Riešenie rozšírenej matice pomocou Gaussovej metódy. Gaussova metóda: popis algoritmu riešenia sústavy lineárnych rovníc, príklady, riešenia

Nech je lineárny systém algebraické rovnice, ktorý je potrebné vyriešiť (nájdite také hodnoty neznámych xi, ktoré menia každú rovnicu systému na rovnosť).

Vieme, že systém lineárnych algebraických rovníc môže:

1) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbový).
2) Mať nekonečne veľa riešení.
3) Mať jediné rozhodnutie.

Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda nie sú vhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. Gaussova metóda – najvýkonnejší a univerzálny nástroj na nájdenie riešenia akéhokoľvek systému lineárne rovnice , ktorý v každom prípade nás privedie k odpovedi! Samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako. Ak Cramerova a maticová metóda vyžadujú znalosť determinantov, potom na aplikáciu Gaussovej metódy potrebujete len znalosť aritmetických operácií, vďaka čomu je dostupná aj pre žiakov základných škôl.

Rozšírené maticové transformácie ( toto je matica systému - matica zložená iba z koeficientov neznámych plus stĺpec voľných členov) sústavy lineárnych algebraických rovníc v Gaussovej metóde:

1) s troki matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach.

2) ak sa v matici objavia (alebo existujú) proporcionálne (ako špeciálny prípad – identické) riadky, mali by ste vymazať Všetky tieto riadky sú z matice okrem jedného.

3) ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, tak by mal byť tiež vymazať.

4) riadok matice môže byť násobiť (deliť) na akékoľvek číslo iné ako nula.

5) do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly.

V Gaussovej metóde elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc.

Gaussova metóda pozostáva z dvoch fáz:

„Priamy pohyb“ - pomocou elementárnych transformácií priveďte rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc do tvaru „trojuholníkového“ kroku: prvky rozšírenej matice umiestnené pod hlavnou diagonálou sa rovnajú nule (pohyb zhora nadol). Napríklad k tomuto typu:

Ak to chcete urobiť, vykonajte nasledujúce kroky:

1) Uvažujme prvú rovnicu sústavy lineárnych algebraických rovníc a koeficient pre x 1 sa rovná K. Druhá, tretia atď. rovnice transformujeme nasledovne: každú rovnicu (koeficienty neznámych vrátane voľných členov) vydelíme koeficientom neznámej x 1 v každej rovnici a vynásobíme K. Potom odčítame prvú od druhej rovnice ( koeficienty neznámych a voľných členov). Pre x 1 v druhej rovnici získame koeficient 0. Od tretej transformovanej rovnice odčítame prvú rovnicu, kým všetky rovnice okrem prvej, pre neznáme x 1, nebudú mať koeficient 0.

2) Prejdime k ďalšej rovnici. Nech je to druhá rovnica a koeficient pre x 2 sa rovná M. So všetkými „nižšími“ rovnicami postupujeme tak, ako je popísané vyššie. Teda „pod“ neznámou x 2 budú vo všetkých rovniciach nuly.

3) Prejdite na ďalšiu rovnicu a tak ďalej, kým nezostane posledná neznáma a transformovaný voľný člen.

« Obrátený» Gaussova metóda – získanie riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc (prístup zdola nahor). Z poslednej „dolnej“ rovnice dostaneme prvé riešenie – neznámu x n. Riešime na to elementárnu rovnicu A * x n = B. Vo vyššie uvedenom príklade x 3 = 4. Nájdenú hodnotu dosadíme do „hornej“ nasledujúcej rovnice a riešime ju vzhľadom na ďalšiu neznámu. Napríklad x 2 – 4 = 1, t.j. x 2 = 5. A tak ďalej, kým nenájdeme všetky neznáme.

Príklad.

Poďme riešiť sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy, ako radia niektorí autori:

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Poďme to spraviť:
1 krok . K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalšiu akciu: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

Krok 2 . Prvý riadok, vynásobený 5, bol pridaný k druhému riadku Prvý riadok, vynásobený 3, bol pridaný k tretiemu riadku.

Krok 3 . Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade ide o krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

Krok 4 . Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený 2.

Krok 5 . Tretí riadok bol rozdelený 3.

Znak, ktorý označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako (0 0 11 |23) nižšie, a teda 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potom s veľký podiel pravdepodobnosti, možno tvrdiť, že pri elementárnych transformáciách došlo k chybe.

Urobme to naopak pri navrhovaní príkladov, samotný systém sa často neprepisuje, ale rovnice sú „prevzaté priamo z danej matice“. Pripomínam vám, že spätný pohyb funguje zdola nahor. IN v tomto príklade ukázalo sa, že to bol darček:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, teda x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odpoveď:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Poďme vyriešiť ten istý systém pomocou navrhovaného algoritmu. Dostaneme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Vydeľte druhú rovnicu 5 a tretiu 3. Dostaneme:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Vynásobením druhej a tretej rovnice číslom 4 dostaneme:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Odčítaním prvej rovnice od druhej a tretej rovnice máme:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Vydeľte tretiu rovnicu číslom 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Vynásobte tretiu rovnicu číslom 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Odčítaním druhej od tretej rovnice získame „odstupňovanú“ rozšírenú maticu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Keďže sa chyba nahromadila počas výpočtov, dostaneme x 3 = 0,96 alebo približne 1.

x 2 = 3 a x 1 = –1.

Takýmto riešením sa nikdy vo výpočtoch nezamotáte a aj napriek chybám vo výpočtoch dostanete výsledok.

Tento spôsob riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc je ľahko programovateľný a nezohľadňuje špecifické vlastnosti koeficientov pre neznáme, pretože v praxi (v ekonomických a technických výpočtoch) sa treba zaoberať neceločíselnými koeficientmi.

Prajem ti úspech! Uvidíme sa v triede! Tútor Dmitrij Aystrachanov.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Dva systémy lineárnych rovníc sa nazývajú ekvivalentné, ak sa množina všetkých ich riešení zhoduje.

Elementárne transformácie sústavy rovníc sú:

Vymazanie triviálnych rovníc zo systému, t.j. tie, pre ktoré sú všetky koeficienty rovné nule;

Násobenie ľubovoľnej rovnice číslom iným ako nula;

Pridanie akejkoľvek j-tej rovnice vynásobenej ľubovoľným číslom do ľubovoľnej i-tej rovnice.

Premenná x i sa nazýva voľná, ak táto premenná nie je povolená, ale je povolený celý systém rovníc.

Veta. Elementárne transformácie transformujú sústavu rovníc na ekvivalentnú.

Zmyslom Gaussovej metódy je transformovať pôvodný systém rovníc a získať ekvivalentný vyriešený alebo ekvivalentný nekonzistentný systém.

Gaussova metóda teda pozostáva z nasledujúcich krokov:

Pozrime sa na prvú rovnicu. Vyberieme si prvý nenulový koeficient a vydelíme ním celú rovnicu. Získame rovnicu, do ktorej vstupuje nejaká premenná x i s koeficientom 1;
Odčítajme túto rovnicu od všetkých ostatných a vynásobme ju takými číslami, aby koeficienty premennej x i v zostávajúcich rovniciach boli nulové. Získame systém vyriešený vzhľadom na premennú x i a ekvivalentný pôvodnej;
Ak vzniknú triviálne rovnice (zriedka, ale stáva sa to; napr. 0 = 0), zo sústavy ich prečiarkneme. Výsledkom je, že existuje o jednu rovnicu menej;
Predchádzajúce kroky opakujeme maximálne n-krát, kde n je počet rovníc v sústave. Zakaždým, keď vyberieme novú premennú na „spracovanie“. Ak vzniknú nekonzistentné rovnice (napríklad 0 = 8), systém je nekonzistentný.

Výsledkom je, že po niekoľkých krokoch získame buď vyriešený systém (prípadne s voľnými premennými), alebo nekonzistentný. Povolené systémy spadajú do dvoch prípadov:

Počet premenných sa rovná počtu rovníc. To znamená, že systém je definovaný;
Počet premenných ďalšie číslo rovnice. Zhromažďujeme všetky voľné premenné napravo - dostaneme vzorce pre povolené premenné. Tieto vzorce sú napísané v odpovedi.

To je všetko! Sústava lineárnych rovníc vyriešená! Ide o pomerne jednoduchý algoritmus a na jeho zvládnutie nemusíte kontaktovať vyššieho učiteľa matematiky. Pozrime sa na príklad:

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Popis krokov:

Odpočítajte prvú rovnicu od druhej a tretej – dostaneme povolenú premennú x 1;
Druhú rovnicu vynásobíme (−1), tretiu rovnicu vydelíme (−3) – dostaneme dve rovnice, do ktorých vstupuje premenná x 2 s koeficientom 1;
K prvej pripočítame druhú rovnicu a od tretej odpočítame. Dostaneme povolenú premennú x 2 ;
Nakoniec od prvej odčítame tretiu rovnicu – dostaneme povolenú premennú x 3;
Dostali sme schválený systém, zapíšte si odpoveď.

Všeobecné riešenie simultánneho systému lineárnych rovníc je nový systém, ekvivalentný pôvodnému, v ktorom sú všetky povolené premenné vyjadrené ako voľné.

Keď to možno budete potrebovať spoločné rozhodnutie? Ak musíte urobiť menej krokov ako k (k je počet rovníc). Avšak dôvody, prečo proces končí v niektorom kroku l< k , может быть две:

Po 1. kroku sme dostali systém, ktorý neobsahuje rovnicu s číslom (l + 1). V skutočnosti je to dobré, pretože... autorizovaný systém je stále získaný - dokonca o niekoľko krokov skôr.
Po 1. kroku sme dostali rovnicu, v ktorej sú všetky koeficienty premenných rovné nule a voľný koeficient je odlišný od nuly. Toto je protichodná rovnica, a preto je systém nekonzistentný.

Je dôležité pochopiť, že vznik nekonzistentnej rovnice pomocou Gaussovej metódy je dostatočným základom pre nekonzistentnosť. Zároveň si všimneme, že v dôsledku 1. kroku nemôžu zostať triviálne rovnice - všetky sú prečiarknuté priamo v procese.

Popis krokov:

Odčítajte prvú rovnicu vynásobenú 4 od druhej. Do tretej pridáme aj prvú rovnicu – dostaneme povolenú premennú x 1;
Odpočítajte tretiu rovnicu vynásobenú 2 od druhej - dostaneme protichodnú rovnicu 0 = −5.

Takže systém je nekonzistentný, pretože bola objavená nekonzistentná rovnica.

Úloha. Preskúmajte kompatibilitu a nájdite všeobecné riešenie systému:

Popis krokov:

Prvú rovnicu odpočítame od druhej (po vynásobení dvoma) a tretiu - dostaneme povolenú premennú x 1;
Odpočítajte druhú rovnicu od tretej. Keďže všetky koeficienty v týchto rovniciach sú rovnaké, tretia rovnica sa stane triviálnou. Zároveň vynásobte druhú rovnicu číslom (−1);
Od prvej rovnice odčítame druhú - dostaneme povolenú premennú x 2. Celý systém rovníc je teraz tiež vyriešený;
Keďže premenné x 3 a x 4 sú voľné, presunieme ich doprava, aby sme vyjadrili povolené premenné. Toto je odpoveď.

Systém je teda konzistentný a neurčitý, keďže existujú dve povolené premenné (x 1 a x 2) a dve voľné (x 3 a x 4).

Pokračujeme v zvažovaní systémov lineárnych rovníc. Táto lekcia je tretia na túto tému. Ak máte nejasnú predstavu o tom, čo je systém lineárnych rovníc vo všeobecnosti, ak sa cítite ako čajník, potom odporúčam začať so základmi na stránke Ďalej, je užitočné si lekciu preštudovať.

Gaussova metóda je jednoduchá! prečo? Slávny nemecký matematik Johann Carl Friedrich Gauss počas svojho života získal uznanie ako najväčšieho matematika všetkých čias, génia a dokonca aj prezývku „kráľ matematiky“. A všetko dômyselné, ako viete, je jednoduché! Mimochodom, peniaze nedostávajú len hlupáci, ale aj géniovia – Gaussov portrét bol na 10-tich nemeckých markách (pred zavedením eura) a Gauss sa na Nemcov stále záhadne usmieva z obyčajných poštových známok.

Gaussova metóda je jednoduchá v tom, že na jej zvládnutie STAČÍ VEDOMOSTI ŽIAKA 5. ROČNÍKA. Musíte vedieť sčítať a násobiť! Nie náhodou učitelia často uvažujú o metóde postupného vyraďovania neznámych v školských výberových predmetoch z matematiky. Je to paradox, ale pre študentov je najťažšia Gaussova metóda. Nič prekvapujúce - je to všetko o metodológii a pokúsim sa hovoriť o algoritme metódy v prístupnej forme.

Najprv systematizujeme trochu vedomostí o sústavách lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc môže:

1) Majte jedinečné riešenie. 2) Mať nekonečne veľa riešení. 3) Nemať žiadne riešenia (buď nekĺbový).

Gaussova metóda je najvýkonnejší a univerzálny nástroj na hľadanie riešenia akýkoľvek sústavy lineárnych rovníc. Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a maticová metóda sú nevhodné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. A metóda postupnej eliminácie neznámych Každopádne nás privedie k odpovedi! Zapnuté túto lekciu Gaussovu metódu opäť zvážime pre prípad č. 1 (jediné riešenie systému), situáciám bodov č. 2-3 je venovaný článok. Podotýkam, že samotný algoritmus metódy funguje vo všetkých troch prípadoch rovnako.

Vráťme sa k najjednoduchší systém z triedy Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc? a vyriešiť to pomocou Gaussovej metódy.

Prvým krokom je zapísať rozšírená matica systému: . Myslím, že každý vidí, akým princípom sa koeficienty píšu. Vertikálna čiara vo vnútri matice nemá žiadny matematický význam - je to jednoducho prečiarknuté pre zjednodušenie návrhu.

Odkaz : Odporúčam zapamätať si podmienky lineárna algebra. Systémová matica je matica zložená iba z koeficientov pre neznáme, v tomto príklade matica systému: . Rozšírená systémová matica – toto je rovnaká matica systému plus stĺpec voľných výrazov, v tomto prípade: . Pre stručnosť, ktorúkoľvek z matíc možno jednoducho nazvať maticou.

Po napísaní rozšírenej matice systému je potrebné s ňou vykonať niektoré akcie, ktoré sa tiež nazývajú elementárne transformácie.

Existujú nasledujúce elementárne transformácie:

1) Struny matice Môcť preusporiadať na niektorých miestach. Napríklad v uvažovanej matici môžete bezbolestne preusporiadať prvý a druhý riadok:

2) Ak v matici existujú (alebo sa objavili) proporcionálne (ako špeciálny prípad - identické) riadky, mali by ste vymazať Všetky tieto riadky sú z matice okrem jedného. Zoberme si napríklad maticu . V tejto matici sú posledné tri riadky proporcionálne, takže stačí nechať len jeden z nich: .

3) Ak sa pri transformáciách objaví v matici nulový riadok, potom by mal byť tiež vymazať. Nebudem kresliť, samozrejme, nulová čiara je čiara, v ktorej všetky nuly.

4) Riadok matice môže byť násobiť (deliť) na ľubovoľné číslo nenulové. Zoberme si napríklad maticu . Tu je vhodné vydeliť prvý riadok -3 a vynásobiť druhý riadok 2: . Táto akcia veľmi užitočné, pretože zjednodušuje ďalšie transformácie matíc.

5) Táto transformácia spôsobuje najväčšie ťažkosti, ale v skutočnosti nie je nič zložité. Do riadku matice môžete pridajte ďalší reťazec vynásobený číslom, odlišný od nuly. Zvážte našu maticu praktický príklad: . Najprv veľmi podrobne opíšem premenu. Vynásobte prvý riadok -2: , A k druhému riadku pridáme prvý riadok vynásobený –2: . Teraz je možné prvý riadok rozdeliť „späť“ na –2: . Ako môžete vidieť, riadok, ktorý ADD LI – sa nezmenil. Vždy riadok, KTORÝ JE PRIDANÝ, sa mení UT.

V praxi to, samozrejme, nepíšu tak podrobne, ale píšu to stručne: Ešte raz: do druhého riadku pridal prvý riadok vynásobený –2. Čiara sa zvyčajne násobí ústne alebo na koncepte, pričom proces mentálneho výpočtu prebieha asi takto:

"Prepíšem maticu a prepíšem prvý riadok: »

„Najskôr prvý stĺpec. V spodnej časti potrebujem dostať nulu. Preto to, čo je hore, vynásobím –2: , a prvé pripočítam k druhému riadku: 2 + (–2) = 0. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

"Teraz druhý stĺpec." V hornej časti vynásobím -1 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: 1 + 2 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

"A tretí stĺpec." V hornej časti vynásobím -5 -2: . Prvý pridám do druhého riadku: –7 + 10 = 3. Do druhého riadku zapíšem výsledok: »

Pozorne pochopte tento príklad a pochopte algoritmus sekvenčného výpočtu, ak tomu rozumiete, potom máte Gaussovu metódu prakticky vo vrecku. Ale, samozrejme, na tejto premene ešte popracujeme.

Elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc

! POZOR: považované za manipulácie nemožno použiť, ak je vám ponúknutá úloha, kde sa matice dávajú „samo od seba“. Napríklad pri „klasickom“ operácie s maticami Za žiadnych okolností by ste nemali nič prestavovať vo vnútri matríc! Vráťme sa k nášmu systému. Je prakticky rozobraný na kusy.

Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju zredukujme na stupňovitý pohľad:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. A opäť: prečo násobíme prvý riadok –2? Aby sa naspodku dostala nula, čo znamená zbaviť sa jednej premennej v druhom riadku.

(2) Vydeľte druhý riadok 3.

Účel elementárnych transformácií – zredukovať maticu na postupný tvar: . Pri návrhu úlohy jednoducho vyznačia „schody“ jednoduchou ceruzkou a tiež zakrúžkujú čísla, ktoré sa nachádzajú na „schodoch“. Samotný pojem „odstupňovaný pohľad“ nie je vo vedeckej a náučnej literatúre často nazývaný lichobežníkový pohľad alebo trojuholníkový pohľad.

V dôsledku elementárnych transformácií sme získali ekvivalent pôvodný systém rovníc:

Teraz je potrebné systém „rozvinúť“ v opačnom smere - tento proces sa nazýva zdola nahor inverzná ku Gaussovej metóde.

V spodnej rovnici už máme hotový výsledok: .

Zoberme si prvú rovnicu systému a dosaďte do nej už známu hodnotu „y“:

Zoberme si najbežnejšiu situáciu, keď Gaussova metóda vyžaduje riešenie sústavy troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Príklad 1

Riešte sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy:

Napíšme rozšírenú maticu systému:

Teraz okamžite nakreslím výsledok, ku ktorému dôjdeme počas riešenia: A opakujem, naším cieľom je dostať maticu do stupňovitej formy pomocou elementárnych transformácií. Kde začať?

Najprv sa pozrite na ľavé horné číslo: Mal by tu byť takmer vždy jednotka. Vo všeobecnosti postačí –1 (a niekedy aj iné čísla), ale akosi sa už tradične stáva, že sa tam zvyčajne umiestňuje jedna. Ako organizovať jednotku? Pozeráme sa na prvý stĺpec – máme hotovú jednotku! Transformácia jedna: vymeňte prvý a tretí riadok:

Teraz zostane prvý riadok nezmenený až do konca riešenia. Teraz dobre.

Jednotka v ľavom hornom rohu je usporiadaná. Teraz musíte získať nuly na týchto miestach:

Nuly dostaneme pomocou „ťažkej“ transformácie. Najprv sa zaoberáme druhým riadkom (2, –1, 3, 13). Čo je potrebné urobiť, aby ste na prvej pozícii dostali nulu? Potrebovať k druhému riadku pridajte prvý riadok vynásobený –2. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –2: (–2, –4, 2, –18). A dôsledne vykonávame (opäť mentálne alebo na návrh) pridávanie, k druhému riadku pridáme prvý riadok, už vynásobený –2:

Výsledok zapíšeme do druhého riadku:

S tretím riadkom zaobchádzame rovnakým spôsobom (3, 2, –5, –1). Ak chcete získať nulu na prvej pozícii, potrebujete k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. V duchu alebo na koncepte vynásobte prvý riadok –3: (–3, –6, 3, –27). A do tretieho riadku pridáme prvý riadok vynásobený –3:

Výsledok zapíšeme do tretieho riadku:

V praxi sa tieto úkony zvyčajne vykonávajú ústne a zapisujú sa v jednom kroku:

Netreba počítať všetko naraz a v rovnakom čase. Poradie výpočtov a „zadávanie“ výsledkov konzistentné a väčšinou je to takto: najprv prepíšeme prvý riadok a pomaly na seba naťahujeme - DÔSLEDNE a POZORNE:
A o mentálnom procese samotných výpočtov som už hovoril vyššie.

V tomto príklade je to jednoduché, vydelíme druhý riadok –5 (keďže všetky čísla sú bezo zvyšku deliteľné 5). Tretí riadok zároveň vydelíme –2, pretože čím menšie čísla, tým jednoduchšie riešenie:

V záverečnej fáze elementárnych transformácií tu musíte získať ďalšiu nulu:

Pre to do tretieho riadku pridáme druhý riadok vynásobený –2:
Pokúste sa prísť na túto akciu sami - v duchu vynásobte druhý riadok -2 a vykonajte sčítanie.

Poslednou vykonanou akciou je účes výsledku, vydeľte tretí riadok 3.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém lineárnych rovníc: V pohode.

Teraz prichádza na rad opak Gaussovej metódy. Rovnice sa „odvíjajú“ zdola nahor.

V tretej rovnici už máme hotový výsledok:

Pozrime sa na druhú rovnicu: . Význam „zet“ je už známy, teda:

A na záver prvá rovnica: . „Igrek“ a „zet“ sú známe, ide len o maličkosti:

Odpoveď:

Ako už bolo opakovane poznamenané, pre akýkoľvek systém rovníc je možné a potrebné skontrolovať nájdené riešenie, našťastie je to jednoduché a rýchle.

Príklad 2

Toto je príklad samostatného riešenia, ukážka finálneho návrhu a odpoveď na konci hodiny.

Treba poznamenať, že váš priebeh rozhodnutia sa nemusí zhodovať s mojím rozhodovacím procesom, a to je vlastnosť Gaussovej metódy. Ale odpovede musia byť rovnaké!

Príklad 3

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Pozeráme sa na ľavý horný „krok“. Mali by sme tam jeden mať. Problém je, že v prvom stĺpci nie sú vôbec žiadne jednotky, takže preskupenie riadkov nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Zvyčajne sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Urobil som toto: (1) K prvému riadku pridáme druhý riadok, vynásobený –1. To znamená, že druhý riadok sme v duchu vynásobili –1 a pridali prvý a druhý riadok, pričom druhý riadok sa nezmenil.

Teraz vľavo hore je „mínus jedna“, čo nám celkom vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalší pohyb: vynásobiť prvý riadok –1 (zmeniť jeho znamienko).

(2) Prvý riadok vynásobený 5 bol pridaný k druhému riadku Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný k tretiemu riadku.

(3) Prvý riadok bol vynásobený –1, v zásade je to pre krásu. Zmenilo sa aj znamienko tretieho riadku a posunulo sa na druhé miesto, aby sme na druhom „kroku“ mali požadovanú jednotku.

(4) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 2.

(5) Tretí riadok bol delený 3.

Zlé znamenie, ktoré označuje chybu vo výpočtoch (zriedkavejšie preklep), je „zlý“ spodný riadok. To znamená, že ak dostaneme niečo ako , nižšie a podľa toho , potom s vysokou mierou pravdepodobnosti môžeme povedať, že pri elementárnych transformáciách došlo k chybe.

Účtujeme naopak, pri návrhu príkladov často neprepisujú samotný systém, ale rovnice sú „priamo prevzaté z danej matice“. Spätný ťah, pripomínam, funguje zdola nahor. Áno, tu je darček:

Odpoveď: .

Príklad 4

Riešte sústavu lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, je o niečo zložitejší. Nevadí, ak je niekto zmätený. Úplné riešenie a vzorový návrh na konci lekcie. Vaše riešenie sa môže líšiť od môjho riešenia.

V poslednej časti sa pozrieme na niektoré funkcie Gaussovho algoritmu. Prvou vlastnosťou je, že v systémových rovniciach niekedy chýbajú niektoré premenné, napríklad: Ako správne napísať maticu rozšíreného systému? O tomto bode som už hovoril v triede. Cramerovo pravidlo. Maticová metóda. V rozšírenej matici systému umiestnime nuly na miesto chýbajúcich premenných: Mimochodom, toto je pomerne jednoduchý príklad, pretože prvý stĺpec už má jednu nulu a je potrebné vykonať menej elementárnych transformácií.

Druhá vlastnosť je toto. Vo všetkých uvažovaných príkladoch sme na „kroky“ umiestnili buď –1 alebo +1. Môžu tam byť aj iné čísla? V niektorých prípadoch môžu. Zvážte systém: .

Tu v ľavom hornom „kroku“ máme dvojku. Ale všimneme si fakt, že všetky čísla v prvom stĺpci sú bezo zvyšku deliteľné 2 – a to druhé je dva a šesť. A tie dve vľavo hore nám pristanú! V prvom kroku musíte vykonať nasledujúce transformácie: pridajte prvý riadok vynásobený –1 k druhému riadku; k tretiemu riadku pridajte prvý riadok vynásobený –3. Takto dostaneme požadované nuly v prvom stĺpci.

Alebo niečo také podmienený príklad: . Tu nám vyhovuje aj trojka na druhom „kroku“, keďže 12 (miesto, kde potrebujeme dostať nulu) je bezo zvyšku deliteľné 3. Je potrebné vykonať nasledujúcu transformáciu: pridajte druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobte -4, v dôsledku čoho sa získa nula, ktorú potrebujeme.

Gaussova metóda je univerzálna, no má jednu zvláštnosť. Sebavedome sa naučte riešiť systémy pomocou iných metód (Cramerova metóda, maticová metóda) môžete doslova prvýkrát - existuje veľmi prísny algoritmus. Ale aby ste sa cítili istí v Gaussovej metóde, mali by ste sa „zabiť“ a vyriešiť aspoň 5-10 desať systémov. Preto môže na začiatku dôjsť k zmätku a chybám vo výpočtoch a na tom nie je nič neobvyklé alebo tragické.

Daždivé jesenné počasie za oknom.... Preto pre všetkých, ktorí chcú viac komplexný príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 5

Riešte sústavu 4 lineárnych rovníc so štyrmi neznámymi pomocou Gaussovej metódy.

Takáto úloha nie je v praxi taká zriedkavá. Myslím, že aj čajník, ktorý si túto stránku dôkladne preštudoval, pochopí algoritmus na riešenie takéhoto systému intuitívne. V zásade je všetko rovnaké - existuje viac akcií.

Prípady, keď systém nemá žiadne riešenia (nekonzistentné) alebo má nekonečne veľa riešení, sú diskutované v lekcii Nekompatibilné systémy a systémy so spoločným riešením. Tam môžete opraviť uvažovaný algoritmus Gaussovej metódy.

Prajem ti úspech!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru.
Vykonané elementárne transformácie: (1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1. Pozor! Tu môžete byť v pokušení odčítať prvý od tretieho riadku, vrelo odporúčam neodčítať ho – riziko chyby sa výrazne zvyšuje. Stačí ho zložiť! (2) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Druhý a tretí riadok boli vymenené. Poznámka , že na „stupňoch“ sa uspokojíme nielen s jednotkou, ale aj s –1, čo je ešte výhodnejšie. (3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 5. (4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené (vynásobené –1). Tretí riadok bol rozdelený 14.

Obrátené:

Odpoveď : .

Príklad 4: Riešenie : Zapíšme si rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie: (1) K prvému riadku bol pridaný druhý riadok. Požadovaná jednotka je teda usporiadaná v ľavom hornom „kroku“. (2) Prvý riadok vynásobený 7 bol pridaný k druhému riadku Prvý riadok vynásobený 6 bol pridaný k tretiemu riadku.

S druhým „krokom“ sa všetko zhoršuje , „kandidátmi“ na ňu sú čísla 17 a 23 a potrebujeme buď jednotku alebo –1. Transformácie (3) a (4) budú zamerané na získanie požadovanej jednotky (3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1. (4) Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –3. Požadovaná položka v druhom kroku bola prijatá. . (5) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 6. (6) Druhý riadok bol vynásobený –1, tretí riadok bol vydelený –83.

Obrátené:

Odpoveď :

Príklad 5: Riešenie : Zapíšme si maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju priveďme do stupňovitého tvaru:

Vykonané konverzie: (1) Prvý a druhý riadok boli vymenené. (2) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený –3. (3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku vynásobenému 4. Druhý riadok bol pridaný k štvrtému riadku vynásobenému –1. (4) Znamienko druhého riadku bolo zmenené. Štvrtý riadok bol rozdelený 3 a umiestnený na miesto tretieho riadku. (5) Tretí riadok bol pridaný k štvrtému riadku, vynásobený –5.

Obrátené:

Odpoveď :

Carl Friedrich Gauss, najväčší matematik na dlhú dobu váhal a vyberal si medzi filozofiou a matematikou. Možno to bolo práve toto myslenie, ktoré mu umožnilo vytvoriť také výrazné „dedičstvo“ vo svetovej vede. Najmä vytvorením „Gaussovej metódy“ ...

Takmer 4 roky sa články na tejto stránke týkali školské vzdelanie, hlavne zo strany filozofie, princípy (ne)pochopenia vnášané do povedomia detí. Prichádza čas na ďalšie špecifiká, príklady a metódy... Verím, že práve toto je prístup k známemu, neprehľadnému a dôležité oblasti života prinášajú lepšie výsledky.

My ľudia sme navrhnutí tak, že bez ohľadu na to, o čom veľa hovoríme abstraktné myslenie, Ale pochopenie Vždy sa deje prostredníctvom príkladov. Ak neexistujú príklady, potom nie je možné pochopiť princípy... Tak, ako sa na vrchol hory nedá dostať inak, než prejdením celého svahu od úpätia.

To isté so školou: zatiaľ živé príbehy Nestačí, že ho inštinktívne naďalej považujeme za miesto, kde sa deti učia chápať.

Napríklad výučba Gaussovej metódy...

Gaussova metóda v 5. ročníku školy

Dovoľte mi hneď urobiť rezerváciu: Gaussova metóda má oveľa viac široké uplatnenie, napríklad pri riešení sústavy lineárnych rovníc. Čo si budeme rozprávať, odohráva sa v 5. ročníku. Toto začala, keď pochopíte, ktoré, je oveľa jednoduchšie pochopiť viac „pokročilých možností“. V tomto článku hovoríme o Gaussova metóda (metóda) na nájdenie súčtu radu

Tu je príklad, ktorý si môj najmladší syn, ktorý navštevuje 5. ročník moskovského gymnázia, priniesol zo školy.

Školská ukážka Gaussovej metódy

Učiteľ matematiky pomocou interaktívnej tabule ( moderné metódyškolenie) ukázal deťom prezentáciu histórie „tvorby metódy“ od malého Gaussa.

Učiteľka malého Karla bičovala (zastaraná metóda, ktorá sa dnes v školách nepoužíva), pretože on

namiesto postupného sčítania čísel od 1 do 100 nájdite ich súčet všimolže dvojice čísel, ktoré sú rovnako vzdialené od okrajov aritmetickej postupnosti, tvoria rovnaké číslo. napríklad 100 a 1, 99 a 2. Po spočítaní počtu takýchto párov malý Gauss takmer okamžite vyriešil problém navrhnutý učiteľom. Za čo ho pred užasnutou verejnosťou popravili. Aby ostatní boli odrádzaní od rozmýšľania.

Čo urobil malý Gauss? vyvinuté zmysel pre čísla? Všimol som si nejakú vlastnosťčíselný rad s konštantným krokom (aritmetická progresia). A presne toto neskôr z neho urobil veľkého vedca, schopný si všimnúť, majúce pocit, inštinkt porozumenia.

Preto je matematika cenná, rozvíja sa schopnosť vidieť najmä všeobecne - abstraktné myslenie. Preto väčšina rodičov a zamestnávateľov inštinktívne považovať matematiku za dôležitú disciplínu ...

„Potom sa musíte naučiť matematiku, pretože tá vám dáva do poriadku myseľ.
M.V.Lomonosov“.

Stúpenci tých, ktorí bičovali budúcich géniov prútmi, však z Metoda urobili niečo opačné. Ako povedal môj priateľ pred 35 rokmi vedecký poradca: "Otázku si zapamätali." Alebo ako včera povedal môj najmladší syn o Gaussovej metóde: „Možno z toho nemá cenu robiť veľkú vedu, však?

Dôsledky kreativity „vedcov“ sú viditeľné na úrovni súčasnej školskej matematiky, úrovni jej vyučovania a chápaní „kráľovnej vied“ väčšinou.

Pokračujme však...

Metódy na vysvetlenie Gaussovej metódy v 5. ročníku školy

Učiteľ matematiky na moskovskom gymnáziu, vysvetľujúci Gaussovu metódu podľa Vilenkina, skomplikoval úlohu.

Čo ak rozdiel (krok) aritmetickej progresie nie je jedno, ale iné číslo? Napríklad 20.

Problém, ktorý dal piatakom:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Predtým, ako sa zoznámime s gymnaziálnou metódou, pozrime sa na internet: ako to robia učitelia škôl a učitelia matematiky?...

Gaussova metóda: vysvetlenie č.1

Známy lektor na svojom kanáli YOUTUBE uvádza nasledujúce dôvody:

"napíšme čísla od 1 do 100 takto:

najprv séria čísel od 1 do 50 a presne pod ňou ďalšia séria čísel od 50 do 100, ale v opačnom poradí“

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Upozorňujeme, že súčet každého páru čísel z horného a spodného radu je rovnaký a rovná sa 101! Spočítajme počet párov, je to 50 a vynásobte súčet jedného páru počtom párov! Voila: odpoveď je pripravená!"

"Ak ste nerozumeli, nehnevajte sa!" zopakoval učiteľ počas vysvetľovania trikrát. "Túto metódu budete mať v 9. ročníku!"

Gaussova metóda: vysvetlenie č.2

Ďalší tútor, menej známy (súdiac podľa počtu zobrazení), má vedeckejší prístup a ponúka algoritmus riešenia s 5 bodmi, ktorý je potrebné dokončiť postupne.

Pre nezasvätených je 5 jedno z Fibonacciho čísel tradične považovaných za magické. 5-kroková metóda je vždy vedeckejšia ako napríklad 6-kroková metóda. ...A to nie je náhoda, s najväčšou pravdepodobnosťou je autor skrytým zástancom Fibonacciho teórie

Vzhľadom na aritmetický postup: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritmus na nájdenie súčtu čísel v rade pomocou Gaussovej metódy:

Krok 1: prepíšte danú postupnosť čísel opačne, presne tak pod prvým.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Krok 2: vypočítajte súčet dvojíc čísel umiestnených vo zvislých riadkoch: 260.

Krok 3: spočítajte, koľko takýchto dvojíc je v číselnom rade. Ak to chcete urobiť, odpočítajte minimum od maximálneho počtu číselných radov a vydeľte veľkosťou kroku: (256 - 4) / 6 = 42.

Zároveň si treba pamätať plus jedno pravidlo : k výslednému kvocientu musíme pridať jednotku: inak dostaneme výsledok, ktorý je o jednu menší ako skutočný počet párov: 42 + 1 = 43.

Krok 4: Vynásobte súčet jedného páru čísel počtom párov: 260 x 43 = 11 180

Krok 5: keďže sme vypočítali sumu dvojice čísel, potom by sa výsledná suma mala vydeliť dvoma: 11 180 / 2 = 5590.

Toto je požadovaný súčet aritmetického postupu od 4 do 256 s rozdielom 6!

Gaussova metóda: vysvetlenie v 5. ročníku na moskovskom gymnáziu

Tu je návod, ako vyriešiť problém s nájdením súčtu radu:

20+40+60+ ... +460+480+500

v 5. ročníku moskovského gymnázia, Vilenkinova učebnica (podľa môjho syna).

Po predvedení prezentácie učiteľ matematiky ukázal niekoľko príkladov pomocou Gaussovej metódy a dal triede za úlohu nájsť súčet čísel v sérii v krokoch po 20.

To si vyžadovalo nasledovné:

Krok 1: nezabudnite si zapísať všetky čísla v rade do zošita od 20 do 500 (v prírastkoch po 20).

Krok 2: zapíšte si sekvenčné členy - dvojice čísel: prvý s posledným, druhý s predposledným atď. a vypočítať ich výšku.

Krok 3: vypočítajte „súčet súm“ a nájdite súčet celej série.

Ako vidíte, toto je kompaktnejšie a efektívna technika: číslo 3 je tiež členom Fibonacciho postupnosti

Moje pripomienky k školskej verzii Gaussovej metódy

Veľký matematik by si určite vybral filozofiu, keby predvídal, na čo jeho „metódu“ premenia jeho nasledovníci. učiteľ nemčiny, ktorý Karla bičoval prútmi. Videl by symboliku, dialektickú špirálu a nehynúcu hlúposť „učiteľov“, snažiac sa zmerať harmóniu živého matematického myslenia s algebrou nepochopenia ....

Mimochodom: vedeli ste. že naše školstvo má korene v nemeckej škole 18. a 19. storočia?

Ale Gauss si vybral matematiku.

Čo je podstatou jeho metódy?

IN zjednodušenie. IN pozorovanie a uchopenie jednoduché vzory čísel. IN premeniť aritmetiku na suchú školu na zaujímavá a vzrušujúca aktivita , aktivujúc v mozgu túžbu pokračovať, skôr ako blokovať duševnú aktivitu s vysokými nákladmi.

Je možné použiť jednu z uvedených „modifikácia Gaussovej metódy“ na výpočet súčtu čísel aritmetickej progresie takmer okamžite? Podľa „algoritmov“ by sa mal malý Karl zaručene vyhnúť výprasku, vypestovať si averziu k matematike a v zárodku potlačiť svoje tvorivé impulzy.

Prečo učiteľ tak vytrvalo radil piatakom „nebáť sa nepochopenia“ metódy a presviedčal ich, že „takéto“ problémy budú riešiť už v 9. ročníku? Psychologicky negramotné jednanie. Bol to dobrý ťah, ktorý treba poznamenať: "Maj sa už v 5. ročníku môžeš riešte problémy, ktoré dokončíte až za 4 roky! Aký si skvelý chlapík!“

Na použitie Gaussovej metódy stačí úroveň 3, keď normálne deti už vedia sčítať, násobiť a deliť 2 -3 významné čísla. Problémy vznikajú pre neschopnosť dospelých učiteľov, ktorí sú „mimo kontakt“ vysvetliť tie najjednoduchšie veci normálnym ľudským jazykom, nehovoriac o matematickom... Nedokážu ľudí zaujať matematikou a úplne odradia aj tých, ktorí sú „ schopný.”

Alebo, ako povedal môj syn: „urobiť z toho veľkú vedu“.

Ako (vo všeobecnom prípade) zistíte, ktoré číslo by ste mali „rozšíriť“ záznam čísel v metóde č. 1?

Čo robiť, ak sa ukáže, že počet členov série je zvláštny?

Prečo premieňať na „Pravidlo plus 1“ niečo, čo by dieťa jednoducho mohlo učiť sa dokonca aj v prvej triede, keby som mal vyvinutý „zmysel pre čísla“ a nepamätal si"počítaj do desať"?

A na záver: kam sa podela NULA, geniálny vynález starý viac ako 2000 rokov, ktorému sa moderní učitelia matematiky vyhýbajú?!

Gaussova metóda, moje vysvetlenia

S manželkou sme túto „metódu“ vysvetlili nášmu dieťaťu, zdá sa, ešte pred školou...

Jednoduchosť namiesto zložitosti alebo hra otázok a odpovedí

"Pozri, tu sú čísla od 1 do 100. Čo vidíš?"

Nejde o to, čo presne dieťa vidí. Trik je prinútiť ho, aby sa pozrel.

"Ako ich môžeš dať dokopy?" Syn si uvedomil, že takéto otázky sa nekladú „len tak“ a na otázku sa treba pozerať „akosi inak, inak ako zvyčajne“

Nevadí, ak dieťa hneď vidí riešenie, je to málo pravdepodobné. Je dôležité, aby on prestal sa báť pozrieť, alebo ako ja hovorím: „presunul úlohu“. Toto je začiatok cesty k porozumeniu

"Čo je jednoduchšie: pridať napríklad 5 a 6 alebo 5 a 95?" Hlavná otázka... Ale každé školenie spočíva v „navedení“ človeka k „odpovedi“ – akýmkoľvek spôsobom, ktorý je pre neho prijateľný.

V tejto fáze už môžu vzniknúť dohady o tom, ako „ušetriť“ na výpočtoch.

Urobili sme len náznak: „frontálny, lineárny“ spôsob počítania nie je jediný možný. Ak to dieťa pochopí, neskôr príde na oveľa viac takýchto metód, lebo je to zaujímavé!!! A určite sa vyhne „nepochopeniu“ matematiky a nebude sa ňou cítiť znechutený. Dostal výhru!

Ak objavené dieťaže sčítanie dvojíc čísel, ktoré súčet do sto je hračka, teda "aritmetický postup s rozdielom 1"- pre dieťa dosť ponurá a nezaujímavá vec - zrazu našiel pre neho život . Poriadok vznikol z chaosu, a to vždy vyvoláva nadšenie: tak sme stvorení!

Otázka na zodpovedanie: prečo by malo byť dieťa po získanom náhľade opäť nútené do rámca suchých algoritmov, ktoré sú v tomto prípade tiež funkčne zbytočné?!

Prečo vynucovať hlúpe prepisy? poradové čísla v zošite: aby ani schopní nemali jedinú šancu porozumieť? Štatisticky, samozrejme, ale masové vzdelávanie je zamerané na „štatistiku“...

Kam sa podela nula?

A predsa sčítanie čísel, ktorých súčet je 100, je pre myseľ oveľa prijateľnejšie ako tie, ktoré súčet tvoria 101...

„Metóda Gaussovej školy“ vyžaduje presne toto: bezmyšlienkovite zložiť dvojice čísel rovnako vzdialené od stredu progresie, Napriek všetkému.

Čo ak sa pozrieš?

Stále nula - najväčší vynálezľudstva, ktoré je staré viac ako 2000 rokov. A učitelia matematiky ho naďalej ignorujú.

Je oveľa jednoduchšie transformovať sériu čísel začínajúcu 1 na sériu začínajúcu 0. Súčet sa nezmení, však? Treba prestať „myslieť v učebniciach“ a začať hľadať... A uvidíte, že páry so súčtom 101 môžu byť úplne nahradené pármi so súčtom 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Ako zrušiť „pravidlo plus 1“?

Aby som bol úprimný, prvýkrát som o takomto pravidle počul od tohto lektora YouTube...

Čo mám robiť, keď potrebujem určiť počet členov série?

Pozerám na postupnosť:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

a keď ste úplne unavení, prejdite na jednoduchší riadok:

1, 2, 3, 4, 5

a myslím si: ak odpočítate jednu od 5, dostanete 4, ale mám to úplne jasné vidím 5 čísel! Preto musíte jednu pridať! Zmysel pre čísla sa rozvinul v r Základná škola, navrhuje: aj keď existuje celý Google členov série (10 až stová mocnina), vzor zostane rovnaký.

Aké sú sakra pravidlá?...

Aby ste za pár-tri roky zaplnili všetok priestor medzi čelom a zátylkom a prestali myslieť? Ako si zarobiť na chlieb a maslo? Koniec koncov, posúvame sa v rovnakých radoch do éry digitálnej ekonomiky!

Viac o Gaussovej školskej metóde: „prečo z toho robiť vedu?...“

Nie nadarmo som zverejnil snímku obrazovky zo synovho notebooku...

"Čo sa stalo v triede?"

„No, hneď som počítal, zdvihol som ruku, ale nepýtala sa, a preto, kým ostatní počítali, začal som robiť domáce úlohy v ruštine, aby som nestrácal čas, keď ostatní dopísali (? ??), zavolala ma na tabuľu."

"Správne, ukáž mi, ako si to vyriešil," povedal učiteľ. Ukázal som to. Povedala: "Zle, musíte počítať, ako som ukázal!"

"Je dobré, že nedala zlú známku a donútila ma napísať do ich zápisníka "priebeh riešenia" ich vlastným spôsobom, prečo z toho robiť veľkú vedu?

Hlavný zločin učiteľa matematiky

Sotva potom ten incident Carl Gauss pociťoval vysoký pocit rešpektu voči svojmu školskému učiteľovi matematiky. Ale keby vedel ako nasledovníci toho učiteľa skreslí samotnú podstatu metódy... zareval by rozhorčením a prostredníctvom Svetovej organizácie duševného vlastníctva WIPO dosiahol zákaz používania jeho dobrého mena v školských učebniciach!..

V čom hlavná chyba školského prístupu? Alebo, ako som to povedal, zločin školských učiteľov matematiky na deťoch?

Algoritmus nedorozumenia

Čo robia školskí metodici, z ktorých drvivá väčšina nevie myslieť?

Vytvárajú metódy a algoritmy (pozri). Toto obranná reakcia, ochrana učiteľov pred kritikou („Všetko sa robí v súlade s ...“) a deti pred porozumením. A teda - z túžby kritizovať učiteľov!(Druhý derivát byrokratickej „múdrosti“, vedecký prístup k problému). Človek, ktorý nechápe zmysel, bude viniť skôr svoje nepochopenie, ako hlúposť školského systému.

Toto sa stáva: rodičia obviňujú svoje deti a učitelia... robia to isté pre deti, ktoré „nerozumejú matematike!“

si šikovný?

Čo urobil malý Karl?

Úplne nekonvenčný prístup k vzorovej úlohe. Toto je podstata Jeho prístupu. Toto hlavná vec, ktorá by sa mala v škole učiť, je myslieť nie učebnicami, ale hlavou. Samozrejme je tu aj inštrumentálna zložka, ktorá sa dá použiť... pri hľadaní jednoduchšie a účinných metódúčtov.

Gaussova metóda podľa Vilenkina

V škole učia, že Gaussova metóda je

v pároch nájsť súčet čísel rovnako vzdialených od okrajov číselného radu, určite počnúc od okrajov!

nájsť počet takýchto párov atď.

Čo, ak je počet prvkov série nepárny, ako v probléme, ktorý bol pridelený môjmu synovi?...

"Háčik" je v tomto prípade v sérii by ste mali nájsť „extra“ číslo a pripočítajte ho k súčtu dvojíc. V našom príklade je toto číslo 260.

Ako zistiť? Prepis všetkých dvojíc čísel do zošita!(To je dôvod, prečo učiteľ prinútil deti, aby robili túto hlúpu prácu, keď sa pokúšali učiť „kreatívu“ pomocou Gaussovej metódy... A to je dôvod, prečo je takáto „metóda“ prakticky nepoužiteľná pri veľkých radoch údajov, A preto je nie Gaussova metóda.)

Trocha kreativity v školskej rutine...

Syn konal inak.

Najprv poznamenal, že je jednoduchšie vynásobiť číslo 500, nie 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Potom vypočítal: počet krokov sa ukázal ako nepárny: 500 / 20 = 25.

Potom na začiatok série pridal NULU (hoci bolo možné vyradiť posledný termín série, čo by tiež zabezpečilo paritu) a pridal čísla, čo dáva celkovo 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 krokov je 13 párov „päťsto“: 13 x 500 = 6500..

Ak sme vyradili posledný termín série, tak párov bude 12, no k výsledku výpočtov by sme nemali zabudnúť pripočítať „vyhodenú“ päťstovku. Potom: (12 x 500) + 500 = 6500!

Nie je to ťažké, však?

V praxi je to však ešte jednoduchšie, čo vám umožňuje vyčleniť 2-3 minúty na diaľkové snímanie v ruštine, zatiaľ čo zvyšok sa „počíta“. Okrem toho zachováva počet krokov metódy: 5, čo neumožňuje kritizovať prístup ako nevedecký.

Je zrejmé, že tento prístup je jednoduchší, rýchlejší a univerzálnejší v štýle metódy. Ale... učiteľ nielenže nechválil, ale ma aj prinútil prepísať to „správnym spôsobom“ (pozri screenshot). To znamená, že sa zúfalo pokúsila potlačiť tvorivý impulz a schopnosť porozumieť matematike v koreni! Vraj preto, aby ju neskôr prijali za tútora... Napadla nesprávneho človeka...

Všetko, čo som tak dlho a únavne opísal, sa dá vysvetliť normálnemu dieťaťu maximálne do pol hodiny. Spolu s príkladmi.

A to tak, že na to nikdy nezabudne.

A bude krok k pochopeniu...nielen matematici.

Priznajte sa: koľkokrát v živote ste pridali pomocou Gaussovej metódy? A nikdy som to neurobil!

ale inštinkt porozumenia, ktorá sa rozvíja (alebo zaniká) v procese štúdia matematických metód v škole... Ach!.. Toto je skutočne nenahraditeľná vec!

Najmä v dobe univerzálnej digitalizácie, do ktorej sme pod prísnym vedením strany a vlády potichu vstúpili.

Pár slov na obranu učiteľov...

Je nespravodlivé a nesprávne hádzať všetku zodpovednosť za tento štýl výučby výlučne na učiteľov školy. Systém je v platnosti.

Niektorí učitelia chápu absurdnosť toho, čo sa deje, ale čo robiť? Zákon o vzdelávaní, federálne štátne vzdelávacie štandardy, metódy, plány hodín... Všetko treba robiť „v súlade a na základe“ a všetko zdokumentovať. Odstúpiť - stál v rade na vyhodenie. Nebuďme pokrytci: platy moskovských učiteľov sú veľmi dobré... Ak ťa vyhodia, kam ísť?...

Preto táto stránka nie o vzdelaní. On je o individuálne vzdelávanie iba možný spôsob vystúpiť z davu generácia Z ...

Dnes sa pozrieme na Gaussovu metódu na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc. O tom, aké sú tieto systémy, si môžete prečítať v predchádzajúcom článku venovanom riešeniu rovnakých SLAE pomocou Cramerovej metódy. Gaussova metóda nevyžaduje žiadne špecifické znalosti, potrebujete len pozornosť a dôslednosť. Napriek tomu, že z matematického hľadiska je na jej aplikáciu postačujúca školská príprava, študenti túto metódu často zvládajú len ťažko. V tomto článku sa ich pokúsime zredukovať na nič!

Gaussova metóda

M Gaussova metóda– najuniverzálnejšia metóda riešenia SLAE (s výnimkou veľmi veľkých systémov). Na rozdiel od toho, čo bolo diskutované vyššie, je vhodný nielen pre systémy, ktoré majú jediné riešenie, ale aj pre systémy, ktoré majú nekonečný počet riešení. Tu sú tri možné možnosti.

Systém má jedinečné riešenie (determinant hlavnej matice systému sa nerovná nule);
Systém má nekonečné množstvo riešení;
Neexistujú žiadne riešenia, systém je nekompatibilný.

Máme teda systém (nech má jedno riešenie) a ideme ho riešiť pomocou Gaussovej metódy. Ako to funguje?

Gaussova metóda pozostáva z dvoch etáp – doprednej a inverznej.

Priamy ťah Gaussovej metódy

Najprv si zapíšme rozšírenú maticu systému. Ak to chcete urobiť, pridajte stĺpec voľných členov do hlavnej matice.

Celá podstata Gaussovej metódy je priviesť túto maticu do stupňovitého (alebo, ako sa tiež hovorí, trojuholníkového) tvaru pomocou elementárnych transformácií. V tejto forme by pod (alebo nad) hlavnou uhlopriečkou matice mali byť iba nuly.

Čo môžeš urobiť:

Môžete zmeniť usporiadanie riadkov matice;
Ak sú v matici rovnaké (alebo proporcionálne) riadky, môžete odstrániť všetky okrem jedného;
Reťazec môžete násobiť alebo deliť ľubovoľným číslom (okrem nuly);
Nulové riadky sú odstránené;
K reťazcu môžete pripojiť reťazec vynásobený číslom iným ako nula.

Reverzná Gaussova metóda

Potom, čo takto transformujeme systém, jedna neznáma Xn sa stane známym a vy môžete opačné poradie nájdite všetky zostávajúce neznáme dosadením už známych x do rovníc systému, až po prvé.

Keď je internet vždy po ruke, môžete vyriešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy online. Koeficienty stačí zadať do online kalkulačky. Ale musíte uznať, že je oveľa príjemnejšie uvedomiť si, že príklad nevyriešil počítačový program, ale váš vlastný mozog.

Príklad riešenia sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy

A teraz - príklad, aby bolo všetko jasné a zrozumiteľné. Nech je daný systém lineárnych rovníc a musíte ho vyriešiť pomocou Gaussovej metódy:

Najprv napíšme rozšírenú maticu:

Teraz urobme premeny. Pamätáme si, že potrebujeme dosiahnuť trojuholníkový vzhľad matrice. Vynásobme 1. riadok (3). Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajte 2. riadok k 1. a získajte:

Potom vynásobte 3. riadok (-1). Pridajme 3. riadok k 2.:

Vynásobme 1. riadok (6). Vynásobme 2. riadok (13). Pridajme 2. riadok k 1.:

Voila - systém je uvedený do vhodnej formy. Zostáva nájsť neznáme:

Systém v tomto príklade má jedinečné riešenie. Riešením systémov s nekonečným počtom riešení sa budeme venovať v samostatnom článku. Možno zo začiatku nebudete vedieť, kde začať s transformáciou matrixu, ale po vhodnom precvičení to pochopíte a SLAE rozlúsknete Gaussovou metódou ako orechy. A ak zrazu narazíte na SLAE, ktorý sa ukáže ako príliš tvrdý oriešok, kontaktujte našich autorov! môžete zanechať žiadosť v korešpondenčnom úrade. Spolu vyriešime akýkoľvek problém!