28 oldal (Word fájl)

Az összes oldal megtekintése

A mű szövegtöredéke

INFORMÁCIÓTECHNOLÓGIAI ÉS KOMMUNIKÁCIÓS MINISZTÉRIUM

SZÖVETSÉGI KOMMUNIKÁCIÓS ÜGYNÖKSÉG

KHABAROVSK INFOKOMMUNIKÁCIÓS INTÉZET

(ÁG) GOU VPO SZIBÉRIAI ÁLLAM

TÁVKÖZLÉSI ÉS INFORMÁCIÓTUDOMÁNYI EGYETEM

TANFOLYAM MUNKA

a digitális feldolgozás matematikai alapjairól

jeleket

Téma: Rekurzív digitális szűrő számítása

Különlegesség 210405

Rádiókommunikáció, rádióműsorszórás és televízió

30. számú lehetőség

Befejezve

Projekt menedzser

Fej Osztály

Habarovszk

	Műszaki feladat	3
	30. számú opció kiinduló adatai	4
	Bevezetés	5
1	A feladat grafikus ábrázolása	6
1.1	Rekurzív digitális szűrők tervezési módszerei	7
1.2	Numerikus integrációs módszerek	8
1.3	Impulzusválasz invariancia módszer	10
1.4	Bilineáris transzformációs módszer	12
1.5	Általánosított binomiális transzformáció	13
2.	Analóg szűrő átviteli függvényének kiszámítása és átalakítása digitális szűrő átviteli függvényévé	14
3.	Digitális szűrő blokkvázlata	22
4.	Digitális szűrő megvalósításának módszerei	23
4.1	Hardveres módszer	23
4.2	Szoftver módszer	24
4.3	Hardver-szoftver módszer	25
	Következtetés	27
	Bibliográfia	28

TECHNIKAI FELADAT

A kiindulási adatok alapján rekurzív digitális szűrőt kell kiszámítani.

A következő paraméterek tekinthetők meghatározottnak:

1 Szűrő típusa: aluláteresztő szűrő, aluláteresztő szűrő.

2 Szűrő típusa: Butterworth (B) vagy Chebyshev (C).

3 Mintavételi frekvencia fd.

4 sávszélesség-korlát (BB):

Az aluláteresztő szűrő fп áteresztősávjának felső határa;

A felüláteresztő szűrő fп áteresztősávjának alsó határa;

5 A feltartóztatási sávok határai (DP);

Az aluláteresztő szűrő PV fz alsó határa;

A PV fz felső határa a felüláteresztő szűrőhöz.

6 Az amplitúdó-frekvencia válasz megengedett egyenetlensége a PP-ben ∆A max, dB.

7 Minimális megengedett csillapítás PZ A min-ben, dB.

30. OPCIÓ KEZDETI ADATAI

Aluláteresztő szűrő típusa

Butterworth szűrő típus

Mintavételi frekvencia fd = 16 kHz

Sávszélesség korlátok fп = 1,7 kHz

A leállítási sáv határértékei fз = 3,8 kHz

Megengedett PP egyenetlenség ∆A max = 1,35 dB

A szabad zóna megengedett csillapítása A min = 25 dB.

Tanár___________ Diák_______ ____________

„__27__” _______2011. május_______

BEVEZETÉS

A jó minőségű frekvenciájú, nem rekurzív digitális szűrők (NCF) általában nagy ablakszélességgel rendelkeznek (polinomiális szűrőoperátor). Minél kisebb a szűrő frekvenciaválaszának átmeneti zónájának megengedett szélessége az áteresztő és elnyomó sávok között, annál nagyobb a szűrőablak. Alternatív megoldás a rekurzív digitális szűrők (RDF) alkalmazása, amelyeknél az NDF-hez képest több nagyságrenddel csökkenthető a szűrési együtthatók száma.

A rekurzív szűrőknek van egy bizonyos „memóriája” a korábbi minták értékei alapján, amely határon belül végtelen lehet. Ezt a tényezőt figyelembe véve a rekurzív szűrőket végtelen impulzusválasz szűrőknek (IIR szűrőknek) nevezik, ellentétben a nem rekurzív szűrőkkel, amelyeknek mindig véges impulzusválasza van (FIR szűrők). A rekurzív szűrő jelre adott válasza a „memória” figyelembevételével kiküszöböli az egyenletes impulzusválaszú szűrők létrehozásának lehetőségét, és a rekurzív szűrők frekvenciakarakterisztikája mindig összetett. Adott frekvenciakarakterisztikával rendelkező rekurzív frekvenciaszűrők tervezése z-transzformációk segítségével történik.

1. A probléma grafikus ábrázolása

Jelentsük meg grafikusan az aluláteresztő szűrő frekvenciaválaszára vonatkozó követelményeket, ehhez ki kell számítani:

1. ábra – A Butterworth szűrő frekvenciaválasza és a szűrő frekvenciaválasza

Butterworth a Db-ben.

1.1. Rekurzív digitális szűrők tervezési módszerei

A digitális IIR szűrők átviteli függvényét az összefüggés adja meg , amely hasonló az AF átviteli funkcióhoz, amikor a z változót s-re cseréljük. Ezért a digitális IIR szűrők tervezésének egyik megközelítése az AF átviteli függvény DF átviteli funkcióvá alakítása. Ahhoz, hogy a CF-ek a szükséges tulajdonságokkal rendelkezzenek AF-ként, két feltételnek kell teljesülnie:

1. Az s-sík () képzeletbeli tengelyét a z-síkban egységkörré képeztük le ( ). Ez a feltétel szükséges az AF frekvencia jellemzőinek megőrzéséhez.

