Pri štúdiu ďalšej literatúry o riešení sústav rovníc som narazil na nový typ sústavy – symetrický. A dal som si za cieľ:

Zhrňte vedecké informácie na tému „Sústavy rovníc“.

Porozumieť a naučiť sa riešiť zavádzaním nových premenných;

3) Uvažujme o základných teóriách spojených so symetrickými sústavami rovníc

4) Naučiť sa riešiť symetrické sústavy rovníc.

História riešenia sústav rovníc.

Už dlho bolo zvykom vylúčiť neznáme z lineárne rovnice. V 17.-18.st. V. vylučovacie techniky vyvinuli Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.

V modernej notácii má sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi tvar: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 Riešenia tejto sústavy sú vyjadrené vzorcami.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Vďaka súradnicovej metóde vytvorenej v 17. stor. Fermat a Descartes, bolo možné riešiť sústavy rovníc graficky.

V starobabylonských textoch napísaných v 3.-2.tisícročí pred Kr. e. , obsahuje veľa problémov, ktoré možno riešiť zostrojením sústav rovníc, do ktorých sa zavádzajú aj rovnice druhého stupňa.

Príklad č. 1:

Pridal som obsahy mojich dvoch štvorcov: 25. Strana druhého štvorca sa rovná strane prvého a 5 ďalších Zodpovedajúci systém rovníc v zodpovedajúcom zápise vyzerá takto: x2 + y2 = 25, y = x. = 5

Diophantus, ktorý nemal zápisy pre veľa neznámych, sa veľmi snažil vybrať neznámu tak, aby sa riešenie sústavy zredukovalo na riešenie jedinej rovnice.

Príklad č. 2:

„Nájdi dve prirodzené čísla vediac, že ​​ich súčet je 20 a súčet ich štvorcov je 208."

Problém bol tiež vyriešený zostavením sústavy rovníc, x + y = 20, ale vyriešené x2 + y2 = 208

Diophantus, pričom polovicu rozdielu požadovaných čísel zvolil ako neznámu, t.j.

(x – y) = z, + (x + y) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- nespĺňa podmienky úlohy, teda ak z = 2x = 12 a y = 8

Pojmy sústavy algebraických rovníc.

V mnohých úlohách je potrebné nájsť niekoľko neznámych veličín s vedomím, že ostatné veličiny vytvorené pomocou nich (funkcie neznámych) sa rovnajú jedna druhej alebo niektorým daným veličinám. Pozrime sa na jednoduchý príklad.

Pozemok obdĺžnikového tvaru o výmere 2400 m2 je oplotený plotom dĺžky 200 m. nájsť dĺžku a šírku pozemku. V skutočnosti je „algebraický model“ tohto problému systémom dvoch rovníc a jednej nerovnosti.

Na prípadné nerovnosti treba vždy pamätať. Keď riešite problémy týkajúce sa skladania sústav rovníc. Hlavná vec je však vyriešiť samotné rovnice. Poviem vám o metódach, ktoré sa používajú.

Začnime s definíciami.

Systém rovníc je súbor niekoľkých (viac ako jednej) rovníc spojených zloženou zátvorkou.

Zložená zátvorka znamená, že všetky rovnice systému musia byť vykonané súčasne, a ukazuje, že musíte nájsť pár čísel (x; y), ktorý zmení každú rovnicu na skutočnú rovnosť.

Riešením systému je dvojica čísel x a y, ktoré po dosadení do tohto systému prevedú každú z jeho rovníc na správnu číselnú rovnosť.

Riešiť sústavu rovníc znamená nájsť všetky jej riešenia alebo zistiť, že žiadne neexistujú.

Substitučná metóda.

Metóda substitúcie spočíva v tom, že v jednej z rovníc je jedna premenná vyjadrená v podmienkach inej. Výsledný výraz sa dosadí do inej rovnice, ktorá sa potom stane rovnicou s jednou premennou, a potom sa vyrieši. Výsledné hodnoty tejto premennej sa dosadia do ľubovoľnej rovnice pôvodného systému a nájde sa druhá premenná.

Algoritmus.

1. Vyjadrite y pomocou x z jednej rovnice sústavy.

2. Dosaďte výsledný výraz namiesto y do inej rovnice sústavy.

3. Vyriešte výslednú rovnicu pre x.

4. Do výrazu y až x získaného v prvom kroku postupne dosaďte každý z koreňov rovnice nájdenej v treťom kroku namiesto x.

5) Napíšte odpoveď vo forme párov hodnôt (x; y).

Príklad č. 1 y = x – 1,

Dosadíme do druhej rovnice y = x - 1, dostaneme 5x + 2 (x - 1) = 16, odkiaľ x = 2. Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice: y = 2 - 1 = 1.

Odpoveď: (2; 1).

Príklad č. 2:

8r – x = 4, 1) 2 (8r – 4) – 21r = 2

2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2

5r = 10 x = 8r – 4, y = -2

2 x – 21 у = 2

2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8 rokov – 4, x = -20

2 (8r – 4) – 21r = 2 x = 8r – 4, y = -2 x = -20, y = -2

Odpoveď: (-20; -2).

Príklad č. 3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – kvadratická rovnica y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8

Preto (-2; -4); (4; 8) – riešenia tohto systému.

Spôsob pridávania.

Metóda sčítania spočíva v tom, že ak daný systém pozostáva z rovníc, ktoré po sčítaní tvoria rovnicu s jednou premennou, vyriešením tejto rovnice získame hodnoty jednej z premenných. Nájde sa hodnota druhej premennej, ako pri substitučnej metóde.

Algoritmus riešenia systémov metódou sčítania.

1. Vyrovnajte moduly koeficientov pre jednu z neznámych.

2. Sčítaním alebo odčítaním výsledných rovníc nájdite jednu neznámu.

3. Dosadením nájdenej hodnoty do jednej z rovníc pôvodnej sústavy nájdite druhú neznámu.

Príklad č.1. Riešte sústavu rovníc metódou sčítania: x + y = 20, x – y = 10

Odčítaním druhej od prvej rovnice dostaneme

Vyjadrime z druhého výrazu x = 20 - y

Dosaďte y = 5 do tohto výrazu: x = 20 – 5 x = 15.

Odpoveď: (15; 5).

Príklad č. 2:

Predstavme si rovnice navrhovaného systému vo forme rozdielu, ktorý získame

7y = 21, odkiaľ y = 3

Dosadíme túto hodnotu do x = vyjadrené z druhej rovnice sústavy, dostaneme x = 4.

Odpoveď: (4; 3).

Príklad č. 3:

2x + 11r = 15,

10x – 11r = 9

Pridaním týchto rovníc máme:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2, dosadením tejto hodnoty do druhej rovnice dostaneme:

10 * 2 – 11y = 9, odkiaľ y = 1.

Riešením tohto systému je dvojica: (2; 1).

Grafická metóda riešenia sústav rovníc.

Algoritmus.

1. Zostrojte grafy každej zo systémových rovníc.

2. Nájdite súradnice priesečníka zostrojených čiar.

Deje sa relatívnu polohu priame čiary v rovine.

