Možnosti úloh Gia. Reálne možnosti pre OGE (GIA) v matematike - Archív súborov

Hodnotenie

Práca pozostáva z dva moduly: "Algebra a geometria". Spolu je to 26 úloh. modul "algebra" "geometria"

3 hodiny 55 minút(235 minút).

ako jedna číslica

, námestiekompas Kalkulačky na skúške nepoužité.

pas), prejsť a kapilárne alebo! Povolené brať so mnou voda(v priehľadnej fľaši) a idem

Práca pozostáva z dva moduly: "Algebra a geometria". Spolu je to 26 úloh. modul "algebra" obsahuje sedemnásť úloh: v 1. časti - štrnásť úloh; v časti 2 sú tri úlohy. modul "geometria" obsahuje deväť úloh: v 1. časti - šesť úloh; v časti 2 sú tri úlohy.

Skúšobná práca z matematiky je pridelená 3 hodiny 55 minút(235 minút).

Odpovede na úlohy 2, 3, 14 zapíšte do odpoveďového formulára č.1 ako jedna číslica, čo zodpovedá číslu správnej odpovede.

Pre zvyšné úlohy z časti 1 odpoveď je číslo alebo postupnosť číslic. Svoju odpoveď napíšte do políčka odpovede v texte práce a následne ju preneste do formulára odpovede č.1. Ak je odpoveď prijatá spoločný zlomok, preveďte ho na desatinné číslo.

Pri dokončovaní práce môžete použiť vzorce obsahujúce základné vzorce kurzu matematiky vydané spolu s prácou. Môžete použiť pravítko, námestie, iné šablóny na stavbu geometrické tvary (kompas). Nepoužívajte nástroje, na ktorých sú vytlačené referenčné materiály. Kalkulačky na skúške nepoužité.

Počas skúšky musíte mať pri sebe identifikačný doklad ( pas), prejsť a kapilárne príp gélové pero s čiernym atramentom! Povolené brať so mnou voda(v priehľadnej fľaši) a idem(ovocie, čokoláda, buchty, sendviče), ale môžu vás požiadať, aby ste ich nechali na chodbe.

Hodnotenie

Práca pozostáva z dva moduly: "Algebra a geometria". Spolu je to 26 úloh. modul "algebra" "geometria"

3 hodiny 55 minút(235 minút).

ako jedna číslica

, námestiekompas Kalkulačky na skúške nepoužité.

pas), prejsť a kapilárne alebo! Povolené brať so mnou voda(v priehľadnej fľaši) a idem

Skúšobná práca z matematiky je pridelená 3 hodiny 55 minút(235 minút).

Odpovede na úlohy 2, 3, 14 zapíšte do odpoveďového formulára č.1 ako jedna číslica, čo zodpovedá číslu správnej odpovede.

Pre zvyšné úlohy z časti 1 odpoveď je číslo alebo postupnosť číslic. Svoju odpoveď napíšte do políčka odpovede v texte práce a následne ju preneste do formulára odpovede č.1. Ak je vašou odpoveďou zlomok, preveďte ho na desatinné číslo.

Pri dokončovaní práce môžete použiť vzorce obsahujúce základné vzorce kurzu matematiky vydané spolu s prácou. Môžete použiť pravítko, námestie, iné šablóny na zostavovanie geometrických útvarov ( kompas). Nepoužívajte nástroje, na ktorých sú vytlačené referenčné materiály. Kalkulačky na skúške nepoužité.

OGE z matematiky je povinnou skúškou pre všetkých absolventov 9. ročníka, ktorí vstupujú do 10. ročníka alebo opúšťajú školu, aby vstúpili do iných vzdelávacích inštitúcií.Aby študent, ktorý starostlivo a starostlivo splnil všetky úlohy v triede, úspešne zložil skúšku, nemusí vynakladať žiadne osobitné úsilie na prípravu.Najmä ak potrebujete získať aspoň trojku.