2. Az s-sík () bal fele a z-síkban az egységkör () belsejében jelent meg. Ez a feltétel szükséges az AF stabilitási tulajdonságainak megőrzéséhez.

1.2. Numerikus integrációs módszer

Az AF-et leíró differenciálegyenletet a CF differenciálegyenlet váltja fel, néhány véges különbséggel közelítve a deriváltot. Ez a művelet az AF átviteli függvény s komplex változójának a CF átviteli függvényben lévő összetett z változójával való helyettesítéséhez vezet.

Különféle numerikus integrációs módszerek adják meg különféle funkciókatátmenetet, és ebből következően a különböző digitális funkciókat. Tekintsük az Euler-féle módszert, amely közelíti az idő deriváltját folyamatos funkció a forma véges különbsége

, ahol T a mintavételi intervallum, és y(n)=y(nT). Operátoros formában az egyenlet megadja

.

Mutassuk meg, hogy ez a módszer teljesíti a fenti két feltételt:

1. vagy ebből következik, hogy nál nél .

Önkormányzati költségvetési oktatási intézmény tornaterme 9. sz

KÍSÉRLETI-ABSZTRAKT PROJEKT

ebben a témában:

Az invariánsok módszerének alkalmazása az egységes államvizsga- és olimpiai feladatok megoldásában

Teljesített:

tanítvány XI"B" osztály

Tiscsenko Elina

Tudományos igazgató:

matematika tanár

Khatuntseva

Irina Vladimirovna

Voronyezs – 2017

Tartalom

Bevezetés

A modern matematikában fontos szerepet játszik az invariancia fogalma, i.e. egy matematikai objektum megváltoztathatatlansága. A matematika számos meghatározása valójában ehhez a fogalomhoz kapcsolódik, bár maga az invariancia kifejezés hiányzik a tankönyvekből.

Példa: páros funkció Az R definíciós tartományú f(x) invariáns, mert f(x)= f(-x).

Az invariancia egyik vagy másik tulajdonságának jelenléte egy matematikai objektumban lehetővé teszi, hogy megállapítsuk ennek az objektumnak néhány általános minőségi tulajdonságát.

A munka célja, hogy bemutassa az invariáns módszer alkalmazását az egységes államvizsga- és olimpiai feladatok megoldásában.

Az ország vezető egyetemeinek, például a Moszkvai Állami Egyetemnek és a Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézetnek sok irodalma foglalkozik ezzel a témával. Az invariánsok elméletének klasszikus könyve a kiváló német matematikus, Herlean Weyl könyve. Az Oxfordi Egyetem hallgatói pedig évente adják ki a „The Invariant” című magazint.

Ez a téma nagyon aktuálisnak tűnik, mert... Az invariáns módszer lehetővé teszi a problémák egyszerű megoldását megnövekedett szint nehézségek.

1. fejezet Az invarianto módszer alkalmazása olimpiai feladatok megoldásában

A paritást (páratlan paritást), az osztás maradékát, a permutációt, a színezést stb. leggyakrabban invariánsnak tekintik.

A paritás használata az egyik leggyakrabban előforduló ötlet az olimpiai feladatok megoldása során. Fogalmazzuk meg a legfontosabb állításokat, amelyekre ennek az elképzelésnek az alkalmazása alapszik:

több egész szám összegének paritása egybeesik a páratlan tagok számának paritásával;

több (nullatól eltérő) szám szorzatának előjelét a negatív tényezők számának paritása határozza meg.

1. feladat.

Tíz pro és tizenöt kontra van felírva a táblára. Bármely két karakter törölhető, és helyette pluszt írhat, ha megegyezik, és mínuszt egyébként. Milyen jel marad a táblán huszonnégy ilyen művelet elvégzése után?

Megoldás.

Cserélje ki minden pluszt egy számra1 , és minden mínusz egy szám-1 .

Ezután tetszőleges két számot törölünk, és felírjuk a szorzatát. Ezért a táblára írt összes szám szorzata változatlan marad.

Mivel a termék kezdetben negatív volt (15 negatív számok), akkor a végén megmaradnegatív.

Válasz: mínusz.

2. feladat.

A fiú rossz jegyet kapott a matekvizsgán, és kétségbeesésében tíz darabra tépte a papírt a munkájával. Aztán az egyik így kapott darabot további 10 darabra tépte. Lehet-e 2015-ös papír a lazítás végén?

Megoldás.

Minden alkalommal, amikor 10-zel eltép egy papírt, a fiú 9-el növeli az összes papírdarab számát. Az első tépés után 1+9=10 darab lesz, a második után 10+9=19 darab stb. . Vagyis a papírdarabok számát az n-edik szakadásnál az 1+9 képlet határozza megn.

Vizsgáljuk meg, hogy a 2015-ös szám 1+9-ként ábrázolható-en:

1+9 n=2015;

9 n=2014.

2014 nem osztható 9-cel maradék nélkül, ezért nem lehet 2015 darab a relaxáció végén.

Válasz: Nem

3. feladat.

A tábla 1-től 1998-ig terjedő számokat tartalmaz. Egy mozdulattal tetszőleges két számot törölhet, és helyette felírhatja a különbséget, amíg egy szám nem marad. Lehet, hogy ez a szám nulla?

Megoldás.