1. Ak sa priamky pretínajú, teda majú jeden spoločný bod, tak sústava rovníc má jedno riešenie.

2. Ak sú priamky rovnobežné, to znamená, že nemajú spoločné body, potom sústava rovníc nemá riešenia.

3. Ak sa priamky zhodujú, teda majú veľa bodov, tak sústava rovníc má nekonečný počet riešení.

Príklad č. 1:

Riešte graficky sústavu rovníc x – y = -1,

Vyjadrime y z prvej a druhej rovnice: y = 1 + x, y = 4 – 2x x

Zostavme grafy každej zo systémových rovníc:

1) y = 1 + x – graf funkcie je priamka x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y = 4 – 2x – graf funkcie je priamka x 0 1 y 4 2

Odpoveď: (1; 2).

Príklad č. 2: y x ​​​​+ 2y = 6,

4y = 8 – 2x x y = , y = y = - graf funkcie je priamka x 0 2 y 3 2 y = - graf funkcie je priamka x 0 2 y 2 1

Odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

Príklad č. 3: y x ​​– 2y = 2,

3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - graf funkcie je priamka x 0 2 y -1 0

Odpoveď: systém má nekonečné množstvo riešení.

Metóda zavádzania nových premenných.

Metóda zavádzania nových premenných spočíva v tom, že nová premenná je zavedená iba do jednej rovnice alebo dvoch nových premenných pre obe rovnice naraz, potom sa rovnica alebo rovnice riešia s ohľadom na nové premenné a potom zostáva riešiť ďalšie jednoduchý systém rovníc, z ktorých nájdeme požadované riešenie.

Príklad č. 1:

X + y = 5

Označme = z, potom =.

Prvá rovnica bude mať tvar z + =, je ekvivalentná 6z – 13 + 6 = 0. Po vyriešení výslednej rovnice máme z = ; z =. Potom = alebo = , inými slovami, prvá rovnica sa rozdelí na dve rovnice, preto máme dva systémy:

X + y = 5 x + y = 5

Riešenia týchto systémov sú riešeniami daného systému.

Riešením prvého systému je dvojica: (2; 3) a druhým je dvojica (3; 2).

Preto riešenia sústavy + = , x + y = 5

Páry sú (2; 3); (3; 2)

Príklad č. 2:

Nech = X, a = Y.

X = 5* - 2Y = 1

5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7,5 U – 2 U = 1

X = , -9,5 U = -19

5* - 2U = 1 U = 2

Urobíme spätnú výmenu.

2 x = 1, y = 0,5

Odpoveď: (1; 0,5).

Symetrické sústavy rovníc.

Systém s n neznámymi sa nazýva symetrický, ak sa nezmení, keď sa neznáme preusporiadajú.

Symetrickú sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi x a y riešime dosadením u = x + y, v = xy. Všimnite si, že výrazy, ktoré sa vyskytujú v symetrické systémy ax sú vyjadrené pomocou u a v. Uveďme niekoľko takýchto príkladov, ktoré sú nepochybne zaujímavé pre riešenie mnohých symetrických systémov: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v atď.

Symetrický systém troch rovníc pre neznáme x y, z riešime dosadením x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Ak sa nájde u, v, w, zostaví sa kubická rovnica t2 – ut2 + vt – w = 0, ktorej korene t1, t2, t3 v rôznych permutáciách sú riešenia pôvodnej sústavy. Najbežnejšie výrazy v takýchto systémoch sú vyjadrené pomocou u, v, w takto: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Príklad č. 1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Nech x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, u = 4, v = 3, u = 4

Urobíme spätnú výmenu.

Odpoveď: (1; 3); (3; 1).

Príklad č. 2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Nech x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 – 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Urobíme spätnú výmenu.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Odpoveď: (1; 3); (3; 1).

Príklad č. 3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Nech x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4, v = 3, u = 4

Urobíme spätnú výmenu.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Odpoveď: (1; 3); (3; 1).

Príklad č. 4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Nech x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Urobíme spätnú výmenu.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Odpoveď: (4; 1); (14).

Príklad č. 5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Urobme zámenu neznámych, sústava bude mať tvar u2 + v = 49, u + v = 23

Sčítaním týchto rovníc dostaneme u2 + u – 72 = 0 s koreňmi u1 = 8, u2 = -9. Podľa toho v1 = 15, v2 = 32. Zostáva vyriešiť množinu sústav x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

Sústava x + y = 8, má riešenia x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

Sústava x + y = -9 nemá reálne riešenia.

Odpoveď: (3; 5), (5; 3).

Príklad č.6. Vyriešte sústavu rovníc.

2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Pomocou základných symetrických polynómov u = y + x a v = xy dostaneme nasledujúci systém rovnice

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

Dosadením výrazu v = -3 – u z druhej rovnice sústavy do prvej rovnice dostaneme nasledujúcu rovnicu 2u2 + 7u + 5 = 0, ktorej korene sú u1 = -1 a u2 = -2,5; a podľa toho sa hodnoty v1 = -2 a v2 = -0,5 získajú z v = -3 – u.

Teraz zostáva vyriešiť nasledujúcu množinu systémov x + y = -1 a x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5

Riešenia tejto množiny systémov, a teda pôvodného systému (vzhľadom na ich ekvivalenciu), sú nasledovné: (1; -2), (-2; 1), (;).

Príklad č. 7:

3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,

2x – 3xy + 2y + 8 = 0

Pomocou základných symetrických polynómov je možné systém zapísať v nasledujúcom tvare

3uv – 2v = 78,

Vyjadrením u = z druhej rovnice a jej dosadením do prvej rovnice dostaneme 9v2 – 28v – 156 = 0. Korene tejto rovnice v1 = 6 a v2 = - nám umožňujú nájsť zodpovedajúce hodnoty u1 = 5, u2 = - z výrazu u =.

Vyriešme teraz nasledujúcu množinu sústav x + y = 5 a x + y = -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y a y = -x -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y a y = -x -, y (5 - y) = 6 x (-x -) = -.

x = 5 – y a y = -x - , y1 = 3, y2 = 2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 a x1 = , x2 = - y1= 3, y2 = 2 y1 = -, y2 =

Odpoveď: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Záver.

V procese písania tohto článku som sa stretol odlišné typy sústavy algebraických rovníc. Súhrnné vedecké informácie na tému „Systémy rovníc“.

Prišiel som na to a naučil som sa riešiť zavádzaním nových premenných;

Zopakoval si základné teórie spojené so symetrickými sústavami rovníc

Naučil sa riešiť symetrické sústavy rovníc.

− 4 1+ 4

−6

27≡ 0,

−4 x +4 r +27

+(y +6)

x = 1, x

(x-1)

= −6.

y = -6

Všimnite si, že riešenie druhej rovnice ešte nie je riešením systému. Výsledné čísla musia byť dosadené do zostávajúcej prvej rovnice systému. V tomto prípade po substitúcii získame identitu.

Odpoveď: (1, – 6).♦

§5. Homogénne rovnice a systémov
Funkcia f(x,y)	volal	homogénne		k ak
f (tx, ty) = tk f(x, y) .	Napríklad funkcia f (x ,y ) = 4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2
je homogénna stupňa 4, pretože		f (tx, ty) = 4	(tx )3 (ty )− 5 (tx )(ty )3 +
+ (tx) 2 (ty) 2 = t 4 (4x 3 y − 5xy 3 + x 2 y 2) . Rovnica f(x,y) = 0, kde				f (x, y) –

homogénna funkcia sa nazýva homogénna. Ide o rovnicu

s jednou neznámou, ak zavediete novú premennú t = x y.

f (x, y) = a,

Systém s dvoma premennými g (x, y) = b, kde (x,y) ,g (x,y) –

homogénne funkcie rovnakého stupňa sa nazývajú homogénne. Ak ab ≠ 0, vynásobte prvú rovnicu b, druhú a a

Zoberieme jeden od druhého a dostaneme ekvivalentný systém

bf (x, y) − ag(x, y) = 0, g(x, y) = b.