Všetky úlohy sú prezentované v 3 smeroch: algebra, geometria, skutočná matematika. Väčšina dôležitá vlastnosť– ide o obmedzenie plnenia úloh v blokoch: ak vyriešite 2 alebo menej úloh z časti geometria, skóre bude „2“, na celkovom skóre nezáleží.
Štruktúra sa nemení: študent musí dokončiť 5 úloh v geometrickom bloku, 8 v algebre, 7 v skutočná matematika. Toto je prvá časť testu – každá správna odpoveď má hodnotu 1 bodu.
Druhá časť: očakáva sa riešenie úloh so zvýšenou zložitosťou, maximálne skóre pre každú je 2.

Ako sa efektívne pripraviť na OGE z matematiky?

Hlavná vec je správne nastaviť cieľ: cieľom je požadovaný stupeň.
Je potrebné efektívne študovať teóriu, prejsť programom predchádzajúcich hodín, zoznámiť sa s ním na skúšku.
Je veľmi dôležité „zabrať“ – to znamená pravidelné cvičenie v riešení matematických úloh rôzne úrovneťažkosti. Je ľahké sa naučiť, ako riešiť úlohy rovnakého typu pomocou modelu - keď proces privediete do automatizácie, žiadna skúška nespôsobí ťažkosti.
Online testovanie vám pomôže ponoriť sa do atmosféry záverečného testu – je to len riešenie problémov, ale aj tréning na to, aby ste to na chvíľu zvládli. Ak sa vyskytnú systematické chyby, môžete sa s nimi obrátiť na tútora alebo učiteľa školy.
Ak sa plánujete pripravovať svojpomocne, mali by ste s tým začať v predstihu a dať si čas.
Naučte sa plánovať a ušetrite čas.

Hlavným princípom prípravy je integrovaný prístup: všetky témy by sa mali študovať rovnomerne, ak sa objaví medzera, tejto téme sa venuje viac času. Pre kvalitnú prípravu na matematiku suchá teória nestačí, základom úspechu na skúške je zručná prax.

Geometria: vyžaduje dôkladnejšiu prípravu, pretože v škole je na ňu vyčlenených oveľa menej času ako na algebru. Ak sa chcete vyrovnať s problémami, študujte pravidlá, zákony a algoritmy riešenia.
Algebra: niektoré úlohy vyžadujú jednoducho nasledujúce algoritmy, viac komplexné úlohy– zostaviť komplexné funkčné grafy a slovné úlohy.

Aby ste zaručili úspech pri skúške, neodmietajte žiadnu príležitosť na precvičenie: navštevujte voliteľné školské predmety, online kurzy na diaľku, venovať sa sebavzdelávaniu, pozorne študovať témy na hodine.
„Vyriešim OGE v matematike“ je jednoduché a cenovo dostupným spôsobom Postupom času získajte skúsenosti s riešením úloh rôznej náročnosti. Pravidelná príprava vám umožní správne si naplánovať čas počas skúšky, nebyť nervózny a dosiahnuť dobrý výsledok.

Pri písaní tejto práce „OGE in Mathematics 2018. Option 1“ je manuál „OGE 2018. Mathematics. 14 možností. Typické testovacie úlohy od vývojárov OGE / I. R. Vysockij, L. O. Roslova, L. V. Kuznecovová, V. A. Smirnov, A. V. Chačaturjan, S. A. Šestakov, R. K. Gordin, A. S. Trepalin, A. V. Semenov, P. I. Zacharov; upravil I. V. Yashchenko. - M.: Vydavateľstvo „Skúška“, MTsNMO, 2018″.

Časť 1

Modul algebry

Ukážte riešenie

Ak chcete pridať dva zlomky, musíte ich zredukovať na spoločného menovateľa. V tomto prípade ide o toto číslo 100 :

odpoveď:

Vo viacerých štafetových pretekoch, ktoré sa konali na škole, ukázali družstvá nasledovné výsledky.

Tím	I relé, body	II štafeta, body	III štafeta, body	IV štafeta, body
"Hit"	3	3	2	4
"chytiť"	1	4	4	2
"Vzlietnuť"	4	2	1	3
"Spurt"	2	1	3	1

Pri sčítaní výsledkov každého družstva vo všetkých štafetových pretekoch sa spočítavajú. Tím, ktorý skóruje, vyhráva najväčší počet bodov. Ktorý tím obsadil tretie miesto?

"Hit"
"chytiť"
"Vzlietnuť"
"Spurt"

Ukážte riešenie

V prvom rade si zrátame body, ktoré každý tím získal.

"Strike" = 3 + 3 + 2 + 4 = 12
"Pomlčka" = 1 + 4 + 4 + 2 = 11
« Vzlietnuť" = 4 + 2 + 1 + 3 = 10
"Spurt" = 2 + 1 + 3 + 1 = 7

Súdiac podľa výsledkov: prvé miesto patrí tímu „Strike“, druhé miesto tímu „Dash“ a tretie miesto tímu „Takeoff“.

odpoveď:

Tretie miesto obsadil tím „Vlyot“, číslo 3.

Na súradnicovej čiare zodpovedajú body A, B, C a D číslam: -0,74; -0,047; 0,07; -0,407.

Akému bodu zodpovedá číslo -0,047?

Ukážte riešenie

Na súradnicovej čiare sú kladné čísla napravo od začiatku a záporné čísla naľavo. To znamená, že jediné kladné číslo 0,07 zodpovedá bodu D. Najväčšiemu záporné číslo- to je -0,74, čo znamená, že to zodpovedá bodu A. Vzhľadom na to, že zostávajúce číslo je -0,047 ďalšie číslo-0,407, potom patria do bodov C a D, resp. Ukážme to na výkrese:

odpoveď:

Číslo -0,047 zodpovedá bodu C, číslo 3.

Nájdite význam výrazu

Ukážte riešenie

IN v tomto príklade musíš byť šikovný. Ak sa odmocnina 64 rovná 8, keďže 8 2 = 64, potom je odmocnina z 6,4 pomerne ťažké nájsť jednoduchým spôsobom. Po nájdení odmocniny čísla 6,4 ho však treba hneď odmocniť. Teda dve akcie: nájdenie odmocnina a kvadratúra sa navzájom rušia. Preto dostaneme:

odpoveď:

V grafe je znázornená závislosť atmosférického tlaku od nadmorskej výšky. Vodorovná os ukazuje nadmorskú výšku v kilometroch a zvislá os ukazuje tlak v milimetroch ortuťového stĺpca. Určte z grafu, v akej nadmorskej výške je atmosférický tlak 140 milimetrov ortuťového stĺpca. Odpoveď uveďte v kilometroch.

Ukážte riešenie

Nájdime na grafe čiaru zodpovedajúcu 140 mmHg. Ďalej určíme miesto jej priesečníka s krivkou závislosti atmosférického tlaku od nadmorskej výšky. Graf jasne ukazuje túto križovatku. Nakreslíme priamku z priesečníka nadol k výškovej mierke. Požadovaná hodnota je 11 kilometrov.

odpoveď:

Atmosférický tlak je 140 milimetrov ortuti v nadmorskej výške 11 kilometrov.

Vyriešte rovnicu X 2 + 6 = 5X

Ak má rovnica viac ako jeden koreň, napíšte odpoveď s menším koreňom.

Ukážte riešenie

X 2 + 6 = 5X

Máme pred sebou obvyklú kvadratickú rovnicu:

X 2 + 6 - 5X = 0

Aby ste to vyriešili, musíte nájsť diskriminant:

odpoveď:

Najmenší koreň daná rovnica: 2

Dostupné vo februári mobilný telefón stojí 2800 rubľov. V septembri to začalo stáť 2 520 rubľov. O koľko percent klesla cena mobilného telefónu medzi februárom a septembrom?

Ukážte riešenie

Takže 2800 rubľov - 100%

2800 - 2520 = 280 (r) - suma, o ktorú telefón zlacnel

280 / 2800 * 100 = 10 (%)

odpoveď:

Cena mobilného telefónu sa od februára do septembra znížila o 10 %.

Diagram zobrazuje sedem najväčších krajín sveta podľa rozlohy (v miliónoch km2).

Ktoré z nasledujúcich tvrdení nesprávne?

1) Kanada je rozlohou najväčšia krajina na svete.
2) Rozloha Indie je 3,3 milióna km2.
3) Oblasť Číny viac plochyúzemí Austrálie.
4) Rozloha Kanady je o 1,5 milióna km 2 väčšia ako rozloha Spojených štátov.

Ako odpoveď zapíšte čísla vybraných výrokov bez medzier, čiarok alebo iných dodatočných znakov.

Ukážte riešenie

Na základe grafu je Kanada v rozlohe menejcenná ako Rusko, čo znamená prvé tvrdenie nesprávne .

Nad histogramom Indie je uvedená oblasť 3,3 milióna km 2, čo zodpovedá druhému tvrdeniu.

Podľa grafu je rozloha Číny 9,6 milióna km2 a plocha Austrálie je 7,7 milióna km2, čo zodpovedá tvrdeniu v treťom odseku.

Rozloha Kanady je 10,0 milióna km2 a rozloha Spojených štátov amerických je 9,5 milióna km2, t.j. takmer rovnaké. To znamená vyhlásenie 4 nesprávne .

odpoveď:

Podľa podmienok akcie každý dvadsiaty piaty balíček džúsu obsahuje výhru pod vrchnákom. Ceny sa rozdávajú náhodne. Vera kúpi kartón šťavy. Nájdite pravdepodobnosť, že Vera nenájde cenu vo svojom balíčku.

Ukážte riešenie

Riešenie tohto problému je založené na klasickom vzorci na určenie pravdepodobnosti:

kde m je počet priaznivých výsledkov udalosti a n je celkový počet výsledkov

Dostaneme

Pravdepodobnosť, že veru cenu nenájde, je teda 24/25 resp

odpoveď:

Pravdepodobnosť, že Vera nenájde výhru, je 0,96

Vytvorte súlad medzi funkciami a ich grafmi.

V tabuľke pod každým písmenom uveďte príslušné číslo.

Ukážte riešenie

Hyperbola zobrazená na obrázku 1 sa nachádza v druhej a štvrtej štvrtine, preto funkcia A môže zodpovedať tomuto grafu: a) pre x = -6, y = -(12/-6) = 2; b) pri x = -2, y = -(12/-2) = 6; c) pri x = 2, y = -(12/2) = -6; d) pri x = 6, y = -(12/6) = -2. Q.E.D.
Hyperbola znázornená na obrázku 2 sa nachádza v prvej a tretej štvrtine, preto funkcia B môže zodpovedať tomuto grafu, vykonajte kontrolu sami, analogicky ako v prvom príklade.
Hyperbola znázornená na obrázku 3 sa nachádza v prvej a tretej štvrtine, preto funkcia B môže zodpovedať tomuto grafu: a) pri x = -6, y = (12/-6) = -2; b) pri x = -2, y = (12/-2) = -6; c) pri x = 2, y = (12/2) = 6; d) pre x = 6, y = (12/6) = 2. Čo je potrebné dokázať.

odpoveď:

A - 1; B - 2; AT 3

Aritmetická progresia (a n) je daná podmienkami:

a1 = -9, an+1 = an + 4.

Nájdite súčet prvých šiestich členov.

Ukážte riešenie

a1 = -9, an+1 = an + 4.

a n + 1 = a n + 4 ⇒ d = 4

a n = a 1 + d (n-1)

a 6 = a 1 + d(n-1) = –9 + 4(6 – 1) = –9 + 20 = 11

S6 = (a1 + a6)∙6/2

S6 = (a1 + a6)∙3

S6 = (–9 + 11)∙3 = 6

odpoveď:

Nájdite význam výrazu

Ukážte riešenie

Otváranie zátvoriek. Nezabudnite, že prvá zátvorka je druhá mocnina súčtu.

odpoveď:

Plochu štvoruholníka je možné vypočítať pomocou vzorca

kde d 1 a d 2 sú dĺžky uhlopriečok štvoruholníka, a je uhol medzi uhlopriečkami. Pomocou tohto vzorca nájdite dĺžku uhlopriečky d 2 if

Ukážte riešenie

Pamätajte na pravidlo, ak máme trojposchodový zlomok, potom sa nižšia hodnota prenesie na vrch

odpoveď:

Uveďte riešenie nerovnosti

Ukážte riešenie

Ak chcete vyriešiť túto nerovnosť, musíte urobiť nasledovné:

a) posuňte člen 3x na ľavú stranu nerovnosti a 6 - do pravá strana, pričom nezabudnite zmeniť znamienka na opačné. Dostaneme:

b) Vynásobte obe strany nerovnosti záporným číslom -1 a nahraďte znamienko nerovnosti opačným.

c) nájdite hodnotu x

d) množinou riešení tejto nerovnosti bude číselný interval od 1,3 do +∞, čo zodpovedá odpovedi 3)

odpoveď:
3

Modul "Geometria"

Pri okne šiesteho poschodia domu bolo umiestnené požiarne schodisko v dĺžke 17 m. Spodný koniec schodiska je 8 m od steny V akej výške sa nachádza okno? Uveďte odpoveď v metroch.

Ukážte riešenie

Na obrázku vidíme obyčajný pravouhlý trojuholník pozostávajúci z prepony (schodisko) a dvoch nôh (stena domu a zem. Na zistenie dĺžky nohy použijeme Pytagorovu vetu:

IN správny trojuholník druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh c 2 = a 2 + b 2

Okno je teda umiestnené vo výške 15 metrov

odpoveď:

V trojuholníku ∆ ABC je to známe AB= 8, BC = 10, AC = 14. Nájdite cos∠ABC

Ukážte riešenie

Na vyriešenie tohto problému musíte použiť kosínusovú vetu. Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných 2 strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán a kosínusu uhla medzi nimi:

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cosα

AC² = AB² + BC² - 2 AB BC cos∠ABC
14² = 8² + 10² - 2 8 10 cos∠ABC
196 = 64 + 100 - 160 cos∠ABC

160 cos∠ABC = 164 – 196
160 cos∠ABC = -32
cos∠ABC = -32/160 = -0,2

odpoveď:

cos∠ABC = -0,2

Na kruhu so stredom v bode O označené body A A B takže ∠AOB = 15 o. Dĺžka menšieho oblúka AB je 48. Nájdite dĺžku väčšieho oblúka AB.

Ukážte riešenie

Je známe, že kruh má 360 stupňov. Na základe toho 15 o je:

360 o / 15 o = 24 - počet segmentov v kruhu 15 o

takže, 15 o tvorí 1/24 celého obvodu, čo znamená zvyšnú časť kruhu:

tie. zostávajúce 345 o (360 o - 15 o = 345 o) tvoria 23. časť celého kruhu

Ak je dĺžka menšieho oblúka AB je 48, potom dĺžka väčšieho oblúka AB bude:

odpoveď:

V hrazde A B C D je to známe AB = CD, ∠BDA= 35 o a ∠ BDC= 58 o. Nájdite uhol ∠ ABD. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Ukážte riešenie

Podľa podmienok problému máme rovnoramenný lichobežník. Uhly v základni rovnoramenného lichobežníka (horný a dolný) sú rovnaké.

∠ADC = 35 + 58 = 93°
∠DAB = ∠ADC = 93°

Teraz zvážte trojuholník ∆ABD ako celok. Vieme, že súčet uhlov trojuholníka je 180°. Odtiaľ:

∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 35 – 93 = 52°.

odpoveď:

Na kockovanom papieri je znázornený trojuholník s rozmermi 1x1 štvorca. Nájdite jeho oblasť.

Ukážte riešenie

Plocha trojuholníka sa rovná súčinu polovice základne trojuholníka (a) a jeho výšky (h):

a - dĺžka základne trojuholníka

h je výška trojuholníka.

Z obrázku vidíme, že základňa trojuholníka je 6 (bunky) a výška je 3 (bunky). Na základe toho dostaneme:

odpoveď:

Ktoré z nasledujúcich tvrdení je pravdivé?

Plocha kosoštvorca sa rovná súčinu jeho dvoch susedných strán a sínusu uhla medzi nimi.
Každá z osi rovnoramenný trojuholník je jeho medián.
Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je 360 stupňov.

Ako odpoveď napíšte číslo vybraného výpisu.

Ukážte riešenie

Táto úloha nie je úlohou. Tu uvedené otázky musíte poznať naspamäť a vedieť na ne odpovedať.

Toto vyhlásenie je absolútne správny.
Nesprávne, keďže podľa vlastností rovnoramenného trojuholníka môže mať iba jeden medián - to je priečinka nakreslená k základni. Je to tiež výška trojuholníka.
Nesprávne, keďže súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je 180°.

odpoveď:

Časť 2

Modul algebry

Vyriešte rovnicu

Ukážte riešenie

Presuňme výraz √6-x z pravá strana doľava

Zredukujme oba výrazy √6-x

Presuňme 28 na ľavú stranu rovnice

Máme pred sebou obyčajnú kvadratickú rovnicu.

región prijateľné hodnoty v tomto prípade je: 6 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 6

Ak chcete vyriešiť rovnicu, musíte nájsť diskriminant:

D = 9 + 112 = 121 = 11 2

x 1 = (3 + 11)/2 = 14/2 = 7 - nie je riešenie

x 2 = (3 - 11)/2 = -8/2 = -4

odpoveď:

Motorová loď prejde po rieke do cieľa 210 km a po zastavení sa vráti do východiskového bodu. Zistite rýchlosť lode na stojatej vode, ak je aktuálna rýchlosť 4 km/h, pobyt trvá 9 hodín a loď sa vráti do východiskového bodu 27 hodín po odchode.

Ukážte riešenie

x je teda vlastná rýchlosť lode

x + 4 - rýchlosť lode pozdĺž prúdu

x - 4 - rýchlosť lode proti prúdu

27 - 9 = 18 (h) - čas pohybu lode z miesta odchodu do miesta určenia a späť, s výnimkou parkovania

210 * 2 = 420 (km) - celková vzdialenosť prejdená loďou

Na základe vyššie uvedeného dostaneme rovnicu:

zredukovať na spoločného menovateľa a vyriešiť:

Na ďalšie riešenie rovnice je potrebné nájsť diskriminant:

y = x 2 + 4 x +4 (graf zobrazený červenou čiarou)

y = -45/x (graf zobrazený modrou čiarou)

Pozrime sa na obe funkcie:

y=x 2 +4x+4 na intervale [–5;+∞) je kvadratickej funkcie, graf je parabola, a=1 > 0 – vetvy smerujú nahor. Ak to zmenšíme pomocou vzorca pre druhú mocninu súčtu dvoch čísel, dostaneme: y=(x+2) 2 – posun grafu doľava o 2 jednotky, ako je vidieť z grafu.
y=–45/x je nepriama úmernosť, graf je hyperbola, vetvy sa nachádzajú v 2. a 4. štvrtine.

Z grafu je jasne vidieť, že priamka y=m má jeden spoločný bod s grafom pri m=0 a m > 9 a dva spoločné body pri m=9, t.j. odpoveď: m=0 a m≥9, skontrolujte:
Jeden spoločný bod vo vrchole paraboly y = x 2 + 4x +4

xo = -b/2a = -4/2 = -2

y 0 = -2 2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 +4 = 0 ⇒ c = 0

Dva spoločné body v x = – 5; y = 9 ⇒ c = 9

odpoveď:

Segmenty AB A CD sú akordy kruhu. Nájdite dĺžku akordu CD, Ak AB = 24 a vzdialenosť od stredu kruhu k akordom AB A CD sa rovnajú 16 a 12.

Ukážte riešenie

Trojuholníky ∆AOB a ∆COD sú rovnoramenné.

AK = BK = AB / 2 = 24 / 2 = 12

Segmenty OK a OM sú výšky a mediány.

Podľa Pytagorovej vety: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, máme

OB 2 = OK 2 + BK 2

OB 2 = 16 2 + 12 2 = 256 + 144 = 400

Vzhľadom na to, že OB je polomer, máme:

OB = OA = OC = OD = 20

Z trojuholníka ∆COM pomocou Pytagorovej vety dostaneme:

CM 2 = OC 2 – OM 2

CM 2 = 20 2 – 12 2 = 400 – 144 = 256

CD = CM * 2 = 16 * 2 = 32

Dĺžka akordu CD je 32.

odpoveď:

V hrazde A B C D s dôvodmi AD A B.C. uhlopriečky sa pretínajú v bode O. Dokážte, že plochy trojuholníkov ∆ AOB a ∆ TRESKA. rovný

Ukážte riešenie

Nech AD je spodná základňa lichobežníka a BC horná, potom AD>BC.

Nájdite obsahy trojuholníkov ∆ABD a ∆DCA:

S ∆ABD = 1/2 AD ∙ h1

S ∆DCA = 1/2 AD ∙ h2

Vzhľadom na to, že veľkosť základne AD a výška oboch trojuholníkov sú rovnaké, dospejeme k záveru, že plochy týchto trojuholníkov sú rovnaké:

S ∆ABD = S ∆DCA

Každý z trojuholníkov ∆ABD a ∆DCA pozostáva z dvoch ďalších trojuholníkov:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆ABD (súčet obsahov vnútorných trojuholníkov S ∆ABO a S ∆AOD sa rovná obsahu trojuholníka S ∆ABD)

S ∆DCO + S ∆AOD = S ∆DCA (súčet plôch vnútorných trojuholníkov S ∆DCO a S ∆AOD sa rovná obsahu trojuholníka S ∆DCA)

Ak sú plochy trojuholníkov S ∆ABD a S ∆DCA rovnaké, potom sa rovná aj súčet plôch ich vnútorných trojuholníkov. Odtiaľto dostaneme:

S ∆ABO + S ∆AOD = S ∆DCO + S ∆AOD

v tejto rovnosti sa na oboch stranách objaví rovnaký trojuholník - S ∆AOD, čo nám umožňuje skrátiť ho. Dostaneme nasledujúcu rovnosť:

S ∆ABO = S ∆DCO

Q.E.D.

odpoveď:

S ∆ABO = S ∆DCO

Na strane B.C. ostrý trojuholník ABC ako je polkruh zostrojený na priemere a pretína výšku AD v bode M, AD = 9, MD = 6, H- priesečník výšok trojuholníka ABC. Nájsť A.H..

Ukážte riešenie

Najprv nakreslíme trojuholník a polkruh, ako je uvedené v zadaní úlohy (obr. 1).

Označme priesečník kružnice so stranou AC písmenom F (obr. 2)

BF je výška trojuholníka ∆ABC, pretože pre kružnicu je ∠BFC vpísaný uhol, ktorý spočíva na oblúku 180° (BC je priemer), preto:

∠BFC=180°/2=90°

Podľa vety „dvoch sekantov“ máme: AF * AC = AM * AK

Teraz zvážte akord MK.

Úsečka BC je kolmica na úsečku MK, ktorá prechádza stredom kružnice, preto BC je odvesna.

To znamená, že BC delí akord MK na polovicu, t.j. MD = KD = 6 (pozri vyhlásenie o probléme)

Uvažujme trojuholníky ∆AHF a ∆ACD.

Uhol ∠DAC je spoločný pre oba trojuholníky.

A uhly ∠AFH a ∠ADC sú rovnaké, navyše sú to pravé uhly.

Preto podľa prvého kritéria podobnosti trojuholníkov sú tieto trojuholníky podobné.

Odtiaľ, podľa definície podobnosti, môžeme písať: AC / AH = AD / AF => AC * AF = AD * AH

Predtým sme uvažovali o rovnosti (podľa vety dvoch sekant) AF * AC = AM * AK, z ktorej získame

AM * AK = AD * AH

AH = (AM * AK) / AD

Z obrázku zistíme:

AM = AD – MD = 9 – 6 = 3

AK = AD + KD = 9 + 6 = 15

AH = 3 * 15/9 = 45/9 = 5

Odpoveď: AH = 5