Tekintsük a táblára egy lépés előtt és után felírt összes szám összegét. Töröljük a számokata, b. Ekkor először az összes szám összege egyenlő volt , majd holS– az összes többi szám összege. Amint látjuk, a csere (a+ b) tovább (a- b) nem változtatja meg az összes szám összegének paritását. A legelején lévő számok összege egy páratlan szám (
), ami azt jelenti, hogy minden lépésben a táblára írt számok összege páratlan lesz. A nulla páros szám, ezért nem tudjuk feltenni a táblára.

Válasz: nem.

4. feladat.

Egy 2*2 négyzet alakú asztal minden cellája feketére van festve, ill fehér szín, ahogy az alábbi ábrán is látható. Egy mozdulattal átszínezheti a cellákat bármelyik sorban, bármelyik oszlopban vagy bármilyen átlóban: feketéket - fehéreket és fehéreket - feketét. Lehetséges néhány mozdulattal olyan asztalt kapni, ahol minden cella fehér?

Megoldás.

Adjunk minden cellához 1-et, ha fehérre festették, és -1-et, ha feketére festették. Ekkor a színek megváltoztatása a jelek megváltoztatását jelenti. Tekintsük a celláknak megfelelő összes szám szorzatát. Mivel az átszínezés során pontosan két tényező előjelét változtatjuk, mind a négy szám szorzata nem változik. Kezdetben ez a szorzat egyenlő -1. A szükséges színezés 1-gyel egyenlő terméknek felel meg. Ezért lehetetlen a táblázatot a jelzett műveletekkel újraszínezni.

Válasz: nem.

5. feladat.

Három kupac 1, 9 és 98 követ tartalmaz. Egy mozdulattal bármelyik két kupacból kivehet egy követ, és áthelyezheti a harmadikba. Lehetséges néhány mozdulattal összeszedni az összes követ az egyik kupacban?

Megoldás.

Vegyük figyelembe a maradékokat, amikor az eredeti számokat hárommal osztjuk - a halomban lévő kövek számával. Az első halomban a maradék 1, a másodikban - 0, a harmadikban - 2. Nézzük meg, mi történik ezután a maradékok szempontjából, amikor eltoljuk a köveket:

Találtunk egy invariánst - bármelyik művelet után a maradékok ugyanazok lesznek: 0, 1, 2, csak másképp oszlanak el. Ha össze tudjuk gyűjteni az összes követ egy kupacba, akkor a maradék 3-mal elosztva minden halomban azonos lesz (0-val egyenlő). Következésképpen lehetetlen az összes követ egy halomba gyűjteni a jelzett műveletekkel.

Válasz: nem.

6. feladat.

A síkon adott egy nem önmagát metsző zárt szaggatott vonal, amelynek nincs három csúcsa ugyanazon az egyenesen. Nevezzünk egy pár nem szomszédos hivatkozást vonalláncnakkülönleges, ha az egyik folytatása metszi a másikat. Bizonyítsuk be, hogy a speciális párok száma páros.

Megoldás.

Vegyük a szomszédos AB és BC linkeket, és hívjuk meg őketsarok a B ponthoz viszonyított ABC szögre szimmetrikus szög (az alábbi ábrán a sarok árnyékolt). Ugyanazok a sarkok figyelembe vehetőek a szaggatott vonal összes csúcsánál. Nyilvánvaló, hogy a speciális párok száma megegyezik a linkek és a sarkok metszéspontjainak számával. Meg kell jegyezni, hogy az egyik sarokkal metsző szaggatott vonal szakaszainak száma páros, hiszen az A-ból C-be vezető úton a szaggatott vonal annyiszor lép be a sarokba, ahányszor elhagyja azt (ez abból a feltételből következik, hogy a szaggatott vonal három csúcsa nem esik ugyanazon az egyenesen). Ezért a speciális párok száma páros, amit bizonyítanunk kellett.

7. feladat (az iskolások összoroszországi olimpiájának regionális szakasza, 2016-2017, 11. osztály, második nap, 8. szám).

Kezdetben 100 kártya kerül az asztalra, amelyek mindegyike tartalmaz természetes szám; Sőt, köztük pontosan 28 páratlan számú kártya van. Ezután minden percben megtörténik a következő eljárás. Minden 12 asztalon heverő kártyához kiszámolják a ráírt számok szorzatát, ezeket a szorzatokat összeadják, és a kapott számot egy új kártyára írják, amelyet az asztalon heverőkhöz adnak. Kiválasztható-e a kezdeti 100 szám úgy, hogy bármely természetes d-re előbb-utóbb olyan kártya legyen, amelynek szám osztható
?

Megoldás.

Ha egy pillanatban pontosan k páratlan szám van a kártyákon lévő számok között, akkor a számok szorzatai között pontosan 12
páratlan; ezért a következő hozzáadott kártyán lévő szám pontosan akkor lesz páratlan, ha páratlan (és ekkor k 1-gyel nő abban a percben).

Könnyen belátható, hogy a szám
páratlan (ez abból a tényből következik, hogy a kettő hatványai benne vannak
És
, egyenlőek). Továbbá a szekvenciális ellenőrzés során azt találjuk, hogy az első
,
,
- páratlan számok, és
- még. Ezért, ha a páratlan kártyák száma eléri a 32-t, nem fog tovább növekedni, és mindig csak 32 páratlan kártya lesz az asztalon, és minden hozzáadott szám páros lesz.

Hagyja most n-következő lépés – a kártyákra írt számok 12 szorzatának összessége, és – 11 szám összes szorzatának összege. Szám
, amely a következő kártyára lesz írva, eltér a 12 szám szorzatának összegére, amelyek között van egy most összeadott páros szám , azaz tovább
. Azt jelenti,. Szám - páros, mivel a páratlan összegek száma 11
még. Eszközök,
páratlan, és kettő maximális hatványa, amely osztható vele
egyenlő kettő maximális hatványával, amely osztható . Ez azt jelenti, hogy mivel kezdetben nem voltak számok az asztalon, ami bármilyen természetesdosztották -vel, akkor ezek a számok nem jelennek meg tovább.

Válasz: nem, nem lehet.

2. fejezet Az invariánsok módszerének alkalmazása paramétert tartalmazó Unified State Examination feladatokban

Elemzés után nagy mennyiség problémák megoldására algoritmust állítottunk össze egy paraméterrel az invariánsok módszerével történő problémák megoldására.

Algoritmus a paraméterekkel kapcsolatos problémák megoldására invariáns használatával:

1) ellenőrizze a változatlanságot adott egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer (egyenlőtlenségek);

2) megtalálni érvényes értékek paraméter a feltételek teljesülésének ellenőrzéséből: a „szimmetria a változó előjeléhez képest” helyett annak nulla értékét; a „szimmetria a változók permutációjára vonatkozóan” minden változót egy betűvel jelölünk;

3) ellenőrizze, hogy a talált paraméterértékek megfelelnek-e a probléma feltételeinek;

4) írja le a választ.

1. állítás . Ha a kifejezés
invariáns alatt átalakítás
és egyenlet
gyökere van ,Hogy

2. állítás. Ha a kifejezés

és egyenlet
van megoldása
, majd egy számpár

3. állítás . Ha a kifejezés
transzformációs invariáns
és egyenlet
van megoldása
, majd egy számpár
ennek az egyenletnek a megoldása is.

4. állítás. Ha a kifejezés
transzformációs invariáns
És
, és az egyenlet
van megoldása
, aztán pár szám
ennek az egyenletnek a megoldása is.

5. állítás. Ha a kifejezés
transzformációs invariáns
, az egyenlet
gyökere van , Hogy
ennek az egyenletnek a gyökere is.

1. feladat.

Keresse meg az a paraméter összes értékét, amelyre az egyenletnek egy megoldása van

Megoldás.

Vegye figyelembe, hogy ha az egyenlet gyöke, akkor - - gyök is => csak akkor lehet egy gyök, ha =-=0.
Cseréljük
:

Nál nél
:

1 gyökér, alkalmas

Nál nél
:

Ennek az egyenletnek a bal oldala nagyobb vagy egyenlő, mint
, és ez az alsó határ pontos - eléri a
. A jobb oldal becslése kicsit nehezebb. Először is vegye figyelembe, hogy változó megváltoztatásakor tól től
előtt
kifejezés
-1-ről 1-re változik. A szegmensen
funkció
től monoton növekszik
előtt
. Ezért a kifejezés
től változik
előtt
. Ennek megfelelően az (1) egyenlet jobb oldala ettől változik
előtt
, és az egyenlet jobb oldalának értékei teljesen kitöltik ezt a szegmenst. A vonatkozó információkból lehetséges értékek balra és megfelelő részek Az (1) egyenletből az következik, hogy csak akkor lehetnek egyenlőek, ha egyidejűleg egyenlőek
. Más szavakkal, az (1) egyenlet ekvivalens a rendszerrel:

Az első egyenletnek egyetlen gyöke van
, ami a rendszer második egyenletét is kielégíti. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek és vele együtt az eredeti egyenletnek is van egyetlen döntés
. Ezért az ellenőrzött paraméterérték (
) szerepelnie kell a feladatválaszban.

Válasz: 0;
.

2. feladat. egyenlőtlenségek rendszere
van egyetlen megoldás?

Megoldás. 1. Ebben a rendszerben megfigyeljük a „szimmetriát a változók változása alatt”. Akkor, ha van megoldás a rendszerre, akkor
a rendszer megoldása is. A megoldás egyedisége a feltételek mellett érhető el
(4. állítás).

2. Az összes változó kijelölése a
Egy olyan egyenlőtlenségből, amelynek egyedi megoldása van, ha a diszkrimináns másodfokú trinomikus egyenlő nullával, azok.

3. Ellenőrizzük, hogy a rendszer rendelkezik-e egyedi megoldással a talált paraméterértékekre.

a) Cseréljük be ezt a rendszert egyenlőtlenségek
:

Adjuk össze az utolsó rendszer egyenlőtlenségeit:
+

A zárójeleket kinyitva és hasonló kifejezéseket hozva a következőket kapjuk: . Innen



- csak döntés.

b) Csere után
mi kapjuk az egyetlen megoldást

Válasz:

3. feladat. Keresse meg annak a paraméternek az összes értékét, amelyre az egyenletrendszer

négy különböző megoldással rendelkezik.

Megoldás.

A rendszer formájából az következik, hogy > 0.

1. A rendszer invariáns, ha helyére - és tovább - . Ezért ha a paraméter kívánt értéke és egy számpár ;
- a rendszer megoldása, majd párok
;
, ;
És
; -
rendszermegoldások is. (2. és 3. állítás). Ezért megoldásokat találunk nál nél ≥ 0, ≥0. Ábrázoljuk az egyenletek grafikonjait egy koordinátarendszerben. Az első egyenlet grafikonja - a négyzet oldalainak pontjaiABCD, a második grafikonja egy kör, amelynek középpontja az origóban van, sugara pedig egyenlő.

