V živote sa často budeme musieť potýkať s matematickými problémami: v škole, na univerzite a potom pomáhať dieťaťu s domácimi úlohami. Ľudia v určitých profesiách sa s matematikou budú stretávať denne. Preto je užitočné zapamätať si alebo pripomenúť si matematické pravidlá. V tomto článku sa pozrieme na jeden z nich: nájdenie strany pravouhlého trojuholníka.

Čo je pravouhlý trojuholník

Najprv si pripomeňme, čo je pravouhlý trojuholník. Pravý trojuholník je geometrický obrazec troch segmentov, ktoré spájajú body, ktoré neležia na rovnakej priamke, a jeden z uhlov tohto obrázku je 90 stupňov. Strany tvoriace pravý uhol sa nazývajú nohy a strana, ktorá leží oproti pravý uhol– prepona.

Nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka

Existuje niekoľko spôsobov, ako zistiť dĺžku nohy. Chcel by som ich zvážiť podrobnejšie.

Pytagorova veta na nájdenie strany pravouhlého trojuholníka

Ak poznáme preponu a nohu, môžeme nájsť dĺžku slávna noha podľa Pytagorovej vety. Znie to takto: "Štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh." Vzorec: c²=a²+b², kde c je prepona, a a b sú nohy. Transformujeme vzorec a dostaneme: a²=c²-b².

Príklad. Prepona je 5 cm a noha je 3 cm Transformujeme vzorec: c²=a²+b² → a²=c²-b². Ďalej riešime: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a=√16; a = 4 (cm).

Trigonometrické pomery na nájdenie ramena pravouhlého trojuholníka

Môžete tiež nájsť neznámu nohu, ak je známa akákoľvek iná strana a akýkoľvek ostrý uhol pravouhlého trojuholníka. Existujú štyri možnosti nájdenia nohy pomocou goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens, kotangens. Pri riešení problémov nám pomôže nasledujúca tabuľka. Zvážme tieto možnosti.

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou sínusu

Sínus uhla (sin) je pomer opačnej strany k prepone. Vzorec: sin=a/c, kde a je rameno oproti danému uhlu a c je prepona. Ďalej vzorec transformujeme a dostaneme: a=sin*c.

Príklad. Prepona je 10 cm, uhol A je 30 stupňov. Pomocou tabuľky vypočítame sínus uhla A, rovná sa 1/2. Potom pomocou transformovaného vzorca riešime: a=sin∠A*c; a = 1/2 x 10; a = 5 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou kosínusu

Kosínus uhla (cos) je pomer priľahlého ramena k prepone. Vzorec: cos=b/c, kde b je rameno susediace s daným uhlom a c je prepona. Transformujme vzorec a získame: b=cos*c.

Príklad. Uhol A sa rovná 60 stupňom, prepona sa rovná 10 cm Pomocou tabuľky vypočítame kosínus uhla A, rovná sa 1/2. Ďalej riešime: b=cos∠A*c; b = 1/2 x 10, b = 5 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou dotyčnice

Tangenta uhla (tg) je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Vzorec: tg=a/b, kde a je protiľahlá strana uhla a b je priľahlá strana. Transformujme vzorec a získame: a=tg*b.

Príklad. Uhol A sa rovná 45 stupňom, prepona sa rovná 10 cm Pomocou tabuľky vypočítame tangens uhla A, rovná sa Riešenie: a=tg∠A*b; a = 1 x 10; a = 10 (cm).

Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou kotangens

Kotangens uhla (ctg) je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane. Vzorec: ctg=b/a, kde b je rameno susediace s uhlom a je protiľahlé rameno. Inými slovami, kotangens je „obrátená tangenta“. Dostaneme: b=ctg*a.

Príklad. Uhol A je 30 stupňov, protiľahlá noha je 5 cm Podľa tabuľky je dotyčnica uhla A √3. Vypočítame: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b = 5°3 (cm).

