Násobenie a delenie algebraických zlomkov. Násobenie a delenie algebraických zlomkov

zhrnutie iné prezentácie

„Transformácia algebraických výrazov“ - Algoritmus na sčítanie a odčítanie algebraické zlomky. Práca na posilňovaní zručností sčítania, odčítania, násobenia. Plán lekcie. Algebraické výrazy a ich premenou. Vykonajte operáciu násobenia zlomkov. Nájdite chyby. Výraz pozostávajúci z číslic a písmen. Algoritmus na redukciu algebraických zlomkov na spoločného menovateľa. Poradie akcií. Znížte zlomok a nájdite rovnaký zlomok pre každý zlomok.

„Algebra kvadratických funkcií“ - Vzorce na skrátené násobenie. Kvadratické rovnice. Funkcia. Graf ktorej kvadratickej funkcie je znázornený na obrázku. Riešenie nerovností. Kvadratická funkcia. Graf funkcie. Parabola. Y = x2 + 4x. Referenčný materiál.

„Kombinatorické problémy a ich riešenia“ - Shkolnikovi o teórii pravdepodobnosti. Vzhľad stochastickej čiary. Kombinatorické problémy a ich riešenia. Obsah programu. Požiadavky na úroveň školenia. Prezentácie. Plánovanie lekcie. Prehlbovanie vedomostí žiakov. Výchovno-tematický plán. Vysvetľujúca poznámka.

„Algebra „Geometrická progresia““ – Zapíšte si prvých päť členov geometrickej postupnosti. Porovnajte matematické predmety v každej skupine. Geometrická progresia. Vyberte si výrok, ktorý vám vyhovuje. Matematický diktát. Osobné ciele. Minúta telesnej výchovy. Napíšte ľubovoľnú postupnosť čísel do jedného zo stĺpcov. Kontrola pokroku. "Nemôžete sa naučiť matematiku tým, že budete sledovať, ako to robí sused..." Ivan Niven. Hlavná vlastnosť geometrickej progresie.

„Riešenie nerovností s dvoma premennými“ – Otestujte sa. X2+Y2-9 a X2+Y2. Oblasti na riešenie nerovností. Vyberme si dvojicu čísel, ktoré budú riešením. Koncept nerovností s dvoma premennými. Pravidlo skúšobného bodu. Pár významov. Funkčné grafy. Riešenie nerovností v dvoch premenných. Riešenie nerovností.

„Pokroky v živote“ - Informácie z histórie. Sekvencie: cesta do hlbín storočí. Koľko polená je v jednom stohu? Problémy s praktickým obsahom z moderných učebníc algebry. priemerná cena výroby. O dedinských povestiach. Jedna rastlina púpava. Vzorce. Pokrok v bankovníctve a priemysle. Vošky. Ciliates. Vlastnosti aritmetických a geometrických postupností. Postupy a bankové vyrovnania.

Ak chcete vykonať násobenie algebraických (racionálnych) zlomkov, musíte:

1) Do čitateľa napíš súčin čitateľov a do menovateľa zapíš súčin menovateľov týchto zlomkov.

V tomto prípade sú potrebné polynómy.

2) Ak je to možné, znížte zlomok.

Komentujte.

Pri násobení treba súčet a rozdiel uviesť do zátvoriek.

Príklady násobenia algebraických zlomkov.

Pri násobení algebraických zlomkov násobíme oddelene čitateľov a oddelene menovateľov týchto zlomkov:

36 a 45 zmenšíme o 9, 22 a 55 o 11, a² a o a, b a b o b, c⁵ a c² o c²:

Ak chcete vynásobiť algebraické zlomky, vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Keďže čitatelia a menovatelia týchto zlomkov obsahujú polynómy, sú potrebné.

