Valódi verziószám: 337

A vizsgadolgozat két részből áll, köztük 19 feladatot. Az 1. rész 8 rövid válaszfeladatot tartalmaz alapszint nehézségek. A 2. rész 4 feladatot tartalmaz rövid válaszokkal haladó szint komplexitás és 7 feladat részletes válaszokkal, fokozott és magas szintű összetettséggel.
A matematika vizsgadolgozat elkészítésére 3 óra 55 perc (235 perc) áll rendelkezésre.
Az 1-12. feladatok válaszait az alábbi minta szerint egész számként vagy tizedes törtként írjuk. Írja be a számokat a munka szövegébe a válaszmezőkbe, majd vigye át az 1. számú válaszlapra.

A 13–19. feladatok teljesítésekor a 2. számú válaszlapra kötelező a teljes megoldást és a választ leírni.
Minden USE űrlapot élénk fekete tintával töltenek ki. Gél, kapilláris vagy töltőtoll használata megengedett.
A feladatok elkészítésekor használhat vázlatot. A pályaművek nem számítanak bele a munka értékelésébe. Az elvégzett feladatokért kapott pontok összegzésre kerülnek.
Igyekezzen minél több feladatot teljesíteni, és pontozzon a legnagyobb számban pontokat.
Sok sikert kívánunk!

A probléma körülményei

Válasz a feladatokra 1 – 12 egész vagy véges szám decimális. Írja be a számot a munka szövegébe a válasz mezőbe, majd vigye át a VÁLASZLAP sz. 1 a számtól jobbra megfelelő feladat, az első cellával kezdve. Minden számjegy ennek megfelelően írja be a mínuszjelet és egy vesszőt külön négyzetbe az űrlapon megadott mintákkal. Írjon mértékegységeket nincs szükség.

1. Iskolában Francia 102 diák tanul, ami az iskola összes tanulójának 30%-a. Hány diák van az iskolában?
2. Az autóban lévő fűtés teljesítményét egy további ellenállás szabályozza. Ez megváltoztatja az áramerősséget az elektromos motor elektromos áramkörében: minél kisebb az ellenállás, annál nagyobb az áramerősség, és annál gyorsabban forog a fűtőmotor. A grafikon az áramerősség ellenállásértéktől való függését mutatja. Az ellenállás ohmban van jelölve a vízszintes tengelyen. függőleges tengely- áramerősség amperben.
   Határozza meg a grafikonon, hogy hány ohmmal nőtt az áramkör ellenállása, amikor az áramerősség 12 amperről 4 amperre csökkent.
   
3. Egy kockás papíron háromszöget ábrázolunk, amelynek cellamérete 1 × 1 ABC. Keresse meg az oldalt tartalmazó egyeneshez húzott magasságának hosszát! AB.
4. 300 ember van egy turistacsoportban. Helikopterrel szállítják egy távoli területre, járatonként 15 embert szállítanak. A helikopter turistákat szállító sorrendje véletlenszerű. Határozza meg annak valószínűségét, hogy B. turista felszáll az első helikopterre.
5. Keresse meg az egyenlet gyökerét
6. Párhuzamos terület ABCD egyenlő 28. Pont E- középső oldal HIRDETÉS. Keresse meg a trapéz területét BCDE.
7. Az ábrán egy grafikon látható - egy függvény deriváltja. Az x tengelyen hét pont van megjelölve: . Hány pont tartozik ezek közül a csökkenő függvény intervallumaihoz?
   
8. Egy 18 térfogatú henger egy gömb közelében van körülírva. Határozza meg a gömb térfogatát.
   
   2. rész
9. Keresse meg egy kifejezés értékét
10. www.weboldal A batiszkáf lokátora függőlegesen lefelé egyenletesen süllyedve 185 MHz-es ultrahangimpulzusokat bocsát ki. A batiszkaf merülési sebességét (m/s-ban) a képlettel számítjuk ki, ahol m/s a hangsebesség vízben; - a kibocsátott impulzusok frekvenciája (MHz-ben); - a vevő által rögzített alulról visszavert jel frekvenciája (MHz-ben). Határozza meg a visszavert jel frekvenciáját (MHz-ben), ha a batiszkaf 20 m/s sebességgel süllyed!
11. A hajó 10:00-kor hagyta el a folyót A pontból B pontba, amely 35 km-re található A-tól. Miután 4 órán át a B pontban tartózkodott, a hajó elindult.
    vissza, és ugyanazon a napon 18:00-kor visszatért az A pontba. Határozzuk meg a csónak saját sebességét (km/h-ban), ha tudjuk, hogy a folyó sebessége 3 km/h.
12. Keresse meg a függvény maximális pontját
13. a) Oldja meg az egyenletet!
    b) Keresse meg ennek az egyenletnek a szegmenshez tartozó összes gyökerét!
14. Négyszögletű piramis alapja SABCD egy téglalap ABCD, ráadásul AB= , időszámításunk előtt= 4. A gúla magasságának alapja a téglalap középpontja. A csúcsokról Aés C leeresztett merőlegesek APés CQ a szélén SB.
    a) Bizonyítsd be P- a szegmens közepe BQ.
    b) Határozza meg a lapok közötti szöget! SBAés SBC, ha SD= 4.
15. Oldja meg az egyenlőtlenséget
16. www.site Trapézban ABCD sarok rossz egyenes. Nagyobb alapra épített kör HIRDETÉS mint az átmérőnél, kisebb alapot metszi időszámításunk előtt pontokon Cés M.
    a) Bizonyítsuk be, hogy ∠ BAM = ∠CAD.
    b) Trapéz átlói ABCD pontban metszik egymást O. Keresse meg egy háromszög területét AOB, ha AB= , és BC=2BM.
17. 2020 júliusában a tervek szerint bizonyos összegig hitelt vesznek fel egy banktól.
    Visszaküldésének feltételei a következők:
    - minden januárban 25%-kal nő az adósság az előző év végéhez képest;
    - minden év februárjától júniusig a tartozás egy részét egy fizetésben kell megfizetni.
    Hány rubelt fizetnek a banknak, ha ismert, hogy a kölcsönt három egyenlő részletben (azaz három év alatt) teljes mértékben visszafizetik, és a kölcsön teljes visszafizetése után a kifizetések teljes összege 104 800 rubel több, mint az összeg hitelre felvett?
18. Keresse meg az összes értéket, amelyek mindegyikéhez az egyenletnek pontosan egy gyöke van az intervallumon.
19. 100 különböző dolog van felírva a táblára. természetes számok, melynek összege 5120.
    a) Kiderülhet, hogy a táblára a 230-as szám van írva?
    b) Lehetséges, hogy a 14-es szám nincs a táblán?
    c) Hányszor lehet a táblán a legkisebb számú 14 többszöröse?

Az egységes államvizsga letétele nemcsak az általános középfokú oktatás végén kötelező, hanem az egyetemi felvételi vizsgák része is. Azok az iskolások, akik úgy döntenek, hogy matematikai vagy technikai elfogultsággal jelentkeznek szakterületre, nemcsak a matematika alapszintjét érik el, hanem a profilszintet is. Vegye figyelembe a jellemzőit, az időzítést és az ellenőrzést, valamint az eredményekhez kapcsolódó néhány pontot.

Rendelés a vizsga lebonyolítása 273. számú szövetségi törvény „Az oktatásról Orosz Föderáció».

Mikor lesznek meg a vizsgaeredmények?

A hivatalos menetrend határozta meg az átadást HASZNÁLAT a matematikában 2018 profilirányítás június 1-jén, pénteken. Mint tartalék nap a dátum kiemelve van a fő hurokban június 25, július 2-a pedig szabadnap marad az összes tétel kiszállítására.

Elválasztás matematika vizsga szinten történt tavaly. Különböznek számos okból:

• Értékelési rendszer. A tantárgy alapismereti szintjét ötfokú skálán értékelik (minimum 3 pont). A profil tantárgy értékelését 100 pontos skálán értékelik;
• A következő különbség az alap- és profilszintű vizsgák felvételében van a felvételért oktatási intézményekben felső és középső szakmai szint. Tehát az alapszint elég főiskolákra, iskolákra, bölcsészeti egyetemekre. A matematika jelenléte a műszaki szakterületek felvételi vizsgáin megköveteli a jelentkezőtől, hogy teljesítse a profilszintet;
• Különbözik vizsgaszerkezetek. Az alap 20 feladatból áll, rövid válaszokkal. A profilvizsga sokkal nehezebb és 2 részből áll.

Az USE rendszer lehetővé teszi, hogy az iskolát végzettek korlátlanul felvegyék a tárgy alap- és profilrészét. Ez jelentősen megnöveli az egyetemre kerülés esélyeit.

A vizsga eredményeinek feldolgozása meghatározott időkerettel és sorrenddel rendelkezik:

• Űrlapok szkennelése és feldolgozása a régiókban - legfeljebb 4 nap;
• Az eredmények feldolgozása szövetségi szinten - legfeljebb 7 napig;
• Eredmények küldése a régióknak - 1 nap;
• Az eredmények megerősítése az állami vizsgabizottság által - legfeljebb 1 nap;
• Eredményhirdetés - 1 nap.

Így az eredmények ellenőrzésének és közzétételének időtartama legfeljebb 2 hét. Az USE 2018 matematika profilszintű eredményei legkésőbb június 17-én lesznek ismertek.

Honnan lehet tudni az eredményt?

Ismerje meg az utolsó vizsga eredményeit többféleképpen is megtehető:

• Az egységes államvizsga hivatalos portálja: www.ege.edu.ru;
• Az iskolák vagy más intézmények információs standjainál, ahol a vizsgát tartották;
• A regionális osztályokon vagy oktatási bizottságokban;
• Számos régió hoz létre speciális webhelyeket vagy forródrótokat.

Ellenőrizze az eredményt elérhető, ha elérhető:

• az alany teljes neve;
• a személyazonossági vizsgálat során használt útlevél vagy egyéb okmány száma;
• A vizsgán minden résztvevőhöz hozzárendelt azonosító kód.

A vizsga eredményeivel kapcsolatos információk ingyenesek, és a USE résztvevői és szüleik számára ingyenes.

Előzetes HASZNÁLAT vizsga matematikából

Számos iskolás teljesítette már a USE-t matematikából az ún korai időszak. A részvétel abban az esetben engedélyezett, ha a tanuló nem tud részt venni a főszakaszban. Az okok a következők lehetnek:

• Tervezett kezelés;
• Pihenés egészségjavító létesítményekben;
• Versenyeken, olimpián és egyéb oktatási vagy kreatív rendezvényeken való részvétel.

2017-ben megtörtént a matematika korai leadása március 31-én és április 14-én(tartaléknap). Az alapszintet 4,8 ezer, a szakosokat pedig mintegy 17 ezer iskolás tette át.

A tervek szerint a korai USE in matematika 2017 eredményeinek április 11-én kellett volna megjelenniük, de jóval korábban - 7-én - hozták nyilvánosságra.

Hol nézheti meg munkáit

Munkáját a sikeres vizsga után tekintheti meg elektronikus formában. Szkennelése elérhető a következő címen: személyes fiók a USE portálon. A hozzáférést akkor adják ki, ha:

• Az egységes államvizsga résztvevőjének azonosító kódjának megléte;
• Teljes név és útlevélszám.

Ha az eredményhirdetést követően a résztvevő nem ért egyet a kapott pontokkal, akkor igen 2 nap a fellebbezés benyújtására a vizsgálóbizottsághoz. A pályázatot 2 példányban írják ki, és elbírálás céljából benyújtják a bizottsághoz. Június 5-ig újra áttekintik a problémák megoldásait, és döntés születik az értékelés megváltoztatásáról vagy megerősítéséről.

Hogyan történik a vizsga minősítése? Az eredmények értékelésére szolgáló USE rendszer elsődleges és tesztpontszámokat, valamint egy speciális skálát használ ezek egymásra fordítására. A KIM-ek (ellenőrző és mérőanyagok) megoldásait elsődleges pontokban értékelik, majd a táblázat szerint teszt megoldásokba helyezik át. A vizsga végeredménye a szerzett tesztpontok száma.

Az alapfokú pontszámok teszteredményekké alakítására szolgáló skála kidolgozása minden évben megtörténik, és figyelembe veszi az iskolások általános felkészültségi szintjét.

A sikerességért sikeres profil matematika 2018-ban be kell írnia a minimumot:

• 6 elsődleges pont;
• 27 tesztpont.

A matematika vizsga megismétlésének időpontja 2018

Van egy szám további határidők a vizsga letétele . Akkor állnak rendelkezésre, ha a hallgató alapos okból nem tudta letenni a tárgyat a fő napon. A profilmatematika esetében ez:

• június 25– tartalék nap a nagyszínpad keretein belül;
• július 2- a vizsga főrészének tartaléknapja, amikor bármilyen tárgyból le lehet menni.

Újravételi lehetőség speciális matematika szeptemberben számos feltétele van:

• Ha egy tanuló sikeresen teljesítette az alapfokú matematikát, akkor idén nem szerezheti újra a profilszintet. A vizsga megismétlésére csak jövőre nyílik lehetőség;
• Ha mindkét matematika (alap és profil) vizsga sikertelen, a tanuló eldöntheti, melyiket teszi újra.

Matematika ismétlés szeptemberében nevezték ki szeptember 7. Szeptember 15. tartalék napként szerepel.

Értékelés

két rész, beleértve 19 feladat. 1. rész 2. rész

3 óra 55 perc(235 perc).

Válaszok

De megteheted készíts egy iránytűt Számológépek a vizsgán nem használt.

az útlevél), passés kapilláris vagy! Elvihető magammal víz(átlátszó üvegben) és étel

A vizsgapapír a következőkből áll két rész, beleértve 19 feladat. 1. rész 8 alapvető bonyolultságú feladatot tartalmaz, rövid válaszokkal. 2. rész 4 rövid válaszú fokozott nehézségű feladatot és 7 feladatot tartalmaz magas szint Nehézségek kiterjesztett válaszokkal.

A vizsga teljesítéséhez matematikai munka adható 3 óra 55 perc(235 perc).

Válaszok az 1–12. feladatokhoz rögzítésre kerül egész számként vagy záró tizedesként. Írja be a munka szövegébe a válaszmezőkbe a számokat, majd vigye át a vizsga során kiadott 1. számú válaszlapra!

Munkavégzéskor használhatja a munkával együtt kiadottakat. Csak vonalzót használhat, de megteheted készíts egy iránytűt saját kezével. Tilos olyan eszközöket használni, amelyekre referenciaanyagot nyomtattak. Számológépek a vizsgán nem használt.

A vizsgához személyazonosító okmánynak kell lennie. az útlevél), passés kapilláris ill zselés toll fekete tintával! Elvihető magammal víz(átlátszó üvegben) és étel(gyümölcs, csokoládé, zsemle, szendvics), de előfordulhat, hogy a folyosón hagyják.

Átlagos Általános oktatás

Vonal UMK G.K. Muravina. Algebra és a matematikai elemzés kezdetei (10-11) (mély)

Vonal UMK Merzlyak. Az algebra és az elemzés kezdetei (10-11) (U)

Matematika

Felkészülés a matematika vizsgára (profilszint): feladatok, megoldások és magyarázatok

Feladatokat elemezünk, példákat oldunk meg a tanárral

A profilszintű vizsgadolgozat időtartama 3 óra 55 perc (235 perc).

Minimális küszöb- 27 pont.

A vizsgadolgozat két részből áll, amelyek tartalmilag, összetettségükben és feladatok számában különböznek egymástól.

Az egyes munkarészek meghatározó jellemzője a feladatok formája:

• az 1. rész 8 feladatot tartalmaz (1-8. feladat), rövid válaszokkal egész szám vagy utolsó tizedes tört formájában;
• A 2. rész 4 feladatot (9-12. feladat) tartalmaz, egész szám vagy utolsó tizedes tört formájában, és 7 feladatot (13-19. feladat) részletes válasszal (a döntés teljes feljegyzése a döntés indoklásával). végrehajtott műveletek).

Panova Szvetlana Anatoljevna, matematika tanár a legmagasabb kategória iskolák, 20 év szakmai tapasztalat:

„Az iskolai bizonyítvány megszerzéséhez a végzősnek két kötelező vizsgát kell letennie egységes államvizsga formájában, amelyek közül az egyik a matematika. Az Orosz Föderáció matematikai oktatásának fejlesztési koncepciójával összhangban a matematika egységes államvizsga két szintre oszlik: alap és speciális. Ma megvizsgáljuk a profilszintre vonatkozó lehetőségeket.

1. számú feladat- ellenőrzi az USE résztvevők képességét az 5-9. évfolyamon megszerzett ismeretek alkalmazására elemi matematikában, gyakorlati tevékenységek. A résztvevőnek rendelkeznie kell számítógépes ismeretekkel, tudnia kell dolgozni racionális számok, le tudja kerekíteni tizedesjegyek képes átváltani egyik mértékegységet a másikra.

1. példa A lakásban, ahol Petr él, költségmérőt szereltek fel hideg víz(számláló). Május elsején 172 köbméter fogyasztást mutatott a mérő. m víz, június elsején pedig 177 köbméter. m. Milyen összeget kell fizetnie Péternek a hideg vízért májusra, ha az ára 1 cu. m hideg víz 34 rubel 17 kopecks? Válaszát rubelben adja meg.

Megoldás:

1) Keresse meg a havonta elköltött víz mennyiségét:

177-172 = 5 (cu m)

2) Keresse meg, mennyi pénzt kell fizetni az elhasznált vízért:

34,17 5 = 170,85 (dörzsölje)

Válasz: 170,85.

2. számú feladat- a vizsga egyik legegyszerűbb feladata. A végzettek többsége sikeresen megbirkózik vele, ami a funkciófogalom definíciójának birtoklását jelzi. A 2. számú feladattípus a követelmények kodifikátora szerint a megszerzett ismeretek és készségek gyakorlati tevékenységben, ill. Mindennapi élet. A 2. feladat a mennyiségek közötti különféle valós összefüggések leírásából, függvények felhasználásából és grafikonjainak értelmezéséből áll. A 2. feladat a táblázatokban, diagramokban, grafikonokban bemutatott információk kinyerésének képességét teszteli. A végzősöknek meg kell tudniuk határozni egy függvény értékét a mikor argumentum értékével különböző módokon függvény meghatározása és a függvény viselkedésének, tulajdonságainak leírása a grafikonja szerint. Arra is szükség van, hogy a maximális ill legkisebb értékés a vizsgált függvények grafikonjainak összeállítása. Az elkövetett hibák véletlenszerűek a probléma körülményeinek olvasásakor, a diagram olvasásakor.

#ADVERTISING_INSERT#

2. példa Az ábra egy bányavállalat egy részvényének csereértékének változását mutatja 2017. április első felében. Április 7-én az üzletember 1000 darab részvényt vásárolt ebből a társaságból. Április 10-én a megvásárolt részvények háromnegyedét, április 13-án pedig az összes maradékot értékesítette. Mennyit veszített az üzletember ezeknek a műveleteknek a következtében?

Megoldás:

2) 1000 3/4 = 750 (részvények) - az összes megvásárolt részvény 3/4-ét teszi ki.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubel) - az üzletember 1000 részvény eladása után kapott.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (rubel) - az üzletember minden művelet eredményeként elveszett.

Válasz: 15000.

3. számú feladat- az első rész alapszintű feladata, a műveletek végrehajtásának képességét ellenőrzi geometriai formák a "Planimetria" tantárgy tartalmáról. A 3. feladat teszteli a kockás papíron lévő figura területének kiszámításának képességét, a szögek fokmértékeinek kiszámítását, a kerületek kiszámítását stb.

3. példa Keresse meg egy kockás papírra rajzolt téglalap területét, amelynek cella mérete 1 cm x 1 cm (lásd az ábrát). Válaszát négyzetcentiméterben adja meg.

Megoldás: Az ábra területének kiszámításához használhatja a Peak képletet:

Ennek a téglalapnak a területének kiszámításához a Peak képletet használjuk:

S= B +	G
	2

ahol V = 10, G = 6, tehát

S = 18 +	6
	2

Válasz: 20.

Lásd még: Egységes fizikai államvizsga: rezgési feladatok megoldása

4. számú feladat- a „Valószínűségszámítás és statisztika” tantárgy feladata. Teszteljük azt a képességet, hogy a legegyszerűbb helyzetben ki tudjuk számítani egy esemény valószínűségét.

4. példa A körön 5 piros és 1 kék pont található. Határozza meg, mely sokszögek nagyobbak: azok, amelyeknek minden csúcsa piros, vagy amelyeknek az egyik kék csúcsa van. Válaszában jelölje meg, hogy az egyikből mennyivel több, mint a másikból!

Megoldás: 1) A kombinációk számának képletét használjuk n elemek által k:

amelynek minden csúcsa piros.

3) Egy ötszög minden piros csúcsával.

4) 10 + 5 + 1 = 16 sokszög minden piros csúcsgal.

amelynek csúcsai pirosak vagy egy kék csúcsgal.

amelynek csúcsai pirosak vagy egy kék csúcsgal.

8) Egy hatszög, amelynek csúcsai pirosak, és egy kék csúcs.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 sokszög, amelyek mindegyikének piros csúcsa vagy egy kék csúcsa van.

10) 42 - 16 = 26 sokszög, amely a kék pontot használja.

11) 26 - 16 = 10 sokszög - hány sokszög, amelynek az egyik csúcsa kék pont, több, mint sokszög, amelyben minden csúcs csak piros.

Válasz: 10.

5. számú feladat- az első rész alapszintje a legegyszerűbb egyenletek (irracionális, exponenciális, trigonometrikus, logaritmikus) megoldási képességét teszteli.

5. példa Oldja meg a 2 3 + egyenletet x= 0,4 5 3 + x .

Megoldás. Osszuk ketté a két részt adott egyenlet 5 3+-ért x≠ 0, azt kapjuk

2 3 + x	= 0,4 vagy		2		3 + x	=	2	,
5 3 + x			5				5

ahonnan az következik, hogy 3 + x = 1, x = –2.

Válasz: –2.

6. számú feladat planimetriában geometriai mennyiségek (hosszok, szögek, területek) megtalálására, valós helyzetek modellezésére a geometria nyelvén. Épített modellek tanulmányozása felhasználásával geometriai fogalmakés tételek. A nehézségek forrása általában a planimetria szükséges tételeinek tudatlansága vagy helytelen alkalmazása.

Egy háromszög területe ABC egyenlő 129. DE- oldallal párhuzamos középvonal AB. Keresse meg a trapéz területét EGY ÁGY.

Megoldás. Háromszög CDE háromszöghöz hasonló TAXI két sarokban, mivel a sarok a csúcsnál Cáltalános, szög CDE egyenlő a szöggel TAXI mint a megfelelő szögek DE || AB metsző AC. Mert DE a háromszög középvonala feltétel, majd tulajdonság szerint középső vonal | DE = (1/2)AB. Tehát a hasonlósági együttható 0,5. A hasonló ábrák területeit a hasonlósági együttható négyzeteként viszonyítjuk, tehát

Következésképpen, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

7. számú feladat- ellenőrzi a derivált alkalmazását a függvény tanulmányozására. A sikeres megvalósításhoz a származék fogalmának értelmes, nem formális birtoklása szükséges.

7. példa A függvény grafikonjára y = f(x) az abszcissza pontnál x 0 egy érintőt húzunk, amely merőleges a grafikon (4; 3) és (3; -1) pontjain átmenő egyenesre. megtalálja f′( x 0).

Megoldás. 1) A kettőn átmenő egyenes egyenletét használjuk adott pontokatés keressük meg a (4; 3) és (3; -1) pontokon áthaladó egyenes egyenletét!

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16| · (-egy)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x– 13, hol k 1 = 4.

2) Határozza meg az érintő meredekségét! k 2, amely merőleges az egyenesre y = 4x– 13, hol k 1 = 4, a következő képlet szerint:

3) Az érintő meredeksége a függvény deriváltja az érintkezési pontban. Eszközök, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Válasz: –0,25.

8. számú feladat- ellenőrzi az elemi sztereometria ismereteit a vizsgázók körében, képes-e képleteket alkalmazni az ábrák felületeinek és térfogatainak, kétszögletű szögeinek meghatározására, összehasonlítani a hasonló alakzatok térfogatát, tudjon műveleteket végrehajtani geometriai alakzatokkal, koordinátákkal és vektorokkal stb. .

Egy gömb körül körülírt kocka térfogata 216. Határozzuk meg a gömb sugarát!

Megoldás. 1) V kocka = a 3 (hol a a kocka élének hossza), tehát

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Mivel a gömb kockába van írva, ez azt jelenti, hogy a gömb átmérőjének hossza megegyezik a kocka élének hosszával, ezért d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

9. számú feladat- átalakulást, egyszerűsítést követel meg a végzetttől algebrai kifejezések. 9. számú, fokozott összetettségű feladat rövid válasszal. Az USE „Számítások és átalakítások” szakaszában található feladatok több típusra oszlanak:

numerikus racionális kifejezések transzformációi;

algebrai kifejezések és törtek transzformációi;

numerikus/betűs irracionális kifejezések átalakítása;

fokozatokkal végzett cselekvések;

átalakítás logaritmikus kifejezések;

1. numerikus/betűs trigonometrikus kifejezések átalakítása.

9. példa Számítsa ki a tgα-t, ha ismert, hogy cos2α = 0,6 és

3π	< α < π.
4

Megoldás. 1) Használjuk a kettős argumentumképletet: cos2α = 2 cos 2 α - 1, és keressük meg

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Ezért tan 2 α = ± 0,5.

3) Feltétel szerint

3π	< α < π,
4

így α a második negyed és tgα szöge< 0, поэтому tgα = –0,5.

Válasz: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# 10. számú feladat- ellenőrzi a tanulók azon képességét, hogy a megszerzett korai ismereteket, készségeket a gyakorlati tevékenységben és a mindennapi életben hasznosítsák. Mondhatjuk, hogy ezek a fizikában és nem a matematikában problémák, de a feltételben minden szükséges képlet és mennyiség adott. A problémák egy lineáris ill másodfokú egyenlet, akár lineáris, akár négyzetes egyenlőtlenség. Ezért meg kell tudni oldani az ilyen egyenleteket és egyenlőtlenségeket, és meg kell határozni a választ. A választ egész szám vagy utolsó tizedes tört formájában kell megadni.

Két tömegű test m= egyenként 2 kg, azonos sebességgel mozognak v= 10 m/s egymáshoz képest 2α szögben. Az abszolút rugalmatlan ütközésük során felszabaduló energiát (joule-ban) a kifejezés határozza meg K = mv 2 sin 2 α. Milyen legkisebb 2α szögben (fokban) kell elmozdulniuk a testeknek, hogy az ütközés következtében legalább 50 joule szabaduljon fel?
Megoldás. A feladat megoldásához meg kell oldanunk a Q ≥ 50 egyenlőtlenséget a 2α ∈ (0°; 180°) intervallumon.

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Mivel α ∈ (0°; 90°), csak megoldjuk

Az egyenlőtlenség megoldását grafikusan ábrázoljuk:

Mivel α ∈ (0°; 90°) feltételezéssel azt jelenti, hogy 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

11. számú feladat- jellemző, de a diákok számára nehéznek bizonyul. A nehézségek fő forrása egy matematikai modell felépítése (egyenlet felállítása). A 11. számú feladat a szöveges feladatok megoldási képességét teszteli.

11. példa. A tavaszi szünetben a 11. osztályos Vasyának 560 edzésfeladatot kellett megoldania, hogy felkészüljön a vizsgára. Március 18-án, az utolsó tanítási napon Vasya 5 feladatot oldott meg. Aztán minden nap ugyanannyi problémát oldott meg többet, mint előző nap. Határozza meg, hány problémát oldott meg Vasya április 2-án, a vakáció utolsó napján.

Megoldás: Jelöli a 1 = 5 - azon feladatok száma, amelyeket Vasya március 18-án oldott meg, d- Vasya által megoldott feladatok napi száma, n= 16 - a napok száma március 18-tól április 2-ig, S 16 = 560 - a feladatok teljes száma, a 16 - azon feladatok száma, amelyeket Vasya április 2-án oldott meg. Tudva, hogy Vasya minden nap ugyanannyi feladatot oldott meg, mint előző nap, akkor a képleteket használhatja az aritmetikai sorozat összegének meghatározásához:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Válasz: 65.

12. számú feladat- ellenőrizze a tanulók függvényekkel végzett cselekvési képességét, tudja alkalmazni a deriváltot a függvény tanulmányozására.

Keresse meg egy függvény maximális pontját y= 10ln( x + 9) – 10x + 1.

Megoldás: 1) Keresse meg a függvény tartományát: x + 9 > 0, x> –9, azaz x ∈ (–9; ∞).

2) Keresse meg a függvény deriváltját:

4) A talált pont a (–9; ∞) intervallumhoz tartozik. Meghatározzuk a függvény deriváltjának előjeleit és ábrázoljuk a függvény viselkedését az ábrán:

A kívánt maximális pont x = –8.

Töltse le ingyen a matematika munkaprogramját az UMK G.K. sorára. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Töltse le az ingyenes algebrai kézikönyveket

13. számú feladat- megnövelt komplexitási szint részletes válasszal, amely az egyenletmegoldó képességet teszteli, a feladatok közül a legsikeresebben megoldott, fokozott összetettségű részletes válaszokkal.

a) Oldja meg a 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2 cos x) + 2 = 0

b) Keresse meg ennek az egyenletnek a szegmenshez tartozó összes gyökerét!

Megoldás: a) Legyen log 3 (2cos x) = t, majd 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		kötözősaláta x =	4,5	⇔ mert |cos x| ≤ 1,
	log3(2cos x) =	1			2cos x = √3			kötözősaláta x =	√3
		2							2

akkor cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Keresse meg a szakaszon fekvő gyökereket.

Az ábrán látható, hogy az adott szakasznak vannak gyökerei

11π	és	13π	.
6		6

Válasz: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

14. számú feladat- emelt szint a második rész feladataira utal részletes válasszal. A feladat a geometriai alakzatokkal végzett műveletek végrehajtásának képességét teszteli. A feladat két elemet tartalmaz. Az első bekezdésben bizonyítani kell a feladatot, a másodikban pedig kiszámítani.

A henger alapjának kerületi átmérője 20, a henger generatrixa 28. A sík 12 és 16 hosszúságú húrok mentén metszi az alapjait. A húrok távolsága 2√197.

a) Bizonyítsuk be, hogy a henger alapjainak középpontjai ennek a síknak ugyanazon az oldalán helyezkednek el.

b) Határozza meg e sík és a henger alapjának síkja közötti szöget!

Megoldás: a) Egy 12 hosszúságú húr = 8 távolságra van az alapkör középpontjától, és egy 16 hosszúságú húr, hasonlóan, 6 távolságra van. Ezért a vetületeik távolsága a körrel párhuzamos síkban van. A hengerek alapja vagy 8 + 6 = 14, vagy 8 - 6 = 2.

Ekkor az akkordok távolsága vagy

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

A feltételnek megfelelően a második eset valósult meg, amelyben a húrok vetületei a henger tengelyének egyik oldalán fekszenek. Ez azt jelenti, hogy a tengely nem metszi ezt a síkot a hengeren belül, vagyis az alapok az egyik oldalán fekszenek. Amit bizonyítani kellett.

b) Jelöljük a bázisok középpontját O 1 és O 2 -vel. Húzzuk meg az alap középpontjából egy 12-es húrral a felező merőlegeset erre a húrra (hossza 8, mint már említettük), a másik alap közepétől pedig egy másik húrba. Ugyanabban a β síkban fekszenek, merőlegesek ezekre az akkordokra. Nevezzük a kisebb, A-nál nagyobb B húr felezőpontját és A vetületét a H második bázisra (H ∈ β). Ekkor AB,AH ∈ β és ezért AB,AH merőlegesek a húrra, vagyis az alap és az adott sík metszésvonalára.

Tehát a szükséges szög

∠ABH = arctán	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

15. számú feladat- megnövekedett összetettségi szint részletes válasszal, ellenőrzi az egyenlőtlenségek megoldásának képességét, a feladatok közül a legsikeresebben megoldott, fokozott összetettségű részletes válasszal.

15. példa Oldja meg az egyenlőtlenséget | x 2 – 3x| napló 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Megoldás: Ennek az egyenlőtlenségnek a definíciós tartománya a (–1; +∞) intervallum. Tekintsünk három esetet külön-külön:

1) Hagyjuk x 2 – 3x= 0, azaz x= 0 vagy x= 3. Ebben az esetben ez az egyenlőtlenség igazzá válik, ezért ezek az értékek szerepelnek a megoldásban.

2) Hagyjuk most x 2 – 3x> 0, azaz x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Ebben az esetben ez az egyenlőtlenség átírható a ( x 2 – 3x) napló 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 és ossza el egy pozitív kifejezéssel x 2 – 3x. 2. naplót kapunk ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 -1 vagy x≤ -0,5. Figyelembe véve a definíciós tartományt, megvan x ∈ (–1; –0,5].

3) Végül fontolja meg x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). Ebben az esetben az eredeti egyenlőtlenség átírásra kerül a (3 x – x 2) napló 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Pozitív kifejezéssel való osztás után 3 x – x 2 , 2. naplót kapunk ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. A területet figyelembe véve van x ∈ (0; 1].

A kapott megoldásokat összevonva kapjuk x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Válasz: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

16. számú feladat- emelt szint a második rész feladataira utal részletes válasszal. A feladat a geometriai alakzatokkal, koordinátákkal és vektorokkal végzett műveletek végrehajtásának képességét teszteli. A feladat két elemet tartalmaz. Az első bekezdésben bizonyítani kell a feladatot, a másodikban pedig kiszámítani.

NÁL NÉL egyenlő szárú háromszög ABC 120°-os szöggel az A csúcsban BD felezőt húzunk. NÁL NÉL ABC háromszög A DEFH téglalap úgy van beírva, hogy az FH oldal a BC szakaszon, az E csúcs pedig az AB szakaszon legyen. a) Bizonyítsuk be, hogy FH = 2DH. b) Határozza meg a DEFH téglalap területét, ha AB = 4.

Megoldás: a)

1) ΔBEF - téglalap alakú, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, majd EF = BE a 30°-os szöggel ellentétes láb tulajdonsága miatt.

2) Legyen EF = DH = x, akkor BE = 2 x, BF = x√3 a Pitagorasz-tétel alapján.

3) Mivel ΔABC egyenlő szárú, akkor ∠B = ∠C = 30˚.

BD a ∠B felezőszöge, tehát ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Tekintsük ΔDBH - téglalap alakú, mert DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3 ) 2(3 - √3 )

S DEFH = 24 - 12√3.

Válasz: 24 – 12√3.

17. számú feladat- részletes válaszú feladat, ez a feladat az ismeretek és készségek gyakorlati tevékenységben és a mindennapi életben való alkalmazását, a matematikai modellek építésének és feltárásának képességét teszteli. Ez a feladat gazdasági tartalmú szöveges feladat.

17. példa. A 20 millió rubel összegű letétet a tervek szerint négy évre nyitják meg. A bank minden év végén 10%-kal növeli a betétet az év eleji mérethez képest. Ezen túlmenően a harmadik és negyedik év elején a betétes évente pótolja a betétet x millió rubel, hol x - egész szám. megtalálja legmagasabb érték x, amelynél a bank négy év alatt kevesebb mint 17 millió rubelt fog hozzáadni a betéthez.

Megoldás: Az első év végén a hozzájárulás 20 + 20 · 0,1 = 22 millió rubel, a második év végén pedig 22 + 22 · 0,1 = 24,2 millió rubel lesz. A harmadik év elején a hozzájárulás (millió rubelben) (24,2+ x), és a végén - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 x). A negyedik év elején a hozzájárulás mértéke (26,62 + 2,1 X), és a végén - (26,62 + 2,1 x) + (26,62 + 2,1x) 0,1 = (29,282 + 2,31 x). Feltétel alapján meg kell találni a legnagyobb x egész számot, amelyre az egyenlőtlenség vonatkozik

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Ennek az egyenlőtlenségnek a legnagyobb egész számú megoldása a 24.

Válasz: 24.

18. számú feladat- fokozott komplexitású feladat részletes válasszal. Ez a feladat a jelentkezők matematikai felkészültségének megnövekedett követelményeivel rendelkező egyetemek versenyeztetésére irányul. A nagy bonyolultságú feladat nem egy megoldási módszer alkalmazására, hanem kombinációra vonatkozik különféle módszerek. A 18. feladat sikeres teljesítéséhez a szilárd matematikai ismeretek mellett magas szintű matematikai kultúra is szükséges.

Miben a egyenlőtlenségek rendszere

	x 2 + y 2 ≤ 2igen – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

pontosan két megoldása van?

Megoldás: Ez a rendszer átírható így

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Ha a síkon felrajzoljuk az első egyenlőtlenség megoldásainak halmazát, akkor egy 1 sugarú (határral rendelkező) kör belsejét kapjuk, amelynek középpontja a (0, a). A második egyenlőtlenség megoldásainak halmaza a síknak az a része, amely a függvény grafikonja alatt helyezkedik el y = | x| – a, az utóbbi pedig a függvény grafikonja
y = | x| , lefelé tolva a. Ennek a rendszernek a megoldása az egyes egyenlőtlenségek megoldáshalmazainak metszéspontja.

Ezért két megoldás ezt a rendszertábrán látható esetben lesz. egy.

A kör és az egyenesek érintkezési pontjai a rendszer két megoldása lesz. Az egyenesek mindegyike 45°-os szöget zár be a tengelyekhez képest. Tehát a háromszög PQR- téglalap alakú egyenlőszárúak. Pont K koordinátái vannak (0, a), és a lényeg R– koordináták (0, – a). Ezen kívül vágások PRés PQ A kör sugara egyenlő 1-gyel.

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Válasz: a =	√2	.
	2

19. számú feladat- fokozott komplexitású feladat részletes válasszal. Ez a feladat a jelentkezők matematikai felkészültségének megnövekedett követelményeivel rendelkező egyetemek versenyeztetésére irányul. A nagy bonyolultságú feladat nem egy megoldási módszer alkalmazására, hanem különböző módszerek kombinációjára vonatkozik. A 19. feladat sikeres teljesítéséhez tudni kell megoldást keresni, az ismertek közül többféle megközelítést választani, módosítani a vizsgált módszereket.

Hadd snösszeg P egy aritmetikai sorozat tagjai ( a p). Ismeretes, hogy S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Adja meg a képletet! P ennek a fejlődésnek a tagja.

b) Keresse meg a legkisebb moduloösszeget! S n.

c) Keresse meg a legkisebbet! P, ahol S n egy egész szám négyzete lesz.

Megoldás a) Nyilvánvalóan a n = S n – S n- egyet. Ezt a képletet használva a következőket kapjuk:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

eszközök, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) mert S n = 2n 2 – 25n, majd fontolja meg a függvényt S(x) = | 2x 2 – 25x|. Az ő grafikonja az ábrán látható.

Nyilvánvaló, hogy a legkisebb értéket a függvény nulláihoz legközelebb eső egész pontokban érjük el. Nyilván ezek pontok. x= 1, x= 12 és x= 13. Mivel S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, akkor a legkisebb érték 12.

c) Az előző bekezdésből következik, hogy snóta pozitív n= 13. Mivel S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), akkor az a nyilvánvaló eset, amikor ez a kifejezés tökéletes négyzet, akkor valósul meg n = 2n- 25, vagyis azzal P= 25.

Még ellenőrizni kell az értékeket 13 és 25 között:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Kiderül, hogy kisebb értékeknél P teljes négyzet nem érhető el.

Válasz: a) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*2017 májusa óta a DROFA-VENTANA közös kiadói csoport az Russian Textbook Corporation része. A társasághoz tartozott az Astrel kiadó és a LECTA digitális oktatási platform is. vezérigazgató Alekszandr Brychkint, az Orosz Föderáció kormánya alá tartozó Pénzügyi Akadémián végzett, közgazdász doktorátust nevezték ki a DROFA kiadó digitális oktatás (elektronikus tankönyvek, orosz) innovatív projektjeinek vezetőjévé e-iskola”, LECTA digitális oktatási platform). Mielőtt csatlakozott a DROFA kiadóhoz, az EKSMO-AST kiadó holding stratégiai fejlesztésért és befektetésekért felelős alelnöki posztját töltötte be. Ma az Orosz Tankönyvkiadó Corporation rendelkezik a szövetségi listán szereplő legnagyobb tankönyvportfólióval - 485 címmel (körülbelül 40%, a javítóintézeti tankönyvek kivételével). A társaság kiadói birtokolják az orosz iskolák által leginkább keresett fizika, rajz, biológia, kémia, technológia, földrajz, csillagászat tankönyvkészleteit – az ország termelési potenciáljának fejlesztéséhez szükséges tudásterületeket. A társaság portfóliójában tankönyvek ill tanulmányi útmutatók számára Általános Iskola oktatási elnöki díjat kapott. Ezek olyan tankönyvek és kézikönyvek olyan témákról, amelyek szükségesek Oroszország tudományos, műszaki és ipari potenciáljának fejlesztéséhez.

11. évfolyam

Feladat feltételei

1. Az elektromos vízforraló ára 14% -kal emelkedett, és 1596 rubelt tett ki. Mennyit ért a vízforraló az áremelés előtt?
2. A grafikon a motor nyomatékának a percenkénti fordulatszámtól való függését mutatja. A percenkénti fordulatszámot az abszcissza tengelyen, a nyomatékot N∙m-ben az ordináta tengelyen ábrázoljuk. A jármű sebességét (km/h-ban) a képlet közelíti meg ahol n a motor percenkénti fordulatszáma. Mekkora minimális sebességgel kell haladnia az autónak, hogy a nyomaték 120 N∙m legyen? Válaszát kilométer per órában adja meg.
   
3. Az ABC háromszöget x cellaméretű kockás papíron ábrázoltuk. Határozzuk meg a BC oldalra csökkentett magasságának hosszát.
4. A tudományos konferenciát 5 napon belül tartják. Összesen 75 bejelentést terveznek - az első három napon, egyenként 17-et, a többit egyenlő arányban osztják el a negyedik és az ötödik nap között. A konferencián M. professzor úr beszámolóját tervezik, a beszámolók sorrendjét sorshúzással határozzák meg. Mennyi annak a valószínűsége, hogy M. professzor beszámolóját a konferencia utolsó napjára időzítik?
5. Keresse meg az egyenlet gyökerét
6. Az ABCD négyszög egy körbe van írva. Az ABC szög 105 o , a CAD szög egyenlő 35 o . Keresse meg az ABD szöget. Válaszát fokokban adja meg.
7. Az ábra egy intervallumon definiált függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Határozza meg a függvény szegmenshez tartozó maximális pontjainak számát.
   
8. A golyó egy hengerbe van írva. A gömb felülete 111. Határozza meg a henger teljes felületét.
9. Keresse meg egy kifejezés értékét
10. A villanykörte képernyőn felnagyított képének elkészítéséhez a laboratóriumban cm fő fókusztávolságú konvergáló lencsét használnak.A lencse és az izzó távolsága 30-50 cm között változhat, a lencse távolsága pedig A képernyőhöz viszonyított távolság 150 és 180 cm között változhat. A képernyő tiszta lesz, ha az arány teljesül. Adja meg azt a legkisebb távolságot az objektívtől, amennyire egy villanykörte elhelyezhető úgy, hogy a képernyőn látható képe tiszta legyen. Adja meg válaszát centiméterben!
11. Az A és B móló közötti távolság 120 km. A folyó mentén egy tutaj indult el A-ból B-be, majd egy órával később egy jacht indult el utána, amely a B pontba érve azonnal visszafordult és visszatért A-ba. Ekkorra a tutaj 24 km-t tett meg. Határozza meg a jacht sebességét állóvízben, ha a folyó sebessége 2 km/h. Válaszát km/h-ban adja meg.
12. Keresse meg a függvény maximális pontját.
13. a) Oldja meg az egyenletet! ; b) Jelölje meg ennek az egyenletnek a szegmenshez tartozó gyökereit!
14. Az ABCD háromszöggúla AB és BC élén M és N pontok vannak jelölve, AM:MB = CN:NB = 3:1. A P és Q pontok a DA és DC élek felezőpontjai.
    a) Bizonyítsd be pont P,Q,Més N ugyanabban a síkban van;
    b) Határozza meg, hogy ez a sík milyen arányban osztja a gúla térfogatát!
15. Oldja meg az egyenlőtlenséget
16. Az E pont az ABCD trapéz CD oldalsó oldalának felezőpontja. Oldalán AB vett egy K pontot úgy, hogy az SC és AE egyenesek párhuzamosak legyenek. Az SK és BE szakaszok az O pontban metszik egymást.
    a) Bizonyítsuk be, hogy CO=CO.
    b) Határozza meg a BC trapéz alapjainak arányát: AD, ha a BCK háromszög területe a teljes ABCD trapéz területének 9/64-e.
17. Júliusban a tervek szerint bizonyos összegig hitelt vesznek fel egy banktól. Visszaküldésének feltételei a következők:
    - minden januárban r%-kal nő az adósság az előző év végéhez képest;
    - Minden év februártól júniusig a tartozás egy részét vissza kell fizetni.
    Keresse meg az r ha ismert, hogy ha egyenként 777 600 rubelt fizet, akkor a kölcsönt 4 év alatt fizetik vissza, és ha évente 1 317 600 rubelt fizetnek, akkor a kölcsönt 2 év alatt teljes mértékben visszafizetik?
18. Keresse meg a paraméter összes értékét, amelyek mindegyikére az egyenletnek pontosan egy gyöke van az intervallumon.
19. A 32 tanuló mindegyike megírta a két teszt egyikét, vagy mindkét tesztet. Minden munkáért 0-tól 20-ig egész számú pontot lehetett szerezni. A két dolgozat átlagértéke külön-külön 14 volt. Ezután minden tanuló megnevezte a legmagasabb pontszámot (ha egy dolgozatot írt, akkor annak pontszámát). A megnevezett pontszámok számtani átlaga S-vel volt egyenlő.
    a) Mondjon példát, amikor S<14
    b) Egyenlő lehet-e S értéke 17-tel?
    c) Mekkora lehet a legkisebb S érték, ha mindkét tesztet 12 tanuló írná?