Prvá rovnica zmenou premenných t =

(alebo t =

) sa zníži na

rovnica s jednou neznámou.

Ak a = 0

(b = 0), potom rovnicu f (x ,y ) = 0 (g (x ,y ) = 0) nahradením

premenné t =

(alebo t =

) sa zredukuje na rovnicu s jednou neznámou

− xy + y

21 ,

Príklad 20. (MSU, 2001, Chemická fakulta) Vyriešte sústavu

− 2xy + 15= 0.

akademický rok 2012-2013 ročník, č.1, 11. ročník. Matematika. Algebraické rovnice, nerovnosti, systémy

− xy + y2 = 21,

− xy + y 2

y2 − 2 xy

−2 xy = −15

2xy = - 15

x ≠ 0,y ≠ 0;

19 ± 11

5x 2 − 19xy + 12r 2 = 0 5

− 19

12 = 0

−2 xy = −15

x = 3 y,

y = ±5.

3 ) ,

(− 3 3;−

3 ) ,(4; 5) ,

(− 4;− 5) .♦

§6. Symetrické systémy

f(x,y)

volal

symetrický,

f (x, y) = f(y, x) .

f (x, y) = a

Systém rovníc tvaru

kde f (x ,y ) ,g (x ,y ) – symetrický

g(x, y) = b,

ric, sa nazýva symetrický systém. Takéto systémy riešia

vyskytujú častejšie	len predstavením nového	premenné
x + y = u, xy

x 3+ x 3 r 3+ y 3= 17,

Príklad 21. Vyriešte sústavu rovníc

x + xy + y = 5 .

♦ Ide o algebraický (symetrický) systém, zvyčajne sa rieši nahradením x + y = u,xy = v. Všímajúc si to

x 3+ x 3y 3+ y 3= (x + y ) (x 2− xy + y 2) + x 3y 3=

= (x+ y) ((x+ y) 2 − 3 xy) + x3 y3 = u(u2 − 3 v) + v3 ,

prepíšeme systém do formulára

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesniková Sofia Ilyinichna

akademický rok 2012-2013 ročník, č.1, 11. ročník. Matematika. Algebraické rovnice, nerovnice, sústavy

− 3 UV+ v

u = 5 − v,

6 =0

V = 5

-5v

v = 3, u = 2

(v starých premenných)

x + y = 2,

x = 2 −y ,

xy = 3,

y 2 − 2 y + 3 = 0

x + y = 3,

x = 3 − y,

x = 2, y = 1,

y -3 y +2 = 0

x = 1, y = 2.

xy = 2,

Odpoveď: (2;1),

(1; 2) .♦

Literatúra

1. S. I. Kolesnikova „Intenzívny prípravný kurz na jednotnú štátnu skúšku“. Moskva, Iris – Press;

2. "Riešenie komplexné úlohy Jednotná štátna skúška" Moskva, Iris - Press alebo "Waco", 2011;

3. Časopis „Potenciál“ č.1–2 za rok 2005 – články S.I. Kolesnikovej „Iracionálne rovnice“ a „ Iracionálne nerovnosti»;

4. S. I. Kolesnikova „Iracionálne rovnice“, Moskva, 2010,

Azbuka LLC;

5. S. I. Kolesnikova „Iracionálne nerovnosti“, Moskva, 2010, LLC „Azbuka“;

6. S.I. Kolesnikova „Rovnice a nerovnosti obsahujúce moduly“, Moskva, 2010, Azbuka LLC.

Kontrolné otázky

1(2). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, ktorý obsahuje všetky riešenia nerovnosti 5x + 1≥ 2(x − 1) .

2(2). Vyriešte nerovnosťx 3 + 8x 2 − 20x ≤ 2x − 4 (nie je potrebné riešiť kubickú rovnicu, pretože vpravo a vľavo je faktor x − 2).

3(2). Vyriešte nerovnosť 2− x ≥ x − 3.

4(2). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, do ktorého sa

zožať všetky riešenia nerovnosti	x2 + 5 x− 84	≤ 0 .
	(x + 13) (x + 14)

5(3). Nájdite súčet druhých mocnín celočíselných riešení nerovnosti

© 2012, ZFTSH MIPT. Kolesniková Sofia Ilyinichna

akademický rok 2012-2013 ročník, č.1, 11. ročník. Matematika. Algebraické rovnice, nerovnice, sústavy

4 −x −8 +x ≤x +6 .

6(3). Vyriešte nerovnosť 5+ x − 8− x ≤ 3− x .

7(3). Vyriešte nerovnosť		−x 3 −x −1			≤x.
						9 − 4x − (x + 3) )
8(3). Vyriešte nerovnosť		4 −x −(x +2) )(					≤ 0.
			(x + 1 ) (x − 2 ) (x − 3 )

9(4). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, do ktorého sa

zožať všetky riešenia nerovnosti
			x+5				x+2				144 − x< 0.
			X−2				4 x -5		6x - 6

10(2). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, ktorý obsahuje všetky riešenia nerovnice 8x − 8≤ 32+ 4x − x 2 .

11(4). Nájdite súčet druhých mocnín všetkých celočíselných riešení nerovníc

2(2). Nájdite najkratšiu dĺžku intervalu, ktorý obsahuje
			(x − 1 )3 (x + 3 )
všetky riešenia nerovnosti										≤ 0 .
			2x - 1				x - 2		) (x − 1 )

3(2). Vyriešte nerovnosť

4 (x− 3 ) 4 ≥ 4 (x− 7 ,5 ) 4 .

4(4). Vyriešte nerovnosť

x2 + 3 x− 4

x 2-16

2x 2 + 3x - 20

5(3). Vyriešte nerovnosť (x 2	X +1) 2 -2 x 3 + x 2 + x -3 x 2		≥ 0 .
vlastnosti 4 − 2x − 1≤ 3.	Úlohy
	− 5x + 6+ 9− 2x − 5 akademický rok 2012-2013 ročník, č.1, 11. ročník. Matematika. Algebraické rovnice, nerovnice, sústavy 7(4). Nájdite všetky hodnoty parametrov a , pre každú z nich funkcia f (x) = x 2 + 4x + x 2- x - 1 − a iba akceptuje nepopieranie- telické významy. 8(4). Vyriešte rovnicu 4 x − 3 x - 1 5x + 14− 3 5x + 14-1 9(4). Vyriešte rovnicu x 2-5 + x 2 −3 = x +1 + x + 3. 24 − x 2 9 2 x 10(3). Vyriešte nerovnosť ≥ 0 . x2 − 4 7 x − 10 11(3). Traja pretekári štartujú súčasne z jedného bodu na kruhovej trati a jazdia konštantnou rýchlosťou v rovnakom smere. Prvý jazdec prvýkrát dobehol druhého, pričom svoje piate kolo zajazdil v bode diametrálne odlišnom od štartu a pol hodiny na to dobehol tretieho jazdca druhýkrát, nepočítajúc štart. . Druhý jazdec prvýkrát dobehol tretieho 3 hodiny po štarte. Koľko kôl za hodinu spraví prvý jazdec, ak druhý prejde kolo aspoň za dvadsať minút? © 2012, ZFTSH MIPT. Kolesniková Sofia Ilyinichna

Úvod Problémom môjho projektu je, aby bol úspešný zloženie jednotnej štátnej skúšky vyžaduje schopnosť riešiť rôzne systémy rovníc a v poznaní stredná škola Na hlbšie pochopenie tejto problematiky nedostali dostatok času. Cieľ práce: pripraviť sa na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky. Ciele práce: Rozšíriť si vedomosti v oblasti matematiky súvisiacej s pojmom „symetria“. Zlepšite svoju matematickú kultúru pomocou konceptu „symetrie“ pri riešení systémov rovníc nazývaných symetrický, ako aj iných problémov v matematike.