Takže teraz viete, ako nájsť nohu v pravouhlom trojuholníku. Ako vidíte, nie je to také ťažké, hlavnou vecou je zapamätať si vzorce.

Geometria nie je jednoduchá veda. Vyžaduje si to osobitnú pozornosť a znalosť presných vzorcov. Tento typ matematiky k nám prišiel Staroveké Grécko a ani po niekoľkých tisíckach rokov nestráca na aktuálnosti. Nadarmo si nemyslite, že ide o zbytočný predmet, ktorý trápi študentov a školákov. V skutočnosti je geometria použiteľná v mnohých oblastiach života. Bez znalosti geometrie sa nepostaví ani jedna architektonická štruktúra, nevzniknú autá, vesmírne lode a lietadlá. Zložité a nie príliš zložité cestné križovatky a vyjazdené koľaje – to všetko si vyžaduje geometrické výpočty. Áno, dokonca niekedy nemôžete robiť opravy vo svojej izbe bez znalosti základných vzorcov. Preto nepodceňujte dôležitosť tejto témy. Študujeme najčastejšie vzorce, ktoré musíme v škole použiť pri mnohých riešeniach. Jedným z nich je nájdenie prepony v pravouhlom trojuholníku. Aby ste tomu porozumeli, prečítajte si nižšie.

Než začneme cvičiť, začnime so základmi a definujme, čo je prepona v pravouhlom trojuholníku.

Prepona je jedna zo strán pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu (pravý uhol) a je vždy najdlhšia.

Existuje niekoľko spôsobov, ako zistiť dĺžku požadovanej prepony v danom pravouhlom trojuholníku.

V prípade, že sú nám už nohy známe, použijeme Pytagorovu vetu, kde sčítame súčet druhých mocnín dvoch nôh, ktorý sa bude rovnať druhej mocnine prepony.

a a b sú nohy, c je prepona.

V našom prípade pre pravouhlý trojuholník bude vzorec vyzerať takto:

Ak dosadíme známe počty ramien a a b, nech je a=3 a b=4, potom c=√32+42, dostaneme c=√25, c=5

Keď poznáme dĺžku iba jednej nohy, vzorec možno transformovať a nájsť dĺžku druhej. Vyzerá to takto:

V prípade, že podľa podmienok úlohy poznáme rameno A a preponu C, potom vieme vypočítať pravý uhol trojuholníka, nazvime ho α.

Na tento účel použijeme vzorec:

Nech je druhý uhol, ktorý potrebujeme vypočítať, β. Vzhľadom na to, že poznáme súčet uhlov trojuholníka, ktorý je 180°, potom: β= 180°-90°-α

V prípade, že poznáme hodnoty nôh, môžeme použiť vzorec na nájdenie hodnoty ostrého uhla trojuholníka:

V závislosti od známych všeobecne uznávaných hodnôt možno strany obdĺžnika nájsť pomocou mnohých rôznych vzorcov. Tu sú niektoré z nich:

Pri riešení problémov s hľadaním neznámych v pravouhlom trojuholníku je veľmi dôležité zamerať sa na hodnoty, ktoré už poznáte a na základe toho ich dosadiť do požadovaného vzorca. Bude ťažké si ich hneď zapamätať, preto vám odporúčame urobiť si malú nápovedu rukou napísanú a vložiť si ju do zošita.

Ako vidíte, ak sa ponoríte do všetkých zložitostí tohto vzorca, môžete to ľahko zistiť. Odporúčame pokúsiť sa vyriešiť niekoľko problémov na základe tohto vzorca. Keď uvidíte svoj výsledok, bude vám jasné, či ste tejto téme porozumeli alebo nie. Snažte sa nezapamätať si, ale ponoriť sa do materiálu, bude to oveľa užitočnejšie. Zapamätaný materiál je po prvom teste zabudnutý a s týmto vzorcom sa budete stretávať pomerne často, preto ho najskôr pochopte, až potom si ho zapamätajte. Ak tieto odporúčania nie sú uvedené pozitívny efekt, to znamená, že má zmysel absolvovať ďalšie hodiny na túto tému. A pamätajte: učenie je svetlo, nie učenie je tma!