V čitateli prvého zlomku vyberieme zo zátvoriek spoločný činiteľ 3 Čitateľa druhého zlomku rozdelíme na činitele ako rozdiel druhých mocnín. Menovateľ prvého zlomku je druhá mocnina rozdielu. V menovateli druhého zlomku vyberieme spoločný činiteľ 5:

Zlomok možno zmenšiť o (x+3) a (2x-1):

Čitateľa vynásobíme čitateľom, menovateľa menovateľom. Menovateľ druhého zlomku vynásobíme pomocou vzorca rozdielu štvorcov:

(a-b) a (b-a) sa líšia len znakom. Vyberme „mínus“ zo zátvoriek, napríklad v čitateli. Potom znížte zlomok o (a-b) a o a:

Pri násobení algebraických zlomkov násobíme čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Snažíme sa faktorizovať polynómy, ktoré sú v nich zahrnuté.

V prvom zlomku je čitateľ úplný štvorec súčtu a menovateľ je súčet kociek. V druhom zlomku v čitateli - (časť vzorca pre súčet kociek), v menovateli je spoločný faktor 3, ktorý dáme zo zátvoriek:

Zlomok znížime o (x+3)² a (x²-3x+9):

V algebre sa operácie s algebraickými (racionálnymi) zlomkami môžu vyskytovať ako samostatná úloha, tak aj pri riešení iných príkladov, napríklad pri riešení rovníc a nerovníc. Preto je dôležité naučiť sa takéto zlomky v čase násobiť, deliť, sčítať a odčítať.

Kategória: |

Zapnuté túto lekciu Budú diskutované pravidlá násobenia a delenia algebraických zlomkov, ako aj príklady aplikácie týchto pravidiel. Násobenie a delenie algebraických zlomkov sa nelíši od násobenia a delenia obyčajných zlomkov. Prítomnosť premenných zároveň vedie k trochu zložitejším spôsobom zjednodušenia výsledných výrazov. Napriek tomu, že násobenie a delenie zlomkov je jednoduchšie ako ich sčítanie a odčítanie, k štúdiu tejto témy je potrebné pristupovať mimoriadne zodpovedne, pretože je v ňom veľa úskalí, ktorým sa zvyčajne nevenuje pozornosť. V rámci lekcie budeme študovať nielen pravidlá násobenia a delenia zlomkov, ale aj analyzovať nuansy, ktoré môžu vzniknúť pri ich používaní.

Predmet:Algebraické zlomky. Aritmetické operácie na algebraických zlomkoch

lekcia:Násobenie a delenie algebraických zlomkov

Pravidlá pre násobenie a delenie algebraických zlomkov sú úplne podobné pravidlám pre násobenie a delenie obyčajných zlomkov. Pripomeňme si ich:

To znamená, že na vynásobenie zlomkov je potrebné vynásobiť ich čitateľov (toto bude čitateľ súčinu) a vynásobiť ich menovateľov (bude to menovateľ súčinu).

Delenie zlomkom je násobenie prevráteným zlomkom, to znamená, že na rozdelenie dvoch zlomkov je potrebné vynásobiť prvý z nich (delenec) prevráteným druhým (deliteľom).

Napriek jednoduchosti týchto pravidiel sa veľa ľudí pri riešení príkladov na túto tému mýli v množstve špeciálnych prípadov. Pozrime sa bližšie na tieto špeciálne prípady:

Vo všetkých týchto pravidlách sme použili nasledujúcu skutočnosť: .

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov násobenia a delenia obyčajných zlomkov, aby sme si zapamätali, ako tieto pravidlá používať.

Príklad 1

Poznámka: Pri redukcii zlomkov sme použili rozklad čísel na prvočiniteľa. Pripomeňme si to základné čísla Sú to prirodzené čísla, ktoré sú deliteľné iba sebou samými. Zvyšné čísla sú volané zložený . Číslo nie je ani prvočíslo, ani zložené. Príklady základné čísla: .

Príklad 2

Uvažujme teraz o jednom zo špeciálnych prípadov s obyčajnými zlomkami.

Príklad 3

Ako môžete vidieť, násobenie a delenie obyčajných zlomkov, v prípade správna aplikácia Pravidlá nie sú zložité.

Pozrime sa na násobenie a delenie algebraických zlomkov.

