomer samotných funkcií, ktorý sa rovná limitu na pomer derivácií.

Zapíšme si vzorec a všetko sa okamžite zjednoduší. L'Hopitalovo pravidlo, vzorec:

Keďže nás zaujíma praktická stránka problému, nebudeme tu uvádzať dôkaz tejto vety. Buď budete musieť vziať naše slovo, alebo si to nájsť v akejkoľvek učebnici matematickej analýzy a uistiť sa, že teorém je pravdivý.

Mimochodom! Pre našich čitateľov je teraz zľava 10%.

Odhalenie neistoty pomocou L'Hopitalovho pravidla

Aké nejasnosti môže pomôcť vyriešiť L'Hopitalovo pravidlo? Predtým sme hovorili hlavne o neistote 0/0 . To však zďaleka nie je jediná neistota, s ktorou sa možno stretnúť. Tu sú ďalšie typy neistôt:

Uvažujme o transformáciách, ktoré možno použiť na uvedenie týchto neistôt do tvaru 0/0 alebo nekonečna/nekonečna. Po transformácii môžete použiť pravidlo L'Hopital-Bernoulli a kliknúť na príklady ako orechy.

Neistota druhov nekonečno/nekonečno prichádza na neistotu formy 0/0 jednoduchá transformácia:

Nech existuje súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna má tendenciu k nule a druhá k nekonečnu. Aplikujeme transformáciu a súčin nuly a nekonečna sa zmení na neistotu 0/0 :

Nájsť limity s neistotami ako napr nekonečno mínus nekonečno používame nasledujúcu transformáciu vedúcu k neistote 0/0 :

Aby ste mohli použiť L'Hopitalovo pravidlo, musíte byť schopní brať deriváty. Nižšie je uvedená tabuľka derivátov elementárnych funkcií, ktoré môžete použiť pri riešení príkladov, ako aj pravidlá na výpočet derivátov komplexných funkcií:

Teraz prejdime na príklady.

Príklad 1

Nájdite limit pomocou L'Hopitalovho pravidla:

Príklad 2

Vypočítajte pomocou L'Hopitalovho pravidla:

Dôležitý bod! Ak limita druhej a nasledujúcich derivačných funkcií existuje X usilovať sa o A , potom je možné L'Hopitalovo pravidlo aplikovať niekoľkokrát.

Nájdime hranicu ( n – prirodzené číslo). Aby sme to dosiahli, použijeme L'Hopitalovo pravidlo n raz:

Prajeme veľa šťastia pri zvládaní matematickej analýzy. A ak potrebujete nájsť limit pomocou L'Hopitalovho pravidla, napíšte esej pomocou L'Hopitalovho pravidla, vypočítajte korene Diferenciálnej rovnice alebo dokonca vypočítajte tenzor zotrvačnosti telesa, kontaktujte našich autorov. Radi vám pomôžu pochopiť zložitosť riešenia.