Po preštudovaní témy o pravouhlých trojuholníkoch študenti často zabudnú všetky informácie o nich. Vrátane toho, ako nájsť preponu, nehovoriac o tom, čo to je.

A márne. Pretože v budúcnosti sa ukáže, že uhlopriečka obdĺžnika je práve táto prepona a je potrebné ju nájsť. Alebo sa priemer kruhu zhoduje s najväčšou stranou trojuholníka, ktorého jeden z uhlov je pravý. A bez týchto znalostí je nemožné ho nájsť.

Existuje niekoľko možností, ako nájsť preponu trojuholníka. Výber metódy závisí od počiatočného súboru údajov v probléme veličín.

Metóda číslo 1: sú dané obe strany

Toto je najpamätnejšia metóda, pretože používa Pytagorovu vetu. Len niekedy žiaci zabúdajú, že tento vzorec sa používa na nájdenie druhej mocniny prepony. To znamená, že na nájdenie samotnej strany budete musieť vziať druhú odmocninu. Preto vzorec pre preponu, ktorá sa zvyčajne označuje písmenom „c“, bude vyzerať takto:

c = √ (a 2 + b 2), kde písmená „a“ a „b“ predstavujú obe ramená pravouhlého trojuholníka.

Metóda číslo 2: noha a uhol priľahlý k nej sú známe

Aby ste sa naučili nájsť preponu, budete si musieť zapamätať goniometrické funkcie. Menovite kosínus. Pre pohodlie budeme predpokladať, že je dané rameno „a“ a uhol α, ktorý k nemu prilieha.

Teraz si musíme uvedomiť, že kosínus uhla pravouhlého trojuholníka sa rovná pomeru dvoch strán. Čitateľ bude obsahovať hodnotu vetvy a menovateľ bude obsahovať preponu. Z toho vyplýva, že posledne menované možno vypočítať pomocou vzorca:

c = a / cos α.

Metóda číslo 3: daná noha a uhol, ktorý leží oproti nej

Aby sme sa vo vzorcoch nemýlili, zavedieme označenie pre tento uhol - β a necháme stranu rovnaké „a“. V tomto prípade budete potrebovať ďalšiu goniometrickú funkciu - sínus.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, sínus sa rovná pomeru nohy a prepony. Vzorec pre túto metódu vyzerá takto:

c = a / sin β.

Aby ste sa nezmýlili v goniometrických funkciách, môžete si spomenúť na jednoduchú mnemotechnickú pomôcku: ak máte problém hovoríme o o pr O opačný uhol, potom ho musíte použiť s A no, ak - ach pr A ležať, potom do O sínus. Dávajte pozor na prvé samohlásky v Kľúčové slová. Tvoria dvojice o-i alebo a o.

Metóda číslo 4: pozdĺž polomeru opísanej kružnice

Teraz, aby ste zistili, ako nájsť preponu, musíte si zapamätať vlastnosť kruhu, ktorý je opísaný okolo pravouhlého trojuholníka. Znie nasledovne. Stred kruhu sa zhoduje so stredom prepony. Inak povedané, najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka sa rovná uhlopriečke kruhu. Teda dvojnásobný polomer. Vzorec pre tento problém bude vyzerať takto:

c = 2 * r, kde písmeno r označuje známy polomer.

To je všetko možné spôsoby ako nájsť preponu pravouhlého trojuholníka. Pre každú konkrétnu úlohu musíte použiť metódu, ktorá je pre daný súbor údajov najvhodnejšia.

Príklad úlohy č.1

Podmienka: v pravouhlom trojuholníku sú mediány nakreslené na obe strany. Dĺžka tej nakreslenej na väčšiu stranu je √52. Druhý medián má dĺžku √73. Musíte vypočítať preponu.

Keďže mediány sú nakreslené v trojuholníku, rozdeľujú nohy na dva rovnaké segmenty. Pre pohodlie uvažovania a hľadania, ako nájsť preponu, musíte zaviesť niekoľko zápisov. Nech sú obe polovice väčšej nohy označené písmenom „x“ a druhé „y“.

Teraz musíme zvážiť dva pravouhlé trojuholníky, ktorých prepony sú známe mediány. Pre nich musíte napísať vzorec Pytagorovej vety dvakrát:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Tieto dve rovnice tvoria systém s dvoma neznámymi. Po ich vyriešení bude ľahké nájsť nohy pôvodného trojuholníka a z nich jeho preponu.

Najprv musíte všetko zvýšiť na druhú moc. Ukázalo sa:

4y2 + x2 = 52

y2 + 4x2 = 73.

Z druhej rovnice je zrejmé, že y 2 = 73 - 4x 2. Tento výraz je potrebné nahradiť prvým výrazom a vypočítať „x“:

4(73 - 4x2) + x 2 = 52.

Po konverzii:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 alebo 15 x 2 = 240.

Z posledného výrazu x = √16 = 4.

Teraz môžete vypočítať „y“:

y2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

Podľa podmienok sa ukáže, že nohy pôvodného trojuholníka sa rovnajú 6 a 8. To znamená, že môžete použiť vzorec z prvej metódy a nájsť preponu:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Odpoveď: prepona sa rovná 10.

Príklad úlohy č.2

Podmienka: vypočítajte uhlopriečku nakreslenú v obdĺžniku s kratšou stranou rovnajúcou sa 41. Ak je známe, že delí uhol na tie, ktoré súvisia ako 2 ku 1.

V tomto probléme je uhlopriečka obdĺžnika najdlhšou stranou 90º trojuholníka. Všetko teda závisí od toho, ako nájsť preponu.

Problém je v uhloch. To znamená, že budete musieť použiť jeden zo vzorcov, ktorý obsahuje goniometrické funkcie. Najprv musíte určiť veľkosť jedného z ostrých uhlov.

Menší z uhlov diskutovaných v podmienke nech je označený ako α. Potom sa pravý uhol, ktorý je delený uhlopriečkou, bude rovnať 3α. Matematický zápis vyzerá takto:

Z tejto rovnice je ľahké určiť α. Bude sa rovnať 30º. Navyše bude ležať oproti menšej strane obdĺžnika. Preto budete potrebovať vzorec opísaný v metóde č.3.

Prepona sa rovná pomeru nohy k sínusu opačného uhla, to znamená:

41 / hriech 30º = 41 / (0,5) = 82.

Odpoveď: Prepona je 82.

Trojuholník predstavuje geometrické číslo, pozostávajúce z troch segmentov, ktoré spájajú tri body, ktoré neležia na tej istej priamke. Body, ktoré tvoria trojuholník, sa nazývajú jeho body a segmenty sú vedľa seba.

V závislosti od typu trojuholníka (obdĺžnikový, monochromatický atď.) môžete vypočítať stranu trojuholníka rôznymi spôsobmi, v závislosti od vstupných údajov a podmienok problému.

Rýchla navigácia k článku

Na výpočet strán pravouhlého trojuholníka sa používa Pytagorova veta, ktorá hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh.

Ak označíme nohy ako "a" a "b" a preponu ako "c", potom stránky nájdete s nasledujúcimi vzorcami:

Ak sú známe ostré uhly pravouhlého trojuholníka (a a b), jeho strany možno nájsť pomocou nasledujúcich vzorcov:

Orezaný trojuholník

Trojuholník sa nazýva rovnostranný trojuholník, v ktorom sú obe strany rovnaké.

