Príklady goniometrických rovníc. Goniometrické rovnice

Pri riešení mnohých matematické problémy, najmä tie, ktoré sa vyskytnú pred 10. ročníkom, je jasne definované poradie vykonaných akcií, ktoré povedú k cieľu. Medzi takéto problémy patria napríklad lineárne a kvadratické rovnice, lineárne a kvadratické nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické. Princíp úspešného vyriešenia každého zo spomínaných problémov je nasledovný: je potrebné zistiť, aký typ problému sa rieši, zapamätať si potrebnú postupnosť činností, ktoré povedú k požadovanému výsledku, t.j. odpovedzte a postupujte podľa týchto krokov.

Je zrejmé, že úspech alebo neúspech pri riešení konkrétneho problému závisí najmä od toho, ako správne je určený typ riešenej rovnice, ako správne je reprodukovaná postupnosť všetkých etáp jej riešenia. Samozrejme, v tomto prípade je potrebné mať zručnosti na vykonávanie identických transformácií a výpočtov.

Iná situácia je s goniometrické rovnice. Nie je vôbec ťažké zistiť, že rovnica je trigonometrická. Ťažkosti vznikajú pri určovaní postupnosti akcií, ktoré by viedli k správnej odpovedi.

Autor: vzhľad rovnice je niekedy ťažké určiť jej typ. A bez znalosti typu rovnice je takmer nemožné vybrať si tú správnu z niekoľkých desiatok goniometrických vzorcov.

Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, musíte vyskúšať:

1. priviesť všetky funkcie zahrnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
2. priviesť rovnicu k „identickým funkciám“;
3. rozvinúť ľavá strana faktoringové rovnice atď.

Uvažujme základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

I. Redukcia na najjednoduchšie goniometrické rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Vyjadrite goniometrickú funkciu pomocou známych komponentov.

Krok 2. Nájdite argument funkcie pomocou vzorcov:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

hriech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3. Nájdite neznámu premennú.

Príklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riešenie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpoveď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilná výmena

Schéma riešenia

Krok 1. Redukujte rovnicu na algebraický tvar vzhľadom na jednu z goniometrických funkcií.

Krok 2. Výslednú funkciu označíme premennou t (v prípade potreby zaveďte obmedzenia na t).

Krok 3. Výslednú algebraickú rovnicu zapíšte a vyriešte.

Krok 4. Vykonajte spätnú výmenu.

Krok 5. Vyriešte najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.

Príklad.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Riešenie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Nech sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 alebo e = -3/2, nespĺňa podmienku |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpoveď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metóda redukcie poradia rovníc

Schéma riešenia

Krok 1. Vymeňte daná rovnica lineárne, pomocou vzorcov na zníženie stupňa:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2. Výslednú rovnicu riešte metódami I a II.

Príklad.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Riešenie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpoveď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogénne rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Zredukujte túto rovnicu do tvaru

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogénna rovnica prvý stupeň)

alebo do výhľadu

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogénna rovnica druhého stupňa).

Krok 2. Vydeľte obe strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získajte rovnicu pre tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Krok 3. Riešte rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

5 sin 2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0.

Riešenie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Nech tg x = t, potom

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 alebo t = -4, čo znamená

tg x = 1 alebo tg x = -4.

Z prvej rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhej rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metóda transformácie rovnice pomocou goniometrických vzorcov

Schéma riešenia

Krok 1. Pomocou všetkých možných goniometrických vzorcov zredukujte túto rovnicu na rovnicu riešenú metódami I, II, III, IV.

Krok 2. Vyriešte výslednú rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

hriech x + hriech 2x + hriech 3x = 0.

Riešenie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 alebo 2cos x + 1 = 0;

Z prvej rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhej rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhej rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V dôsledku toho x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnosť a zručnosť riešiť goniometrické rovnice je veľmi dobrá dôležité, ich rozvoj si vyžaduje značné úsilie, tak zo strany žiaka, ako aj zo strany učiteľa.

S riešením goniometrických rovníc sú spojené mnohé problémy stereometrie, fyziky atď. Proces riešenia takýchto úloh zahŕňa mnohé z vedomostí a zručností, ktoré sa získavajú štúdiom prvkov trigonometrie.

Goniometrické rovnice zaujímajú dôležité miesto v procese učenia sa matematiky a osobného rozvoja vo všeobecnosti.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

Najjednoduchšie goniometrické rovnice sa spravidla riešia pomocou vzorcov. Dovoľte mi pripomenúť, že najjednoduchšie trigonometrické rovnice sú:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x je uhol, ktorý sa má nájsť,
a je ľubovoľné číslo.

A tu sú vzorce, pomocou ktorých si môžete ihneď zapísať riešenia týchto najjednoduchších rovníc.

Pre sínus:

Pre kosínus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pre dotyčnicu:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Pre kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

V skutočnosti ide o teoretickú časť riešenia najjednoduchších goniometrických rovníc. Navyše všetko!) Vôbec nič. Počet chýb v tejto téme je však jednoducho mimo tabuľky. Najmä keď menšia odchýlka príklad zo šablóny. prečo?

Áno, pretože veľa ľudí zapisuje tieto listy, bez toho, aby ste vôbec pochopili ich význam! Zapisuje opatrne, aby sa niečo nestalo...) Toto treba vyriešiť. Trigonometria pre ľudí, alebo ľudia pre trigonometriu, predsa!?)

Poďme na to?

Jeden uhol sa bude rovnať arccos, druhý: - arccos a.

A vždy to takto dopadne. Pre akékoľvek A.

Ak mi neveríte, ukážte myšou na obrázok alebo sa ho dotknite na tablete.) Zmenil som číslo A na niečo negatívne. Každopádne máme jeden roh arccos, druhý: - arccos a.

Preto môže byť odpoveď vždy napísaná ako dve série koreňov:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Spojme tieto dve série do jednej:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

A to je všetko. Získali sme všeobecný vzorec na riešenie najjednoduchšej goniometrickej rovnice s kosínusom.

Ak pochopíte, že to nie je nejaká nadvedecká múdrosť, ale len skrátená verzia dvoch sérií odpovedí, Zvládnete aj úlohy „C“. S nerovnosťami, s výberom koreňov z daného intervalu... Tam odpoveď s plus/mínus nefunguje. Ak však s odpoveďou naložíte obchodným spôsobom a rozdelíte ju na dve samostatné odpovede, všetko sa vyrieši.) V skutočnosti to preto skúmame. Čo, ako a kde.

V najjednoduchšej goniometrickej rovnici

sinx = a

dostaneme aj dve série koreňov. Vždy. A tieto dve série sa dajú aj nahrať v jednom riadku. Len tento riadok bude zložitejší:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Ale podstata zostáva rovnaká. Matematici jednoducho navrhli vzorec na vytvorenie jedného namiesto dvoch záznamov pre rad koreňov. To je všetko!

Skontrolujeme matematikov? A nikdy nevieš...)

V predchádzajúcej lekcii sa podrobne diskutovalo o riešení (bez akýchkoľvek vzorcov) goniometrickej rovnice so sínusom:

Odpoveď viedla k dvom sériám koreňov:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ak tú istú rovnicu vyriešime pomocou vzorca, dostaneme odpoveď:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Vlastne je to nedokončená odpoveď.) Študent to musí vedieť arcsin 0,5 = π /6.Úplná odpoveď by bola:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Tu to vzniká záujem Spýtaj sa. Odpovedať cez x 1; x 2 (toto je správna odpoveď!) a cez osamelý X (a toto je správna odpoveď!) - sú to isté alebo nie? Teraz to zistíme.)

V odpovedi nahrádzame s x 1 hodnoty n =0; 1; 2; atď., počítame, dostaneme rad koreňov:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 a tak ďalej.

S rovnakým striedaním v odpovedi s x 2 , dostaneme:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 a tak ďalej.

Teraz nahraďme hodnoty n (0; 1; 2; 3; 4...) do všeobecného vzorca pre single X . To znamená, že zvýšime mínus jedna na nulovú mocninu, potom na prvú, druhú atď. No, samozrejme, do druhého člena dosadíme 0; 1; 2 3; 4 atď. A počítame. Dostávame sériu:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 a tak ďalej.

To je všetko, čo môžete vidieť.) Všeobecný vzorec dáva nám presne tie isté výsledky rovnako ako obe odpovede oddelene. Proste všetko naraz, po poriadku. Matematici sa nenechali oklamať.)

Kontrolovať sa dajú aj vzorce na riešenie goniometrických rovníc s dotyčnicou a kotangensom. Ale nebudeme.) Už sú jednoduché.

Všetko toto nahradenie a overenie som napísal konkrétne. Tu je dôležité pochopiť jednu jednoduchú vec: existujú vzorce na riešenie elementárnych goniometrických rovníc, len krátke zhrnutie odpovedí. Pre túto stručnosť sme museli vložiť plus/mínus do kosínusového riešenia a (-1) n do sínusového riešenia.

Tieto vložky nijako nezasahujú do úloh, kde si stačí zapísať odpoveď na elementárnu rovnicu. Ale ak potrebujete vyriešiť nerovnosť alebo potom musíte urobiť niečo s odpoveďou: vybrať korene na intervale, skontrolovať ODZ atď., Tieto vloženia môžu človeka ľahko znepokojiť.

Tak co mam robit? Áno, odpoveď buď napíšte v dvoch sériách, alebo rovnicu/nerovnicu vyriešte pomocou trigonometrického kruhu. Potom tieto vložky zmiznú a život sa stane ľahším.)

Môžeme zhrnúť.

Na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc existujú hotové vzorce odpovedí. Štyri kusy. Sú dobré na okamžité zapísanie riešenia rovnice. Napríklad musíte vyriešiť rovnice:

sinx = 0,3

jednoducho: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Žiaden problém: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

jednoducho: x = arktan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Zostal jeden: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Ak žiarite vedomosťami, okamžite napíšte odpoveď:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

potom už svietiš, toto je... to... z kaluže.) Správna odpoveď: neexistujú žiadne riešenia. nerozumieš prečo? Prečítajte si, čo je oblúkový kosínus. Okrem toho, ak sú na pravej strane pôvodnej rovnice tabuľkové hodnoty sínus, kosínus, tangens, kotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 a tak ďalej. - odpoveď cez oblúky bude nedokončená. Oblúky musia byť prevedené na radiány.

A ak narazíte na nerovnosť, ako

potom je odpoveď:

x πn, n ∈ Z

existuje vzácny nezmysel, áno...) Tu musíte vyriešiť pomocou trigonometrického kruhu. Čo budeme robiť v príslušnej téme.

Pre tých, ktorí hrdinsky čítajú tieto riadky. Jednoducho nemôžem oceniť vaše titanské úsilie. Bonus pre vás.)

Bonus:

Pri zapisovaní vzorcov v alarmujúcej bojovej situácii sa aj ostrieľaní nerdi často zamotajú, kde πn, A kde 2π n. Tu je pre vás jednoduchý trik. In každý vzorce v hodnote πn. Okrem jedinej formuly s oblúkovým kosínusom. Stojí tam 2πn. Dva peen. Kľúčové slovo - dva. V tomto istom vzorci sú dva podpísať na začiatku. Plus a mínus. Tu a tam - dva.

Ak si teda napísal dva znamenie pred arc cosínusom, je ľahšie zapamätať si, čo sa stane na konci dva peen. A deje sa to aj naopak. Osobe bude chýbať znamenie ± , dostane sa na koniec, píše správne dva Pien a príde k rozumu. Niečo je pred nami dva podpísať! Osoba sa vráti na začiatok a opraví chybu! Páči sa ti to.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Goniometrické rovnice nie sú jednoduchou témou. Sú príliš rôznorodé.) Napríklad tieto:

hriech 2 x + cos3x = ctg5x

hriech(5x+π /4) = detská postieľka(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Atď...

Ale tieto (a všetky ostatné) trigonometrické príšery majú dve spoločné a povinné vlastnosti. Po prvé - neuveríte - v rovniciach sú goniometrické funkcie.) Po druhé: všetky výrazy s x sa nájdu v rámci tých istých funkcií. A len tam! Ak sa niekde objaví X vonku, Napríklad, hriech2x + 3x = 3, toto už bude rovnica zmiešaného typu. Takéto rovnice si vyžadujú individuálny prístup. Nebudeme ich tu uvažovať.

Ani v tejto lekcii nevyriešime zlé rovnice.) Tu sa budeme zaoberať najjednoduchšie goniometrické rovnice. prečo? Áno, pretože riešenie akýkoľvek goniometrické rovnice pozostávajú z dvoch stupňov. V prvej fáze sa rovnica zla redukuje na jednoduchú pomocou rôznych transformácií. V druhom prípade je táto najjednoduchšia rovnica vyriešená. Žiadna iná cesta.

Takže ak máte problémy v druhej fáze, prvá fáza nedáva veľký zmysel.)

Ako vyzerajú elementárne goniometrické rovnice?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tu A znamená ľubovoľné číslo. Akýkoľvek.

Mimochodom, vo funkcii nemusí byť čisté X, ale nejaký výraz, napríklad:

cos(3x+π/3) = 1/2

atď. To komplikuje život, ale neovplyvňuje spôsob riešenia goniometrickej rovnice.

Ako riešiť goniometrické rovnice?

Goniometrické rovnice možno riešiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob: pomocou logiky a trigonometrického kruhu. Na túto cestu sa pozrieme tu. O druhom spôsobe – pomocou pamäte a vzorcov – sa bude diskutovať v nasledujúcej lekcii.

Prvý spôsob je jasný, spoľahlivý a ťažko zabudnuteľný.) Je dobrý na riešenie goniometrických rovníc, nerovníc a všelijakých záludných neštandardných príkladov. Logika je silnejšia ako pamäť!)

Riešenie rovníc pomocou trigonometrickej kružnice.

Zaraďujeme sem elementárnu logiku a schopnosť používať trigonometrický kruh. Nevieš ako? Avšak... V trigonometrii to budete mať ťažké...) Ale to nevadí. Pozrite sa na lekcie "Trigonometrický kruh...... Čo je to?" a "Meranie uhlov na trigonometrickom kruhu." Všetko je tam jednoduché. Na rozdiel od učebníc...)

Oh, vieš!? A dokonca zvládla „Praktická práca s trigonometrickým kruhom“!? gratulujem. Táto téma vám bude blízka a zrozumiteľná.) Poteší najmä to, že trigonometrickému kruhu je jedno, akú rovnicu riešite. Sínus, kosínus, tangens, kotangens - všetko je pre neho rovnaké. Existuje len jeden princíp riešenia.

Takže vezmeme akúkoľvek elementárnu goniometrickú rovnicu. Aspoň toto:

cosx = 0,5

Musíme nájsť X. Hovoriť ľudskou rečou, potrebujete nájdite uhol (x), ktorého kosínus je 0,5.

Ako sme predtým používali kruh? Nakreslili sme naň uhol. V stupňoch alebo radiánoch. A hneď videl goniometrické funkcie tohto uhla. Teraz urobme opak. Nakreslíme kosínus na kružnici rovnú 0,5 a okamžite uvidíme rohu. Zostáva už len zapísať odpoveď.) Áno, áno!

Nakreslite kruh a označte kosínus rovný 0,5. Na kosínusovej osi, samozrejme. Páči sa ti to:

Teraz nakreslíme uhol, ktorý nám dáva tento kosínus. Umiestnite kurzor myši na obrázok (alebo sa dotknite obrázka na tablete) a uvidíte práve tento roh X.

Kosínus ktorého uhla je 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Niektorí ľudia sa budú skepticky smiať, áno... Akože, stálo to za to urobiť kruh, keď už je všetko jasné... Môžete sa, samozrejme, smiať...) Faktom však je, že toto je chybná odpoveď. Alebo skôr nedostatočné. Znalci kruhov chápu, že je tu veľa ďalších uhlov, ktoré tiež dávajú kosínus 0,5.

Ak otočíte pohyblivú stranu OA plný obrat, bod A sa vráti do pôvodnej polohy. S rovnakým kosínusom rovným 0,5. Tie. uhol sa zmení o 360° alebo 2π radiánov a kosínus - nie. Nový uhol 60° + 360° = 420° bude tiež riešením našej rovnice, pretože

Takýchto úplných otáčok sa dá urobiť nekonečne veľa... A všetky tieto nové uhly budú riešeniami našej goniometrickej rovnice. A všetky je potrebné nejako zapísať ako odpoveď. Všetky. Inak sa rozhodnutie nepočíta, áno...)

Matematika to dokáže jednoducho a elegantne. Napíšte jednu krátku odpoveď nekonečná množina rozhodnutia. Takto to vyzerá pre našu rovnicu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ja to rozlúštim. Stále píšte zmysluplne Je to príjemnejšie ako hlúpo kresliť nejaké tajomné písmená, však?)

π /3 - toto je ten istý kút ako my videl na kruhu a určený podľa kosínusovej tabuľky.

2π je jedna úplná revolúcia v radiánoch.

n - ide o počet úplných, t.j. celý ot./min Je jasné že n sa môže rovnať 0, ±1, ±2, ±3.... atď. Ako naznačuje krátky príspevok:

n ∈ Z

n patrí ( ∈ ) množina celých čísel ( Z ). Mimochodom, namiesto písmena n možno použiť písmená k, m, t atď.

Tento zápis znamená, že môžete použiť akékoľvek celé číslo n . Aspoň -3, aspoň 0, aspoň +55. Čokoľvek chceš. Ak toto číslo dosadíte do odpovede, získate konkrétny uhol, ktorý bude určite riešením našej drsnej rovnice.)

Alebo, inými slovami, x = π /3 je jediným koreňom nekonečnej množiny. Na získanie všetkých ostatných koreňov stačí pridať ľubovoľný počet plných otáčok k π /3 ( n ) v radiánoch. Tie. 2πn radián.

všetky? Nie Zámerne predlžujem rozkoš. Aby sme si lepšie zapamätali.) Dostali sme len časť odpovedí na našu rovnicu. Túto prvú časť riešenia napíšem takto:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nielen jeden koreň, ale celý rad koreňov, zapísaných v krátkej forme.

Ale sú aj uhly, ktoré dávajú aj kosínus 0,5!

Vráťme sa k nášmu obrázku, z ktorého sme si zapísali odpoveď. Tu je:

Ukážte myšou na obrázok a vidíme iný uhol tiež dáva kosínus 0,5.Čomu sa to podľa vás rovná? Trojuholníky sú rovnaké... Áno! Rovná sa uhlu X , len oneskorený v negatívnom smere. Toto je roh -X. Ale už sme vypočítali x. π /3 alebo 60°. Preto môžeme pokojne napísať:

x 2 = - π /3

Samozrejme, pridáme všetky uhly, ktoré sa získajú úplnými otáčkami:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je teraz všetko.) Na trigonometrickom kruhu my videl(kto tomu rozumie samozrejme)) Všetky uhly, ktoré dávajú kosínus 0,5. A tieto uhly sme si zapísali v krátkej matematickej forme. Odpoveď viedla k dvom nekonečným radom koreňov:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je správna odpoveď.

Nádej, všeobecný princíp riešenia goniometrických rovníc použitie kruhu je jasné. Na kružnici označíme kosínus (sínus, tangens, kotangens). daná rovnica, nakreslite zodpovedajúce uhly a zapíšte odpoveď. Samozrejme, musíme prísť na to, aké sme rohy videl na kruhu. Niekedy to nie je také zrejmé. Povedal som, že tu je potrebná logika.)

Pozrime sa napríklad na inú goniometrickú rovnicu:

Vezmite prosím do úvahy, že číslo 0,5 nie je jediné možné číslo v rovniciach!) Je pre mňa pohodlnejšie ho písať ako odmocniny a zlomky.

Pracujeme podľa všeobecného princípu. Nakreslíme kruh, označíme (samozrejme na sínusovej osi!) 0,5. Všetky uhly zodpovedajúce tomuto sínusu nakreslíme naraz. Dostávame tento obrázok:

Poďme sa najprv zaoberať uhlom X v prvom štvrťroku. Pripomíname si tabuľku sínusov a určujeme hodnotu tohto uhla. Je to jednoduchá záležitosť:

x = π /6

Pamätáme si na plné otáčky a s čistým svedomím si zapíšeme prvú sériu odpovedí:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Polovica práce je hotová. Teraz sa však musíme rozhodnúť druhý roh... Je to zložitejšie ako používať kosínusy, áno... Ale logika nás zachráni! Ako určiť druhý uhol cez x? Áno Ľahko! Trojuholníky na obrázku sú rovnaké a červený roh X rovný uhlu X . Iba to sa počíta od uhla π v zápornom smere. Preto je červená.) A na odpoveď potrebujeme uhol, správne odmeraný, od kladnej poloosi OX, t.j. z uhla 0 stupňov.

Prejdeme kurzorom na kresbu a vidíme všetko. Prvý roh som odstránil, aby som nekomplikoval obraz. Uhol, ktorý nás zaujíma (nakreslený zelenou farbou), sa bude rovnať:

π - x

X to vieme π /6 . Preto druhý uhol bude:

π - π /6 = 5π /6

Opäť si pamätáme na pridanie úplných otáčok a zapíšme si druhú sériu odpovedí:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je všetko. Úplná odpoveď pozostáva z dvoch sérií koreňov:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Dotykové a kotangensové rovnice sa dajú ľahko vyriešiť pomocou rovnakého všeobecného princípu na riešenie goniometrických rovníc. Ak, samozrejme, viete, ako nakresliť dotyčnicu a kotangens na trigonometrickom kruhu.

Vo vyššie uvedených príkladoch som použil tabuľkovú hodnotu sínus a kosínus: 0,5. Tie. jeden z tých významov, ktoré študent pozná musieť. Teraz rozšírme naše schopnosti na všetky ostatné hodnoty. Rozhodnite sa, tak sa rozhodnite!)

Takže musíme vyriešiť túto trigonometrickú rovnicu:

Takáto kosínusová hodnota v stručné tabuľky Nie Chladne ignorujeme túto hroznú skutočnosť. Nakreslite kruh, označte 2/3 na kosínusovej osi a nakreslite zodpovedajúce uhly. Dostávame tento obrázok.

Pozrime sa najprv na uhol pohľadu v prvom štvrťroku. Keby sme len vedeli, čomu sa x rovná, odpoveď by sme si hneď zapísali! Nevieme... Neúspech!? Pokojne! Matematika nenecháva svojich vlastných ľudí v problémoch! Pre tento prípad prišla s oblúkovými kosínusmi. Neviem? márne. Zistite, je to oveľa jednoduchšie, ako si myslíte. Na tomto odkaze nie je ani jedno zložité kúzlo o „inverzných goniometrických funkciách“... To je v tejto téme zbytočné.

Ak viete, povedzte si: „X je uhol, ktorého kosínus sa rovná 2/3.“ A hneď, čisto podľa definície oblúkového kosínusu, môžeme napísať:

Pamätáme si na dodatočné otáčky a pokojne si zapíšeme prvú sériu koreňov našej goniometrickej rovnice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druhá séria koreňov pre druhý uhol sa takmer automaticky zapíše. Všetko je rovnaké, iba X (arccos 2/3) bude s mínusom:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A je to! Toto je správna odpoveď. Ešte jednoduchšie ako pri tabuľkových hodnotách. Nie je potrebné si nič pamätať.) Mimochodom, tí najpozornejší si všimnú, že tento obrázok ukazuje riešenie cez oblúkový kosínus v podstate sa nelíši od obrázku pre rovnicu cosx = 0,5.

presne tak! Všeobecný princíp Preto je to bežné! Schválne som nakreslil dva takmer rovnaké obrázky. Kruh nám ukazuje uhol X podľa jeho kosínusu. Či ide o tabuľkový kosínus alebo nie, nie je každému známe. Aký je to uhol, π /3 alebo čo je arkus kosínus - je na nás, aby sme sa rozhodli.

Rovnaká pieseň so sínusom. Napríklad:

Znova nakreslite kruh, označte sínus rovný 1/3, nakreslite uhly. Toto je obrázok, ktorý dostaneme:

A opäť je obrázok takmer rovnaký ako pri rovnici sinx = 0,5. Opäť začíname z rohu v prvej štvrtine. Čomu sa rovná X, ak je jeho sínus 1/3? Žiaden problém!

Teraz je pripravený prvý balík koreňov:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Poďme sa zaoberať druhým uhlom. V príklade s tabuľkovou hodnotou 0,5 sa to rovnalo:

π - x

Presne tak to bude aj tu! Iba x je iné, arcsin 1/3. No a čo!? Druhý balík koreňov si môžete pokojne zapísať:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je úplne správna odpoveď. Aj keď to nevyzerá veľmi povedome. Ale to je jasné, dúfam.)

Takto sa riešia goniometrické rovnice pomocou kruhu. Táto cesta je jasná a zrozumiteľná. Je to ten, kto šetrí v goniometrických rovniciach s výberom koreňov na danom intervale, v trigonometrické nerovnosti- tie sa vo všeobecnosti riešia takmer vždy v kruhu. Skrátka v akýchkoľvek úlohách, ktoré sú trochu náročnejšie ako štandardné.

Využime poznatky v praxi?)

Riešte goniometrické rovnice:

Po prvé, jednoduchšie, priamo z tejto lekcie.

Teraz je to zložitejšie.

Tip: tu budete musieť premýšľať o kruhu. Osobne.)

A teraz sú navonok jednoduché... Nazývajú sa aj špeciálne prípady.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Pomôcka: tu treba v kruhu zistiť, kde sú dve série odpovedí a kde jedna... A ako napísať jednu namiesto dvoch sérií odpovedí. Áno, aby sa nestratil ani jeden koreň z nekonečného počtu!)

No veľmi jednoduché):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tip: Tu musíte vedieť, čo sú arcsínus a arkkozín? Čo je arkustangens, arkustangens? Najjednoduchšie definície. Nemusíte si však pamätať žiadne tabuľkové hodnoty!)

Odpovede sú, samozrejme, neporiadok):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nevychádza všetko? Stáva sa. Prečítajte si lekciu znova. Iba zamyslene(existuje taká zastarané slovo...) A postupujte podľa odkazov. Hlavné odkazy sú o kruhu. Bez nej je trigonometria ako prechádzať cez cestu so zaviazanými očami. Niekedy to funguje.)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Zložitejšie goniometrické rovnice

Rovnice

hriech x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sú najjednoduchšie goniometrické rovnice. V tomto odseku o konkrétne príklady Pozrieme sa na zložitejšie goniometrické rovnice. Ich riešenie spravidla spočíva v riešení najjednoduchších goniometrických rovníc.

Príklad 1 . Vyriešte rovnicu

hriech 2 X=cos X hriech 2 X.

Prenesením všetkých členov tejto rovnice na ľavú stranu a rozpočítaním výsledného výrazu získame:

hriech 2 X(1 - cos X) = 0.

Súčin dvoch výrazov sa rovná nule práve vtedy, ak je aspoň jeden z faktorov rovná nule a druhý má akúkoľvek číselnú hodnotu, pokiaľ je definovaná.

Ak hriech 2 X = 0 , potom 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Ak 1 - čos X = 0 , potom cos X = 1; X = 2kπ .

Takže máme dve skupiny koreňov: X = π / 2 n; X = 2kπ . Druhá skupina koreňov je zjavne obsiahnutá v prvej, keďže pre n = 4k je výraz X = π / 2 n sa stáva
X = 2kπ .

Preto môže byť odpoveď napísaná jedným vzorcom: X = π / 2 n, Kde n- ľubovoľné celé číslo.

Všimnite si, že túto rovnicu nebolo možné vyriešiť znížením o sin 2 X. Skutočne, po redukcii by sme dostali 1 - cos x = 0, odkiaľ X= 2k π . Tak by sme prišli o niektoré korene napr π / 2 , π , 3π / 2 .

Príklad 2 Vyriešte rovnicu

Zlomok sa rovná nule iba vtedy, ak sa jeho čitateľ rovná nule.
Preto hriech 2 X = 0 , odkiaľ 2 X= n π ; X = π / 2 n.

Z týchto hodnôt X musíte vyhodiť ako cudzie tie hodnoty, pri ktorých hriechX ide na nulu (zlomky s nulovým menovateľom nemajú význam: delenie nulou nie je definované). Tieto hodnoty sú čísla, ktoré sú násobkami π . Vo vzorci
X = π / 2 n získavajú sa za párne n. Preto koreňmi tejto rovnice budú čísla

X = π / 2 (2 000 + 1),

kde k je ľubovoľné celé číslo.

Príklad 3 . Vyriešte rovnicu

2 hriech 2 X+ 7 cos X - 5 = 0.

Vyjadrime sa hriech 2 X cez cosX : hriech 2 X = 1 - čo 2X . Potom môže byť táto rovnica prepísaná ako

2 (1 - cos 2 X) + 7 cos X - 5 = 0 , alebo

2cos 2 X- 7 kos X + 3 = 0.

Určenie cosX cez pri, prichádzame k kvadratická rovnica

2у 2 - 7у + 3 = 0,

ktorých korene sú čísla 1/2 a 3. To znamená, že buď cos X= 1/2 alebo cos X= 3. To druhé je však nemožné, pretože kosínus akéhokoľvek uhla nepresahuje 1 v absolútnej hodnote.

Zostáva si to priznať cos X = 1 / 2 , kde

X = ± 60° + 360° n.

Príklad 4 . Vyriešte rovnicu

2 hriech X+ 3 cos X = 6.

Od hriechu X a cos X v absolútnej hodnote nepresahujú 1, potom výraz
2 hriech X+ 3 cos X nemôže nadobúdať hodnoty väčšie ako 5 . Preto táto rovnica nemá korene.

Príklad 5 . Vyriešte rovnicu

hriech X+ cos X = 1

Umocnením oboch strán tejto rovnice dostaneme:

hriech 2 X+ 2 hriech X cos X+ čo 2 X = 1,

ale hriech 2 X + pretože 2 X = 1 . Preto 2 hriech X cos X = 0 . Ak hriech X = 0 , To X = nπ ; ak
cos X , To X = π / 2 + kπ . Tieto dve skupiny riešení možno zapísať do jedného vzorca:

X = π / 2 n

Keďže sme odmocnili obe strany tejto rovnice, je možné, že medzi získanými koreňmi sú cudzie korene. Preto je v tomto príklade, na rozdiel od všetkých predchádzajúcich, potrebné vykonať kontrolu. Všetky významy

X = π / 2 n možno rozdeliť do 4 skupín

	1) X = 2kπ .	(n = 4 kB)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

O X = 2kπ hriech X+ cos X= 0 + 1 = 1. Preto X = 2kπ sú korene tejto rovnice.

O X = π / 2 + 2kπ. hriech X+ cos X= 1 + 0 = 1 Takže X = π / 2 + 2kπ- aj korene tejto rovnice.

O X = π + 2kπ hriech X+ cos X= 0 - 1 = - 1. Preto hodnoty X = π + 2kπ nie sú koreňmi tejto rovnice. Podobne sa ukazuje, že X = 3π / 2 + 2kπ. nie sú korene.

Táto rovnica má teda tieto korene: X = 2kπ A X = π / 2 + 2 mπ., Kde k A m- ľubovoľné celé čísla.

Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.