Az ábrán látható, hogy a rendszernek pontosan négy megoldása van két esetben: 1)


;
; mert > 0, akkor
; 2) = 0 E- egy olyan négyzetbe írt kör sugara, amelynek oldala egyenlő
Pythagoras szerint a BOS háromszögből.

Eszközök, 0E =
, akkor =
ahol 2
= 2; 2 =
és =
.

Válasz: = 1; =
.

4. feladat. Milyen paraméterértékeken egyenletrendszer
pontosan három megoldása van?

Megoldás. 1. Ha egy számpár ;
– a rendszer megoldása, - a kívánt paraméter, majd a pár

; -
– megoldás is a rendszerre. Eszközök, = -
= 0.(3. állítás).

2. Cseréljük = 0 ebbe az egyenletrendszerbe.

Kapunk:

Nézzük meg, hogy van-e ez az egyenlet a talált értékekkel egyetlen döntés. Nál nél =-3 van:

Oldjuk meg a rendszer második egyenletét:

vagy
nincsenek megoldásai.

Ha y=0, akkor x=5 és (-5; 0) a rendszer egyetlen megoldása. Eszközök,
nem illik.. Következtetés

Az elvégzett munka során az invariánsok módszerét tanulmányoztam. Az invariánsok módszere a paramétert tartalmazó egységes államvizsga-feladatok és a színezési, paritási, osztási maradékokra vonatkozó olimpiai feladatok megoldására szolgált, indokolt és jól látható módon. gyakorlati használat módszer.

Felhasznált irodalom jegyzéke

Invariancia módszer

Az invariancia módszer abból áll, hogy a mérőműszerben a mérőáramkörön (csatornán) kívül van egy összehasonlító áramkör (csatorna), amelyhez nem érkezik bemeneti jel, de amely a mérőkörhöz hasonlóan a valamilyen befolyásoló mennyiség befolyása. Ezenkívül az összehasonlító áramkör paramétereit úgy választják meg, hogy a jelének változása egy befolyásoló mennyiség hatására azonos legyen a mérőkör jelének változásával ennek a mennyiségnek a hatására, azaz a befolyásolás okozta zavarokkal. mennyiség két csatornán keresztül jut be a mérőműszerbe (kétcsatornás elv). A mérő- és az összehasonlító áramkörök jelei közötti különbség felhasználása (ezek az áramkörök differenciális bekötésével) biztosítja a kapott jel függetlenségét (invarianciáját) a megnevezett befolyásoló mennyiségtől, azaz a módszer biztosítja az általa okozott többlethiba kiküszöbölését. néhány változás, általában a fő befolyásoló mennyiség.

Továbbítási módszer

A továbbító módszer abban áll, hogy a mért jelet egy kapcsolón keresztül juttatják a mérőműszer érzékeny eleméhez, amelynek segítségével a mért jelet időszakosan leválasztják az érzékeny elemről, és az utóbbira jelet továbbítanak, a melynek értéke nulla. Ez biztosítja, hogy a mérőműszer a statikus karakterisztika emelkedő ágán (előre löket) működjön a mért jel összes értékére, ami kiküszöböli számos mérőműszer legjelentősebb hibáját - a változásból eredő hibát.

Módszer segédmérések

A segédmérések módszere a mérőműszer többlethibájának figyelembevételének folyamatának automatizálásából áll, számos befolyásoló mennyiség ismert befolyásoló függvényei alapján. Ehhez ezeknek a mennyiségeknek az értékeit megmérjük, és a megnevezett befolyásolási függvények figyelembevételével épített számítástechnikai eszközzel automatikusan beállítjuk a mérőműszer kimeneti jelét.

Inverz konverziós módszer

Az inverz konverziós módszer (iterációs módszer) azon alapul, hogy a közvetlen mérőáramkör (direkt konverter) mellett a mérőműszer részeként olyan áramkört használnak, amely képes a kimenő jel inverz átalakítására (inverz konverter). lényegesen nagyobb pontossággal rendelkezik, mint a közvetlen átalakító áramkör. A mérési eredményt iterációkkal kapjuk meg. Minden iteráció során sorra kerül sor: a mért érték közvetlen átalakítása és az eredmény tárolása, ezen érték tárolt értékének inverz transzformációja, a mért érték tárolt értékének megfelelő inverz átalakító jelének közvetlen átalakítása, ill. e két transzformáció eredményének összehasonlítása, amely alapján korrekciós jelet állítunk elő. Inverter a ez a módszer többértékű mérték szerepét tölti be, amellyel a direkt átalakító statikus karakterisztikáját korrigálják. Az inverz transzformációs módszer lehetővé teszi a mérőműszerek additív és multiplikatív hibáinak csökkentését az alkalmazott korrekciós algoritmustól függően.

6. labor

VÉGTELEN PULZUSJELLEMZŐKKEL RENDELKEZŐ SZŰRŐK FEJLESZTÉSE

A munka célja: készségeket szerezni az IIR szűrők fejlesztésében .

Munkacélok:

1. Ismerkedjen meg az IIR szűrők fejlesztésének alapvető módszereivel

2. Ismerje meg a MATLAB parancsokat, amelyek lehetővé teszik IIR szűrők szintetizálását

1. ELMÉLETI INFORMÁCIÓK.. 2

1.1. Az IIR szűrő együtthatók számítási módszerei. 2

1.1.1. Számítsa ki a szűrőtényezőket nullák és pólusok elhelyezésével. 2

1.1.2. Invariáns impulzusválasz transzformáció. 4

1.1.3. Bilineáris z-átalakítás. 8

1.1.4. Az IIR szűrő együtthatók számítási módszerének kiválasztása. 12

1.2. Nyquist hatás. 12

1.3. IIR szűrők fejlesztése MATLAB segítségével.. 16

2. TELJESÍTHETŐ FELADATOK... 18

3. ELLENŐRIZZE A KÉRDÉSEKET.. 20

4. BIBLIOGRÁFIAI JEGYZÉK... 24

ELMÉLETI INFORMÁCIÓK

Az IIR szűrő együtthatók számítási módszerei

Ebben a szakaszban először egy közelítési módszert választanak ki, amelyet azután az együtthatóértékek kiszámításához használnak a kÉs b k, amelynél a fejlesztés első szakaszában kapott frekvenciaválasz-előírások teljesülnek. (A fejlesztés szakaszairól és a szűrőspecifikációk beállításáról bővebben a 4. laboratóriumi munkában).

Az IIR szűrő együtthatóinak egyszerű megszerzéséhez intelligensen elhelyezheti a pólusokat és a nullákat a komplex síkon, hogy a kapott szűrő a kívánt frekvencia-választ kapja. Ez a zérópólusú elhelyezési módszerként ismert megközelítés csak egyszerű szűrők, például bevágásszűrők tervezésekor hasznos, ahol a szűrőparamétereket (például az áteresztősáv hullámzását) nem kell pontosan megadni. Hatékonyabb megközelítés, ha először megtervezünk egy analóg szűrőt, amely megfelel a kívánt specifikációnak, majd átalakítja egy egyenértékű digitális szűrővé. A legtöbb digitális IIR szűrőt így tervezték. Ezt a megközelítést megkapta széleskörű felhasználás mert jelenleg az analóg szűrőkkel kapcsolatos szakirodalomban rengeteg információ található, amelyek felhasználhatók a digitális szűrők fejlesztésében. A három leggyakoribb módszer az analóg szűrők egyenértékű digitálisra konvertálására az invariáns impulzusválasz módszer. z– transzformáció és bilineáris z-átalakítás.

A következő szakaszok az IIR szűrő együtthatók kiszámításának következő módszereit tárgyalják:

nullák és pólusok elhelyezésének módja;

impulzusválasz invariáns transzformációjának módszere;

bilineáris z-átalakítás.

Szűrési együtthatók kiszámítása nullák és pólusok elhelyezésével

Ha a komplex sík egy pontján nullát helyezünk el, akkor a frekvenciaválasz az adott pontban lesz egyenlő nullával. Egy pólus viszont maximumot generál (1. ábra). Az egységkörhöz közel elhelyezkedő pólusok nagy csúcsokat, míg az egységkör közelében vagy azon fekvő nullák teljesítményminimumokat eredményeznek. Ezért a pólusok és nullák stratégiai elhelyezése a komplex síkon egy egyszerű aluláteresztő szűrőt vagy más frekvenciaszelektív szűrőt eredményez.

Egy dolgot kell szem előtt tartani a szűrő tervezésekor: fontos pont: Ahhoz, hogy a szűrőegyütthatók valósak legyenek, a pólusoknak és nulláknak vagy valósnak kell lenniük, vagy összetett konjugált párokat kell alkotniuk. Illusztráljuk a leírt módszert példákkal.

Rizs. 1. Egy egyszerű szűrő nullák és pólusok diagramja (a panel); a szűrő frekvenciaválaszának sematikus ábrázolása (b panel)

1. példa Szűrési együtthatók számításának illusztrációja egyszerű módszer nullák és pólusok. Olyan digitális sávszűrő szükséges, amely megfelel a következő előírásoknak:

teljes jelelutasítás 0 és 250 Hz-en;

keskeny sávszélesség 125 Hz-en;

A 3 dB-es sávszélesség 10 Hz.

500 Hz-es mintavételi frekvenciát feltételezve határozzuk meg a szűrő átviteli függvényét a pólusok és nullák megfelelő elrendezésével a komplex síkon, és írjuk fel a differencia egyenletet.

Megoldás

Először meg kell határoznia, hová helyezze el a pólusokat és a nullákat a komplex síkon. Mivel 0 és 250 Hz-en teljes bevágás szükséges, a komplex sík megfelelő pontjain nullákat kell elhelyezni. Ezek a pontok az egységkörön a 0° és 360° x 250/500 = 180° szögeknek megfelelő helyeken helyezkednek el. A sávszélesség 125 Hz-es központosításához a pólust ±360° x 125/500 = ±90° szögben kell elhelyezni. Ahhoz, hogy az együtthatók valósak legyenek, egy pár összetett konjugált pólusra van szükség.

Sugár r pólusokat a kívánt sávszélesség határozza meg. A hozzávetőleges sávszélesség (bn) meghatározásához at r> 0,9 a következő arányt alkalmazzuk:

Rizs. 2. Nullák és pólusok diagramja (a panel).

Ebben a feladatban n = 10 Hz és Fs= 500 Hz, honnan r= 1 - (10/500)π = 0,937. Az így kapott nullapólus diagramot a ábra mutatja. 2. A diagram segítségével írjuk fel az átviteli függvényt:

Differenciálegyenlet:

y(n) = -0,877969nál nél(n - 2) + x(n) - x(n - 2).