Ako nájsť preponu v dvoch nohách

Ak je písmeno „a“ identické s tou istou stránkou, „b“ je základ, „b“ je uhol oproti základni, „a“ je priľahlý uhol na výpočet strán môžu použiť nasledujúce vzorce:

Dva rohy a strana

Ak je známa jedna strana (c) a dva uhly (a a b) akéhokoľvek trojuholníka, na výpočet zostávajúcich strán sa použije sínusový vzorec:

Musíte nájsť tretiu hodnotu y = 180 - (a + b), pretože

súčet všetkých uhlov trojuholníka je 180°;

Dve strany a uhol

Ak sú známe dve strany trojuholníka (a a b) a uhol medzi nimi (y), na výpočet tretej strany možno použiť kosínusovú vetu.

Ako určiť obvod pravouhlého trojuholníka

Trojuholníkový trojuholník je trojuholník, z ktorých jeden má uhol 90 stupňov a ďalšie dva sú ostré. kalkulácia obvod taký trojuholník v závislosti od množstva informácií, ktoré sú o ňom známe.

Budeš to potrebovať

• V závislosti od prípadu, zručnosti 2 tri strany trojuholníka, ako aj jeden z jeho ostrých uhlov.

inštrukcie

najprv Metóda 1. Ak sú známe všetky tri strany trojuholník Potom, či už kolmý alebo netrojuholníkový, obvod sa vypočíta ako: P = A + B + C, kde je to možné, c je prepona; a a b sú nohy.

druhý Metóda 2.

Ak má obdĺžnik iba dve strany, potom pomocou Pytagorovej vety trojuholník možno vypočítať pomocou vzorca: P = v (a2 + b2) + a + b alebo P = v (c2 - b2) + b + c.

tretí Metóda 3. Nech je prepona c a ostrý uhol? Pri pravouhlom trojuholníku bude možné nájsť obvod takto: P = (1 + sin?

štvrtý Metóda 4. Hovorí sa, že v pravouhlom trojuholníku sa dĺžka jednej nohy rovná a a naopak má ostrý uhol. Potom vypočítajte obvod Toto trojuholník sa uskutoční podľa vzorca: P = a * (1 / tg?

1/syn? + 1)

pätiny Metóda 5.

Online výpočet trojuholníka

Nechajte našu nohu viesť a zahrňte sa do nej, potom sa rozsah vypočíta ako: P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Podobné videá

Pytagorova veta je základom celej matematiky. Určuje vzťah medzi stranami skutočného trojuholníka. V súčasnosti existuje 367 dôkazov tejto vety.

inštrukcie

najprv Klasická školská formulácia Pytagorovej vety znie takto: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh.

Ak chcete nájsť preponu v pravouhlom trojuholníku dvoch Catet, musíte sa uchýliť k odmocneniu dĺžok nôh, pozbierať ich a vziať druhú odmocninu súčtu. V pôvodnej formulácii jeho tvrdenia je trh založený na prepone, ktorá sa rovná súčtu druhých mocnín 2 štvorcov produkovaných Catete. Moderná algebraická formulácia však nevyžaduje zavedenie reprezentácie domény.

druhý Napríklad pravouhlý trojuholník, ktorého nohy sú 7 cm a 8 cm.

Potom sa podľa Pytagorovej vety prepona rovná R + S = 49 + 64 = 113 cm.

Uhly pravouhlého trojuholníka

Výsledkom bolo nepodložené číslo.

tretí Ak sú trojuholníky nohy 3 a 4, potom prepona = 25 = 5. Keď vezmete druhú odmocninu, dostanete prirodzené číslo. Čísla 3, 4, 5 tvoria Pygagorovu trojicu, keďže spĺňajú vzťah x? +Y? = Z, čo je prirodzené.

Ďalšie príklady pytagorejského tripletu sú: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41.

štvrtý V tomto prípade, ak sú nohy navzájom identické, Pytagorova veta sa zmení na primitívnejšiu rovnicu. Predpokladajme napríklad, že takáto ruka sa rovná číslu A a prepona je definovaná pre C, a potom c? = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. V tomto prípade nepotrebujete A.

pätiny Pytagorova veta je špeciálny prípad, väčší ako všeobecná kosínusová veta, ktorá stanovuje vzťah medzi tromi stranami trojuholníka pre akýkoľvek uhol medzi dvoma z nich.

Tip 2: Ako určiť preponu pre nohy a uhly

Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu.

inštrukcie

najprv V prípade známych katétrov, ako aj ostrého uhla pravouhlého trojuholníka, môže mať prepona veľkosť rovnajúcu sa pomeru nohy ku kosínusu / sínusu tohto uhla, ak bol uhol opačný / e zahŕňajú: H = Cl (alebo C2) / sin, H = Cl (alebo C23) / cos™. Príklad: Nech ABC dostane nepravidelný trojuholník s preponou AB a pravým uhlom C.

Nech B je 60 stupňov a A 30 stupňov. Dĺžka stonky BC je 8 cm Dĺžka prepony AB. Na to môžete použiť jednu z vyššie uvedených metód: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Prepona je najdlhšia strana obdĺžnika trojuholník. Nachádza sa v pravom uhle. Metóda na nájdenie prepony obdĺžnika trojuholník v závislosti od zdrojových údajov.

inštrukcie

najprv Ak sú vaše nohy kolmé trojuholník, potom dĺžka prepony obdĺžnika trojuholník možno objaviť pytagorovým analógom - druhá mocnina dĺžky prepony sa rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh: c2 = a2 + b2, kde a a b sú dĺžky nôh pravej trojuholník .

druhý Ak je jedna z nôh známa a je v ostrom uhle, vzorec na nájdenie prepony bude závisieť od prítomnosti alebo neprítomnosti v určitom uhle vo vzťahu k známej nohe - susednej (noha je umiestnená blízko) alebo naopak ( opačný prípad sa nachádza nego.V zadaného uhla sa rovná zlomku prepony nohy v kosínusovom uhle: a = a / cos E, na druhej strane je prepona rovnaká ako pomer sínusových uhlov: da = a / hriech.

Podobné videá

Užitočné rady
Uhlový trojuholník, ktorého strany sú spojené ako 3:4:5, sa nazýva egyptská delta kvôli skutočnosti, že tieto obrazce boli široko používané architektmi starovekého Egypta.

Toto je tiež najjednoduchší príklad Jerových trojuholníkov, v ktorých sú strany a plocha reprezentované celými číslami.

Trojuholník sa nazýva obdĺžnik, ktorého uhol je 90°. Strana oproti pravému rohu sa nazýva prepona, druhá sa nazýva nohy.

Ak chcete zistiť, ako vzniká pravouhlý trojuholník niektorými vlastnosťami pravidelných trojuholníkov, a to skutočnosťou, že súčet ostrých uhlov je 90°, čo sa používa, a skutočnosťou, že dĺžka protiľahlej vetvy je polovica prepony je 30°.

Rýchla navigácia k článku

Orezaný trojuholník

Jednou z vlastností rovnakého trojuholníka je, že jeho dva uhly sú rovnaké.

Ak chcete vypočítať uhol pravouhlého zhodného trojuholníka, musíte vedieť, že:

• Toto nie je horšie ako 90°.
• Hodnoty ostrých uhlov sú určené vzorcom: (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, t.j.

  Uhly α a β sa rovnajú 45°.

Ak je známa známa hodnota jedného z ostrých uhlov, druhý možno nájsť pomocou vzorca: β = 180º-90º-α alebo α = 180º-90º-β.

Tento pomer sa najčastejšie používa, ak je jeden z uhlov 60° alebo 30°.

Kľúčové pojmy

Sum vnútorné rohy trojuholník je 180°.

Pretože je to jedna úroveň, dve zostávajú ostré.

Vypočítajte trojuholník online

Ak ich chcete nájsť, musíte vedieť, že:

iné metódy

Hodnoty ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka sa dajú vypočítať z priemeru - s čiarou z bodu na opačnej strane trojuholníka a výškou - čiara je kolmica vedená z prepony v pravom uhle .

Nech medián siaha od pravého rohu do stredu prepony a nech h je výška. V tomto prípade sa ukazuje, že:

• sin a = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos a = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s).
• sin a = h/b; sin β = h/rok.

Dve strany

Ak sú dĺžky prepony a jednej z nôh známe v pravouhlom trojuholníku alebo na oboch stranách, potom sa na určenie hodnôt ostrých uhlov použijú trigonometrické identity:

• a = arczín (a/c), p = arczín (b/c).
• a = arcos (b/c), β = arcos (a/c).
• a = arktan (a/b), p = arktan (b/a).

Dĺžka pravouhlého trojuholníka

Plocha a plocha trojuholníka

obvod

Obvod akéhokoľvek trojuholníka sa rovná súčtu dĺžok troch strán. Všeobecný vzorec nájsť trojuholníkový trojuholník:

kde P je obvod trojuholníka, a, b a c jeho strán.

Obvod rovnakého trojuholníka možno nájsť postupnou kombináciou dĺžok jeho strán alebo vynásobením dĺžky strany 2 a pridaním základnej dĺžky k produktu.

Všeobecný vzorec na nájdenie rovnovážneho trojuholníka bude vyzerať takto:

kde P je obvod rovnakého trojuholníka, ale buď b, b je základňa.

Obvod rovnostranného trojuholníka možno nájsť postupným kombinovaním dĺžok jej strán alebo vynásobením dĺžky ľubovoľnej strany číslom 3.

Všeobecný vzorec na nájdenie okraja rovnostranných trojuholníkov bude vyzerať takto:

kde P je obvod rovnostranného trojuholníka, a je ktorákoľvek z jeho strán.

regiónu

Ak chcete zmerať plochu trojuholníka, môžete ho porovnať s rovnobežníkom. Zvážte trojuholník ABC:

Ak vezmeme rovnaký trojuholník a zafixujeme ho tak, aby sme dostali rovnobežník, dostaneme rovnobežník s rovnakou výškou a základňou ako tento trojuholník:

V tomto prípade spoločná strana trojuholníky sú sčítané pozdĺž uhlopriečky tvarovaného rovnobežníka.

Z vlastností rovnobežníka. Je známe, že uhlopriečky rovnobežníka sú vždy rozdelené na dva rovnaké trojuholníky, potom sa povrch každého trojuholníka rovná polovici rozsahu rovnobežníka.

Pretože plocha rovnobežníka je rovnaká ako súčin jeho základnej výšky, plocha trojuholníka sa bude rovnať polovici tohto súčinu. Teda pre ΔABC bude plocha rovnaká

Teraz zvážte pravouhlý trojuholník:

Dva rovnaké pravouhlé trojuholníky možno ohnúť do obdĺžnika, ak sa o ne opiera, čo je vzájomná prepona.

Keďže povrch obdĺžnika sa zhoduje s povrchom priľahlých strán, plocha daný trojuholník je rovnaký:

Z toho môžeme vyvodiť záver, že povrch akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu nôh delených 2.

Z týchto príkladov možno vyvodiť záver, že povrch každého trojuholníka je rovnaký ako súčin dĺžky a výška je zmenšená na podklad delený 2.

Všeobecný vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka by vyzeral takto:

kde S je plocha trojuholníka, ale jeho základňa, ale výška klesá na dno a.

Inštrukcie

Ak potrebujete vypočítať pomocou Pytagorovej vety, použite nasledujúci algoritmus: - Určte v trojuholníku, ktoré strany sú nohy a ktoré sú prepona. Dve strany zvierajúce uhol deväťdesiat stupňov sú nohy, zvyšná tretina je prepona. (cm) - Zdvihnite každú nohu tohto trojuholníka na druhú mocninu, to znamená vynásobte sa. Príklad 1. Predpokladajme, že potrebujeme vypočítať preponu, ak má jedna noha v trojuholníku 12 cm a druhá 5 cm. Najprv sú štvorce nôh rovnaké: 12 * 12 = 144 cm a 5 * 5 = 25 cm. Ďalej určte súčet štvorcových nôh. Konkrétne číslo je hypotenzia, musíte sa zbaviť druhej mocniny čísla, aby ste našli dĺžka túto stranu trojuholníka. Ak to chcete urobiť, odstráňte zospodu odmocnina hodnota súčtu štvorcov nôh. Príklad 1. 144+25=169. Druhá odmocnina zo 169 je 13. Preto je dĺžka tohto hypotenzia rovných 13 cm.

Ďalší spôsob výpočtu dĺžky hypotenzia spočíva v terminológii sínus a uhly v trojuholníku. Podľa definície: sínus uhla alfa - opačná noha k prepone. To znamená, že pri pohľade na obrázok je sin a = CB / AB. Preto prepona AB = CB / sin a. Príklad 2. Nech je uhol 30 stupňov a opačná strana je 4 cm. Riešenie: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Odpoveď: dĺžka hypotenzia rovných 8 cm.

Podobný spôsob nájdenia hypotenzia z definície kosínusu uhla. Kosínus uhla je pomer strany, ktorá k nemu prilieha a hypotenzia. To znamená, že cos a = AC/AB, teda AB = AC/cos a. Príklad 3. V trojuholníku ABC je AB prepona, uhol BAC je 60 stupňov, noha AC je 2 cm.
Riešenie: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Odpoveď: Prepona má dĺžku 4 cm.

Užitočné rady

Pri hľadaní hodnoty sínusu alebo kosínusu uhla použite buď tabuľku sínusov a kosínusov alebo Bradisovu tabuľku.

Tip 2: Ako zistiť dĺžku prepony v pravouhlom trojuholníku

Prepona je najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka, takže nie je prekvapujúce, že slovo je preložené z gréčtiny ako „natiahnutý“. Táto strana vždy leží oproti uhlu 90° a strany tvoriace tento uhol sa nazývajú nohy. Keď poznáme dĺžky týchto strán a hodnoty ostrých uhlov v rôznych kombináciách týchto hodnôt, môžeme vypočítať dĺžku prepony.

Inštrukcie

Ak sú známe dĺžky oboch trojuholníkov (A a B), potom použite dĺžky prepony (C), azda najznámejší matematický postulát – Pytagorovu vetu. Uvádza, že druhá mocnina dĺžky prepony je súčtom druhých mocnín dĺžok nôh, z čoho vyplýva, že by ste mali vypočítať odmocninu zo súčtu štvorcových dĺžok dvoch strán: C = √ ( A² + B²). Napríklad, ak je dĺžka jednej nohy 15 a -10 centimetrov, potom bude dĺžka prepony približne 18,0277564 centimetrov, pretože √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Ak je známa dĺžka iba jednej z ramien (A) v pravouhlom trojuholníku, ako aj hodnota uhla oproti nej (α), potom dĺžku prepony (C) možno použiť pomocou jednej z trigonometrických funkcie - sínus. Za týmto účelom vydeľte dĺžku známej strany sínusom známeho uhla: C=A/sin(α). Napríklad, ak je dĺžka jednej z nôh 15 centimetrov a uhol na opačnom vrchole trojuholníka je 30°, potom sa dĺžka prepony bude rovnať 30 centimetrom, pretože 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Ak je v pravouhlom trojuholníku známa veľkosť jedného z ostrých uhlov (α) a dĺžka priľahlého ramena (B), potom na výpočet dĺžky prepony (C) môžete použiť inú goniometrickú funkciu - kosínus. Mali by ste vydeliť dĺžku známej nohy kosínusom známeho uhla: C=B/ cos(α). Napríklad, ak je dĺžka tejto nohy 15 centimetrov a ostrý uhol k nej je 30°, potom bude dĺžka prepony približne 17,3205081 centimetra, pretože 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17,3205081.

Dĺžka sa zvyčajne používa na označenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi na úsečke. Môže to byť priama, prerušovaná alebo uzavretá čiara. Dĺžka sa dá celkom vypočítať jednoduchým spôsobom, ak poznáte nejaké ďalšie ukazovatele segmentu.