Pojem symetria. Symetria - (staroveká gréčtina συμμετρία), v širšom zmysle - nemennosť pri akýchkoľvek transformáciách. Napríklad sférická symetria telesa znamená, že vzhľad telesa sa nezmení, ak sa otáča v priestore pod ľubovoľnými uhlami. Dvojstranná symetria znamená, že pravá a ľavá strana vo vzťahu k nejakej rovine vyzerajú rovnako.

Riešenie problémov pomocou symetrie. Úloha č. 1 Dvaja ľudia sa striedajú v ukladaní rovnakých mincí na okrúhly stôl, pričom mince by sa nemali navzájom prekrývať. Prehráva ten, kto sa nedokáže pohnúť. Kto kedy vyhrá správna hra? (Inými slovami, ktorý hráč má víťaznú stratégiu?)

Metódy riešenia symetrických systémov. Symetrické systémy možno riešiť zmenou premenných, ktoré hrajú základné symetrické polynómy. Symetrickú sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi x a y riešime dosadením u = x + y, v = xy.

Príklad č.2 3 x 2y – 2xy + 3xy 2 = 78, 2x – 3xy + 2y + 8 = 0 Pomocou základných symetrických polynómov je možné sústavu zapísať v tvare 3uv – 2v = 78, 2u – 3v = -8 . Vyjadrením u = z druhej rovnice a jej dosadením do prvej rovnice dostaneme 9v2– 28v – 156 = 0. Korene tejto rovnice v 1 = 6 a v 2 = - nám umožňujú nájsť zodpovedajúce hodnoty u1 = 5, u2= - z výrazu u = .

Riešime teraz nasledujúcu množinu systémov Riešime teraz nasledujúcu množinu systémov x + y = 5 a x + y = - , xy = 6 xy = - . x = 5 – y a y = -x -, xy = 6 xy = -. x = 5 – y a y = -x -, y (5 - y) = 6 x (-x -) = -. x = 5 – y a y = -x -, y 1 = 3, y 2 = 2 x 1 =, x 2 = - x 1 = 2, x 2 = 3 a x 1 =, x 2 = - y 1= 3, y 2 = 2 y 1 = -, y 2 = Odpoveď: (2; 3), (3; 2), (; -), (- ;).

Vety používané pri riešení symetrických systémov. Veta 1. (o symetrických polynómoch) Akýkoľvek symetrický polynóm v dvoch premenných môžeme znázorniť ako funkciu dvoch základných symetrických polynómov Inými slovami, pre každý symetrický polynóm f (x, y) existuje funkcia dvoch premenných φ (u). , v) také, že

Veta 2. (o symetrických polynómoch) Veta 2. (o symetrických polynómoch) Akýkoľvek symetrický polynóm v troch premenných môže byť reprezentovaný ako funkcia troch hlavných symetrických polynómov: Inými slovami, pre každý symetrický polynóm f (x, y) existuje taká funkcia troch premenných θ (u, v, w), ktorá

Zložitejšie symetrické systémy - systémy obsahujúce modul: | x – y | + y2 = 3, | x – 1 | + | r – 1 | = 2. Uvažuj tento systém samostatne na x< 1 и при х ≥ 1. Если х < 1, то: а) при у < х система принимает вид х – у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или х – у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = - 3, у2 = 3. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области;

b) pre x ≤ y< 1 система принимает вид б) при х ≤ у < 1 система принимает вид - х + у + у 2 = 3, - х + 1 – у + 1 = 2, или - х + у + у 2 = 3, х + у = 0, откуда находим х 1 = 3, у 1 = - 3; х 2 = - 1, у 2 = 1. Эти пары чисел не принадлежат к рассматриваемой области; в) при у ≥ 1 (тогда у >x) sústava má tvar - x + y + y 2 = 3, - x + 1 + y – 1 = 2, alebo - x + y + y 2 = 3, x – y = - 2, odkiaľ zistíme x 1 = - 3, y 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 1. Druhá dvojica čísel patrí do uvažovanej oblasti, to znamená, že je riešením tohto systému.

Ak x ≥ 1, potom: Ak x ≥ 1, potom: a) x > y a y< 1 система принимает вид х – у + у 2 = 3, х – 1 – у = 1 = 2, или х – у + у 2= 3, х – у = 2, откуда находим х 1 = 1, у 1 = - 1, х 2 = 4, у 2 = 2. Первая пара чисел принадлежит рассматриваемой области, т. Е. является решением данной системы; б) при х >y a y ≥ 1 systém nadobúda tvar x – y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2, alebo x – y + y 2 = 3, x + y = 4, odkiaľ nájdeme x = 1, y = 3. Táto dvojica čísel nepatrí do posudzovaného regiónu;

c) pre x ≤ y (potom y ≥ 1) má systém tvar c) pre x ≤ y (potom y ≥ 1) má systém tvar - x + y + y 2 = 3, x – 1 + y – 1 = 2 alebo - x + y + y 2 = 3, x + y = 4, odkiaľ nájdeme x 1 = 5 + √8, y 1 = - 1 - √8; x 2 = 5 - √8, y2 = - 1 + √8. Tieto dvojice čísel nepatria do príslušného regiónu. Teda xi = -1, yi = 1; x 2 = 1, y 2 = - 1. Odpoveď: (- 1; 1); (jedenásť).

Záver Matematika rozvíja ľudské myslenie, učí nás nachádzať rôzne riešenia prostredníctvom logiky. Keď som sa teda naučil riešiť symetrické systémy, uvedomil som si, že sa dajú použiť nielen na riešenie konkrétne príklady, ale ja som za riešenie rôznych druhov problémov. Myslím si, že projekt môže byť prínosom nielen pre mňa. Pre tých, ktorí sa chcú tiež oboznámiť s touto témou, bude moja práca dobrým pomocníkom.

Zoznam použitej literatúry: Bashmakov M.I., „Algebra a začiatky analýzy“, 2. vydanie, Moskva, „Prosveshchenie“, 1992, 350 s. Rudchenko P.A., Yaremchuk F.P., „Algebra and elementárne funkcie", príručka; tretie vydanie, revidované a rozšírené; Kyjev, Naukova, Dumka, 1987, 648 s. Sharygin I.F., „Matematika pre stredoškolákov“, Moskva, vydavateľstvo „Drofa“, 1995, 490 s. Internetové zdroje: http://www.college ru/.

Práca môže byť použitá na hodiny a správy z predmetu "Matematika"

Hotové prezentácie z matematiky sa používajú ako názorné pomôcky, ktoré umožňujú učiteľovi alebo rodičovi demonštrovať preberanú tému z učebnice pomocou snímok a tabuliek, ukázať príklady riešenia úloh a rovníc a tiež otestovať vedomosti. V tejto časti stránky si môžete nájsť a stiahnuť mnoho hotových prezentácií z matematiky pre študentov 1., 2., 3., 4., 5., 6. ročníka, ako aj prezentácií z vyššej matematiky pre študentov vysokých škôl.

Domov > Riešenie

Racionálne rovnice a nerovnice

I. Racionálne rovnice.

Lineárne rovnice.

Sústavy lineárnych rovníc.

Recipročné rovnice.

Vietov vzorec pre polynómy vyšších stupňov.

Sústavy rovníc druhého stupňa.

Metóda na vnášanie nových neznámych pri riešení rovníc a sústav rovníc.

Homogénne rovnice.

Riešenie symetrických sústav rovníc.

Rovnice a sústavy rovníc s parametrami.

Grafická metóda riešenia sústav nelineárnych rovníc.

Rovnice obsahujúce znamienko modulu.

Základné metódy riešenia racionálnych rovníc

II. Racionálne nerovnosti.

Vlastnosti ekvivalentných nerovností.

Algebraické nerovnosti.

Intervalová metóda.

Zlomkové racionálne nerovnosti.

Nerovnice obsahujúce neznámu pod znamienkom absolútnej hodnoty.

Nerovnosti s parametrami.

Systémy racionálnych nerovností.

Grafické riešenie nerovností.

III. Skríningový test.

Racionálne rovnice

Funkcia formulára

P(x) = a 0 x n + a 1 x n – 1 + a 2 x n – 2 + … + a n – 1 x + a n,

kde n je prirodzené číslo, a 0, a 1,…, a n sú nejaké reálne čísla, nazývané celá racionálna funkcia.

Rovnica v tvare P(x) = 0, kde P(x) je celá racionálna funkcia, sa nazýva celá racionálna rovnica.

Rovnica formulára

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + … + P m (x) / Q m (x) = 0,

kde P 1 (x), P 2 (x), ..., P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), ..., Q m (x) sú celé racionálne funkcie, tzv. racionálna rovnica.

Riešenie racionálna rovnica P (x) / Q (x) = 0, kde P (x) a Q (x) sú polynómy (Q (x)  0), redukuje sa na vyriešenie rovnice P (x) = 0 a kontrolu, či korene spĺňajú podmienka Q (x)  0.

Lineárne rovnice.

Rovnica v tvare ax+b=0, kde a a b sú nejaké konštanty, sa nazýva lineárna rovnica.

Ak a0, potom lineárna rovnica má jeden koreň: x = -b /a.

Ak a=0; b0, potom lineárna rovnica nemá riešenia.

Ak a=0; b=0, potom prepísaním pôvodnej rovnice do tvaru ax = -b je ľahké vidieť, že akékoľvek x je riešením lineárnej rovnice.

Rovnica priamky je: y = ax + b.

Ak priamka prechádza bodom so súradnicami X 0 a Y 0, potom tieto súradnice spĺňajú rovnicu priamky, t.j. Y 0 = aX 0 + b.

Príklad 1.1. Vyriešte rovnicu

2x – 3 + 4 (x – 1) = 5.

Riešenie. Postupne otvorte zátvorky, pridajte podobné výrazy a nájdite x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

Príklad 1.2. Vyriešte rovnicu

2x – 3 + 2 (x – 1) = 4 (x – 1) – 7.

Riešenie. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Odpoveď: .

Príklad 1.3. Vyriešte rovnicu.

2x + 3 – 6 (x – 1) = 4 (x – 1) + 5.

Riešenie. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

4x + 4x = 9 – 9,

Odpoveď: Akékoľvek číslo.

Sústavy lineárnych rovníc.

Rovnica formulára

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

kde a 1, b 1, …, a n, b sú nejaké konštanty, nazývané lineárna rovnica s n neznámymi x 1, x 2, …, x n.

Systém rovníc sa nazýva lineárny, ak sú všetky rovnice zahrnuté v systéme lineárne. Ak sa systém skladá z n neznámych, potom sú možné tieto tri prípady:

systém nemá riešenia;

systém má práve jedno riešenie;

systém má nekonečne veľa riešení.

Príklad 2.4. riešiť sústavu rovníc

Riešenie. Systém lineárnych rovníc môžete vyriešiť pomocou substitučnej metódy, ktorá pozostáva z vyjadrenia jednej neznámej pomocou iných neznámych pre ľubovoľnú rovnicu systému a následného dosadenia hodnoty tejto neznámej do zostávajúcich rovníc.

Z prvej rovnice vyjadríme: x= (8 – 3y) / 2. Tento výraz dosadíme do druhej rovnice a dostaneme sústavu rovníc

X = (8 – 3y) / 2, 3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7. Z druhej rovnice dostaneme y = 2. Ak to vezmeme do úvahy, z prvej rovnice x = 1. Odpoveď: (1 2. Príklad 2.5. Riešiť sústavu rovníc

Riešenie. Systém nemá riešenia, pretože dve rovnice systému nemôžu byť splnené súčasne (z prvej rovnice x + y = 3 az druhej x + y = 3,5).

Odpoveď: Neexistujú žiadne riešenia.

Príklad 2.6. riešiť sústavu rovníc

Riešenie. Systém má nekonečne veľa riešení, keďže druhá rovnica sa získa z prvej vynásobením 2 (t.j. v skutočnosti existuje len jedna rovnica s dvoma neznámymi).

Odpoveď: Riešení je nekonečne veľa.

Príklad 2.7. riešiť sústavu rovníc

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Riešenie. Pri riešení sústav lineárnych rovníc je vhodné použiť Gaussovu metódu, ktorá spočíva v transformácii sústavy do trojuholníkového tvaru.

Prvú rovnicu sústavy vynásobíme – 2 a výsledný výsledok pripočítame k druhej rovnici – 3y + 6z = – 3. Túto rovnicu môžeme prepísať ako y – 2z = 1. Sčítaním prvej rovnice s po tretie, dostaneme 7y = 7 alebo y = 1.

Systém tak nadobudol trojuholníkový tvar

x + y – z = 2,

Dosadením y = 1 do druhej rovnice zistíme z = 0. Dosadením y = 1 az = 0 do prvej rovnice zistíme x = 1. Odpoveď: (1; 1; 0) Príklad 2.8. pri akých hodnotách parametra a je sústava rovníc

2x + ay = a + 2,

(a + 1) x + 2ay = 2a + 4

má nekonečne veľa riešení? Riešenie. Z prvej rovnice vyjadríme x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Dosadením tohto výrazu do druhej rovnice dostaneme

(a + 1) (– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Pri analýze poslednej rovnice si všimneme, že pre a = 3 má tvar 0y = 0, t.j. vyhovuje pre akékoľvek hodnoty y. odpoveď: 3.

Kvadratické rovnice a rovnice na ne redukovateľné.

Rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde a, b a c sú nejaké čísla (a0);

x je premenná nazývaná kvadratická rovnica.

Vzorec na riešenie kvadratickej rovnice.

Najprv vydeľme obe strany rovnice ax 2 + bx + c = 0 a - tým sa nezmenia jej korene. Na vyriešenie výslednej rovnice

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

vyberte celý štvorec na ľavej strane

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2 (b / 2a) x + (b / 2a) 2) – (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 – (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – ((b 2 – 4ac) / (4a 2 )).

Pre stručnosť označujeme výraz (b 2 – 4ac) D. Potom výsledná identita nadobúda tvar

Možné sú tri prípady:

ak je číslo D kladné (D > 0), potom v tomto prípade môžeme extrahovať z D Odmocnina a napíšte D v tvare D = (D) 2. Potom

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2, preto identita nadobúda tvar

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / 2a) 2 .

Pomocou vzorca rozdielu štvorcov odvodíme odtiaľto:

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a)) (x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x – ((-b + D) / 2a)) (x – ((– b – D) / 2a)).

Veta: Ak totožnosť platí

ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2),

potom kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0 pre X 1  X 2 má dva korene X 1 a X 2 a pre X 1 = X 2 - iba jeden koreň X 1.

Na základe tejto vety z vyššie odvodenej identity vyplýva, že rovnica

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0,

a teda rovnica ax 2 + bx + c = 0 má dva korene:

Xi = (-b +  D) / 2a; X2 = (-b -  D) / 2a.

Teda x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Zvyčajne sú tieto korene zapísané jedným vzorcom:

kde b 2 – 4ac = D.

ak je číslo D nula (D = 0), potom identita

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

má tvar x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2.

Z toho vyplýva, že pre D = 0 má rovnica ax 2 + bx + c = 0 jednu odmocninu násobnosti 2: X 1 = – b / 2a

3) Ak je číslo D záporné (D< 0), то – D >0, a teda výraz

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 – (D / (4a 2))

je súčet dvoch členov, z ktorých jeden je nezáporný a druhý kladný. Takáto suma sa nemôže rovnať nule, takže rovnica

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

nemá skutočné korene. Rovnica ax 2 + bx + c = 0 ich tiež nemá.

Na vyriešenie kvadratickej rovnice by sme teda mali vypočítať diskriminant

D = b 2 – 4ac.

Ak D = 0, potom kvadratická rovnica má jediné rozhodnutie:

Ak D > 0, potom má kvadratická rovnica dva korene:

Xi = (-b + D) / (2a); X2 = (-b - D) / (2a).

Ak D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Ak jeden z koeficientov b alebo c rovná nule, potom možno kvadratickú rovnicu vyriešiť bez výpočtu diskriminantu:

b = 0; c  0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2 = -b/a.

Korene všeobecnej kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0 nájdeme podľa vzorca

Kvadratická rovnica, v ktorej sa koeficient x 2 rovná 1, sa nazýva redukovaná. Daná kvadratická rovnica sa zvyčajne označuje takto:

x 2 + px + q = 0.

Vietov teorém.

Odvodili sme identitu

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x – x1) (x – x2),

kde X 1 a X 2 sú korene kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c =0. Otvorme zátvorky na pravej strane tejto identity.

x 2 + (b / a) x + (c / a) = x 2 – x 1 x – x 2 x + x 1 x 2 = x 2 – (x 1 + x 2) x + x 1 x 2.

Z toho vyplýva, že X 1 + X 2 = – b / a a X 1 X 2 = c / a. Dokázali sme nasledujúcu vetu, ktorú prvýkrát stanovil francúzsky matematik F. Viète (1540 – 1603):

Veta 1 (vieta). Súčet koreňov kvadratickej rovnice sa rovná koeficientu X, pričom sa berie s opačným znamienkom a delí sa koeficientom X 2 ; súčin koreňov tejto rovnice sa rovná voľnému členu vydelenému koeficientom X 2 .

Veta 2 (obrátiť). Ak sú splnené rovnosti

X 1 + X 2 = – b / a a X 1 X 2 = c / a,

potom čísla X 1 a X 2 sú koreňmi kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0.

Komentujte. Vzorce X 1 + X 2 = – b / a a X 1 X 2 = c / a zostávajú pravdivé v prípade, keď rovnica ax 2 + bx + c = 0 má jeden koreň X 1 násobku 2, ak dáme X v uvedených vzorcoch 2 = X 1. Preto sa všeobecne uznáva, že pri D = 0 má rovnica ax 2 + bx + c = 0 dva korene, ktoré sa navzájom zhodujú.

Pri riešení problémov súvisiacich s Vietovou vetou je užitočné použiť vzťahy

(1/X1)+ (1/X2)= (X1 + X2)/X1X2;

X12 + X22 = (X1 + X2)2 – 2 X1X2;

X1/X2 + X2/X1 = (X12 + X22) / X1X2 = ((X1 + X2)2 – 2X1X2)/X1X2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 – X 1 X 2 + X 2 2) =

= (X1 + X2)((X1 + X2)2 – 3X1 X 2).

Príklad 3.9. Vyriešte rovnicu 2x 2 + 5x – 1 = 0.

Riešenie. D = 25 – 42 (– 1) = 33 >0;

X1 = (- 5 + 33) / 4; X2 = (- 5 -33) / 4.

Odpoveď: X 1 = (- 5 + 33) / 4; X2 = (- 5 -33) / 4.

Príklad 3.10. Vyriešte rovnicu x 3 – 5x 2 + 6x = 0

Riešenie. Poďme sa rozložiť ľavá strana rovnice pre faktory x(x 2 – 5x + 6) = 0,

teda x = 0 alebo x 2 – 5x + 6 = 0.

Vyriešením kvadratickej rovnice dostaneme X 1 = 2, X 2 = 3.

Odpoveď: 0; 2; 3.

Príklad 3.11.

x 3 – 3x + 2 = 0. Riešenie. Prepíšme rovnicu tak, že napíšeme –3x = – x – 2x, x 3 – x – 2x + 2 = 0, a teraz grupu x(x 2 – 1) – 2(x – 1) = 0,(x – 1) (x( x + 1) – 2) = 0,x – 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x – 2 = 0, x 2 = – 2, x 3 = 1. Odpoveď: x 1 = x 3 = 1 , x 2 = – 2. Príklad 3.12. Vyriešte rovnicu 7

Úvod

Symetria... je myšlienka, prostredníctvom ktorej sa človek po stáročia snaží pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť.

Pojem symetria sa tiahne celou históriou ľudstva. Nachádza sa už pri počiatkoch ľudského poznania. Vznikol v súvislosti so štúdiom živého organizmu, konkrétne človeka, a používali ho sochári už v 5. storočí pred Kristom. e.
Slovo "symetria" je grécke. Znamená „proporcionalitu“, „proporcionalitu“, jednotnosť v usporiadaní častí. Je široko používaný všetkými smermi bez výnimky. moderná veda.
O tomto vzore premýšľalo veľa skvelých ľudí. Napríklad L.N. Tolstoy povedal: „Stojím pred čierna tabuľa a keď som naň kriedou kreslil rôzne postavy, zrazu ma napadla myšlienka: prečo je symetria pre oči jasná? Čo je symetria? Je to vrodený pocit. Na čom je založená?"
Skutočne, symetria lahodí oku. Kto neobdivoval symetriu prírodných výtvorov: listy, kvety, vtáky, zvieratá; alebo ľudské výtvory: budovy, technika, - všetko, čo nás od detstva obklopuje, všetko, čo sa usiluje o krásu a harmóniu.
Symetria (staroveká gréčtina συμμετρία - „proporcionalita“) v širšom zmysle - nemennosť pri akýchkoľvek transformáciách. Takže napríklad sférická symetria telesa znamená, že vzhľad telesa sa nezmení, ak sa bude otáčať v priestore pod ľubovoľnými uhlami (pri zachovaní jedného bodu na mieste). Obojstranná symetria znamená, že pravá a na ľavej strane vzhľadom na akúkoľvek rovinu vyzerajú rovnako.
So symetriou sa stretávame všade – v prírode, technike, umení, vede. Všimnime si napríklad symetriu charakteristickú pre motýľa a javorový list, symetriu auta a lietadla, symetriu v rytmickej stavbe básne a hudobnej frázy, symetriu ornamentov a bordúr, symetriu atómovej štruktúry molekúl a kryštálov. Pojem symetria prechádza celou stáročnou históriou ľudskej tvorivosti. Nachádza sa už pri počiatkoch ľudského poznania; je široko používaný vo všetkých oblastiach modernej vedy bez výnimky. Princípy symetrie zohrávajú dôležitú úlohu vo fyzike a matematike, chémii a biológii, technike a architektúre, maliarstve a sochárstve, poézii a hudbe. Prírodné zákony, ktorými sa riadi nevyčerpateľný obraz javov v ich rozmanitosti, zasa podliehajú princípom symetrie.

Ciele:

Zvážte typy a typy symetrií;

Analyzujte, ako a kde sa používa symetria;

Zvážte, ako sa symetria používa v kurze školskej algebry

Symetria.
Slovo „symetria“ má dvojaký výklad. V istom zmysle symetrický znamená niečo veľmi proporcionálne, vyvážené; symetria ukazuje spôsob, akým sú mnohé časti koordinované, pomocou ktorých sa spájajú do celku. Druhý význam tohto slova je rovnováha. Aj Aristoteles hovoril o symetrii ako o stave, ktorý sa vyznačuje vzťahom extrémov. Z tohto tvrdenia vyplýva, že Aristoteles bol možno najbližšie k objavu jedného z najzákladnejších zákonov prírody – zákona jej duality.
Je potrebné zdôrazniť aspekty, bez ktorých je symetria nemožná:
1) objekt je nositeľom symetrie; veci, procesy, geometrické obrazce, matematické výrazy, živé organizmy a pod.

2) niektoré znaky - veličiny, vlastnosti, vzťahy, procesy, javy - objektu, ktoré zostávajú nezmenené pri transformáciách symetrie; nazývajú sa invarianty alebo invarianty.

3) zmeny (objektu), ktoré ponechávajú objekt identický so sebou samým podľa invariantných charakteristík; takéto zmeny sa nazývajú symetrické transformácie;

4) vlastnosť objektu premeniť sa podľa vybraných charakteristík na seba po zodpovedajúcich zmenách.

Symetria teda vyjadruje zachovanie niečoho napriek nejakým zmenám alebo zachovanie niečoho napriek zmene. Symetria predpokladá nemennosť nielen samotného objektu, ale aj akejkoľvek jeho vlastnosti vo vzťahu k transformáciám vykonávaným na objekte. Nemennosť určitých objektov je možné pozorovať vo vzťahu k rôznym operáciám – rotácie, posuny, vzájomná výmena dielov, odrazy atď. V tejto súvislosti zdôrazňujú odlišné typy symetria.

Asymetria

Asymetria je absencia alebo porušenie symetrie.
V architektúre sú symetria a asymetria dve protichodné metódy pravidelnej organizácie priestorovej formy. Asymetrické kompozície v procese architektonického vývoja vznikli ako stelesnenie zložitých kombinácií životných procesov a podmienok prostredia.

Nesymetria

Rozbitú, čiastočne narušenú symetriu nazývame nesúmernosť .
Disymetria je fenomén rozšírený v živej prírode. Je to typické aj pre človeka. Človek je nesymetrický, napriek tomu, že obrysy jeho tela majú rovinu symetrie. Disymetria ovplyvňuje
lepšia kontrola jednej z rúk, v asymetrickom usporiadaní srdca a mnohých iných orgánov, v stavbe týchto orgánov.
Disymetrie ľudského tela sú podobné odchýlkam od presnej symetrie v architektúre. Zvyčajne sú spôsobené praktickou nevyhnutnosťou, skutočnosťou, že rozmanitosť funkcií nezapadá do hraníc prísnych zákonov symetrie. Niekedy takéto odchýlky poskytujú základ pre akútny emocionálny účinok.

^ Typy symetrií nájdených v matematike a vede:

Obojstranná symetria- zrkadlová odrazová symetria, pri ktorej má predmet jednu rovinu symetrie, voči ktorej sú jeho dve polovice zrkadlovo symetrické. U zvierat sa bilaterálna symetria prejavuje v podobnosti alebo takmer úplnej identite ľavej a pravej polovice tela. V tomto prípade ide vždy o náhodné odchýlky od symetrie (napríklad rozdiely v papilárnych líniách, rozvetvenie ciev. Často sú malé, ale pravidelné rozdiely v vonkajšia štruktúra a výraznejšie rozdiely medzi pravou a ľavou polovicou tela v lokalite vnútorné orgány. Napríklad srdce u cicavcov je zvyčajne umiestnené asymetricky, s posunom doľava.

U zvierat je výskyt bilaterálnej symetrie v evolúcii spojený s plazením po substráte (pozdĺž dna nádrže), vďaka čomu sa objavuje dorzálna a ventrálna, ako aj pravá a ľavá polovica tela. Vo všeobecnosti je medzi živočíchmi obojstranná symetria výraznejšia u aktívne mobilných foriem ako u prisadnutých. U rastlín zvyčajne nemá obojstrannú symetriu celý organizmus, ale jeho jednotlivé časti - listy alebo kvety. Botanici nazývajú bilaterálne symetrické kvety zygomorfné.

Symetria n-tého rádu- symetria vzhľadom na rotáciu o uhol 360°/n okolo akejkoľvek osi. Popísané skupinou Zn.

Osová súmernosť(radiálna symetria, lúčová symetria) - forma symetrie, pri ktorej sa telo (alebo postava) zhoduje so sebou, keď sa objekt otáča okolo určitého bodu alebo čiary. Tento bod sa často zhoduje so stredom symetrie objektu, teda bodom, v ktorom
sa pretína nekonečné množstvo osí obojstrannej súmernosti. Geometrické objekty ako kruh, guľa, valec alebo kužeľ majú radiálnu symetriu. Opísané skupinou SO(2).

^ Sférická symetria- symetria vzhľadom na rotácie v trojrozmernom priestore pod ľubovoľnými uhlami. Opísané skupinou SO(3). Miestna sférická symetria priestoru alebo média sa tiež nazýva izotropia.

^ Rotačná symetria- pojem označujúci symetriu objektu vzhľadom na všetky alebo niektoré vlastné rotácie m-rozmerného euklidovského priestoru.