Az átviteli függvény összehasonlítása H(z) Val vel általános egyenlet IIR szűrők esetén azt találjuk, hogy a szűrő egy másodrendű blokk a következő együtthatókkal:

b 0 =1 a 1 =0

b 1 =0 a 2 =0.877969

Invariáns impulzusválasz transzformáció

A digitális szűrők megalkotásának második módja az, hogy az eredeti analóg szűrő paramétereit egy diszkrét szűrő paramétereivé alakítjuk át oly módon, hogy a szűrők (analóg és diszkrét) impulzusválaszai diszkrét időpillanatokban pontban egybeesjenek.

Matematikailag a szűrők (analóg és diszkrét) impulzusválaszainak illesztésének feltétele a következőképpen írható:

, (1)

ahol, , az analóg és diszkrét szűrők impulzusválaszai.

Határozzuk meg az analóg szűrő átviteli függvényét, majd ábrázoljuk formában egyszerű törtek

, (2)

ahol az analóg szűrő átviteli függvényének különböző pólusai (gyökei); – az ismert módszerek bármelyikével meghatározott együtthatók; - fokozat karakterisztikus egyenlet névadó.

A (2) egyenlethez hasonlóan kaphatunk olyan összefüggéseket, amelyek meghatározzák Z– egy diszkrét szűrő átviteli függvénye, amely ezután törtösszegként is ábrázolható

. (3)

A (2) és (3) kifejezések összehasonlításával megkapjuk az analóg szűrőkről a digitális szűrőkre való átmenet arányát az impulzus tranziens válasz invariáns transzformációjának módszerével.

, (4)

.

2. példa Legyen adott egy analóg szűrő átviteli függvénye

.

Keressen digitális szűrőt az impulzusátmeneti függvény invariáns transzformációs módszerével. Az átviteli függvényt ábrázoljuk egyszerű törtek formájában

. (5)

Határozzuk meg Heaviside-módszerrel is

,

.

A (4) reláció segítségével írjuk Z– a digitális szűrő átviteli funkciója

Leegyszerűsítve (6) kifejezést kapunk

. (7)

Mikor, megkapjuk

. (8)

A MATLABimpinvar paranccsal kiküszöbölhető az összes időigényes számítás, amely a folyamatos átviteli függvényekről a diszkrét átviteli függvényekre való átálláshoz kapcsolódik.

Impinvar(b,a,Fs),

ahol, , az analóg prototípus átviteli függvényének számlálójának és nevezőjének együtthatóinak adott vektorai, a jel mintavételi frekvenciája hertzben, és , a diszkrét átviteli függvény számlálójának és nevezőjének számított együtthatói szűrő.

A MATLAB program bemutatja a diszkrét szűrő paramétereinek meghatározását annak analóg prototípusával, amely a két szűrő impulzusjellemzőinek egybeesése alapján történik a jelkvantálási pontokon.

h=tf(,) Folyamatos szűrő átviteli függvénye.

Tp=0,1; % Diszkrét intervallum.

hd=c2d(h,Tp) Egy diszkrét szűrő átviteli függvénye.

Tfdata(h,"v") %Az átviteli együtthatók meghatározása

a folyamatos szűrő %funkciói.

Impinvar(n,d,10) % Transzmissziós együtthatók meghatározása

% diszkrét szűrőfunkciók.

f=filt(nd,dd,0,1) %Gear

% diszkrét szűrő funkció.

bode(h,hd,f),rács %logaritmikus karakterisztikán

A kivetített szűrők %-a.

Megjegyzendő, hogy a digitális szűrő erősítése nulla frekvencián egyenlő, az analóg szűrőé pedig 1. Ezért ha a (8) kifejezést összehasonlítjuk a MATLAB-ban kapott hasonló kifejezéssel, akkor egy meghatározott eltérést figyelünk meg. a szorzóval. Ezért annak érdekében, hogy az analitikusan kapott számítási eredményeket (5–8. kifejezések) összhangba hozzuk a MATLAB-csomagban kapott számítási eredményekkel, a (8) kifejezést normalizálni kell úgy, hogy megszorozzuk a mintavételi intervallummal.

A program eredményei azt mutatják, hogy a munkaigényes számításokkal (5-8. kifejezések) és az impinvar eljárással kapott átviteli függvények , egyeznek meg. A különböző eljárásokkal kapott logaritmikus jellemzők eltérőek: az impinvar eljárás kisebb hibát produkál.

3. ábra. A szűrők logaritmikus jellemzői (1 - analóg; 2 - diszkrét (impinvar eljárások); 3 - diszkrét (c2d eljárások)).

1.1.3. Bilineáris z-átalakítás

Ismeretes, hogy az impulzusátmeneti függvény transzformációjának módja a sík pontjainak összekapcsolásán alapul S síkpontokkal Z reláció határozza meg

ahol a sík valós tengelye közötti szög Z valamint a sík egységsugarú körének pontjait meghatározó vektorok Z.

A (9)-ből az következik, hogy a sík pontjai közötti kapcsolat SÉs Z nem egyértelmű, ami átfedést okoz, és torzíthatja az eredményeket, pl. az így szintetizált digitális szűrő nem lesz megfelelő az analóg prototípusához. Valóban, a frekvenciák; és a repülőn Z egy ponton jelenik meg z=1.

Az átfedés nemkívánatos hatásának kiküszöbölésére egy bilineáris transzformációt vezettek be, amely egyedi módon transzformálja a sík képzeletbeli tengelyének pontjait S a sík képzeletbeli tengelyének pontjaira Z. Így az átmenet a sík képzeletbeli tengelyétől S a repülőhöz Z két transzformációval hajtjuk végre: (9) és (10) kifejezéssel. A (9) kifejezés átalakítja a sík képzeletbeli tengelyét S a sík egységsugarú körében Z, és a (10) kifejezés átalakítja a sík képzeletbeli tengelyét S a sík képzeletbeli tengelyéhez Z. Az utolsó transzformáció (10-es kifejezés) a következő néven ismert W transzformáció és sík Z ezzel a transzformációval síknak jelöljük W.

(10)

A (10) egyenlet megoldása erre z a síkból való átmenetet meghatározó kifejezést kapunk W a repülőbe S

A (9-11) összefüggések segítségével igazoljuk a digitális szűrők számítási módszerét, amely nem tér el a korábban tárgyalttól, és a következő lépésekből áll.

1. A műszaki követelmények alapján meghatározzuk a szükséges analóg szűrő átviteli funkcióját .

2. Alkalmazzon bilineáris transzformációt, és szerezze be a digitális szűrő Z-átviteli függvényét

. (12)

A (12) transzformáció során az analóg szűrő frekvenciakarakterisztikája és stabilitási tulajdonságai megmaradnak. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az analóg és a digitális szűrők frekvenciakarakterisztikája azonos, csak az alakjuk azonos. Például, ha egy analóg szűrő amplitúdó-frekvencia-válasza monoton csökken, amikor a frekvencia 0-ról végtelenre változik, akkor a digitális szűrő amplitúdó-frekvencia-válasza monoton csökken, ha a digitális frekvencia 0-ról változik; ha egy analóg szűrő amplitúdó-frekvencia válasza 0 és végtelen közötti frekvenciatartományban emelkedik és csökken, akkor a megfelelő digitális szűrő amplitúdó-frekvencia válasza emelkedik és süllyed a digitális frekvenciatartományban 0 és . Ráadásul a és közötti kapcsolat nemlineáris

(15)

A bilineáris transzformációs módszeren alapuló digitális szűrő paramétereinek meghatározására szolgáló eljárás a MATLAB csomag bilineáris vagy c2d eljárásaival felgyorsítható.

A bilineáris eljárás háromféleképpen érhető el:

Bilineáris(b,a,Fs,Fp) (16)

Bilineáris(z,p,kFs,Fp) (17)

Bilineáris (A,B,C,D,Fs,Fp) (18)

A bemeneti adatok az analóg szűrőparaméteres bilineáris eljárás végrehajtásához, LTI formában. Az Fs paraméter határozza meg a mintavételezési frekvenciát hertzben. Az Fp paraméter nem kötelező. Meghatározza hertzben azt a frekvenciát, amelyre az átalakítás előtti és utáni frekvenciaválasz értékének azonosnak kell lennie.

A (16)-(18) kifejezés eltér az eredeti adattól. A (16) pontban a diszkrét szűrő bd számlálójának és ad nevezőjének együtthatóit az analóg prototípus b számlálójának és a nevezőjének együtthatóiból határozzuk meg. A (17) kifejezésben az analóg prototípus kezdeti adatai nullák z, az ri pólusok k erősítése . A (17) kifejezésre hivatkozva kiszámíthatjuk a diszkrét szűrő zd nulláit, pd pólusait és kd erősítését. Végül a (18) kifejezés meghatározza a szűrő állapotterének diszkrét mátrixát a szűrő állapotterének ismert folytonos mátrixaiból.

A c2d eljárás meghatározza egy diszkrét szűrő paramétereit a h folyamatos átviteli függvény és a T P diszkrét intervallum segítségével

hd=c2d(h,Tp,'módszer') (19)

A MATLAB számos közelítési módszert kínál: nulla rendű, elsőrendű, Tustin bilineáris közelítés, Tustin bilineáris közelítés korrekcióval és nullapólus illesztési módszer. Közelítési módszer kiválasztásakor a (19) kifejezést adjuk meg (a Tustin-féle bilineáris közelítést alkalmazzuk)

hd=c2d(h,Tp,'TUSTIN'). (20)

4. ábra. A szűrők logaritmikus jellemzői (1 - analóg; 2 - diszkrét (bilineáris transzformációs eljárások); 3 - diszkrét (c2d eljárások))

A program szemlélteti a digitális szűrők bilineáris transzformációval történő kiszámítására vonatkozó összes fenti elméleti elvet:

h=tf(,) %Kiinduló adat

syms z s %Szimbolikus változók bevitele

k=2; %Szimbolikus változók bevitele.

s=(2/Tp)*(1-z^-1)/(1+z^-1) %Áttérés a W síkra.

hs=k/(s^2+3*s+3) %A transzformáció alkalmazása a következőre

%analóg szűrő.

hs1=egyszerűsítés(hs) % Algebrai transzformációk

hs2=filt(,,Tp)*(2/463)%egyenlet

% digitális szűrő bilineáris konverzióhoz.

Tfdata(h,"v") % Együtthatók meghatározása

folyamatos szűrő %-os átviteli függvénye.

Bilineáris(n,d,10) % Digitális szűrő egyenlete at

%bilineáris transzformáció.

hdt=c2d(h,Tp"TUSTIN") %Digitális szűrőegyenlet

Tustin átalakítás.

hdv=filt(nd,dd,Tp) %Az egyenlet szűrési formába hozása.

bode(h,hdt,hdv,hs2),grid %logaritmikus

az analóg és digitális szűrők jellemzői.

Ennek a programnak a számítási eredményeit a 4. ábra mutatja be, amelyből az következik, hogy a munkaigényes számításokkal ((15) kifejezés) és a bilineáris és c2d eljárás alkalmazásával kapott frekvenciakarakterisztika grafikonjai egybeesnek.