Hogyan számítsuk ki egy mennyiség átlagos értékét. Hogyan találjuk meg a számok számtani és geometriai átlagát

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd az átlagos jelentést.

Átlagos(matematikában és statisztikában) számkészletek - az összes szám összege osztva a számukkal. A központi tendencia egyik leggyakoribb mérőszáma.

Ezt (a geometriai és harmonikus átlaggal együtt) a pitagoreusok javasolták.

A számtani átlag speciális esetei az átlag (az általános sokaság) és a minta átlaga (a minták).

Bevezetés

Jelölje az adathalmazt x = (x 1 , x 2 , …, x n), akkor a minta átlagát általában egy vízszintes sáv jelöli a változó felett (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , kiejtve " x kötőjellel").

A görög μ betű a teljes sokaság számtani középértékének jelölésére szolgál. Mert valószínűségi változó, amelyre az átlagérték definiálva van, μ az valószínűségi átlag vagy egy valószínűségi változó matematikai elvárása. Ha a készlet x véletlen számok gyűjteménye μ valószínűségi átlaggal, akkor bármely mintára x én ebből a gyűjteményből μ = E( x én) ez a minta elvárása.

A gyakorlatban a különbség μ és x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) között az, hogy μ egy tipikus változó, mert inkább a mintát láthatja, mint a teljes sokaságot. Ezért, ha a mintát véletlenszerűen ábrázoljuk (valószínűségelmélet szempontjából), akkor x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (de nem μ) egy valószínűségi változóként kezelhető, amelynek valószínűségi eloszlása van a mintán ( az átlag valószínűségi eloszlása).

Mindkét mennyiség kiszámítása azonos módon történik:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ha egy x egy valószínűségi változó, akkor a matematikai elvárás x a mennyiség ismételt mérésénél az értékek számtani átlagának tekinthető x. Ez a törvény megnyilvánulása nagy számok. Ezért a minta átlagát használjuk az ismeretlen matematikai várakozás becslésére.

Az elemi algebrában bebizonyosodott, hogy az átlag n+ 1 szám az átlag felett n akkor és csak akkor, ha az új szám nagyobb a régi átlagnál, akkor és csak akkor kisebb, ha az új szám kisebb az átlagnál, és akkor és csak akkor nem változik, ha az új szám megegyezik az átlaggal. A több n, annál kisebb a különbség az új és a régi átlagok között.

Vegye figyelembe, hogy számos más „átlag” is elérhető, beleértve a hatványtörvény szerinti átlagot, a Kolmogorov-átlagot, a harmonikus átlagot, az aritmetikai-geometriai átlagot és a különféle súlyozott átlagokat (pl. számtani súlyozott átlag, geometriai súlyozott átlag, harmonikus súlyozott átlag). .

Példák

Három számot össze kell adni, és el kell osztani 3-mal:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).

Négy szám esetén össze kell adni őket, és el kell osztani 4-gyel:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).

Vagy könnyebb 5+5=10, 10:2. Mivel 2 számot adtunk össze, ami azt jelenti, hogy hány számot adunk össze, annyival osztjuk.

Folyamatos valószínűségi változó

Folytonos eloszlású f (x) érték esetén (\displaystyle f(x)) a számtani átlag az [ a ; b ] (\displaystyle ) egy meghatározott integrálon keresztül definiálható:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Néhány probléma az átlag használatával

A robusztusság hiánya

Fő cikk: Statisztikai robusztusság

Bár a számtani átlagot gyakran használják átlagként vagy központi trendként, ez a fogalom nem vonatkozik a robusztus statisztikákra, ami azt jelenti, hogy a számtani átlagot erősen befolyásolják a "nagy eltérések". Figyelemre méltó, hogy a nagy ferdeségű eloszlások esetén a számtani átlag nem feltétlenül felel meg az „átlag” fogalmának, és a robusztus statisztikákból származó átlagértékek (például a medián) jobban leírhatják a központi trendet.

A klasszikus példa az átlagjövedelem kiszámítása. A számtani átlag félreértelmezhető mediánként, ami arra enged következtetni, hogy többen vannak, akiknek több a jövedelmük, mint amennyi valójában. Az „átlagos” jövedelmet úgy értelmezzük, hogy a legtöbb ember jövedelme megközelíti ezt a számot. Ez az "átlagos" (a számtani átlag értelmében vett) jövedelem magasabb, mint a legtöbb ember jövedelme, hiszen a magas, az átlagtól nagy eltéréssel rendelkező jövedelem erősen torzítja a számtani átlagot (ellentétben a mediánjövedelem "ellenáll"). ilyen ferdeség). Ez az „átlagos” jövedelem azonban semmit sem mond a mediánjövedelemhez közeli emberek számáról (és a modális jövedelemhez közeli emberek számáról sem). Ha azonban az „átlag” és a „többség” fogalmát félvállról veszik, akkor tévesen következtethetünk arra, hogy a legtöbb ember jövedelme magasabb, mint valójában. Például a washingtoni medinai "átlagos" nettó jövedelemről szóló jelentés, amelyet a lakosok összes éves nettó jövedelmének számtani átlagaként számítanak ki, Bill Gates miatt meglepően magas számot ad. Tekintsük a mintát (1, 2, 2, 2, 3, 9). A számtani középérték 3,17, de a hat érték közül öt ennél az átlagnál alacsonyabb.

Kamatos kamat

Fő cikk: ROI

Ha számok szaporodnak, de nem hajtogatni, akkor a geometriai átlagot kell használni, nem a számtani átlagot. Leggyakrabban ez az eset a pénzügyi beruházások megtérülésének kiszámításakor történik.

Például, ha a részvények az első évben 10%-ot estek, a második évben pedig 30%-ot emelkedtek, akkor helytelen a két év "átlagos" növekedését számtani átlagként kiszámítani (-10% + 30%) / 2 = 10%; a helyes átlagot ebben az esetben az összetett éves növekedési ráta adja, amelyből az éves növekedés csak körülbelül 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Ennek az az oka, hogy a százalékoknak minden alkalommal új kiindulópontja van: 30% az 30% az első év eleji árnál kisebb számról: ha a részvény 30 dollárról indult és 10%-ot esett, akkor a második év elején 27 dollárt ér. Ha a részvény 30%-kal emelkedik, akkor a második év végén 35,1 dollárt ér. Ennek a növekedésnek a számtani átlaga 10%, de mivel a részvény 2 év alatt csak 5,1 dollárt nőtt, átlagosan 8,2%-os növekedés 35,1 dolláros végeredményt ad:

[30 USD (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 USD (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 USD]. Ha az átlagot ugyanúgy használjuk számtani érték 10%, nem kapjuk meg a tényleges értéket: [30 USD (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 USD].

kamatos kamat a 2. év végén: 90% * 130% = 117%, azaz összesen 17% növekedés, az átlagos éves kamatos kamat pedig 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \kb. 108,2\%) , azaz átlagosan 8,2%-os éves növekedés.

Útvonalak

Fő cikk: Úticél statisztika

Valamelyik ciklikusan változó változó (például fázis vagy szög) számtani középértékének kiszámításakor különös figyelmet kell fordítani. Például 1° és 359° átlaga 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ez a szám két okból is helytelen.

Először is, a szögmértékek csak a 0° és 360° közötti tartományban (vagy radiánban mérve 0 és 2π között) vannak meghatározva. Így ugyanaz a számpár felírható (1° és −1°) vagy (1° és 719°). Az egyes párok átlagai eltérőek lesznek: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
Másodszor, ebben az esetben a 0°-os érték (360°-nak felel meg) lenne a geometriailag legjobb átlag, mivel a számok kisebb mértékben térnek el 0°-tól, mint bármely más értéktől (a 0°-nak van a legkisebb szórása). Összehasonlítás:
- az 1° szám csak 1°-kal tér el a 0°-tól;
- az 1°-os szám 179°-kal eltér a 180°-os számított átlagtól.

Egy ciklikus változónak a fenti képlet szerint számított átlagértéke mesterségesen eltolódik a valós átlaghoz képest a numerikus tartomány közepére. Emiatt az átlagot más módon számítják ki, vagyis a legkisebb szórással rendelkező számot (középpontot) választják átlagértéknek. Ezenkívül a kivonás helyett a modulo távolságot (azaz a kerületi távolságot) használják. Például az 1° és 359° közötti moduláris távolság 2°, nem 358° (egy 359° és 360° közötti körön ==0° - egy fok, 0° és 1° között - szintén 1°, összesen -2°).

4.3. Átlagos értékek. Az átlagok lényege és jelentése

Átlagos érték a statisztikában általánosító mutatót neveznek, amely egy jelenség tipikus szintjét jellemzi meghatározott hely- és időviszonyok között, és egy minőségileg homogén populáció egységére eső változó tulajdonság nagyságát tükrözi. A gazdasági gyakorlatban a mutatók széles skáláját alkalmazzák, amelyeket átlagként számítanak ki.

Például a munkavállalók jövedelmének általánosító mutatója Részvénytársaság(AO) egy dolgozó átlagos jövedelmeként szolgál, amelyet a tőkearány határoz meg bérek valamint szociális jellegű kifizetések a vizsgált időszakra (év, negyedév, hónap) a részvénytársaság dolgozóinak létszámára.

Az átlag kiszámítása az egyik általános általánosítási technika; az átlagos mutató a vizsgált sokaság minden egységére jellemző (tipikus) általánost tükrözi, ugyanakkor figyelmen kívül hagyja az egyes egységek közötti különbségeket. Minden jelenségben és annak fejlődésében van egy kombináció véletlenés szükség. Az átlagok számításakor a nagy számok törvényének működése miatt a véletlenszerűség kioltja egymást, kiegyenlíti, így el lehet absztrahálni a jelenség jelentéktelen jellemzőitől, a mennyiségi értékek jellemző minden egyes esetben. Az egyéni értékek véletlenszerűségétől való elvonatkoztatás képességében a fluktuációk rejlik az átlagok tudományos értéke, mint pl. összefoglalva aggregált jellemzők.

Ahol általánosításra van szükség, az ilyen jellemzők kiszámítása az attribútum számos különböző egyedi értékének helyettesítéséhez vezet. közepes a jelenségek összességét jellemző mutató, amely lehetővé teszi a tömeges társadalmi jelenségekben rejlő, egyedi jelenségekben észrevehetetlen minták azonosítását.

Az átlag tükrözi a vizsgált jelenségek jellemző, tipikus, valós szintjét, jellemzi ezeket a szinteket és azok időbeni és térbeli változásait.

Az átlag a folyamat szabályszerűségeinek összefoglaló jellemzője azon feltételek mellett, amelyek között az folyik.

4.4. Az átlagok típusai és számítási módszerei

Az átlag típusának megválasztását egy bizonyos mutató gazdasági tartalma és a kiindulási adatok határozzák meg. Minden esetben az átlagértékek egyikét kell alkalmazni: számtan, garmónika, geometrikus, másodfokú, köbös stb. A felsorolt átlagok az osztályba tartoznak erő közepes.

A hatványtörvényes átlagok mellett a statisztikai gyakorlatban strukturális átlagokat használnak, amelyek módusnak és mediánnak tekinthetők.

Foglalkozzunk részletesebben a hatalmi eszközökkel.

Számtani átlaga

A leggyakoribb átlagtípus az átlagos számtan. Olyan esetekben használják, amikor egy változó attribútum mennyisége a teljes populációra az egyes egységek attribútumai értékeinek összege. Mert társadalmi jelenségek a változó jellemző mennyiségeinek additívitása (összeadása) jellemző, ez határozza meg a számtani átlag terjedelmét és általánosító mutatóként magyarázza elterjedtségét, például: a teljes béralap az összes dolgozó bérének összege, a a bruttó betakarítás a teljes vetésterületről előállított termékek összege.

A számtani átlag kiszámításához el kell osztania az összes jellemző értékének összegét a számukkal.

Az alakban a számtani átlagot alkalmazzuk egyszerű átlag és súlyozott átlag. Az egyszerű átlag a kezdeti, meghatározó forma.

egyszerű számtani átlag egyenlő az átlagolt jellemző egyedi értékeinek egyszerű összegével, osztva ezen értékek teljes számával (olyan esetekben használják, amikor nem csoportosítanak egyéni értékek jel):

ahol
- a változó egyedi értékei (opciók); m - lakossági egységek száma.

A képletekben további összegzési határértékek nem kerülnek feltüntetésre. Például meg kell találni egy munkás (lakatos) átlagos teljesítményét, ha ismert, hogy 15 munkásból hány alkatrészt gyártott, pl. a tulajdonság számos egyedi értékét megadva, db:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Az egyszerű számtani átlagot a (4.1) képlettel számítjuk ki, 1 db:

A különböző számú alkalommal ismétlődő, vagy állítólag eltérő súlyú opciók átlagát hívják meg súlyozott. A súlyok a különböző népességcsoportokban lévő egységek számai (a csoport ugyanazokat a lehetőségeket kombinálja).

Számtani súlyozott átlag- átlagos csoportosított értékek, - a következő képlettel számítják ki:

, (4.2)

ahol
- súlyok (azonos jellemzők ismétlődésének gyakorisága);

- a jellemzők gyakorisága szerinti nagyságrendű szorzatainak összege;

- teljes erő aggregált egységek.

Az aritmetikai súlyozott átlag kiszámításának technikáját a fent tárgyalt példa segítségével mutatjuk be. Ehhez a kiindulási adatokat csoportosítjuk és a táblázatba helyezzük. 4.1.

4.1. táblázat

Munkavállalók elosztása alkatrészfejlesztéshez

A (4.2) képlet szerint a számtani súlyozott átlag egyenlő, darab:

NÁL NÉL egyedi esetek a súlyok nem abszolút értékekkel, hanem relatív értékekkel (százalékban vagy egység törtrészében) ábrázolhatók. Ekkor a számtani súlyozott átlag képlete így fog kinézni:

ahol
- különös, pl. az egyes frekvenciák részesedése a teljes összegben

Ha a gyakoriságokat törtekben (együtthatókban) számoljuk, akkor
= 1, és az aritmetikailag súlyozott átlag képlete:

A számtani súlyozott átlag kiszámítása a csoportátlagokból a következő képlet szerint hajtjuk végre:

ahol f-egységek száma minden csoportban.

A csoportátlagok számtani átlagának kiszámításának eredményeit a táblázat tartalmazza. 4.2.

4.2. táblázat

A dolgozók megoszlása átlagos szolgálati idő szerint

Ebben a példában az opciók nem az egyes dolgozók szolgálati idejére vonatkozó egyedi adatok, hanem az egyes műhelyek átlagai. Mérleg f az üzletekben dolgozók száma. Így a dolgozók átlagos munkatapasztalata a vállalat egészében év lesz:

A számtani átlag számítása az eloszlási sorozatban

Ha az átlagolt attribútum értékeit intervallumként adjuk meg ("-tól"-ig), pl. intervallum eloszlási sorozat, majd az átlag számításakor számtani érték ezeknek az intervallumoknak a felezőpontjait a csoportokban lévő jellemzők értékének vesszük, aminek eredményeként diszkrét sorozat jön létre. Tekintsük a következő példát (4.3. táblázat).

Térjünk át egy intervallum sorozatról egy diszkrétre úgy, hogy az intervallumértékeket az átlagos értékükre cseréljük / (egyszerű átlag

4.3. táblázat

Az AO dolgozóinak megoszlása a havi bérek szintjén

Munkacsoportok számára	Dolgozók száma	Az intervallum közepe
bér, dörzsölje.	fő, f	dörzsölés., x





900 és több

a nyitott intervallumok (első és utolsó) értékeit feltételesen egyenlővé teszik a velük szomszédos intervallumokkal (második és utolsó előtti).

Az átlag ilyen számításánál némi pontatlanság megengedett, mivel az attribútum egységeinek csoporton belüli egyenletes eloszlását feltételezik. A hiba azonban minél kisebb, annál szűkebb az intervallum és minél több egység van az intervallumban.

Az intervallumok felezőpontjainak megtalálása után a számításokat ugyanúgy végezzük el, mint az alábbi helyen diszkrét sorozat, - az opciókat megszorozzuk a gyakoriságokkal (súlyokkal), és a termékek összegét elosztjuk a gyakoriságok (súlyok) összegével, ezer rubel:

Így, átlagos szint a részvénytársaság dolgozóinak javadalmazása 729 rubel. havonta.

A számtani átlag kiszámítása gyakran nagy idő- és munkaráfordítással jár. Bizonyos esetekben azonban az átlag kiszámításának eljárása egyszerűsíthető és megkönnyíthető annak tulajdonságainak felhasználásával. Mutassuk be (bizonyítás nélkül) a számtani átlag néhány alapvető tulajdonságát.

1. tulajdonság. Ha minden egyedi jellemző érték (pl. minden opció) csökkenti vagy növeli énalkalommal, majd az átlagértéket egy új funkció értéke ennek megfelelően csökkenni vagy növekedni fog énegyszer.

2. tulajdonság. Ha az átlagolt jellemző összes változatát csökkentjükvarrni vagy növelni az A számmal, majd a számtani átlaggalszignifikánsan csökken vagy nő ugyanazzal az A számmal.

3. tulajdonság. Ha az összes átlagolt opció súlyát csökkentjük vagy növelje ig nak nek alkalommal, a számtani átlag nem változik.

Átlagos súlyokként abszolút mutatók helyett fajlagos súlyokat használhat a teljes összegben (részesedés vagy százalék). Ez leegyszerűsíti az átlag kiszámítását.

Az átlagszámítások egyszerűsítése érdekében az opciók és a frekvenciák értékeinek csökkentését követik. A legnagyobb egyszerűsítés akkor érhető el, ha DE az egyik legnagyobb gyakoriságú központi opció értéke / - az intervallum értékeként van kiválasztva (azonos intervallumú soroknál). L értékét origónak nevezzük, így ezt az átlagszámítási módszert "feltételes nullától való számolás módszerének" ill. "pillanatok módszere".

Tegyük fel, hogy minden lehetőség x először ugyanazzal az A számmal, majd befelé én egyszer. Az új változatok új variációs eloszlási sorozatát kapjuk .

Akkor új lehetőségek lesz kifejezve:

és új számtani átlaguk , -elsőrendű pillanat- képlet:

Ez megegyezik az eredeti opciók átlagával, először csökkentve ezzel DE, majd be én egyszer.

A valós átlag eléréséhez az első sorrend pillanatára van szüksége m 1 , szorozva énés add hozzá DE:

Ez a módszer a variációs sorozatból a számtani átlag kiszámítását ún "pillanatok módszere". Ezt a módszert sorokban, egyenlő időközökkel alkalmazzuk.

A számtani átlagnak a nyomatékok módszerével történő kiszámítását a táblázat adatai szemléltetik. 4.4.

4.4. táblázat

A kisvállalkozások megoszlása a régióban a fő költség szerint termelési eszközök(OPF) 2000-ben

Vállalkozáscsoportok az OPF költsége szerint, ezer rubel	Vállalkozások száma f	középső intervallumok, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Az első rendelés pillanatának megtalálása

Ezután A = 19-et feltételezve és ennek ismeretében én= 2, számold ki X, ezer rubel.:

Az átlagértékek típusai és számítási módszerek

A statisztikai feldolgozás szakaszában sokféle kutatási feladat tűzhető ki, amelyek megoldásához szükséges a megfelelő átlag kiválasztása. Ebben az esetben a következő szabályt kell követni: az átlag számlálóját és nevezőjét jelentő értékeknek logikusan össze kell kapcsolódniuk egymással.

teljesítmény átlagok;
szerkezeti átlagok.

Vezessük be a következő jelölést:

Azok az értékek, amelyekre az átlagot számítják;

Átlagos, ahol a fenti sor azt jelzi, hogy az egyes értékek átlagolása megtörténik;

Gyakoriság (egyedi tulajdonságértékek megismételhetősége).

Az általános hatványátlag képletből különféle eszközök származnak:

(5.1)

ha k = 1 - számtani átlag; k = -1 - harmonikus átlag; k = 0 - geometriai átlag; k = -2 - négyzetes középérték.

Az átlagok egyszerűek vagy súlyozottak. súlyozott átlagok Olyan mennyiségeknek nevezzük, amelyek figyelembe veszik, hogy az attribútum értékeinek egyes változatai eltérő számmal rendelkezhetnek, ezért minden változatot meg kell szorozni ezzel a számmal. Más szóval, a "súlyok" a különböző csoportokban lévő népességegységek számai, pl. minden opció a gyakoriságával "súlyozott". Az f frekvenciát nevezzük statisztikai súly vagy súlyú átlag.

Számtani átlaga- a leggyakoribb közegtípus. Akkor használatos, ha a számítást nem csoportosított statisztikai adatokon végzik, ahol az átlagos összegzést szeretné megkapni. A számtani átlag a jellemző olyan átlagértéke, amelynek átvételekor a jellemző teljes mennyisége a sokaságban változatlan marad.

A számtani átlag képlet ( egyszerű) alakja van

ahol n a populáció mérete.

Például egy vállalkozás alkalmazottainak átlagbérét a számtani átlagként számítják ki:

A meghatározó mutatók itt az egyes alkalmazottak bére és a vállalkozás alkalmazottainak száma. Az átlagszámításkor a bérek teljes összege változatlan maradt, de mintegy egyenlően oszlott el az összes dolgozó között. Például ki kell számítani egy olyan kisvállalat alkalmazottainak átlagkeresetét, ahol 8 főt foglalkoztatnak:

Az átlagértékek kiszámításakor az átlagolt jellemző egyedi értékei megismételhetők, így a számítás közepes méretűösszesített adatokból állítják elő. Ebben az esetben beszélgetünk használatáról számtani átlag súlyozott, ami úgy néz ki

(5.3)

Tehát ki kell számolnunk egy részvénytársaság átlagos részvényárfolyamát a tőzsdén. Ismeretes, hogy a tranzakciók 5 napon belül megtörténtek (5 tranzakció), az eladási árfolyamon eladott részvények száma a következőképpen oszlott meg:

1-800 ac. - 1010 rubel

2 - 650 ac. - 990 dörzsölje.

3 - 700 ak. - 1015 rubel.

4 - 550 ac. - 900 dörzsölje.

5 - 850 ak. - 1150 rubel.

Az átlagos részvényár meghatározásának kezdeti aránya a tranzakciók teljes összegének (OSS) és az eladott részvények számának (KPA) aránya.

Az átlagérték egy általánosító mutató, amely a jelenség tipikus szintjét jellemzi. Az attribútum értékét fejezi ki, a sokaság egységéhez viszonyítva.

Az átlagos érték:

1) az attribútum legjellemzőbb értéke a sokaságra;

2) a sokaság jelének térfogata, egyenlően elosztva a népesség egységei között.

Azt a jellemzőt, amelyre az átlagértéket számítják, a statisztikában „átlagoltnak” nevezik.

Az átlag mindig a tulajdonság mennyiségi variációját általánosítja, azaz. átlagértékekben a populáció egységeiben a véletlenszerű körülményekből adódó egyéni eltérések kioltódnak. Az átlaggal ellentétben a populáció egyedi egységének jellemző szintjét jellemző abszolút érték nem teszi lehetővé a jellemző értékeinek összehasonlítását a különböző populációkhoz tartozó egységek esetében. Tehát, ha össze kell hasonlítani két vállalkozás munkavállalóinak javadalmazási szintjét, akkor ez alapján nem lehet összehasonlítani a különböző vállalkozások két alkalmazottját. Az összehasonlításra kiválasztott dolgozók bére nem feltétlenül jellemző ezekre a vállalkozásokra. Ha összehasonlítjuk a vizsgált vállalkozások béralapjainak nagyságát, akkor az alkalmazottak számát nem vesszük figyelembe, így nem lehet megállapítani, hogy hol magasabb a bérszint. Végső soron csak az átlagokat lehet összehasonlítani, pl. Mennyit keres átlagosan egy dolgozó cégenként? Szükség van tehát az átlagérték kiszámítására, mint a sokaságra általánosító jellemzőre.

Fontos megjegyezni, hogy az átlagolás során az attribútumszintek összesített értékének vagy végső értékének (idősoros átlagszintek számítása esetén) változatlannak kell maradnia. Más szóval, az átlagérték kiszámításakor a vizsgált tulajdonság térfogata nem torzulhat, és az átlag kiszámításakor tett kifejezéseknek szükségszerűen értelmet kell adniuk.

Az átlag kiszámítása az egyik általános általánosítási technika; az átlagmutató tagadja a vizsgált sokaság minden egységére jellemző (tipikus) általánost, ugyanakkor figyelmen kívül hagyja az egyes egységek közötti különbségeket. Minden jelenségben és annak fejlődésében ott van a véletlen és a szükség kombinációja. Átlagok számításakor a nagy számok törvényének működése miatt a véletlenszerűség kioltja egymást, kiegyenlíti, ezért lehet elvonatkoztatni a jelenség jelentéktelen jellemzőitől, az attribútum mennyiségi értékeitől minden konkrétban. ügy. Az egyéni értékek véletlenszerűségétől, fluktuációitól való elvonatkoztatás képességében rejlik az átlagok tudományos értéke, mint az aggregátumok általánosító jellemzői.

Ahhoz, hogy az átlag valóban tipikus legyen, bizonyos elvek figyelembevételével kell kiszámítani.

Maradjunk néhányon Általános elvekátlagok használata.

1. Az átlagot a minőségileg homogén egységekből álló populációkra kell meghatározni.

2. Az átlagot olyan sokaságra kell kiszámítani, amely elég egy nagy szám egységek.

3. Az átlagot arra a sokaságra kell számítani, amelynek egységei normális, természetes állapotban vannak.

4. Az átlagot a vizsgált mutató gazdasági tartalmának figyelembevételével kell kiszámítani.

5.2. Az átlagok típusai és számítási módszerei

Tekintsük most az átlagok típusait, számításuk jellemzőit és alkalmazási területeit. Az átlagértékek két nagy osztályba sorolhatók: teljesítményátlagok, szerkezeti átlagok.

A hatványtörvény szerinti átlagok közé tartoznak a legismertebb és leggyakrabban használt típusok, mint például a geometriai átlag, a számtani átlag és a négyzetközép.

A módusz és a medián strukturális átlagnak tekinthető.

Maradjunk a teljesítményátlagoknál. A teljesítményátlagok a kiindulási adatok bemutatásától függően lehetnek egyszerűek és súlyozottak. egyszerű átlag csoportosítatlan adatokból számítják ki, és általános formája a következő:

ahol X i az átlagolt jellemző változata (értéke);

n az opciók száma.

Súlyozott átlag csoportosított adatok alapján számítják ki, és általános formája van

ahol X i az átlagolt jellemző változata (értéke), vagy annak az intervallumnak a középső értéke, amelyben a változatot mérik;

m az átlag kitevője;

f i - gyakoriság, amely megmutatja, hogy hányszor fordul elő i-edik értékátlagos jel.

Ha minden típusú átlagot kiszámítunk ugyanazokra a kiindulási adatokra, akkor ezek értékei nem lesznek azonosak. Itt érvényes az átlagok majorság szabálya: az m kitevő növekedésével a megfelelő átlagérték is nő:

A statisztikai gyakorlatban más típusú súlyozott átlagoknál gyakrabban használnak számtani és harmonikus súlyozott átlagokat.

Az erőeszközök típusai

A hatalom típusa középső	Index fok (m)	Számítási képlet
A hatalom típusa középső	Index fok (m)	Egyszerű	súlyozott
harmonikus
Geometriai
Számtan
négyzetes
kocka alakú

A harmonikus átlag több összetett szerkezet mint a számtani átlag. A harmonikus átlagot akkor használják a számításokhoz, ha a súlyok nem a populáció egységei - a tulajdonság hordozói, hanem ezeknek az egységeknek és a tulajdonság értékeinek szorzata (azaz m = Xf). Az átlagos harmonikus állásidőt kell használni például az átlagos munka-, idő-, anyagköltségek termelési egységenként, alkatrészenként két (három, négy, stb.) vállalkozás, a gyártásban részt vevő munkavállalók esetében. azonos típusú termék, ugyanaz az alkatrész, termék.

Az átlagérték számítási képletével szemben támasztott fő követelmény az, hogy a számítás minden szakaszának valódi ésszerű indoklása legyen; a kapott átlagértéknek ki kell cserélnie az egyes objektumok attribútumának egyedi értékeit anélkül, hogy megszakítaná az egyedi és az összegző mutatók közötti kapcsolatot. Más szóval, az átlagértéket úgy kell kiszámítani, hogy amikor az átlagolt mutató minden egyes értékét az átlagértékére cseréljük, valamilyen végső összegző mutató, amely így vagy úgy kapcsolódik az átlagolthoz, változatlan maradjon. Ezt az eredményt ún meghatározó mivel az egyedi értékekkel való kapcsolatának jellege határozza meg az átlagérték kiszámításának konkrét képletét. Mutassuk meg ezt a szabályt a geometriai átlag példáján.

Geometriai középképlet

leggyakrabban a dinamika egyedi relatív értékeinek átlagértékének kiszámításakor használják.

A geometriai átlagot akkor használjuk, ha megadjuk a dinamika láncrelatív értékeinek sorozatát, jelezve például a termelés növekedését az előző évi szinthez képest: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Nyilvánvaló, hogy az elmúlt évi termelés volumenét annak kezdeti szintje (q 0) és az azt követő növekedés az évek során határozza meg:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×… × i n .

Ha q n-t vesszük meghatározó mutatónak, és a dinamikai mutatók egyedi értékeit átlagosra cseréljük, akkor az összefüggéshez jutunk.

Innen

A tanulmányozáshoz az átlagok egy speciális típusát - a strukturális átlagokat - alkalmazzák belső szerkezet jellemző értékek eloszlási sorozata, valamint az átlagérték becslésére (hatványtörvény típusú), ha a rendelkezésre álló statisztikai adatok szerint annak számítása nem végezhető el (például ha a vizsgált példában nem volt adat mindkettőre a termelés volumene és a költségek összege vállalkozáscsoportonként) .

A mutatókat leggyakrabban szerkezeti átlagként használják. divat - a leggyakrabban ismételt jellemzőérték - és medián - egy jellemző értéke, amely az értékeinek rendezett sorozatát két egyenlő számú részre osztja. Ebből kifolyólag a populációs egységek egyik felében az attribútum értéke nem haladja meg a medián szintet, a másik felében pedig nem kevesebb annál.

Ha a vizsgált jellemző diszkrét értékekkel rendelkezik, akkor a módusz és a medián kiszámítása nem okoz különösebb nehézséget. Ha az X attribútum értékeire vonatkozó adatokat a változás rendezett intervallumainak (intervallumsorok) formájában mutatjuk be, akkor a módusz és a medián kiszámítása némileg bonyolultabbá válik. Mivel a medián érték a teljes sokaságot két egyenlő számú részre osztja, így az X jellemző egyik intervallumába kerül. Az interpoláció segítségével a mediánérték ebben a medián intervallumban található:

ahol X Me a medián intervallum alsó határa;

h Én az értéke;

(összeg m) / 2 - a megfigyelések teljes számának fele vagy az átlagérték kiszámítására szolgáló képletekben súlyozásként használt mutató térfogatának fele (abszolút vagy relatív értelemben);

S Me-1 a medián intervallum kezdete előtt felhalmozott megfigyelések (vagy a súlyozási jellemző térfogata) összege;

m Me a megfigyelések száma vagy a súlyozási jellemző térfogata a medián intervallumban (abszolút vagy relatív értékben is).

Az intervallumsorok adatai alapján egy jellemző modális értékének kiszámításakor ügyelni kell arra, hogy az intervallumok azonosak legyenek, hiszen ettől függ a jellemzőértékek gyakoriságának X mutatója. egy intervallum sorozat egyenlő intervallumokkal, a módus értékét a következőképpen határozzuk meg

ahol X Mo a modális intervallum alsó értéke;

m Mo a megfigyelések száma vagy a súlyozási jellemző térfogata a modális intervallumban (abszolút vagy relatív értelemben);

m Mo-1 - ugyanaz a modális előtti intervallumra;

m Mo+1 - ugyanaz a modált követő intervallumra;

h a tulajdonság változási intervallumának értéke csoportokban.

1. FELADAT

Az ipari vállalkozások csoportjára vonatkozóan a tárgyévre az alábbi adatok állnak rendelkezésre

№ vállalkozások	Gyártási mennyiség, millió rubel		Átlagos létszám, fő	Profit, ezer rubel
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

A termékek cseréjéhez vállalkozások csoportosítását kell végezni, a következő időközönként:

legfeljebb 200 millió rubel

200-400 millió rubel

400-600 millió rubel

Minden csoportra és az összesre együtt határozza meg a vállalkozások számát, a termelés volumenét, az átlagos foglalkoztatottak számát, az egy alkalmazottra jutó átlagos kibocsátást. A csoportosítási eredményeket statisztikai táblázat formájában kell bemutatni. Fogalmazzon meg egy következtetést.

MEGOLDÁS

Készítsük el a vállalkozások csoportosítását a termékek cseréjéhez, a vállalkozások számának, a termelés volumenének, az átlagos foglalkoztatottak számának kiszámításához az egyszerű átlag képlete szerint. A csoportosítás és a számítások eredményeit táblázatban foglaljuk össze.

Csoportok gyártási mennyiség szerint	№ vállalkozások	Gyártási mennyiség, millió rubel	A tárgyi eszközök átlagos éves költsége, millió rubel	átlagos alvás szaftos létszám, fő.	Profit, ezer rubel	Egy dolgozóra jutó átlagos teljesítmény
1 csoport legfeljebb 200 millió rubel	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
			28,2	2567	74,8	0,23
Átlagos szint		198,3			24,9
2 csoport 200-400 millió rubel	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
Átlagos szint		282,3	37,6	1530	64,0
3 csoport 400-tól ig 600 millió	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
		3590	240,8	9974	846,5	0,36
Átlagos szint		512,9	34,4	1421	120,9
Összesítve		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
Összesített átlag		379,6	59,9	1223,6	79,5

Következtetés. A vizsgált aggregátumban tehát a kibocsátás alapján a legtöbb vállalkozás a harmadik csoportba került - hét, vagyis a vállalkozások fele. Ebbe a csoportba tartozik a tárgyi eszközök éves átlagértékének értéke is, valamint az átlagos foglalkoztatotti létszám nagy értéke - 9974 fő, az első csoport vállalkozásai a legkevésbé jövedelmezőek.

2. FELADAT

A társaság vállalkozásairól az alábbi adatok állnak rendelkezésünkre

A társasághoz tartozó vállalkozás száma	I negyed	II negyed
	Kimenet, ezer rubel	Munkanapokkal dolgozva	Átlagos termelés egy dolgozóra naponta, dörzsölje.
	59390,13

Kezdve az átlagértékekről beszélni, leggyakrabban felidézik, hogyan fejezték be az iskolát és hogyan léptek be oktatási intézmény. Ezután a bizonyítvány szerint kiszámolták az átlagpontszámot: az összes (jó és nem túl jó) osztályzatot összeadták, a kapott összeget elosztották a számukkal. Így számítjuk ki az átlag legegyszerűbb típusát, amelyet egyszerű számtani átlagnak nevezünk. A gyakorlatban a statisztikában különféle típusú átlagokat használnak: számtani, harmonikus, geometriai, másodfokú, szerkezeti átlagokat. Egyik vagy másik típusukat az adatok természetétől és a vizsgálat céljaitól függően alkalmazzák.

átlagos érték a legelterjedtebb statisztikai mutató, melynek segítségével az azonos típusú jelenségek összességére általánosító jellemzőt adunk valamelyik változó előjel szerint. Megmutatja az attribútum szintjét népességegységenként. Átlagértékek segítségével különféle aggregátumokat hasonlítanak össze változó jellemzők szerint, és vizsgálják a társadalmi élet jelenségeinek, folyamatainak fejlődési mintázatait.

A statisztikában az átlagok két osztályát használják: teljesítmény (analitikai) és strukturális. Ez utóbbiak a variációs sorozatok szerkezetének jellemzésére szolgálnak, és részletesebben a fejezetben lesz szó. nyolc.

A hatványértékek csoportjába tartozik az aritmetika, a harmonikus, a geometriai, a másodfokú. A kiszámításukra szolgáló egyedi képletek leredukálhatók az összes teljesítményátlagra jellemző formára, nevezetesen

ahol m a hatványátlag kitevője: m = 1-nél képletet kapunk a számtani átlag kiszámítására, ahol m = 0 - a geometriai átlag, m = -1 - a harmonikus átlag, m = 2 -vel - a másodfokú átlag ;

x i - opciók (az attribútum által felvett értékek);

fi - frekvenciák.

A statisztikai elemzésben a hatványtörvényes eszközök használatának fő feltétele a sokaság homogenitása, amely nem tartalmazhat kvantitatív értékükben élesen eltérő kiindulási adatokat (az irodalomban anomáliás megfigyeléseknek nevezik).

Mutassuk meg ennek a feltételnek a fontosságát a következő példában.

6.1. példa. Számítsa ki egy kisvállalkozás alkalmazottainak átlagkeresetét!

6.1. táblázat. Munkavállalói bérek

sz. p / p	Fizetés, dörzsölje.	sz. p / p	Fizetés, dörzsölje.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Az átlagbér kiszámításához össze kell adni a vállalkozás összes munkavállalójának felhalmozott bérét (azaz meg kell találni a béralapot), és el kell osztani az alkalmazottak számával:

És most adjunk hozzá csak egy személyt (a vállalkozás igazgatóját), de 50 000 rubel fizetéssel. Ebben az esetben a számított átlag teljesen más lesz:

Amint látja, meghaladja a 7000 rubelt stb. nagyobb, mint a jellemző összes értéke, kivéve egyetlen megfigyelést.

Annak érdekében, hogy ilyen esetek a gyakorlatban ne forduljanak elő, és az átlag ne veszítse el értelmét (a 6.1-es példában már nem tölti be a sokaság általánosító jellemzőjének szerepét, aminek lennie kellene), az átlag számításánál anomális, a kiugró megfigyeléseket vagy ki kell zárni az elemzésből, majd a populációt homogénné kell tenni, vagy a populációt homogén csoportokra kell osztani, és az egyes csoportokhoz ki kell számítani az átlagértékeket, és nem a teljes átlagot, hanem a csoportátlagokat kell elemezni.

6.1. A számtani átlag és tulajdonságai

A számtani átlag kiszámítása egyszerű értékként vagy súlyozott értékként történik.

A 6.1. példa táblázata szerinti átlagbér kiszámításakor összeadtuk az attribútum összes értékét, és elosztottuk a számukkal. Számításaink menetét egy egyszerű számtani középértékére képlet formájában írjuk fel

ahol x i - opciók (az attribútum egyedi értékei);

n a sokaság egységeinek száma.

6.2. példa. Most csoportosítsuk adatainkat a 6.1-es példa táblázatából stb. konstruáljuk meg a munkások bérszint szerinti megoszlásának diszkrét variációs sorozatát. A csoportosítás eredményeit a táblázat tartalmazza.

Írjuk fel tömörebb formában az átlagos bérszint kiszámítására szolgáló kifejezést:

A 6.2. példában a súlyozott számtani átlag képletet alkalmaztuk

ahol f i - gyakoriságok, amelyek azt mutatják, hogy az x i y jellemző értéke hányszor fordul elő a sokaság egységeiben.

A számtani súlyozott átlag kiszámítása kényelmesen elvégezhető az alábbi táblázatban (6.3. táblázat):

6.3. táblázat. A számtani átlag kiszámítása diszkrét sorozatban

Kezdeti adatok	Becsült mutató
fizetés, dörzsölje.	alkalmazottak száma, fő	béralap, dörzsölje.
x i	fi	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Teljes	20	132 080

Megjegyzendő, hogy az egyszerű számtani átlagot olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az adatok nincsenek csoportosítva vagy csoportosítva, de minden gyakoriság megegyezik egymással.

A megfigyelés eredményeit gyakran intervallum eloszlási sorozatként mutatják be (lásd a 6.4. példában szereplő táblázatot). Ekkor az átlag kiszámításakor az intervallumok felezőpontjait x i-nek vesszük. Ha az első és az utolsó intervallum nyitott (nincs egyik határa), akkor feltételesen "zárva" vannak, a szomszédos intervallum értékét az adott intervallum értékének véve stb. az elsőt a második értéke alapján zárják, az utolsót pedig az utolsó előtti értéke alapján.

6.3. példa. Az egyik népességcsoport mintavételes felmérésének eredménye alapján kiszámítjuk az egy főre jutó átlagos készpénzjövedelem nagyságát.

A fenti táblázatban az első intervallum közepe 500. Valóban, a második intervallum értéke 1000 (2000-1000); akkor az első alsó határa 0 (1000-1000), a közepe pedig 500. Ugyanezt tesszük az utolsó intervallummal is. Középnek 25 000-et veszünk: az utolsó előtti intervallum értéke 10 000 (20 000-10 000), majd a felső határa 30 000 (20 000 + 10 000), a középső pedig 25 000.

6.4. táblázat. A számtani átlag számítása az intervallumsorozatban

Átlagos egy főre jutó készpénzjövedelem, dörzsölje. havonta	Népesség összesen, % f i	Intervallum felezőpontok x i	x i f i
1000-ig	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20 000 és feljebb	10,4	25 000	260 000
Teljes	100,0	-	892 850

Ekkor az egy főre jutó havi átlagjövedelem lesz

A statisztikákban különféle típusú átlagokat használnak, amelyek két nagy osztályra oszthatók:

Teljesítményátlagok (harmonikus átlag, geometriai átlag, számtani átlag, négyzetközép, köbös átlag);

Strukturális átlagok (módus, medián).

Számolni hatalom azt jelenti minden elérhető jellemző értéket fel kell használni. Divatés középső csak az eloszlási struktúra határozza meg, ezért strukturális, helyzeti átlagoknak nevezzük. A mediánt és a módust gyakran használják átlagos jellemzőként azokban a populációkban, ahol az átlagos exponenciális kiszámítása lehetetlen vagy nem praktikus.

A leggyakoribb átlagtípus a számtani átlag. Alatt számtani átlaga A jellemzőnek olyan értéket kell érteni, amellyel a sokaság minden egysége rendelkezne, ha a jellemző összes értékének összege egyenletesen oszlik el a sokaság összes egysége között. Ennek az értéknek a kiszámítása a változó attribútum összes értékének összegzésére és a kapott összegnek a populációs egységek teljes számával való elosztására redukálódik. Például öt munkás teljesített egy megrendelést alkatrészgyártásra, míg az első 5 alkatrészt, a második 7, a harmadik 4, a negyedik 10, az ötödik 12 alkatrészt gyártott. Mivel az egyes opciók értéke csak egyszer a kezdeti adatokban, meghatározni

Egy dolgozó átlagos teljesítményének kiszámításakor az egyszerű számtani átlagképletet kell alkalmazni:

azaz példánkban egy dolgozó átlagos teljesítménye egyenlő

Az egyszerű számtani átlag mellett tanulnak súlyozott számtani átlag. Például számítsuk ki a tanulók átlagéletkorát egy 20 fős csoportban, akiknek életkora 18 és 22 év között van, ahol xi– az átlagolt jellemző változatai, fi- gyakoriság, amely megmutatja, hogy hányszor fordul elő i-thérték az aggregátumban (5.1. táblázat).

5.1. táblázat

A tanulók átlagéletkora

A súlyozott számtani átlag képletet alkalmazva a következőt kapjuk:

Súlyozott számtani átlag kiválasztásához van bizonyos szabály: ha két mutatóról van egy adatsor, amelyek közül az egyiknél számolni kell

az átlagérték és ugyanakkor a logikai képlet nevezőjének számértékei ismertek, a számláló értékei pedig ismeretlenek, de a szorzataként megtalálhatók. ezeket a mutatókat, akkor az átlagértéket a számtani súlyozott átlag képlet segítségével kell kiszámítani.

Egyes esetekben a kiinduló statisztikai adatok jellege olyan, hogy a számtani átlag számítása értelmét veszti, és az egyetlen általánosító mutató csak más típusú átlagérték lehet - átlagos harmonikus. Jelenleg a számtani átlag számítási tulajdonságai az elektronikus számítógépek széles körű elterjedése miatt elvesztették relevanciájukat az általánosító statisztikai mutatók számításánál. Az átlagos harmonikus érték, amely szintén egyszerű és súlyozott, nagy gyakorlati jelentőségre tett szert. Ha a logikai képlet számlálójának számértékei ismertek, és a nevező értékei ismeretlenek, de megtalálhatók az egyik mutató egy másikkal való privát felosztásaként, akkor az átlagértéket a súlyozott harmonikus középképlet.

Például tudatni kell, hogy az autó az első 210 km-t 70 km/h-s sebességgel, a maradék 150 km-t 75 km/h-s sebességgel tette meg. Lehetetlen meghatározni az autó átlagsebességét a teljes 360 km-es út során a számtani átlag képlettel. Mivel az opciók az egyes szakaszok sebességei xj= 70 km/h és X2= 75 km/h, és a súlyok (fi) az út megfelelő szakaszai, akkor az opciók súlyok szerinti szorzatának sem fizikai, sem gazdasági jelentése nem lesz. Ebben az esetben célszerű az útszakaszokat felosztani a megfelelő sebességekre (xi opciók), azaz az egyes útszakaszok áthaladására fordított időre (fi / xi). Ha az út szakaszait fi-vel jelöljük, akkor a teljes útvonalat fi-vel lehet kifejezni, és a teljes úton eltöltött időt hogyan? fi / xi , Ekkor az átlagsebesség a teljes távolság hányadosaként osztva a teljes eltöltött idővel:

Példánkban a következőket kapjuk:

Ha az összes opció (f) átlagos harmonikus súlya egyenlő, akkor a súlyozott helyett használhatja egyszerű (súlyozatlan) harmonikus átlag:

ahol xi egyéni opciók; n az átlagolt jellemző változatainak száma. A sebességre vonatkozó példában egyszerű harmonikus átlagot lehetett alkalmazni, ha a különböző sebességgel megtett útszakaszok egyenlőek.

Bármely átlagértéket úgy kell kiszámítani, hogy amikor az átlagolt jellemző minden változatát felváltja, ne változzon valamely végső, általánosító mutató értéke, amely az átlagolt mutatóhoz kapcsolódik. Tehát, ha az út egyes szakaszain a tényleges sebességeket az átlagos értékükre (átlagsebességükre) cseréljük, a teljes távolság nem változhat.

Az átlagérték formáját (képletét) ennek a végső mutatónak az átlagolthoz való viszonyának jellege (mechanizmusa) határozza meg, tehát a végső mutató, amelynek értéke nem változhat, ha az opciókat az átlagértékükkel helyettesítik. , nak, nek hívják meghatározó mutató. Az átlagképlet levezetéséhez egy egyenletet kell összeállítani és meg kell oldani az átlagolt mutató és a meghatározó mutató kapcsolatának felhasználásával. Ezt az egyenletet úgy állítjuk össze, hogy az átlagolt jellemző (mutató) változatait az átlagos értékükre cseréljük.

A statisztikában a számtani átlagon és a harmonikus átlagon kívül az átlag más típusait (formáit) is alkalmazzák. Mindegyik speciális eset. fok átlaga. Ha mindenféle hatványtörvény átlagot számolunk ugyanarra az adatra, akkor az értékeket

ugyanazok lesznek, itt a szabály érvényes majorság közepes. Ahogy az átlag kitevője nő, úgy nő maga az átlag is. A gyakorlati kutatásban leggyakrabban használt számítási képletek különféle fajták a teljesítményátlagokat a táblázat tartalmazza. 5.2.

5.2. táblázat

Az erőeszközök típusai

A geometriai átlagot alkalmazzuk, ha rendelkezésre áll. n növekedési faktorok, míg a tulajdonság egyedi értékei általában a dinamika relatív értékei, láncértékek formájában felépítve, a dinamika sorozat minden szintjének előző szintjéhez viszonyítva. Az átlag tehát az átlagos növekedési ütemet jellemzi. geometriai átlag egyszerű képlettel számítjuk ki

Képlet mértani átlag súlyozott a következő formája van:

A fenti képletek azonosak, de az egyiket az aktuális együtthatókon vagy növekedési ütemeken alkalmazzák, a másodikat pedig a sorozat szintjének abszolút értékén.

négyzetes közép a négyzetfüggvények értékeivel történő számításkor használatos, az attribútum egyedi értékeinek ingadozásának mértékének mérésére szolgál az eloszlási sorozat számtani átlaga körül, és a képlettel számítják ki.

Átlagos négyzet súlyozott más képlettel számítjuk ki:

Átlagos köbméter mennyiségekkel történő számításkor használjuk köbös függvényekés a képlet alapján számítják ki

súlyozott átlagos köb:

A fenti átlagértékek mindegyike általános képletként ábrázolható:

hol az átlagérték; – egyéni érték; n- a vizsgált sokaság egységeinek számát; k az a kitevő, amely meghatározza az átlag típusát.

Ugyanazon forrásadatok használata esetén annál több k ban ben általános képlet teljesítményátlag, minél nagyobb az átlag. Ebből következik, hogy rendszeres kapcsolat van a hatalmi eszközök értékei között:

A fent leírt átlagértékek általános képet adnak a vizsgált populációról, és ebből a szempontból elméleti, alkalmazott és kognitív jelentőségük vitathatatlan. Előfordul azonban, hogy az átlag értéke nem esik egybe a valóban létező opciók egyikével sem, ezért a statisztikai elemzésben a figyelembe vett átlagok mellett célszerű az adott opciók értékeit is felhasználni, amelyek eléggé lefoglalnak. meghatározott pozíció az attribútumértékek rendezett (rangsorolt) sorozatában. Ezen mennyiségek közül a leggyakrabban használt szerkezeti, vagy leíró, átlagos– mód (Mo) és medián (Me).

Divat- az ebben a populációban leggyakrabban előforduló tulajdonság értéke. A variációs sorozatok tekintetében a módusz a rangsorolt sorozat leggyakrabban előforduló értéke, vagyis a legmagasabb gyakoriságú változat. A divat segítségével meg lehet határozni a leglátogatottabb üzleteket, bármely termék esetében a leggyakoribb árat. A népesség jelentős részére jellemző jellemző nagyságát mutatja, és a képlet határozza meg

ahol x0 az intervallum alsó határa; h– intervallumérték; fm– intervallum gyakorisága; fm_ 1 – az előző intervallum gyakorisága; fm+ 1 – a következő intervallum gyakorisága.

középső a rangsorolt sor közepén elhelyezkedő változatot nevezzük. A medián a sorozatot két egyenlő részre osztja úgy, hogy annak mindkét oldalán ugyanannyi népességi egység legyen. Ugyanakkor a populációs egységek egyik felében a változó attribútum értéke kisebb, mint a medián, a másik felében nagyobb annál. A mediánt akkor használjuk, ha olyan elemet vizsgálunk, amelynek értéke nagyobb vagy egyenlő, vagy egyidejűleg kisebb vagy egyenlő, mint az eloszlássorozat elemeinek fele. A medián ad alapgondolat arról, hogy a jellemző értékei hol összpontosulnak, vagyis hol található a központjuk.

A medián leíró jellege abban nyilvánul meg, hogy a változó attribútum értékeinek mennyiségi határát jellemzi, amelyekkel a népességegységek fele rendelkezik. A diszkrét variációs sorozat mediánjának megtalálásának problémája egyszerűen megoldható. Ha a sorozat minden egysége sorszámot kap, akkor a mediánváltozat sorszáma (n + 1) / 2 páratlan számú n taggal. Ha a sorozat tagjainak száma páros, akkor a medián két sorszámú változat átlaga lesz n/ 2 és n/ 2 + 1.

Az intervallumvariációs sorozat mediánjának meghatározásakor először azt az intervallumot kell meghatározni, amelyben ez található (a medián intervallumot). Ezt az intervallumot az jellemzi, hogy a felhalmozott frekvenciák összege egyenlő vagy meghaladja a sorozat összes frekvenciájának összegének a felét. Az intervallumváltozási sorozat mediánjának kiszámítása a képlet szerint történik

ahol X0 az intervallum alsó határa; h– intervallumérték; fm– intervallum gyakorisága; f a sorozat tagjainak száma;

M -1 - az ezt megelőző sorozat felhalmozott tagjainak összege.

A mediánnal együtt többért teljes jellemzői a vizsgált sokaság szerkezete más opcióértékeket is használ, amelyek meglehetősen határozott helyet foglalnak el a rangsorolt sorozatban. Ezek tartalmazzák kvartilisés decilis. A kvartilisek a sorozatot a gyakoriságok összegével 4 egyenlő részre osztják, a decilisek pedig 10 egyenlő részre. Három kvartilis és kilenc decilis van.

A medián és a módus, ellentétben a számtani átlaggal, nem szünteti meg a változó attribútum értékeinek egyéni különbségeit, ezért a statisztikai sokaság további és nagyon fontos jellemzői. A gyakorlatban gyakran használják az átlag helyett vagy azzal együtt. A medián és a módusz kiszámítása különösen azokban az esetekben célszerű, amikor a vizsgált sokaság bizonyos számú egységet tartalmaz, amelyek változó attribútuma nagyon nagy vagy nagyon kicsi. Ezek a sokaságra nem túl jellemző opcióértékek, bár befolyásolják a számtani átlag értékét, nem befolyásolják a medián és a módusz értékeit, ami az utóbbit igen értékes mutatóvá teszi a közgazdasági és statisztikai elemzéshez. .

5.1. Az átlag fogalma

Átlagos érték - ez egy általánosító mutató, amely a jelenség tipikus szintjét jellemzi. Az attribútum értékét fejezi ki, a sokaság egységéhez viszonyítva.

Ahhoz, hogy az átlag valóban tipikus legyen, bizonyos elvek figyelembevételével kell kiszámítani.

Maradjunk néhány általános alapelvnél az átlagok alkalmazására vonatkozóan.
1. Az átlagot a minőségileg homogén egységekből álló populációkra kell meghatározni.
2. Az átlagot kellően sok egységből álló sokaságra kell kiszámítani.
3. Az átlagot arra a sokaságra kell számítani, amelynek egységei normális, természetes állapotban vannak.
4. Az átlagot a vizsgált mutató gazdasági tartalmának figyelembevételével kell kiszámítani.

5.2. Az átlagok típusai és számítási módszerei

Tekintsük most az átlagok típusait, számításuk jellemzőit és alkalmazási területeit. Az átlagértékek két nagy osztályba sorolhatók: teljesítményátlagok, szerkezeti átlagok.

Nak nek teljesítmény átlag A leghíresebb és leggyakrabban használt típusok közé tartoznak, mint a geometriai átlag, a számtani átlag és a négyzetközép.

Mint szerkezeti átlagok módot és mediánt veszik figyelembe.

ahol X i az átlagolt jellemző változata (értéke);

n az opciók száma.

Súlyozott átlag csoportosított adatok alapján számítják ki, és általános formája van

ahol X i az átlagolt jellemző változata (értéke), vagy annak az intervallumnak a középső értéke, amelyben a változatot mérik;
m az átlag kitevője;
f i - gyakoriság, amely azt mutatja, hogy az átlagolt jellemző i-e értéke hányszor fordul elő.

Példaként hozzuk a tanulók átlagéletkorának kiszámítását egy 20 fős csoportban:

Az átlagéletkort az egyszerű átlagképlet segítségével számítjuk ki:

Csoportosítsuk a forrásadatokat. A következő terjesztési sorozatokat kapjuk:

A csoportosítás eredményeként új mutatót - gyakoriságot - kapunk, amely az X éves tanulók számát jelzi. Ezért a csoportba tartozó tanulók átlagéletkorát a súlyozott átlag képlet segítségével számítjuk ki:

Az exponenciális átlagok kiszámítására szolgáló általános képleteknek van kitevője (m). Attól függően, hogy milyen értékre van szükség, a következő típusú teljesítményátlagokat különböztetjük meg:
harmonikus átlag, ha m = -1;
mértani átlag, ha m –> 0;
számtani átlag, ha m = 1;
négyzetes középérték, ha m = 2;
átlagos köbméter, ha m = 3.

A teljesítmény átlag képleteit a táblázat tartalmazza. 4.4.

A statisztikai gyakorlatban más típusú súlyozott átlagoknál gyakrabban használnak számtani és harmonikus súlyozott átlagokat.

5.1. táblázat

Az erőeszközök típusai

A hatalom típusa középső	Index fok (m)	Számítási képlet
A hatalom típusa középső	Index fok (m)	Egyszerű	súlyozott
harmonikus	-1
Geometriai	0
Számtan	1
négyzetes	2
kocka alakú	3

A harmonikus átlag bonyolultabb szerkezetű, mint a számtani átlag. A harmonikus átlagot akkor használják a számításokhoz, ha a súlyok nem a populáció egységei - a tulajdonság hordozói, hanem ezeknek az egységeknek és a tulajdonság értékeinek szorzata (azaz m = Xf). Az átlagos harmonikus állásidőt kell használni például az átlagos munka-, idő-, anyagköltségek termelési egységenként, alkatrészenként két (három, négy, stb.) vállalkozás, a gyártásban részt vevő munkavállalók esetében. azonos típusú termék, ugyanaz az alkatrész, termék.

Geometriai középképlet

leggyakrabban a dinamika egyedi relatív értékeinek átlagértékének kiszámításakor használják.

A geometriai átlagot akkor használjuk, ha megadjuk a dinamika láncrelatív értékeinek sorozatát, jelezve például a termelés növekedését az előző évi szinthez képest: i 1 , i 2 , i 3 ,... , ban ben . Nyilvánvaló, hogy az elmúlt évi termelés volumenét annak kezdeti szintje (q 0) és az azt követő növekedés az évek során határozza meg:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×... × i n .

Ha q n-t vesszük meghatározó mutatónak, és a dinamikai mutatók egyedi értékeit átlagosra cseréljük, akkor az összefüggéshez jutunk.

Innen

5.3. Strukturális átlagok

Az átlagértékek speciális típusát - a strukturális átlagokat - használják az attribútumértékek eloszlási sorozatának belső szerkezetének tanulmányozására, valamint az átlagérték (teljesítménytípus) becslésére, ha a rendelkezésre álló statisztikai adatok szerint számítása nem végezhető el (például ha a vizsgált példában nem voltak adatok).és a termelés volumenéről, illetve a költségösszegről vállalkozáscsoportonként).

ahol X Me a medián intervallum alsó határa;
h Én az értéke;
(összeg m) / 2 - a megfigyelések teljes számának fele vagy az átlagérték kiszámítására szolgáló képletekben súlyozásként használt mutató térfogatának fele (abszolút vagy relatív értelemben);
S Me-1 a medián intervallum kezdete előtt felhalmozott megfigyelések (vagy a súlyozási jellemző térfogata) összege;
m Me a megfigyelések száma vagy a súlyozási jellemző térfogata a medián intervallumban (abszolút vagy relatív értékben is).

Példánkban akár három medián érték is megkapható - a vállalkozások számának, a termelés mennyiségének és a termelési költségek teljes összegének előjelei alapján:

Így a vállalkozások felénél a termelési egység költsége meghaladja a 125,19 ezer rubelt, a teljes termelési mennyiség felét több mint 124,79 ezer rubel termékenkénti költségszinttel állítják elő. és a teljes költség 50% -a egy termék 125,07 ezer rubel feletti költségének szintjén keletkezik. Azt is megjegyezzük, hogy van egy bizonyos növekvő tendencia a költségekben, mivel Me 2 = 124,79 ezer rubel, és az átlagos szint 123,15 ezer rubel.

ahol X Mo a modális intervallum alsó értéke;
m Mo a megfigyelések száma vagy a súlyozási jellemző térfogata a modális intervallumban (abszolút vagy relatív értelemben);
m Mo -1 - ugyanaz a modális előtti intervallumra;
m Mo+1 - ugyanaz a modált követő intervallumra;
h a tulajdonság változási intervallumának értéke csoportokban.

Példánkban három modális érték számítható ki a vállalkozások számának, a termelés mennyiségének és a költségek nagyságának előjelei alapján. A modális intervallum mindhárom esetben azonos, mivel ugyanarra az intervallumra a vállalkozások száma, a termelés volumene és a termelési költségek teljes összege is a legnagyobb:

Így leggyakrabban 126,75 ezer rubel költségszintű vállalkozásokkal találkozunk, leggyakrabban 126,69 ezer rubel költségszintű termékeket gyártanak, és leggyakrabban a termelési költségeket 123,73 ezer rubel költségszint magyarázza.

5.4. Változási mutatók

Az egyes vizsgált objektumok sajátos körülményeit, valamint saját fejlődésük jellemzőit (társadalmi, gazdasági stb.) a statisztikai mutatók megfelelő számszerű szintjei fejezik ki. Ily módon variáció, azok. az azonos mutató szintjei közötti eltérés a különböző objektumokban objektív és segít megérteni a vizsgált jelenség lényegét.

A statisztikai adatok változásának mérésére többféle módszer létezik.

A legegyszerűbb a mutató kiszámítása fesztáv variáció H a tulajdonság maximális (X max) és minimális (X min) megfigyelt értéke közötti különbség:

H=X max - X min.

A variációs tartomány azonban csak a tulajdonság szélső értékeit mutatja. A közbenső értékek ismételhetőségét itt nem vesszük figyelembe.

A szigorúbb jellemzők az attribútum átlagos szintjéhez viszonyított ingadozás mutatói. Ennek a típusnak a legegyszerűbb mutatója az átlagos lineáris eltérés L mint egy tulajdonság átlagos szintjétől való abszolút eltérésének számtani átlaga:

X egyedi értékeinek ismétlésével a súlyozott aritmetikai átlag képletet használjuk:

(Emlékezzünk rá, hogy az átlagos szinttől való eltérések algebrai összege nulla.)

Átlagos lineáris eltérés megtalált széles körű alkalmazás gyakorlaton. Segítségével elemzik például a dolgozók összetételét, a termelés ritmusát, az anyagellátás egységességét, anyagi ösztönző rendszereket dolgoznak ki. De sajnos ez a mutató bonyolítja a valószínűségi típusú számításokat, megnehezíti a matematikai statisztika módszereinek alkalmazását. Ezért a statisztikai tudományos kutatásokban a mutatót leggyakrabban a szórás mérésére használják. diszperzió.

A jellemző szórását (s 2) a másodfokú hatványátlag alapján határozzuk meg:

Az s egyenlő kitevőt nevezzük közepes szórás.

NÁL NÉL általános elmélet A statisztikában a varianciamutató az azonos nevű valószínűségelméleti mutató becslése, és (az eltérések négyzetének összegeként) a matematikai statisztika varianciájának becslése, amely lehetővé teszi ezen elméleti tudományágak rendelkezéseinek felhasználását a társadalmi-gazdasági folyamatok elemzése.

Ha az eltérést egy korlátlan általános sokaságból vett kis számú megfigyelésből becsüljük meg, akkor a jellemző átlagos értékét némi hibával határozzuk meg. Úgy tűnik, hogy a diszperzió számított értéke lefelé tolódik el. Hogy elfogulatlan becslést kapjunk minta variancia, amelyet a korábban megadott képletekkel kaptunk, meg kell szorozni az n / (n - 1) értékkel. Ennek eredményeként kis számú megfigyeléssel (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Általában már n > (15÷20) esetén a torzított és a torzítatlan becslések közötti eltérés jelentéktelenné válik. Ugyanezen okból a torzítást általában nem veszik figyelembe az eltérések összeadásának képletében.

Ha több mintát veszünk az általános sokaságból, és minden alkalommal meghatározzuk az attribútum átlagértékét, akkor felmerül az átlagok változékonyságának becslésének problémája. Variancia becslése középérték képlet szerinti egyetlen mintamegfigyelésen is alapulhat

ahol n a minta mérete; s 2 a mintaadatokból számított jellemző szórása.

Érték nak, nek hívják mintavételi hibát jelentés az X jellemző minta átlagértékének valós középértékétől való eltérésének jellemzője. Az átlagos hibamutatót a mintamegfigyelés eredményeinek megbízhatóságának értékelésére használjuk.

Relatív diszperziós mutatók. A vizsgált tulajdonság fluktuációjának mérőszámának jellemzésére a fluktuációs mutatókat relatív módon számítjuk ki. Lehetővé teszik a diszperzió jellegének összehasonlítását a különböző eloszlásokban (azonos tulajdonság különböző megfigyelési egységei két halmazban, eltérő átlagértékekkel, különböző halmazok összehasonlításakor). A relatív diszperzió mértékének mutatóinak kiszámítása az abszolút diszperziós index és a számtani átlag arányaként történik, szorozva 100%-kal.

1. Oszcillációs együttható tükrözi a tulajdonság szélsőértékeinek relatív ingadozását az átlag körül

2. A relatív lineáris leállás az átlagos értéktől való abszolút eltérések előjelének átlagértékének arányát jellemzi.

3. Variációs együttható:

az átlagok tipikusságának felmérésére használt leggyakoribb varianciamérő.

A statisztikákban a 30-35%-nál nagyobb variációs együtthatójú populációkat tekintik heterogénnek.

Ennek a változásbecslési módszernek van egy jelentős hátránya is. Valóban, legyen például az átlagosan 15 év szolgálati idővel rendelkező, s = 10 év átlagos szolgálati idővel rendelkező munkavállalók kezdeti populációja, akik további 15 évvel „öregedtek”. Most = 30 év, és a szórás még mindig 10. A korábban heterogén sokaság (10/15 × 100 = 66,7%), így idővel meglehetősen homogénnek bizonyul (10/30 × 100 = 33,3%).

Boyarsky A.Ya. Statisztikai elméleti kutatás: Szo. Tudományos Proceedings. - M .: Statisztika, 1974. 19–57.

Előző