^ Symetria u zvierat a ľudí.

Symetria je životne dôležitá vlastnosť, ktorá odráža vlastnosti štruktúry, životného štýlu a správania zvieraťa. Na plávanie rýb je potrebný symetrický tvar; vták lietať. Takže symetria v prírode existuje z nejakého dôvodu: je tiež užitočná, alebo inými slovami, účelná. V biológii má centrum symetrie: kvety, medúzy, hviezdice atď. Prítomnosť foriem symetrie sa dá vysledovať už v najjednoduchších - jednobunkových (nálevníky, améby). symetria. Mozog je rozdelený na dve polovice. V úplnom súlade so všeobecnou symetriou ľudského tela je každá hemisféra takmer presná zrkadlový odrazďalší. Ovládanie základných pohybov ľudského tela a jeho zmyslových funkcií je rovnomerne rozdelené medzi dve hemisféry mozgu. Ľavá hemisféra ovládacie prvky pravá strana mozog a pravá - ľavá strana. Štúdie ukázali, že symetrická tvár je príťažlivejšia. Vedci tiež tvrdia, že tvár s ideálnymi proporciami je znakom toho, že telo jej majiteľa je dobre pripravené na boj s infekciami. Bežné prechladnutie, astma a chrípka sa s väčšou pravdepodobnosťou zlepšia u ľudí, ktorých ľavá strana je rovnaká ako pravá. A v oblečení sa človek spravidla tiež snaží zachovať dojem symetrie: pravý rukáv zodpovedá ľavému, pravá nohavica zodpovedá ľavej. Gombíky na saku a na košeli sedia presne v strede a ak sa od nej vzďaľujú, tak v symetrických vzdialenostiach. A zároveň sa niekedy človek snaží zdôrazniť a posilniť rozdiel medzi ľavicou a pravicou. V stredoveku muži kedysi nosili nohavice s nohavicami rôznych farieb (napríklad jedna červená a druhá čierna alebo biela). ale
takáto móda je vždy krátkodobá. Dlho zostávajú len taktné, skromné ​​odchýlky od symetrie.

Symetria v umení

Symetria v umení všeobecne a vo výtvarnom umení zvlášť má svoj pôvod v realite, ktorá je plná symetricky usporiadaných foriem.
Symetrická organizácia kompozície sa vyznačuje vyváženosťou jej častí v hmote, tóne, farbe a rovnomernom tvare. V takýchto prípadoch je jedna časť takmer zrkadlovým obrazom druhej. Symetrické kompozície majú najčastejšie výrazný stred. Spravidla sa zhoduje s geometrickým stredom roviny obrazu. Ak je úbežník posunutý od stredu, jedna z častí je viac zaťažená hmotami alebo je obraz postavený diagonálne, to všetko dodáva kompozícii dynamiku a do istej miery narúša ideálnu rovnováhu.
Pravidlo symetrie používali aj sochári Staroveké Grécko. Príkladom je kompozícia západného štítu Diovho chrámu a Olympie. Je založený na boji Lapitov (Grékov) s kentaurmi v prítomnosti boha Apolóna. Pohyb sa postupne zintenzívňuje od okrajov do stredu. Svoju maximálnu expresivitu dosahuje v obraze dvoch mladých mužov, ktorí sa vrhli na kentaurov. Zdá sa, že rastúci pohyb sa okamžite zastaví pri prístupe k postave Apolla, pokojne a majestátne stojaceho v strede štítu.
Myšlienka stratených diel slávnych maliarov 5. storočia pred Kristom. e. možno zostaviť zo starých vázových malieb a pompejských fresiek, inšpirovaných, ako sa vedci domnievajú, dielami gréckych majstrov klasickej éry...
Symetrické kompozície boli pozorované aj medzi gréckymi majstrami 4. – 3. storočia pred Kristom. e. To možno posúdiť z kópií fresiek. Na pompejských freskách sú hlavné postavy v strede pyramídovej kompozície, ktorá sa vyznačuje symetriou.
Umelci sa často uchyľovali k pravidlám symetrie pri zobrazovaní slávnostných preplnených stretnutí, prehliadok, stretnutí vo veľkých sálach atď.
Umelci ranej renesancie venovali veľkú pozornosť pravidlu symetrie, o čom svedčí monumentálna maľba (napríklad Giottove fresky). Počas vrcholnej renesancie dozrela talianska kompozícia. Napríklad na obraze „Svätá Anna s Máriou a dieťaťom Kristom“ Leonardo da Vinci usporiada tri postavy do trojuholníka smerujúceho nahor. V pravom dolnom rohu dáva figúrku baránka, ktorý drží malý Kristus. Všetko je usporiadané tak, že tento trojuholník možno uhádnuť iba pod objemovo-priestorovou skupinou postáv.
Posledná večera od Leonarda da Vinciho sa dá nazvať aj symetrickou kompozíciou. Táto freska zobrazuje dramatický moment, kedy
Kristus povedal svojim učeníkom: „Jeden z vás ma zradí. Psychologická reakcia apoštolov na tieto prorocké slová spája postavy s kompozičným centrom, v ktorom sa nachádza postava Krista. Dojem celistvosti z tejto dostredivej kompozície ešte umocňuje skutočnosť, že umelec ukázal refektár v perspektíve s úbežníkom rovnobežných línií v strede okna, ku ktorému je zreteľne nakreslená hlava Krista. Pohľad diváka je tak mimovoľne nasmerovaný na ústrednú postavu obrazu.
Medzi dielami, ktoré demonštrujú možnosti symetrie, možno uviesť aj Raphaelovo „Zasnúbenie Márie“, kde najkompletnejšie vyjadrenie našli kompozičné techniky charakteristické pre renesanciu.
Obraz V. M. Vasnetsova „Bogatyrs“ je tiež postavený na základe pravidla symetrie. Stredom kompozície je postava Iľju Muromca. Vľavo a vpravo, akoby v zrkadlovom obraze, sú Alyosha Popovich a Dobrynya Nikitich. Postavy sú umiestnené pozdĺž obrazovej roviny a pokojne sedia na koňoch. Symetrická konštrukcia kompozície sprostredkúva stav relatívneho pokoja. Ľavá a pravá postava nie sú hmotne rovnaké, čo je spôsobené ideologickým plánom autora. Obidve sú však menej silné v porovnaní s postavou Muromets a celkovo dávajú kompozícii úplnú rovnováhu.
Stabilita kompozície dáva divákovi pocit dôvery v neporaziteľnosť hrdinov, obrancov ruskej krajiny. Navyše v „Bogatyrs“ sa prenáša stav napätého pokoja na pokraji prechodu do akcie. To znamená, že symetria v sebe nesie aj zárodok dynamického pohybu v čase a priestore.

Symetria v algebre.

Najjednoduchšie symetrické výrazy pre korene kvadratickej rovnice nájdeme vo Vietovej vete. To im umožňuje ich použitie pri riešení niektorých súvisiacich problémov kvadratické rovnice. Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 1:

Kvadratická rovnica má korene a . Bez riešenia tejto rovnice vyjadrujeme prostredníctvom a súčty , . Výraz je symetrický vzhľadom na a. Vyjadrime ich pomocou + a a potom aplikujme Vietovu vetu.