Príklad 4

Príklad 5

Všimnite si, že je možné a dokonca nevyhnutné zmenšovať zlomky po násobení podľa rovnakých pravidiel, ktoré sme predtým zvažovali v lekciách venovaných redukcii algebraických zlomkov. Pozrime sa na niekoľko jednoduché príklady pre špeciálne prípady.

Príklad 6

Príklad 7

Uvažujme teraz trochu viac komplexné príklady o násobení a delení zlomkov.

Príklad 8

Príklad 9

Príklad 10

Príklad 11

Príklad 12

Príklad 13

Predtým sme sa pozreli na zlomky, v ktorých čitateľ aj menovateľ boli jednočlenné. V niektorých prípadoch je však potrebné násobiť alebo deliť zlomky, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú polynómy. V tomto prípade zostávajú pravidlá rovnaké, ale na zníženie je potrebné použiť skrátené vzorce násobenia a zátvorky.

Príklad 14

Príklad 15

Príklad 16

Príklad 17

Príklad 18

Táto lekcia sa bude zaoberať pravidlami násobenia a delenia algebraických zlomkov, ako aj príkladmi, ako tieto pravidlá aplikovať. Násobenie a odčítanie algebraických zlomkov sa nelíši od násobenia a delenia obyčajných zlomkov. Prítomnosť premenných zároveň vedie k trochu zložitejším spôsobom zjednodušenia výsledných výrazov. Napriek tomu, že násobenie a delenie zlomkov je jednoduchšie ako ich sčítanie a odčítanie, k štúdiu tejto témy je potrebné pristupovať mimoriadne zodpovedne, pretože je v ňom veľa úskalí, ktorým sa zvyčajne nevenuje pozornosť. V rámci lekcie budeme študovať nielen pravidlá násobenia a delenia zlomkov, ale aj analyzovať nuansy, ktoré môžu vzniknúť pri ich používaní.

Predmet:Algebraické zlomky. Aritmetické operácie na algebraických zlomkoch

lekcia:Násobenie a delenie algebraických zlomkov

1. Pravidlá násobenia a delenia obyčajných a algebraických zlomkov

Pravidlá pre násobenie a delenie algebraických zlomkov sú úplne podobné pravidlám pre násobenie a delenie obyčajných zlomkov. Pripomeňme si ich:

To znamená, že na vynásobenie zlomkov je potrebné vynásobiť ich čitateľov (toto bude čitateľ súčinu) a vynásobiť ich menovateľov (bude to menovateľ súčinu).

Delenie zlomkom je násobenie prevráteným zlomkom, to znamená, že na rozdelenie dvoch zlomkov je potrebné vynásobiť prvý z nich (delenec) prevráteným druhým (deliteľom).

2. Špeciálne prípady uplatňovania pravidiel násobenia a delenia zlomkov

Napriek jednoduchosti týchto pravidiel sa veľa ľudí pri riešení príkladov na túto tému mýli v množstve špeciálnych prípadov. Pozrime sa bližšie na tieto špeciálne prípady:

Vo všetkých týchto pravidlách sme použili nasledujúcu skutočnosť: .

3. Príklady násobenia a delenia obyčajných zlomkov

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov násobenia a delenia obyčajných zlomkov, aby sme si zapamätali, ako tieto pravidlá používať.

Príklad 1

Poznámka: pri redukcii zlomkov sme použili rozklad čísla na prvočiniteľ. Pripomeňme si to základné čísla Sú to prirodzené čísla, ktoré sú deliteľné iba sebou samými. Zvyšné čísla sú volané zložený. Číslo nie je ani prvočíslo, ani zložené. Príklady prvočísel: .

Príklad 2

Uvažujme teraz o jednom zo špeciálnych prípadov s obyčajnými zlomkami.

Príklad 3

Ako vidíte, násobenie a delenie obyčajných zlomkov, ak sú pravidlá aplikované správne, nie je ťažké.

4. Príklady násobenia a delenia algebraických zlomkov (jednoduché prípady)

Pozrime sa na násobenie a delenie algebraických zlomkov.

Príklad 4

Príklad 5

Všimnite si, že je možné a dokonca nevyhnutné zmenšovať zlomky po násobení podľa rovnakých pravidiel, ktoré sme predtým zvažovali v lekciách venovaných redukcii algebraických zlomkov. Pozrime sa na niekoľko jednoduchých príkladov pre špeciálne prípady.

Príklad 6

Príklad 7

Pozrime sa teraz na niekoľko zložitejších príkladov násobenia a delenia zlomkov.

Príklad 8

Príklad 9

Príklad 10

Príklad 11

Príklad 12

Príklad 13

5. Príklady násobenia a delenia algebraických zlomkov (ťažké prípady)

Predtým sme sa pozreli na zlomky, v ktorých čitateľ aj menovateľ boli jednočlenné. V niektorých prípadoch je však potrebné násobiť alebo deliť zlomky, ktorých čitateľmi a menovateľmi sú polynómy. V tomto prípade zostávajú pravidlá rovnaké, ale na zníženie je potrebné použiť skrátené vzorce násobenia a zátvorky.

Príklad 14

Príklad 15

Príklad 16

Príklad 17

Príklad 18

V tejto lekcii sme sa pozreli na Pravidlá násobenia a delenia algebraických zlomkov, ako aj aplikáciu týchto pravidiel na konkrétne príklady.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. algebra 8. - 5. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8. ročník. Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.

1. Portál pre celú rodinu.

2. Festival pedagogické myšlienky « Verejná lekcia» .

3. Celá elementárna matematika.

Domáca úloha

1. č. 73-77, 80. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. 8. - 5. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2010.

2. Vykonajte násobenie: a), b)

3. Vykonajte rozdelenie: a) , b)

V tomto článku pokračujeme v skúmaní základných operácií, ktoré je možné vykonávať s algebraickými zlomkami. Tu sa pozrieme na násobenie a delenie: najprv budeme odvodzovať potrebné pravidlá a potom ich ilustrujte riešeniami problémov.

Ako správne deliť a násobiť algebraické zlomky

Na násobenie algebraických zlomkov alebo delenie jedného zlomku druhým musíme použiť rovnaké pravidlá ako pre obyčajné zlomky. Pripomeňme si ich znenie.

Keď potrebujeme vynásobiť jeden spoločný zlomok na druhej strane vykonávame oddelené násobenie čitateľov a oddelených menovateľov, po ktorých zapíšeme konečný zlomok a umiestnime zodpovedajúce produkty na miesto. Príklad takéhoto výpočtu:

2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21

A keď potrebujeme rozdeliť obyčajné zlomky, urobíme to vynásobením prevráteným zlomkom deliteľa, napríklad:

2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Násobenie a delenie algebraických zlomkov sa riadi rovnakými princípmi. Sformulujme pravidlo:

Definícia 1

Ak chcete vynásobiť dva alebo viac algebraických zlomkov, musíte násobiť čitateľov a menovateľov oddelene. Výsledkom bude zlomok, ktorého čitateľ bude súčinom čitateľov a menovateľ bude súčinom menovateľov.

V doslovnom tvare môže byť pravidlo napísané ako a b · c d = a · c b · d. Tu a, b, c a d bude reprezentovať určité polynómy a b a d nemôže byť nula.

Definícia 2

Ak chcete rozdeliť jeden algebraický zlomok druhým, musíte vynásobiť prvý zlomok prevráteným zlomkom druhého.

Toto pravidlo možno napísať aj ako a b: c d = a b · d c = a · d b · c. Písmená a, b, c a d tu znamená polynómy, z ktorých a, b, c a d nemôže byť nula.

Zastavme sa oddelene nad tým, čo je reverzný algebraický zlomok. Je to zlomok, ktorý po vynásobení pôvodným výsledkom vyjde jedna. To znamená, že takéto zlomky budú podobné recipročným číslam. V opačnom prípade môžeme povedať, že recipročný algebraický zlomok pozostáva z rovnakých hodnôt ako pôvodný, ale jeho čitateľ a menovateľ sa menia. Takže vo vzťahu k zlomku a · b + 1 a 3 bude zlomok a 3 a · b + 1 inverzný.

Riešenie úloh násobenia a delenia algebraických zlomkov

V tomto odseku sa pozrieme na to, ako správne aplikovať vyššie uvedené pravidlá v praxi. Začnime jednoduchým a jasným príkladom.

Príklad 1

podmienka: vynásobte zlomok 1 x + y 3 · x · y x 2 + 5 a potom vydeľte jeden zlomok druhým.

Riešenie

Najprv urobme násobenie. Podľa pravidla musíte čitateľov a menovateľov vynásobiť oddelene:

1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)

Dostali sme nový polynóm, na ktorý je potrebné zredukovať štandardný pohľad. Dokončime výpočty:

1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y

Teraz sa pozrime, ako správne rozdeliť jeden zlomok druhým. Podľa pravidla musíme túto akciu nahradiť vynásobením prevráteným zlomkom x 2 + 5 3 x x y:

1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y

Zredukujeme výsledný zlomok na štandardný tvar:

1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2

odpoveď: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2.

Proces delenia a násobenia obyčajných zlomkov často vedie k výsledkom, ktoré možno skrátiť, napríklad 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12. Keď robíme tieto veci s algebraickými zlomkami, môžeme tiež získať redukovateľné výsledky. Na tento účel je užitočné najprv rozložiť čitateľa a menovateľa pôvodného polynómu na samostatné faktory. V prípade potreby si znova prečítajte článok o tom, ako to urobiť správne. Pozrime sa na príklad problému, v ktorom budete musieť zmenšiť zlomky.

Príklad 2

podmienka: vynásobte zlomky x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 a 6 · x x 2 - 1 .

Riešenie

Pred výpočtom súčinu rozkladáme čitateľa prvého pôvodného zlomku a menovateľa druhého. Na to potrebujeme skrátené vzorce násobenia. Vypočítame:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 · x 18 · x 3 · x - 1 x + 1

Máme zlomok, ktorý možno znížiť:

x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)

O tom, ako sa to robí, sme písali v článku venovanom redukcii algebraických zlomkov.

Vynásobením monomiálu a polynómu v menovateli dostaneme výsledok, ktorý potrebujeme:

x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Tu je prepis celého riešenia bez vysvetlenia:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2

odpoveď: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2 .

V niektorých prípadoch je vhodné transformovať pôvodné zlomky pred násobením alebo delením, aby boli ďalšie výpočty rýchlejšie a jednoduchšie.

Príklad 3

podmienka: deliť 2 1 7 · x - 1 12 · x 7 - x .

Riešenie: Začnime zjednodušením algebraického zlomku 2 1 7 · x - 1, aby sme sa zbavili zlomkového koeficientu. Aby sme to dosiahli, vynásobíme obe časti zlomku siedmimi (táto akcia je možná vďaka hlavnej vlastnosti algebraického zlomku). V dôsledku toho dostaneme nasledovné:

2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7

Vidíme, že menovateľ zlomku 12 x 7 - x, ktorým musíme deliť prvý zlomok, a menovateľ výsledného zlomku sú navzájom opačné výrazy. Zmenou znamienok čitateľa a menovateľa 12 x 7 - x dostaneme 12 x 7 - x = - 12 x x - 7.

Po všetkých transformáciách môžeme konečne prejsť priamo k deleniu algebraických zlomkov:

2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x

odpoveď: 2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = - 7 6 x .

Ako násobiť alebo deliť algebraický zlomok polynómom

Na vykonanie takejto akcie môžeme použiť rovnaké pravidlá, ktoré sme uviedli vyššie. Najprv musíte reprezentovať polynóm vo forme algebraického zlomku s jednotkou v menovateli. Táto akcia je podobná konverzii prirodzené číslo do spoločného zlomku. Môžete napríklad nahradiť polynóm x 2 + x - 4 na x 2 + x − 4 1. Výsledné výrazy budú identicky rovnaké.

Príklad 4

podmienka: delte algebraický zlomok polynómom x + 4 5 · x · y: x 2 - 16.

Riešenie

x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x y 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 x y (x - 4) (x + 4) = 1 5 x y x - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y

odpoveď: x + 4 5 x y: x 2 - 16 = 1 5 x 2 r - 20 x y.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter