Ako urobiť tri celé čísla zo zlomkov. Operácie s obyčajnými zlomkami

Zlomok- forma znázornenia čísla v matematike. Zlomková čiara označuje operáciu delenia. Čitateľ zlomku sa nazýva dividenda a menovateľ- rozdeľovač. Napríklad v zlomku je čitateľ 5 a menovateľ 7.

Správne Zlomok, ktorého čitateľ je väčší ako menovateľ, sa nazýva zlomok. Ak je zlomok vlastný, modul jeho hodnoty je vždy menší ako 1. Všetky ostatné zlomky sú nesprávne.

Zlomok sa nazýva zmiešané, ak je zapísaný ako celé číslo a zlomok. Je to rovnaké ako súčet tohto čísla a zlomku:

Hlavná vlastnosť zlomku

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia rovnakým číslom, hodnota zlomku sa nezmení, teda napr.

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Ak chcete priviesť dva zlomky do spoločného menovateľa, potrebujete:

Vynásobte čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého
Vynásobte čitateľa druhého zlomku menovateľom prvého
Nahraďte menovateľov oboch zlomkov ich súčinom

Operácie so zlomkami

Doplnenie. Na pridanie dvoch zlomkov potrebujete

Pridajte nových čitateľov oboch zlomkov a ponechajte menovateľa nezmenený

Príklad:

Odčítanie. Ak chcete odčítať jeden zlomok od druhého, potrebujete

Zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa
Odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechajte menovateľa nezmenený

Príklad:

Násobenie. Ak chcete vynásobiť jeden zlomok druhým, vynásobte ich čitateľov a menovateľov:

divízie. Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, vynásobte čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobte menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého:

Tento článok skúma operácie so zlomkami. Vytvoria sa a zarovnajú sa pravidlá pre sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie alebo umocňovanie zlomkov tvaru A B, kde A a B môžu byť čísla, číselné výrazy alebo výrazy s premennými. Na záver sa zvážia príklady riešení s podrobným popisom.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pravidlá vykonávania operácií so všeobecnými číselnými zlomkami

Číselné zlomky všeobecný pohľad majú čitateľa a menovateľa, v ktorom sú celé čísla alebo číselné výrazy. Ak vezmeme do úvahy zlomky ako 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, potom je zrejmé, že čitateľ a menovateľ môže mať nielen čísla, ale aj výrazy rôzneho typu.

Definícia 1

Existujú pravidlá, podľa ktorých sa akcie vykonávajú bežné zlomky. Je vhodný aj pre všeobecné frakcie:

Pri odčítaní zlomkov s podobnými menovateľmi sa sčítajú iba čitatelia a menovateľ zostáva rovnaký, a to: a d ± c d = a ± c d, hodnoty a, c a d ≠ 0 sú nejaké čísla alebo číselné výrazy.
Pri sčítaní alebo odčítaní zlomku s rôznymi menovateľmi je potrebné ho zredukovať na spoločného menovateľa a potom výsledné zlomky s rovnakými exponentmi sčítať alebo odčítať. Doslova to vyzerá takto: a b ± c d = a · p ± c · r s, kde hodnoty a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 sú reálne čísla, a b · p = d · r = s. Keď p = d a r = b, potom a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
Pri násobení zlomkov sa akcia vykonáva s čitateľmi, po ktorých s menovateľmi potom dostaneme a b · c d = a · c b · d, kde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 pôsobia ako reálne čísla.
Pri delení zlomku zlomkom vynásobíme prvý druhým inverzným, to znamená, že zameníme čitateľa a menovateľa: a b: c d = a b · d c.

Zdôvodnenie pravidiel

Definícia 2

Existujú nasledujúce matematické body, na ktoré by ste sa mali pri výpočte spoliehať:

desatinná čiarka znamená deliace znamienko;
delenie číslom sa považuje za násobenie jeho vzájomnou hodnotou;
aplikácia vlastnosti operácií s reálnymi číslami;
uplatnenie základnej vlastnosti zlomkov a číselných nerovností.

S ich pomocou môžete vykonávať transformácie formulára:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · rs; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Príklady

V predchádzajúcom odseku bolo povedané o operáciách so zlomkami. Potom je potrebné zlomok zjednodušiť. Táto téma bola podrobne diskutovaná v odseku o prevode zlomkov.

Najprv sa pozrime na príklad sčítania a odčítania zlomkov s rovnakým menovateľom.

Príklad 1

Vzhľadom na zlomky 8 2, 7 a 1 2, 7 je potom podľa pravidla potrebné pridať čitateľa a prepísať menovateľa.

Riešenie

Potom dostaneme zlomok tvaru 8 + 1 2, 7. Po vykonaní sčítania získame zlomok tvaru 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Takže 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

odpoveď: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Existuje aj iné riešenie. Na začiatok prejdeme na formu obyčajného zlomku, po ktorej vykonáme zjednodušenie. Vyzerá to takto:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Príklad 2

Odčítajme od 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 zlomok tvaru 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Keďže sú dané rovnaké menovatele, znamená to, že počítame zlomok s rovnakým menovateľom. Chápeme to

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Existujú príklady výpočtu zlomkov s rôznymi menovateľmi. Dôležitým bodom je redukcia na spoločného menovateľa. Bez toho nebudeme môcť vykonávať ďalšie operácie so zlomkami.

Proces nejasne pripomína redukciu na spoločného menovateľa. To znamená, že sa hľadá najmenší spoločný deliteľ v menovateli a potom sa do zlomkov pridajú chýbajúce faktory.

Ak pridané frakcie nemajú spoločné faktory, potom sa ich produkt môže stať jedným.

Príklad 3

Pozrime sa na príklad sčítania zlomkov 2 3 5 + 1 a 1 2.

Riešenie

V tomto prípade je spoločný menovateľ súčinom menovateľov. Potom dostaneme, že 2 · 3 5 + 1. Potom pri nastavovaní ďalších faktorov máme, že pre prvý zlomok sa rovná 2 a pre druhý je 3 5 + 1. Po vynásobení sa zlomky zredukujú na tvar 4 2 · 3 5 + 1. Všeobecné zníženie 1 2 bude 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Pridáme výsledné zlomkové výrazy a dostaneme to

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

odpoveď: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Keď sa zaoberáme všeobecnými zlomkami, zvyčajne nehovoríme o najnižšom spoločnom menovateľovi. Je nerentabilné brať ako menovateľ súčin čitateľov. Najprv musíte skontrolovať, či existuje číslo, ktoré má nižšiu hodnotu ako ich produkt.

Príklad 4

Zoberme si príklad 1 6 · 2 1 5 a 1 4 · 2 3 5, keď sa ich súčin rovná 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Potom vezmeme 12 · 2 3 5 ako spoločného menovateľa.

Pozrime sa na príklady násobenia všeobecných zlomkov.

Príklad 5

Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť 2 + 1 6 a 2 · 5 3 · 2 + 1.

Riešenie

Podľa pravidla je potrebné prepísať a zapísať súčin čitateľov ako menovateľ. Dostaneme, že 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Keď sa zlomok vynásobí, môžete ho zmenšiť, aby ste ho zjednodušili. Potom 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Pomocou pravidla pre prechod od delenia k násobeniu prevráteným zlomkom dostaneme zlomok, ktorý je prevrátený k danému. Na tento účel sa vymení čitateľ a menovateľ. Pozrime sa na príklad:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Potom sa musia vynásobiť a zjednodušiť výsledný zlomok. V prípade potreby sa zbavte iracionality v menovateli. Chápeme to

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

odpoveď: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Tento odsek je použiteľný vtedy, keď počet resp číselný výraz možno prezentovať ako zlomok s menovateľom rovným 1, potom sa akcia s takýmto zlomkom považuje za samostatný odsek. Napríklad výraz 1 6 · 7 4 - 1 · 3 ukazuje, že koreň 3 možno nahradiť iným výrazom 3 1. Potom bude tento záznam vyzerať ako vynásobenie dvoch zlomkov v tvare 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Vykonávanie operácií so zlomkami obsahujúcimi premenné

Pravidlá opísané v prvom článku sú použiteľné pre operácie so zlomkami obsahujúcimi premenné. Zvážte pravidlo odčítania, keď sú menovatelia rovnaké.

Je potrebné dokázať, že A, C a D (D nie je rovná nule) môžu byť ľubovoľné výrazy a rovnosť A D ± C D = A ± C D je ekvivalentná jeho rozsahu prípustných hodnôt.

Je potrebné vziať množinu premenných ODZ. Potom A, C, D musia nadobudnúť zodpovedajúce hodnoty a 0, c 0 a d 0. Nahradením tvaru A D ± CD D vznikne rozdiel tvaru a 0 d 0 ± c 0 d 0, kde pomocou pravidla sčítania dostaneme vzorec tvaru a 0 ± c 0 d 0 . Ak dosadíme výraz A ± C D, dostaneme rovnaký zlomok tvaru a 0 ± c 0 d 0. Odtiaľto sme dospeli k záveru, že zvolená hodnota, ktorá spĺňa ODZ, A ± CD a AD ± CD sa považuje za rovnakú.

Pre akúkoľvek hodnotu premenných sa tieto výrazy budú rovnať, to znamená, že sa nazývajú rovnako rovné. To znamená, že tento výraz sa považuje za dokázateľnú rovnosť tvaru A D ± C D = A ± CD D .

Príklady sčítania a odčítania zlomkov s premennými

Keď máte rovnakých menovateľov, stačí len pridať alebo odčítať čitateľa. Tento zlomok sa dá zjednodušiť. Niekedy musíte pracovať so zlomkami, ktoré sú identicky rovnaké, ale na prvý pohľad to nie je viditeľné, pretože je potrebné vykonať nejaké transformácie. Napríklad x 2 3 x 1 3 + 1 a x 1 3 + 1 2 alebo 1 2 sin 2 α a sin a cos a. Najčastejšie sa vyžaduje zjednodušenie pôvodného výrazu, aby sa zobrazili rovnaké menovatele.

Príklad 6

Vypočítajte: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Riešenie

Ak chcete vykonať výpočet, musíte odpočítať zlomky, ktoré majú rovnaký menovateľ. Potom dostaneme, že x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Potom môžete rozbaliť zátvorky a pridať podobné výrazy. Dostaneme, že x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
Keďže menovatele sú rovnaké, ostáva už len sčítať čitateľa a ponechať menovateľ: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
Doplnenie bolo dokončené. Je vidieť, že je možné znížiť zlomok. Jeho čitateľ môže byť zložený pomocou vzorca pre druhú mocninu súčtu, potom dostaneme (l g x + 2) 2 zo skrátených vzorcov násobenia. Potom to dostaneme
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
Dané zlomky tvaru x - 1 x - 1 + x x + 1 s rôznymi menovateľmi. Po transformácii môžete prejsť k pridávaniu.

Uvažujme o dvojakom riešení.

Prvý spôsob spočíva v tom, že menovateľ prvého zlomku sa rozkladá pomocou štvorcov s jeho následnou redukciou. Dostaneme zlomok formy

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Takže x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

V tomto prípade je potrebné zbaviť sa iracionality v menovateli.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Druhým spôsobom je vynásobenie čitateľa a menovateľa druhého zlomku výrazom x - 1. Tým sa zbavíme iracionality a prejdeme na sčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom. Potom

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

odpoveď: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (lg x + 2) = lg x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1 .

V poslednom príklade sme zistili, že redukcia na spoločného menovateľa je nevyhnutná. Aby ste to dosiahli, musíte zjednodušiť zlomky. Pri sčítaní alebo odčítaní vždy musíte hľadať spoločného menovateľa, ktorý vyzerá ako súčin menovateľov s ďalšími faktormi pridanými k čitateľom.

Príklad 7

Vypočítajte hodnoty zlomkov: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Riešenie

Menovateľ nevyžaduje žiadne zložité výpočty, takže je potrebné zvoliť ich súčin v tvare 3 x 7 + 2 · 2, potom zvoliť x 7 + 2 · 2 pre prvý zlomok ako dodatočný faktor a 3 pre druhý. Pri násobení dostaneme zlomok tvaru x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
Je vidieť, že menovatele sú prezentované vo forme produktu, čo znamená, že ďalšie transformácie nie sú potrebné. Za spoločného menovateľa sa bude považovať súčin v tvare x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Preto x 4 je dodatočný faktor k prvému zlomku a ln(x + 1) do druhého. Potom odpočítame a dostaneme:
x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - hriech x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - hriech x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = = x + 1 · x 4 - hriech x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2x-4)
Tento príklad dáva zmysel pri práci s menovateľmi zlomkov. Je potrebné použiť vzorce pre rozdiel druhých mocnín a druhú mocninu súčtu, pretože umožnia prejsť na vyjadrenie v tvare 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Je vidieť, že zlomky sú zredukované na spoločného menovateľa. Dostaneme, že cos x - x · cos x + x 2 .

Potom to dostaneme

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

odpoveď:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - hriech x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - hriech x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Príklady násobenia zlomkov s premennými

Pri násobení zlomkov sa čitateľ násobí čitateľom a menovateľ menovateľom. Potom môžete použiť vlastnosť zmenšenia.

Príklad 8

Vynásobte zlomky x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 a 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Riešenie

Je potrebné vykonať násobenie. Chápeme to

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriech (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x)

Číslo 3 je pre uľahčenie výpočtov presunuté na prvé miesto a zlomok môžete znížiť o x 2, potom dostaneme výraz tvaru

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x)

odpoveď: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriech (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · hriech (2 · x - x) .

divízie

Delenie zlomkov je podobné ako násobenie, keďže prvý zlomok sa násobí druhým prevráteným. Ak vezmeme napríklad zlomok x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 a vydelíme 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, potom to možno zapísať ako

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , potom nahraďte produktom v tvare x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriechy (2 x - x)

Umocňovanie

Prejdime k uvažovaniu operácií so všeobecnými zlomkami s umocňovaním. Ak existuje mocnina s prirodzeným exponentom, potom sa akcia považuje za násobenie rovnakých zlomkov. Ale odporúča sa použiť všeobecný prístup, na základe vlastností stupňov. Akékoľvek výrazy A a C, kde C nie je zhodne rovné nule, a akékoľvek reálne r na ODZ pre výraz tvaru A C r platí rovnosť A C r = A r C r. Výsledkom je zlomok umocnený na mocninu. Zvážte napríklad:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Postup pri vykonávaní operácií so zlomkami

Operácie na frakciách sa vykonávajú podľa určité pravidlá. V praxi si všimneme, že výraz môže obsahovať niekoľko zlomkov alebo zlomkových výrazov. Potom je potrebné vykonať všetky akcie v prísnom poradí: zvýšiť na moc, vynásobiť, rozdeliť, potom pridať a odčítať. Ak existujú zátvorky, prvá akcia sa vykoná v nich.

Príklad 9

Vypočítajte 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Riešenie

Keďže máme rovnakého menovateľa, potom 1 - x cos x a 1 c o s x, ale nemožno vykonať odčítanie podľa pravidla, najprv sa vykonajú akcie v zátvorkách, potom násobenie a potom sčítanie. Potom pri výpočte dostaneme to

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Pri dosadení výrazu do pôvodného dostaneme, že 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Pri násobení zlomkov máme: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Po vykonaní všetkých substitúcií dostaneme 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Teraz musíte pracovať so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov. Dostaneme:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

odpoveď: 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Čitateľ a to, čo je delené, je menovateľ.

Ak chcete napísať zlomok, najprv napíšte čitateľa, potom pod číslom nakreslite vodorovnú čiaru a pod čiaru napíšte menovateľa. Vodorovná čiara, ktorá oddeľuje čitateľa a menovateľa, sa nazýva zlomková čiara. Niekedy sa zobrazuje ako šikmé „/“ alebo „∕“. V tomto prípade sa čitateľ píše naľavo od riadku a menovateľ napravo. Napríklad zlomok „dve tretiny“ sa zapíše ako 2/3. Kvôli prehľadnosti je čitateľ zvyčajne napísaný v hornej časti riadku a menovateľ v dolnej časti, to znamená, že namiesto 2/3 nájdete: ⅔.

Ak chcete vypočítať súčin zlomkov, najprv vynásobte čitateľa jednej zlomky do čitateľa je iný. Výsledok zapíšte do čitateľa nového zlomky. Potom vynásobte menovateľov. Do nového zadajte celkovú hodnotu zlomky. Napríklad 1/3? 1/5 = 1/15 (1 x 1 = 1; 3 x 5 = 15).

Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, najprv vynásobte čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého. Urobte to isté s druhým zlomkom (deliteľom). Alebo pred vykonaním všetkých akcií najprv „otočte“ deliteľa, ak je to pre vás pohodlnejšie: namiesto čitateľa by sa mal objaviť menovateľ. Potom vynásobte menovateľa dividendy novým menovateľom deliteľa a vynásobte čitateľov. Napríklad 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 x 5 = 5; 3 x 1 = 3).

Zdroje:

Základné zlomkové úlohy

Zlomkové čísla môžu byť vyjadrené v v rôznych formách presná hodnota množstvá. So zlomkami môžete robiť rovnaké matematické operácie ako s celými číslami: odčítanie, sčítanie, násobenie a delenie. Naučiť sa rozhodovať zlomky, musíme si zapamätať niektoré z ich vlastností. Závisia od typu zlomky, prítomnosť celočíselnej časti, spoločného menovateľa. Niektoré aritmetické operácie vyžadujú, aby sa zlomková časť výsledku po vykonaní zmenšila.

Budete potrebovať

- kalkulačka

Inštrukcie

Pozrite sa pozorne na čísla. Ak sú medzi zlomkami desatinné a nepravidelné, niekedy je vhodnejšie najskôr vykonať operácie s desatinnými miestami a potom ich previesť do nepravidelného tvaru. Môžete preložiť zlomky v tejto forme na začiatku napíšte hodnotu za desatinnou čiarkou v čitateli a vložte 10 do menovateľa. Ak je to potrebné, zlomok znížte vydelením čísel nad a pod jedným deliteľom. Zlomky, v ktorých je izolovaná celá časť, sa musia previesť do nesprávneho tvaru vynásobením menovateľom a pridaním čitateľa k výsledku. Táto hodnota sa stane novým čitateľom zlomky. Výber celej časti z pôvodne nesprávnej zlomky, musíte vydeliť čitateľa menovateľom. Napíšte celý výsledok z zlomky. A zvyšok divízie sa stane novým čitateľom, menovateľom zlomky to sa nemení. Pre zlomky s celočíselnou časťou je možné vykonávať akcie samostatne, najprv pre celé číslo a potom pre zlomkové časti. Napríklad je možné vypočítať súčet 1 2/3 a 2 ¾:
- Prevod zlomkov do nesprávneho tvaru:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Súčet oddelene celých a zlomkových častí pojmov:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepíšte ich pomocou oddeľovača „:“ a pokračujte v normálnom delení.

Ak chcete získať konečný výsledok, znížte výsledný zlomok vydelením čitateľa a menovateľa jedným celým číslom, v tomto prípade najväčším. V tomto prípade musia byť nad a pod čiarou celé čísla.

Poznámka

Nevykonávajte aritmetiku so zlomkami, ktorých menovateľ je odlišný. Vyberte číslo také, že keď ním vynásobíte čitateľa a menovateľa každého zlomku, výsledkom bude, že menovatelia oboch zlomkov sa budú rovnať.

Užitočné rady

Pri písaní zlomkových čísel sa dividenda píše nad čiarou. Toto množstvo sa označuje ako čitateľ zlomku. Deliteľ alebo menovateľ zlomku sa píše pod čiaru. Napríklad jeden a pol kilogramu ryže ako zlomok bude napísané takto: 1 ½ kg ryže. Ak je menovateľ zlomku 10, zlomok sa nazýva desatinné. V tomto prípade sa čitateľ (dividenda) píše napravo od celej časti oddelenej čiarkou: 1,5 kg ryže. Pre jednoduchosť výpočtu môže byť takýto zlomok vždy napísaný v nesprávnom tvare: 1 2/10 kg zemiakov. Pre zjednodušenie môžete znížiť hodnoty čitateľa a menovateľa tak, že ich vydelíte jedným celým číslom. V tomto príklade môžete deliť 2. Výsledkom bude 1 1/5 kg zemiakov. Uistite sa, že čísla, s ktorými budete vykonávať aritmetiku, sú uvedené v rovnakej forme.

V článku si ukážeme ako riešiť zlomky pomocou jednoduchých, zrozumiteľných príkladov. Poďme zistiť, čo je zlomok a zvážiť riešenie zlomkov!

koncepcia zlomky sa zavádza do kurzov matematiky od 6. ročníka strednej školy.

Zlomky majú tvar: ±X/Y, kde Y je menovateľ, hovorí, na koľko častí bol celok rozdelený, a X je čitateľ, hovorí, koľko takýchto častí bolo prevzatých. Pre prehľadnosť si uveďme príklad s koláčom:

V prvom prípade sa torta prekrojila rovnako a odobrala sa jedna polovica, t.j. 1/2. V druhom prípade sa torta rozrezala na 7 častí, z toho sa odobrali 4 časti, t.j. 4/7.

Ak časť delenia jedného čísla druhým nie je celé číslo, zapíše sa ako zlomok.

Napríklad výraz 4:2 = 2 dáva celé číslo, ale 4:7 nie je deliteľné celkom, preto sa tento výraz zapíše ako zlomok 4/7.

Inými slovami zlomok je výraz, ktorý označuje delenie dvoch čísel alebo výrazov a ktorý sa zapisuje pomocou zlomkovej lomky.

Ak je čitateľ menší ako menovateľ, zlomok je vlastný, ak naopak, ide o nesprávny zlomok. Zlomok môže obsahovať celé číslo.

Napríklad 5 celých 3/4.

Tento záznam znamená, že na získanie celých 6 chýba jedna časť zo štyroch.

Ak si chcete zapamätať, ako riešiť zlomky pre 6. ročník, musíš to pochopiť riešenie zlomkov v podstate ide o pochopenie niekoľkých jednoduchých vecí.

Zlomok je v podstate vyjadrením zlomku. Teda číselné vyjadrenie toho, aká časť je daná hodnota jedného celku. Napríklad zlomok 3/5 vyjadruje, že ak by sme niečo celé rozdelili na 5 častí a počet podielov alebo častí tohto celku je tri.
Zlomok môže byť menší ako 1, napríklad 1/2 (alebo v podstate polovica), potom je to správne. Ak je zlomok väčší ako 1, napríklad 3/2 (tri polovice alebo jeden a pol), tak je to nesprávne a pre zjednodušenie riešenia je pre nás lepšie vybrať celú časť 3/2 = 1 celok 1 /2.
Zlomky sú rovnaké čísla ako 1, 3, 10 a dokonca aj 100, len čísla nie sú celé čísla, ale zlomky. Môžete s nimi vykonávať rovnaké operácie ako s číslami. Počítanie zlomkov nie je o nič ťažšie a ďalej konkrétne príklady ukážeme to.

Ako riešiť zlomky. Príklady.

Na zlomky sa dá použiť široká škála aritmetických operácií.

Zmenšenie zlomku na spoločného menovateľa

Napríklad musíte porovnať zlomky 3/4 a 4/5.

Na vyriešenie problému najprv nájdeme najnižšieho spoločného menovateľa, t.j. najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z menovateľov zlomkov bez zanechania zvyšku

Najmenší spoločný menovateľ (4,5) = 20

Potom sa menovateľ oboch zlomkov zredukuje na najmenší spoločný menovateľ

Odpoveď: 15/20

Sčítanie a odčítanie zlomkov

Ak je potrebné vypočítať súčet dvoch zlomkov, najskôr sa privedú k spoločnému menovateľovi, potom sa pridajú čitatelia, pričom menovateľ zostáva nezmenený. Rozdiel medzi zlomkami sa vypočíta rovnakým spôsobom, rozdiel je len v tom, že sa odčítajú čitatelia.

Napríklad musíte nájsť súčet zlomkov 1/2 a 1/3

Teraz nájdime rozdiel medzi zlomkami 1/2 a 1/4

Násobenie a delenie zlomkov

Riešenie zlomkov tu nie je ťažké, všetko je tu celkom jednoduché:

Násobenie – čitatelia a menovatelia zlomkov sa násobia spolu;
Delenie - najprv dostaneme zlomok prevrátený k druhému zlomku, t.j. Prehodíme jeho čitateľa a menovateľa, potom výsledné zlomky vynásobíme.

Napríklad:

To je asi tak všetko ako riešiť zlomky, Všetky. Ak máte ešte nejaké otázky týkajúce sa riešenie zlomkov, ak je niečo nejasné, napíšte do komentárov a my vám určite odpovieme.

Ak ste učiteľ, potom je možné si prezentáciu stiahnuť pre Základná škola(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) vám príde vhod.

Obsah lekcie

Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi

Existujú dva typy pridávania frakcií:

Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi
Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Odpoveď nebola správny zlomok. Keď príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nevhodnej frakcie, musíte vybrať celú jej časť. V našom prípade je celá časť ľahko izolovaná - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .

Opäť spočítame čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak k pizze pridáte pizzu a pridáte ďalšie pizze, získate 1 celú pizzu a viac pízz.

Ako vidíte, na sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítavaní zlomkov musia byť menovatelia zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Zlomky však nemožno sčítať hneď, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes sa pozrieme len na jeden z nich, keďže ostatné spôsoby sa môžu začiatočníkovi zdať komplikované.

Podstatou tejto metódy je, že najprv sa hľadá LCM menovateľov oboch zlomkov. LCM sa potom vydelí menovateľom prvej frakcie, aby sa získal prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhou frakciou - LCM sa vydelí menovateľom druhej frakcie a získa sa druhý dodatočný faktor.

Čitatelia a menovatelia zlomkov sa potom vynásobia ich ďalšími faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, premenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajme zlomky a

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz sa vráťme k zlomkom a . Najprv vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku a získajte prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným násobiteľom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobte malú šikmú čiaru nad zlomkom a zapíšte ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným multiplikátorom. Zapisujeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru cez druhý zlomok a zapíšeme ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:

Teraz máme všetko pripravené na doplnenie. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:

Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Vezmime si tento príklad do konca:

Týmto je príklad dokončený. Ukazuje sa pridať .

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak k pizze pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukciu zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním zlomkov a na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými kúskami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).

Prvý výkres predstavuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý výkres predstavuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Pridaním týchto kusov dostaneme (sedem kusov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme zvýraznili jeho celú časť. V dôsledku toho sme dostali (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Upozorňujeme, že sme popísali tento príklad príliš podrobné. IN vzdelávacie inštitúcie Nie je zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo vynásobiť nájdené dodatočné faktory vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:

Ale je tu aj druhá strana mince. Ak si v prvých fázach štúdia matematiky nerobíte podrobné poznámky, začnú sa objavovať otázky tohto druhu. "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte dodatočný faktor pre každý zlomok;
Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Využime pokyny uvedené vyššie.

Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov

Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší faktor pre každý zlomok

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Dostaneme druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho nad druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Dostaneme tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme ich ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky s rovnakými menovateľmi

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva len sčítať tieto zlomky. Pridajte to:

Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, a tak sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, presunie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadku a na začiatok nového riadku je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť

Naša odpoveď sa ukázala ako nesprávny zlomok. Musíme vyzdvihnúť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:

Dostali sme odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku, no menovateľ ponechajte rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Ak chcete vyriešiť tento príklad, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený. Poďme to spraviť:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený úplne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:

Ako vidíte, na odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Môžete napríklad odčítať zlomok od zlomku, pretože zlomky majú rovnakých menovateľov. Nemôžete však odčítať zlomok od zlomku, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza pomocou rovnakého princípu, ktorý sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad prvým zlomkom. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad druhým zlomkom.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, premenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite význam výrazu:

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz sa vráťme k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Za týmto účelom vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Napíšte štvorku nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku nad druhý zlomok:

Teraz sme pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Vezmime si tento príklad do konca:

Dostali sme odpoveď

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak odkrojíte pizzu z pizze, dostanete pizzu

Toto je podrobná verzia riešenia. Keby sme boli v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním týchto zlomkov na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké časti (redukované na rovnakého menovateľa):

Na prvom obrázku je zlomok (osem dielikov z dvanástich) a na druhom obrázku je zlomok (tri dieliky z dvanástich). Vyrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich najprv musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Ak to chcete urobiť, vydeľte LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho nad druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Vydelením 30 číslom 5 dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok a zdá sa, že všetko nám vyhovuje, ale je príliš ťažkopádne a škaredé. Mali by sme to zjednodušiť. Čo sa dá robiť? Tento zlomok môžete skrátiť.

Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte jeho čitateľa a menovateľa vydeliť (GCD) čísel 20 a 30.

Nájdeme teda gcd čísel 20 a 30:

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným gcd, to znamená 10

Dostali sme odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa zlomku týmto číslom a ponechať menovateľa rovnakého.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Nahrávku možno chápať tak, že zaberie polovičný 1 čas. Napríklad, ak si vezmete pizzu 1 krát, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene multiplikandu a faktora, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako prevzatie polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete 4 pizze, dostanete dve celé pizze

A ak zameníme multiplikand a multiplikátor, dostaneme výraz . Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostali sme odpoveď. Je vhodné tento podiel znížiť. Zlomok môže byť znížený o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu formu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako ubrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kusov:

Urobíme pizzu. Pamätajte si, ako pizza vyzerá, keď je rozdelená na tri časti:

Jeden kus tejto pizze a dva kusy, ktoré sme si vzali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, hovoríme o približne rovnako veľká pizza. Preto hodnota výrazu je

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok, ale bolo by dobré, keby sa skrátil. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel 105 a 450.

Takže nájdime gcd čísel 105 a 450:

Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede hodnotou gcd, ktorú sme teraz našli, teda 15

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . To nezmení význam päť, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako vieme, sa rovná piatim:

Recipročné čísla

Teraz sa zoznámime s veľmi zaujímavá téma v matematike. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jeden.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jeden.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že je to možné. Predstavme si päťku ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, iba hore nohami:

Čo sa stane v dôsledku toho? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo , pretože keď vynásobíte 5 číslom, dostanete jednotku.

Prevrátenú hodnotu čísla možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu akéhokoľvek iného zlomku. Ak to chcete urobiť, jednoducho ho otočte.

Delenie zlomku číslom

Povedzme, že máme polovicu pizze:

Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?

Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Recipročné čísla umožňujú nahradiť delenie násobením.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom, musíte zlomok vynásobiť inverznou hodnotou deliteľa.

Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.

Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Tu je dividenda zlomok a deliteľ je číslo 2.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť