Čo je derivát?
Definícia a význam derivačnej funkcie

Mnohých prekvapí nečakané umiestnenie tohto článku v mojom autorovom kurze o derivácii funkcie jednej premennej a jej aplikáciách. Ostatne, ako už od školy: štandardná učebnica v prvom rade dáva definíciu derivátu, jeho geometrický, mechanický význam. Ďalej študenti nachádzajú derivácie funkcií podľa definície a v skutočnosti až potom zdokonaľujú techniku ​​​​používania diferenciácie derivačné tabuľky.

Ale z môjho pohľadu je pragmatickejší nasledujúci prístup: v prvom rade je vhodné DOBRE ROZUMIEŤ limit funkcie, a najmä nekonečne malé množstvá. Faktom je, že definícia derivátu je založená na koncepte limity, čo sa v školskom kurze zle zohľadňuje. Preto značná časť mladých konzumentov granitu vedomostí nerozumie samotnej podstate derivátu. Ak teda málo rozumiete diferenciálnemu počtu alebo sa múdry mozog úspešne zbavil tejto záťaže počas mnohých rokov, začnite s limity funkcií. Zároveň si osvojte/zapamätajte si ich riešenie.

Rovnaký praktický zmysel diktuje, že je to výhodné ako prvé Naučte sa hľadať deriváty, počítajúc do toho deriváty komplexných funkcií. Teória je teória, ale ako sa hovorí, vždy chcete rozlišovať. V tomto ohľade je lepšie prepracovať sa cez uvedené základné lekcie a možno majster diferenciácie bez toho, aby si uvedomili podstatu svojho konania.

Odporúčam po prečítaní článku začať s materiálmi na tejto stránke. Najjednoduchšie problémy s derivátmi, kde sa uvažuje najmä o probléme dotyčnice ku grafu funkcie. Ale môžete počkať. Faktom je, že mnohé aplikácie derivátu nevyžadujú jeho pochopenie a nie je prekvapujúce, že teoretická lekcia sa objavila dosť neskoro - keď som potreboval vysvetliť zisťovanie zväčšujúcich sa/skracujúcich intervalov a extrémov funkcie. Navyše bol na tému dosť dlho. Funkcie a grafy“, až som sa nakoniec rozhodol dať to skôr.

Preto, milé čajníky, neponáhľajte sa absorbovať esenciu derivátu ako hladné zvieratá, pretože saturácia bude bez chuti a neúplná.

Koncept zvyšovania, znižovania, maxima, minima funkcie

Veľa učebné pomôcky viesť ku konceptu derivácie pomocou niektorých praktických problémov a tiež som prišiel s zaujímavý príklad. Predstavte si, že sa chystáme cestovať do mesta, do ktorého sa dá dostať rôznymi spôsobmi. Okamžite zahoďme zakrivené kľukaté cesty a zvážme iba priame diaľnice. Aj priame smery sú však odlišné: do mesta sa dostanete po rovinatej diaľnici. Alebo po kopcovitej diaľnici – hore-dole, hore-dole. Iná cesta ide len do kopca a iná stále klesá. Extrémni nadšenci si vyberú trasu cez roklinu so strmým útesom a strmým stúpaním.

Nech sú však vaše preferencie akékoľvek, je vhodné oblasť poznať alebo ju aspoň lokalizovať topografická mapa. Čo ak takéto informácie chýbajú? Koniec koncov, môžete si vybrať napríklad hladkú cestu, ale vo výsledku zakopnete o zjazdovku s veselými Fínmi. Nie je pravda, že navigátor alebo dokonca satelitná snímka poskytnú spoľahlivé údaje. Preto by bolo pekné formalizovať reliéf cesty pomocou matematiky.

Pozrime sa na nejakú cestu (pohľad zboku):

Pre každý prípad vám pripomínam základný fakt: cestovanie sa deje zľava doprava. Pre jednoduchosť predpokladáme, že funkcia nepretržitý v posudzovanej oblasti.

Aké vlastnosti má tento graf?

V intervaloch funkciu zvyšuje, teda každá jeho ďalšia hodnota viac predchádzajúci. Zhruba povedané, harmonogram je naplnený zdola nahor(lezieme na kopec). A na intervale funkcia klesá– každá ďalšia hodnota menej predchádzajúci a náš plán je zapnutý zhora nadol(ideme dolu svahom).

Venujme pozornosť aj špeciálnym bodom. V bode, ktorý dosiahneme maximálne, teda existuje taký úsek cesty, kde bude hodnota najväčšia (najvyššia). V rovnakom bode sa to dosiahne minimálne, A existuje jeho okolie, v ktorom je hodnota najmenšia (najnižšia).

V triede sa pozrieme na prísnejšiu terminológiu a definície. o extrémoch funkcie, ale teraz si preštudujme ešte jednu dôležitá vlastnosť: v intervaloch funkcia sa zvyšuje, ale zvyšuje sa pri rôznych rýchlostiach. A prvá vec, ktorá vás upúta, je, že graf počas intervalu stúpa nahor oveľa viac cool, ako na intervale . Je možné zmerať strmosť cesty pomocou matematických nástrojov?

Rýchlosť zmeny funkcie

Myšlienka je takáto: vezmime si nejakú hodnotu (čítaj "delta x"), ktorú zavoláme prírastok argumentov a začnime to „skúšať“. rôzne body naša cesta:

1) Pozrime sa na bod úplne vľavo: po prejdení vzdialenosti stúpame po svahu do výšky (zelená čiara). Množstvo je tzv prírastok funkcie a v tomto prípade je tento prírastok kladný (rozdiel hodnôt pozdĺž osi je väčší ako nula). Vytvorme pomer, ktorý bude meradlom strmosti našej cesty. Je zrejmé, že ide o veľmi špecifické číslo a keďže oba prírastky sú kladné, potom .

Pozor! Označenie sú JEDEN to znamená, že nemôžete „odtrhnúť“ „delta“ od „X“ a zvážiť tieto písmená oddelene. Komentár sa samozrejme týka aj symbolu prírastku funkcie.

Poďme zmysluplnejšie preskúmať povahu výsledného zlomku. Buďme spočiatku vo výške 20 metrov (v ľavom čiernom bode). Po prejdení vzdialenosti metrov (ľavá červená čiara) sa ocitneme v nadmorskej výške 60 metrov. Potom bude prírastok funkcie metrov (zelená čiara) a: . teda na každom metri tento úsek cesty výška sa zvyšuje priemer o 4 metre...zabudli ste si horolezeckú výstroj? =) Inými slovami, zostrojený vzťah charakterizuje PRIEMERNÚ RÝCHLOSŤ ZMENY (v tomto prípade rastu) funkcie.

Poznámka : Číselné hodnoty príslušného príkladu zodpovedajú len približne proporciám výkresu.

2) Teraz poďme v rovnakej vzdialenosti od čierneho bodu úplne vpravo. Tu je vzostup pozvoľnejší, takže prírastok (karmínová čiara) je relatívne malý a pomer v porovnaní s predchádzajúcim prípadom bude veľmi mierny. Relatívne povedané, metrov a rýchlosť rastu funkcie je . To znamená, že tu je každý meter cesty priemer pol metra stúpania.

3) Malé dobrodružstvo na úbočí hôr. Pozrime sa na vrchol čierna bodka, ktorý sa nachádza na zvislej osi. Predpokladajme, že ide o značku 50 metrov. Opäť prekonávame vzdialenosť, v dôsledku čoho sa ocitáme nižšie – na úrovni 30 metrov. Keďže pohyb sa vykonáva zhora nadol(v protismere osi), potom konečná prírastok funkcie (výška) bude záporný: metrov (hnedý segment na výkrese). A v tomto prípade už hovoríme miera poklesu Vlastnosti: , teda s každým metrom dráhy tohto úseku sa výška zmenšuje priemer o 2 metre. Postarajte sa o svoje oblečenie v piatom bode.

Teraz si položme otázku: akú hodnotu „meracieho etalónu“ je najlepšie použiť? Je to úplne pochopiteľné, 10 metrov je veľmi drsných. Bez problémov sa na ne zmestí dobrý tucet humienkov. Bez ohľadu na hrbole, dole môže byť hlboká roklina a po pár metroch je jej druhá strana s ďalším strmým stúpaním. S desaťmetrom teda nedostaneme zrozumiteľný popis takýchto úsekov cesty cez pomer .

Z vyššie uvedenej diskusie vyplýva tento záver: ako menšiu hodnotu , tým presnejšie popisujeme cestnú topografiu. Okrem toho sú pravdivé nasledujúce skutočnosti:

– Pre hocikoho zdvíhacie body môžete vybrať hodnotu (aj keď veľmi malú), ktorá zapadá do hraníc konkrétneho nárastu. To znamená, že príslušný výškový prírastok bude zaručene kladný a nerovnosť bude správne indikovať rast funkcie v každom bode týchto intervalov.

- tak isto, pre akékoľvek bod svahu je hodnota, ktorá sa na tento svah úplne zmestí. Zodpovedajúci nárast výšky je teda jednoznačne záporný a nerovnosť správne ukáže pokles funkcie v každom bode daného intervalu.

– Zvlášť zaujímavý je prípad, keď je rýchlosť zmeny funkcie nulová: . Po prvé, nulový prírastok výšky () je znakom hladkej cesty. A po druhé, existujú ďalšie zaujímavé situácie, ktorých príklady vidíte na obrázku. Predstavte si, že nás osud zavial na samý vrchol kopca so vznášajúcimi sa orlami alebo na dno rokliny s kvákajúcimi žabami. Ak urobíte malý krok ktorýmkoľvek smerom, zmena výšky bude zanedbateľná a môžeme povedať, že rýchlosť zmeny funkcie je v skutočnosti nulová. To je presne ten obraz pozorovaný na bodoch.

Dostali sme sa teda k úžasnej príležitosti dokonale presne charakterizovať rýchlosť zmeny funkcie. Koniec koncov, matematická analýza umožňuje nasmerovať prírastok argumentu na nulu: , to znamená, aby bol nekonečne malý.

V dôsledku toho vzniká ďalšia logická otázka: je možné nájsť cestu a jej harmonogram inú funkciu, ktorý by nám dal vedieť o všetkých rovinatých úsekoch, stúpaniach, klesaniach, vrcholoch, údoliach, ako aj o rýchlosti rastu/poklesu v každom bode cesty?

Čo je derivát? Definícia derivátu.
Geometrický význam derivácie a diferenciálu

Prečítajte si pozorne a nie príliš rýchlo - materiál je jednoduchý a prístupný každému! Nevadí, ak sa vám na niektorých miestach niečo nezdá veľmi jasné, vždy sa môžete k článku vrátiť neskôr. Poviem viac, je užitočné študovať teóriu niekoľkokrát, aby ste dôkladne porozumeli všetkým bodom (rady sú relevantné najmä pre „technických“ študentov, pre ktorých hrá vyššia matematika významnú úlohu vo vzdelávacom procese).

Prirodzene, v samotnej definícii derivátu ho v určitom bode nahradíme:

k čomu sme dospeli? A prišli sme na to, že na funkciu podľa zákona sa dáva do súladu inú funkciu, ktorá sa volá derivačná funkcia(alebo jednoducho derivát).

Derivát charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie Ako? Myšlienka sa tiahne ako červená niť už od začiatku článku. Uvažujme o nejakom bode doména definície funkcie Nech je funkcia v danom bode diferencovateľná. potom:

1) Ak , potom sa funkcia zvýši v bode . A očividne existuje interval(aj veľmi malý), obsahujúci bod, v ktorom funkcia rastie a jej graf ide „zdola nahor“.

2) Ak , potom funkcia klesá v bode . A existuje interval obsahujúci bod, v ktorom funkcia klesá (graf ide „zhora nadol“).

3) Ak , tak nekonečne blízko v blízkosti bodu funkcia udržiava konštantnú rýchlosť. To sa deje, ako bolo uvedené, s konštantnou funkciou a v kritických bodoch funkcie, najmä na minimálny a maximálny počet bodov.

Trochu sémantiky. Čo znamená sloveso „rozlišovať“ v širšom zmysle? Odlíšiť znamená zvýrazniť vlastnosť. Diferencovaním funkcie „izolujeme“ rýchlosť jej zmeny vo forme derivácie funkcie. Čo, mimochodom, znamená slovo „derivát“? Funkcia Stalo z funkcie.

Termíny sú veľmi úspešne interpretované mechanickým významom derivátu :
Uvažujme zákon zmeny súradníc telesa v závislosti od času a funkcie rýchlosti pohybu daného telesa. Funkcia charakterizuje rýchlosť zmeny súradníc telesa, preto je prvou deriváciou funkcie vzhľadom na čas: . Ak by pojem „pohyb tela“ v prírode neexistoval, neexistoval by derivát pojem „rýchlosť tela“.

Zrýchlenie telesa je rýchlosť zmeny rýchlosti, preto: . Ak by v prírode neexistovali pôvodné pojmy „pohyb tela“ a „rýchlosť tela“, potom by neexistovali derivát pojem „zrýchlenie tela“.

V rovine súradníc xOy zvážte graf funkcie y=f(x). Opravme pointu M(x 0; f (x 0)). Pridajme úsečku x 0 prírastok Δх. Dostaneme novú úsečku x 0 +Δx. Toto je úsečka bodu N a ordináta bude rovnaká f (x 0 + Δx). Zmena na vodorovnej ose znamenala zmenu zvislej osi. Táto zmena sa nazýva prírastok funkcie a označuje sa Δy.

Ay=f (x 0 + Ax) - f (x 0). Cez bodky M A N nakreslíme sečnicu MN, ktorý tvorí uhol φ s kladným smerom osi Oh. Určme tangens uhla φ od správny trojuholník MPN.

Nechaj Δх má tendenciu k nule. Potom sekta MN bude mať tendenciu zaujať tangenciálnu polohu MT a uhol φ stane sa uhlom α . Takže tangens uhla α je hraničná hodnota dotyčnice uhla φ :

Limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule, sa nazýva derivácia funkcie v danom bode:

Geometrický význam derivát spočíva v tom, že numerická derivácia funkcie v danom bode sa rovná dotyčnici uhla, ktorú zviera dotyčnica vedená cez tento bod k danej krivke a kladnému smeru osi. Oh:

Príklady.

1. Nájdite prírastok argumentu a prírastok funkcie y= x 2, Ak pôvodná hodnota argument bol rovnaký 4 a nové - 4,01 .

Riešenie.

Nová hodnota argumentu x=x 0 +Δx. Dosadíme údaje: 4,01=4+Δх, teda prírastok argumentu Δх= 4,01-4 = 0,01. Prírastok funkcie sa podľa definície rovná rozdielu medzi novou a predchádzajúcou hodnotou funkcie, t.j. Ay=f (x 0 + Ax) - f (x 0). Keďže máme funkciu y=x2, To Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

odpoveď: prírastok argumentov Δх=0,01; prírastok funkcie Δу=0,0801.

Prírastok funkcie možno nájsť inak: Δy=y(x0+Ax)-y(x0)=y(4,01)-y(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.

2. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x) v bode x 0, Ak f "(x 0) = 1.

Riešenie.

Hodnota derivátu v bode dotyku x 0 a je hodnotou tangensu tangens uhla (geometrický význam derivácie). Máme: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, pretože tg45°=1.

odpoveď: dotyčnica ku grafu tejto funkcie zviera s kladným smerom osi Ox uhol rovný 45°.

3. Odvoďte vzorec pre deriváciu funkcie y=xn.

Diferenciácia je činnosť hľadania derivácie funkcie.

Pri hľadaní derivátov použite vzorce, ktoré boli odvodené na základe definície derivátu, rovnakým spôsobom, ako sme odvodili vzorec pre stupeň derivátu: (x n)" = nx n-1.

Toto sú vzorce.

Tabuľka derivátov Bude ľahšie zapamätať si vyslovovaním verbálnych formulácií:

1. Derivácia konštantnej veličiny je nulová.

2. X prvočíslo sa rovná jednej.

3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie.

4. Derivácia stupňa sa rovná súčinu exponentu tohto stupňa o stupeň s rovnakým základom, ale exponent je o jeden menší.

5. Derivácia koreňa sa rovná jednej delenej dvoma rovnakými koreňmi.

6. Derivácia jedna delená x sa rovná mínus jedna delená x na druhú.

7. Derivácia sínusu sa rovná kosínusu.

8. Derivácia kosínusu sa rovná mínus sínusu.

9. Derivácia dotyčnice sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu.

10. Derivácia kotangensu sa rovná mínus jednej delenej druhou mocninou sínusu.

učíme pravidlá diferenciácie.

1. Derivácia algebraického súčtu sa rovná algebraickému súčtu derivátov členov.

2. Derivát súčinu sa rovná súčinu derivátu prvého a druhého faktora plus súčinu prvého faktora a derivátu druhého.

3. Derivácia „y“ delená „ve“ sa rovná zlomku, v ktorom je čitateľ „y prvočíslo vynásobené „ve“ mínus „y vynásobené prvočíslom ve“ a menovateľ je „ve na druhú“.

4. Špeciálny prípad vzorca 3.

Poďme sa spolu učiť!

Strana 1 z 1 1

Keď človek urobí prvé samostatné kroky pri štúdiu matematickej analýzy a začne si klásť nepríjemné otázky, už nie je také ľahké zbaviť sa vety, že „diferenciálny počet sa našiel v kapuste“. Preto nastal čas rozhodnúť sa a odhaliť tajomstvo pôrodu tabuľky derivátov a pravidlá diferenciácie. Začalo v článku o význame derivátu, ktorý vrelo odporúčam naštudovať, lebo tam sme si len pozreli pojem derivácia a začali sme klikať na problémy k téme. Tá istá lekcia má výrazné praktické zameranie, navyše,

nižšie rozoberané príklady možno v zásade zvládnuť čisto formálne (napríklad, keď nie je čas/túžba ponoriť sa do podstaty derivátu). Je tiež veľmi žiaduce (ale opäť nie nevyhnutné) vedieť nájsť deriváty „obyčajnou“ metódou - aspoň na úrovni dvoch základných lekcií: Ako nájsť derivát a derivát? komplexná funkcia.

Ale je tu jedna vec, bez ktorej sa teraz určite nezaobídeme, je to limity funkcií. Musíte ROZUMIEŤ, čo je to limit, a vedieť ich vyriešiť aspoň na strednej úrovni. A to všetko kvôli derivátu

funkcia v bode je určená vzorcom:

Dovoľte mi pripomenúť vám označenia a výrazy: volajú prírastok argumentov;

– prírastok funkcie;

– ide o JEDINÉ symboly („delta“ sa nedá „odtrhnúť“ od „X“ alebo „Y“).

Je zrejmé, že to, čo je „dynamická“ premenná, je konštanta a je výsledkom výpočtu limitu – číslo (niekedy - „plus“ alebo „mínus“ nekonečno).

Ako bod, môžete zvážiť akúkoľvek hodnotu, ktorá patrí doména definície funkcia, v ktorej existuje derivácia.

Poznámka: klauzula „v ktorej derivát existuje“ je vo všeobecnosti je to významné! Takže napríklad, hoci bod je zahrnutý v obore definície funkcie, jej derivácie

tam neexistuje. Preto vzorec

v danom momente nepoužiteľné

a skrátená formulácia bez výhrady by bola nesprávna. Podobné skutočnosti platia aj pre ostatné funkcie s „prerušeniami“ v grafe, najmä pre arksínus a arkozínus.

Po nahradení teda dostaneme druhý pracovný vzorec:

Dávajte pozor na zákernú okolnosť, ktorá môže čajník zmiasť: v tomto limite hrá „x“, ktoré je samo osebe nezávislou premennou, úlohu štatistiky a „dynamika“ je opäť určená prírastkom. Výsledok výpočtu limitu

je derivačná funkcia.

Na základe vyššie uvedeného formulujeme podmienky dvoch typických problémov:

- Nájsť derivácia v bode pomocou definície derivátu.

- Nájsť derivačná funkcia pomocou definície derivátu. Táto verzia je podľa mojich pozorovaní oveľa bežnejšia a bude sa jej venovať hlavná pozornosť.

Zásadný rozdiel medzi úlohami je v tom, že v prvom prípade musíte nájsť číslo (voliteľne nekonečno) a v druhom -

funkciu Okrem toho derivát nemusí vôbec existovať.

ako?

Vytvorte pomer a vypočítajte limit.

odkiaľ to prišlo? tabuľky derivátov a pravidiel diferenciácie ? Vďaka jedinému limitu

Vyzerá to ako mágia, ale

v skutočnosti - podvod a žiadny podvod. Na lekcii Čo je derivát? Začal som sa pozerať konkrétne príklady, kde som pomocou definície našiel derivácie lineárnych a kvadratickej funkcie. Za účelom kognitívnej rozcvičky budeme ďalej rušiť tabuľku derivátov, zdokonaľovanie algoritmu a technických riešení:

V podstate musíte dokázať špeciálny prípad derivácie mocninnej funkcie, ktorý sa zvyčajne vyskytuje v tabuľke: .

Riešenie je technicky formalizované dvoma spôsobmi. Začnime prvým, už známym prístupom: rebrík začína doskou a derivačná funkcia začína deriváciou v bode.

Zvážte nejaký (konkrétny) bod, ktorý patrí doména definície funkcia, v ktorej je derivácia. V tomto bode nastavíme prírastok (samozrejme, nejdem ďalej o/o -ya) a zostavte zodpovedajúci prírastok funkcie:

Vypočítajme limit:

Neistota 0:0 je eliminovaná štandardnou technikou, uvažovanou už v prvom storočí pred naším letopočtom. Poďme sa množiť

čitateľ a menovateľ pre konjugovanú expresiu :

Technika riešenia takéhoto limitu je podrobne rozobratá v úvodnej lekcii. o limitoch funkcií.

Keďže si môžete vybrať AKÝKOĽVEK bod intervalu ako

Potom po vykonaní výmeny dostaneme:

Ešte raz sa radujme z logaritmov:

Nájdite deriváciu funkcie pomocou definície derivácie

Riešenie: Uvažujme o inom prístupe k podpore tej istej úlohy. Je úplne rovnaký, no dizajnovo racionálnejší. Cieľom je zbaviť sa

dolný index a namiesto písmena použite písmeno.

Zvážte ľubovoľný bod patriaci do doména definície funkciu (interval) a nastavte v nej prírastok. Ale tu, mimochodom, ako vo väčšine prípadov, môžete urobiť bez akýchkoľvek výhrad, pretože logaritmická funkcia je diferencovateľná v akomkoľvek bode v oblasti definície.

Potom je zodpovedajúci prírastok funkcie:

Poďme nájsť derivát:

Jednoduchosť dizajnu je vyvážená zmätkom, ktorý môže

vyskytujú medzi začiatočníkmi (nielen). Koniec koncov, sme zvyknutí, že písmeno „X“ sa v limite mení! Ale tu je všetko inak: - starožitná socha a - živý návštevník, svižne kráčajúci po chodbe múzea. To znamená, že „x“ je „ako konštanta“.

K odstraňovaniu neistoty sa vyjadrím krok za krokom:

(1) Použitie vlastnosti logaritmu.

(2) V zátvorke vydeľte čitateľa menovateľom člen po člen.

(3) V menovateli umelo násobíme a delíme „x“, takže

využite úžasný limit , zatiaľ čo ako nekonečne malý vyčnieva.

Odpoveď: podľa definície derivátu:

Alebo v skratke:

Navrhujem, aby ste si sami vytvorili dva ďalšie vzorce tabuľky:

Nájdite derivát podľa definície

V tomto prípade je vhodné okamžite zredukovať zostavený prírastok na spoločného menovateľa. Približná vzorka dokončenie zadania na konci hodiny (prvá metóda).

Nájdite derivát podľa definície

A tu treba všetko zredukovať na pozoruhodnú hranicu. Riešenie je formalizované druhým spôsobom.

Množstvo ďalších tabuľkové deriváty. Úplný zoznam nájdete v školskej učebnici, alebo napríklad v 1. diele Fichtenholtza. Nevidím veľký zmysel kopírovať dôkazy o pravidlách diferenciácie z kníh – tie sa tiež generujú

vzorec

Prejdime k skutočným úlohám: Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie pomocou definície derivátu

Riešenie: použite prvý štýl dizajnu. Uvažujme o nejakom bode, ktorý k nemu patrí, a nastavme mu prírastok argumentu. Potom zodpovedajúci prírastok funkcie:

Možno niektorí čitatelia ešte úplne nepochopili princíp, podľa ktorého je potrebné robiť prírastky. Vezmite bod (číslo) a nájdite v ňom hodnotu funkcie: , teda do funkcie

namiesto "X" by ste mali nahradiť. Teraz si to zoberme

Kompilovaný prírastok funkcie Okamžité zjednodušenie môže byť prospešné. Prečo? Uľahčiť a skrátiť riešenie na ďalší limit.

Používame vzorce, otvárame zátvorky a znižujeme všetko, čo sa dá znížiť:

Morka je vypitvaná, žiadny problém s pečením:

Nakoniec:

Keďže si ako hodnotu môžeme vybrať akékoľvek reálne číslo, vykonáme náhradu a dostaneme .

odpoveď: a-priorstvo.

Na účely overenia nájdime derivát pomocou pravidiel

diferenciácie a tabuľky:

Vždy je užitočné a príjemné poznať správnu odpoveď vopred, preto je lepšie navrhnutú funkciu „rýchlo“ či už mentálne alebo v náčrte hneď na začiatku riešenia odlíšiť.

Nájdite deriváciu funkcie podľa definície derivácie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Výsledok je zrejmý:

Vráťme sa k štýlu #2: Príklad 7

Poďme okamžite zistiť, čo by sa malo stať. Autor: pravidlo diferenciácie komplexných funkcií:

Riešenie: zvážte ľubovoľný bod, ktorý patrí, nastavte naň prírastok argumentu a vytvorte prírastok

Poďme nájsť derivát:

(1) Používame trigonometrický vzorec

(2) Pod sínusom otvárame zátvorky, pod kosínusom uvádzame podobné pojmy.

(3) Pod sínusom rušíme členy, pod kosínusom delíme čitateľa menovateľom člen podľa člena.

(4) Kvôli zvláštnosti sínusu vyberáme „mínus“. Pod kosínusom

uvádzame, že termín .

(5) Umelé násobenie vykonávame v menovateli s cieľom použiť najprv úžasná hranica . Neistota je teda eliminovaná, urobme poriadok vo výsledku.

Odpoveď: podľa definície Ako vidíte, hlavná zložitosť uvažovaného problému spočíva na

zložitosť samotnej limitky + mierna originalita balenia. V praxi sa vyskytujú oba spôsoby navrhovania, preto oba prístupy popisujem čo najpodrobnejšie. Sú ekvivalentné, ale podľa môjho subjektívneho dojmu je pre figuríny vhodnejšie držať sa možnosti 1 s „X-nula“.

Pomocou definície nájdite deriváciu funkcie

Toto je úloha, ktorú musíte vyriešiť sami. Vzorka je navrhnutá v rovnakom duchu ako predchádzajúci príklad.

Pozrime sa na zriedkavejšiu verziu problému:

Nájdite deriváciu funkcie v bode pomocou definície derivácie.

Po prvé, aký by mal byť základ? Číslo Vypočítajme odpoveď štandardným spôsobom:

Riešenie: z hľadiska prehľadnosti je táto úloha oveľa jednoduchšia, pretože vo vzorci namiesto

berie sa do úvahy konkrétna hodnota.

Nastavíme prírastok v bode a zostavíme zodpovedajúci prírastok funkcie:

Vypočítajme deriváciu v bode:

Používame veľmi zriedkavý vzorec tangens rozdielu a ešte raz zredukujeme riešenie na prvé

pozoruhodný limit:

Odpoveď: podľa definície derivácie v bode.

Problém nie je tak ťažké vyriešiť a „v všeobecný pohľad“- stačí vymeniť klinec alebo jednoducho v závislosti od metódy návrhu. V tomto prípade je jasné, že výsledkom nebude číslo, ale odvodená funkcia.

Príklad 10 Pomocou definície nájdite deriváciu funkcie v bode

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Záverečná bonusová úloha je určená predovšetkým študentom s hĺbkovým štúdiom matematickej analýzy, no neublíži ani nikomu inému:

Bude funkcia diferencovateľná? v bode?

Riešenie: Je zrejmé, že po častiach daná funkcia je spojitá v bode, ale bude tam diferencovateľná?

Algoritmus riešenia, a to nielen pre po častiach, je nasledujúci:

1) Nájdite ľavú deriváciu v danom bode: .

2) Nájdite pravú deriváciu v danom bode: .

3) Ak sú jednostranné derivácie konečné a zhodné:

, potom je funkcia v bode diferencovateľná

geometricky je tu spoločná dotyčnica (pozri teoretickú časť lekcie Definícia a význam derivátu).

Ak sú prijaté dve rôzne významy: (jeden z nich sa môže ukázať ako nekonečný), potom funkcia nie je v bode diferencovateľná.

Ak sa obe jednostranné derivácie rovnajú nekonečnu

(aj keď majú rôzne znamienka), tak funkcia nie je

je diferencovateľný v bode, ale existuje nekonečná derivácia a spoločná vertikálna dotyčnica ku grafu (pozri príklad lekcie 5Normálna rovnica) .

Riešenie fyzikálnych úloh alebo príkladov v matematike je úplne nemožné bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších pojmov v matematickej analýze. Dnešný článok sme sa rozhodli venovať tejto zásadnej téme. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , špecifikované v určitom intervale (a, b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel v jeho hodnotách x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký má zmysel nájsť takúto hranicu? Tu je to, čo to je:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzikálny význam derivátu: derivácia dráhy vzhľadom na čas sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

V skutočnosti už od školských čias každý vie, že rýchlosť je osobitná cesta x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v danom okamihu t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo jedna: nastavte konštantu

Konštantu možno vyňať z derivačného znamienka. Okrem toho sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike to berte ako pravidlo - Ak môžete zjednodušiť výraz, určite ho zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Tu je dôležité hovoriť o výpočte derivátov komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument a derivácie stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok ku piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv vypočítame deriváciu vonkajšej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie podielu dvoch funkcií:

Snažili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte varovaní: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akýmikoľvek otázkami na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. vzadu krátkodobý Pomôžeme vám vyriešiť tie najťažšie testy a vyriešiť problémy, aj keď ste ešte nikdy nerobili derivačné výpočty.

Pri riešení rôznych problémov geometrie, mechaniky, fyziky a iných oblastí vedomostí vznikla potreba použiť rovnaký analytický proces z tejto funkcie y=f(x) prijímať Nová funkcia ktorá sa volá derivačná funkcia(alebo jednoducho derivácia) danej funkcie f(x) a je označený symbolom

Proces, ktorým z danej funkcie f(x) získať novú funkciu f" (x), volal diferenciácie a pozostáva z nasledujúcich troch krokov: 1) uveďte argument X prírastok  X a určiť zodpovedajúci prírastok funkcie  y = f(x+ x) -f(x); 2) vytvoriť vzťah

3) počítanie X konštantný a  X0, nájdeme
, ktoré označujeme f" (x), akoby zdôrazňoval, že výsledná funkcia závisí len od hodnoty X, pri ktorej ideme na doraz. Definícia: Derivát y " =f " (x) daná funkcia y=f(x) pre dané x sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu za predpokladu, že prírastok argumentu smeruje k nule, ak samozrejme táto limita existuje, t.j. konečný. teda
, alebo

Všimnite si, že ak pre nejakú hodnotu X, napríklad keď x=a, postoj
pri  X0 nesmeruje ku konečnej limite, potom v tomto prípade hovoria, že funkcia f(x) pri x=a(alebo v bode x=a) nemá žiadnu deriváciu alebo nie je v bode diferencovateľná x=a.

2. Geometrický význam derivácie.

Uvažujme graf funkcie y = f (x), diferencovateľnej v blízkosti bodu x 0

f(x)

Uvažujme ľubovoľnú priamku prechádzajúcu bodom na grafe funkcie - bod A(x 0, f (x 0)) a pretínajúci graf v nejakom bode B(x;f(x)). Takáto čiara (AB) sa nazýva sečna. Z ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; BC = ∆у; tgβ=∆y/∆x.

Od AC || Ox, potom ALO = BAC = β (ako zodpovedá paralelu). Ale ALO je uhol sklonu sečnice AB ku kladnému smeru osi Ox. To znamená, že tanβ = k je uhlový koeficient priamky AB.

Teraz znížime ∆х, t.j. ∆х→ 0. V tomto prípade sa bod B priblíži k bodu A podľa grafu a sečna AB sa bude otáčať. Limitnou polohou sečnice AB pri ∆x→ 0 bude priamka (a), nazývaná dotyčnica ku grafu funkcie y = f (x) v bode A.

Ak prejdeme na limitu ako ∆x → 0 v rovnosti tgβ =∆y/∆x, dostaneme
ortg =f "(x 0), keďže
-uhol sklonu dotyčnice ku kladnému smeru osi Ox
, podľa definície derivátu. Ale tg = k je uhlový koeficient dotyčnice, čo znamená k = tg = f "(x 0).

Takže geometrický význam derivátu je nasledujúci:

Derivácia funkcie v bode x 0 rovná sklonu dotyčnice ku grafu funkcie nakreslenej v bode s os x 0 .

3. Fyzikálny význam derivátu.

Zvážte pohyb bodu pozdĺž priamky. Nech je daná súradnica bodu v ľubovoľnom čase x(t). Je známe (z kurzu fyziky), že priemerná rýchlosť za určité časové obdobie sa rovná pomeru prejdenej vzdialenosti za toto časové obdobie k času, t.j.

Vav = ∆x/∆t. Poďme na limitu v poslednej rovnosti ako ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - okamžitá rýchlosť v čase t 0, ∆t → 0.

a lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (podľa definície derivátu).

Takže (t) =x"(t).

Fyzikálny význam derivácie je nasledovný: derivácia funkcier = f(X) v bodeX 0 je rýchlosť zmeny funkcief(x) v bodeX 0

Derivácia sa používa vo fyzike na nájdenie rýchlosti zo známej funkcie súradníc v závislosti od času, zrýchlenia zo známej funkcie rýchlosti v závislosti od času.

(t) = x"(t) - rýchlosť,

a(f) = "(t) - zrýchlenie, príp

Ak je známy zákon pohybu hmotného bodu v kruhu, potom je možné nájsť uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie počas rotačného pohybu:

φ = φ(t) - zmena uhla v čase,

ω = φ"(t) - uhlová rýchlosť,

ε = φ"(t) - uhlové zrýchlenie, alebo ε = φ"(t).

Ak je známy zákon o rozdelení hmoty nehomogénnej tyče, potom možno nájsť lineárnu hustotu nehomogénnej tyče:

m = m(x) - hmotnosť,

x  , l - dĺžka tyče,

p = m"(x) - lineárna hustota.

Pomocou derivácie sa riešia problémy z teórie pružnosti a harmonických kmitov. Teda podľa Hookovho zákona

F = -kx, x – premenná súradnica, k – koeficient pružnosti pružiny. Ak dáme ω 2 =k/m, dostaneme diferenciálnu rovnicu pružinového kyvadla x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

kde ω = √k/√m frekvencia kmitov (l/c), k - tuhosť pružiny (H/m).

Rovnica v tvare y" + ω 2 y = 0 sa nazýva rovnica harmonických kmitov (mechanických, elektrických, elektromagnetických). Riešením takýchto rovníc je funkcia

y = Asin(ωt + φ 0) alebo y = Acos(ωt + φ 0), kde

A - amplitúda kmitov, ω - cyklická frekvencia,

φ 0 - počiatočná fáza.