Skutočné číslo verzie 337

Skúšobná práca pozostáva z dvoch častí, vrátane 19 úloh. 1. časť obsahuje 8 úloh s krátkymi odpoveďami Základná úroveňťažkosti. 2. časť obsahuje 4 úlohy s krátkou odpoveďou pokročilá úroveň zložitosti a 7 úloh s podrobnou odpoveďou zvýšenej a vysokej úrovne zložitosti.
Na vypracovanie skúškovej práce z matematiky sú vyčlenené 3 hodiny 55 minút (235 minút).
Odpovede na úlohy 1-12 sa zapisujú podľa ukážky nižšie ako celé číslo alebo ako koncový desatinný zlomok. Čísla napíšte do kolónok na odpoveď v texte práce a následne ich preneste do odpoveďového hárku č.1.

Pri plnení úloh 13–19 je potrebné zapísať celé riešenie a odpoveď do odpoveďového hárku č.2.
Všetky formuláre USE sú vyplnené jasným čiernym atramentom. Je povolené používať gélové, alebo kapilárne alebo plniace perá.
Pri dokončovaní úloh môžete použiť koncept. Návrhy sa nezapočítavajú do hodnotenia práce. Body, ktoré získate za splnené úlohy, sa sčítajú.
Pokúste sa dokončiť čo najviac úloh a zabodovať najväčší počet bodov.
Prajeme vám úspech!

Podmienky problému

Odpovedzte na úlohy 1 – 12 je celé číslo alebo konečné desiatkový. Číslo napíšte do políčka odpovede v texte práce, potom ho preneste do ODPOVEDE FORMULÁRA č. 1 napravo od čísla zodpovedajúcu úlohu, počnúc prvou bunkou. Každá číslica znamienko mínus a čiarku napíšte podľa toho do samostatného políčka so vzorkami poskytnutými vo formulári. Napíšte jednotky netreba.

1. V škole francúzskyŠtuduje 102 žiakov, čo je 30% všetkých žiakov školy. Koľko žiakov je v škole?
2. Výkon ohrievača v aute je regulovaný dodatočným odporom. Tým sa mení sila prúdu v elektrickom obvode elektromotora: čím nižší je odpor, tým väčšia je sila prúdu a motor ohrievača sa otáča rýchlejšie. V grafe je znázornená závislosť sily prúdu od hodnoty odporu. Na vodorovnej osi je vyznačený odpor v ohmoch. vertikálna os- sila prúdu v ampéroch.
   Určte z grafu, o koľko ohmov sa zvýšil odpor v obvode, keď sa sila prúdu znížila z 12 ampérov na 4 ampéry.
   
3. Na kockovanom papieri je znázornený trojuholník s veľkosťou bunky 1 × 1 ABC. Nájdite dĺžku jeho výšky nakreslenú k čiare obsahujúcej stranu AB.
4. V skupine turistov je 300 ľudí. Do odľahlej oblasti ich doručuje vrtuľník, ktorý prepraví 15 ľudí na let. Poradie, v akom vrtuľník preváža turistov, je náhodné. Nájdite pravdepodobnosť, že turista B. absolvuje prvý let vrtuľníkom.
5. Nájdite koreň rovnice
6. Plocha rovnobežníka A B C D rovná sa 28. Bod E- stredná strana AD. Nájdite oblasť lichobežníka BCDE.
7. Na obrázku je znázornený graf – derivácia funkcie. Na osi x je vyznačených sedem bodov: . Koľko z týchto bodov patrí do intervalov klesajúcej funkcie?
   
8. Valec, ktorého objem je 18, je opísaný v blízkosti gule. Nájdite objem gule.
   
   Časť 2
9. Nájdite hodnotu výrazu
10. www.website Lokátor batyskafu, rovnomerne klesajúci kolmo nadol, vysiela ultrazvukové impulzy s frekvenciou 185 MHz. Rýchlosť ponorenia batyskafu (v m/s) sa vypočíta podľa vzorca , kde m/s je rýchlosť zvuku vo vode; - frekvencia emitovaných impulzov (v MHz); - frekvencia signálu odrazeného zdola (v MHz) zaznamenaná prijímačom. Určte frekvenciu odrazeného signálu (v MHz), ak batyskaf klesá rýchlosťou 20 m/s.
11. Loď o 10:00 opustila rieku z bodu A do bodu B, ktorý sa nachádza 35 km od A. Po 4 hodinách zotrvania v bode B sa loď vydala na cestu
    späť a do bodu A sa vrátili o 18:00 v ten istý deň. Určte vlastnú rýchlosť člna (v km/h), ak je známe, že rýchlosť rieky je 3 km/h.
12. Nájdite maximálny bod funkcie
13. a) Vyriešte rovnicu.
    b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu.
14. Základňa štvorhrannej pyramídy SABCD je obdĺžnik A B C D, navyše AB= , BC= 4. Základňa výšky pyramídy je stredom obdĺžnika. Z vrcholkov A a C znížené kolmice AP a CQ na hrane SB.
    a) Dokážte to P- stred segmentu BQ.
    b) Nájdite uhol medzi plochami SBA a SBC, ak SD= 4.
15. Vyriešte nerovnosť
16. www.site In a trapeze A B C D rohu zlý rovno. Kruh postavený na väčšej základni AD ako na priemere, pretína menšiu základňu BC v bodoch C a M.
    a) Dokážte, že ∠ BAM = ∠CAD.
    b) Uhlopriečky lichobežníka A B C D pretínajú v bode O. Nájdite oblasť trojuholníka AOB, ak AB= a BC = 2 BM.
17. V júli 2020 sa plánuje vziať si pôžičku od banky na určitú sumu.
    Podmienky na jeho vrátenie sú nasledovné:
    - každý január sa dlh zvýši o 25 % v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka;
    - od februára do júna každého roka je potrebné uhradiť časť dlhu jednou splátkou.
    Koľko rubľov sa vyplatí banke, ak je známe, že pôžička bude úplne splatená v troch rovnakých splátkach (tj počas troch rokov) a celková výška platieb po úplnom splatení pôžičky je 104 800 rubľov viac ako suma brať na úver?
18. Nájdite všetky hodnoty pre každú, z ktorých má rovnica práve jeden koreň na intervale .
19. Na tabuli je napísaných 100 rôznych vecí. prirodzené čísla, ktorej suma je 5120.
    a) Môže sa ukázať, že na tabuli je napísané číslo 230?
    b) Je možné, že číslo 14 nie je na tabuli?
    c) Aký najmenší počet násobkov 14 môže byť na hracej ploche?

Absolvovanie jednotnej štátnej skúšky je nielen nevyhnutnosťou na konci všeobecného stredného vzdelávania, ale aj súčasťou prijímacích skúšok na vysoké školy. Školáci, ktorí sa rozhodnú vstúpiť do špecializácií s matematickým alebo technickým zaujatím, absolvujú nielen základnú úroveň matematiky, ale aj profilovú úroveň. Zvážte jeho vlastnosti, načasovanie a overenie a niektoré body súvisiace s výsledkami.

objednať vykonanie skúšky Federálny zákon č. 273 „O vzdelávaní v Ruská federácia».

Kedy budú známe výsledky skúšok?

Oficiálny harmonogram určoval kapituláciu POUŽITIE v matematike 2018 smer profilu v piatok 1. júna. Ako rezervný deň dátum je zvýraznený v hlavnej slučke 25. júna, a 2. júl zostáva náhradným dňom na doručenie všetkých položiek.

Separácia skúška z matematiky na úrovniach, ktoré sa stali minulý rok. Líšia sa z niekoľkých dôvodov:

• Systém klasifikácie. Základná úroveň vedomostí z predmetu sa hodnotí na päťstupňovej škále (minimálne sú stanovené 3 body). Hodnotenie v profilovom predmete sa hodnotí na škále 100 bodov;
• Ďalší rozdiel je v prijímaní skúšok základnej a profilovej úrovne na prijatie do vzdelávacích zariadení vyššej a strednej odbornej úrovni. Takže pre vysoké školy, školy, univerzity slobodných umení stačí základná úroveň. Prítomnosť matematiky na prijímacích skúškach na technické odbory vyžaduje, aby uchádzač úspešne absolvoval profilovú úroveň;
• Different štruktúry skúšok. Základ tvorí 20 úloh s krátkymi odpoveďami. Profilová skúška je oveľa ťažšia a pozostáva z 2 častí.

Systém USE umožňuje absolventom škôl absolvovať základnú a profilovú časť predmetu bez obmedzení. To výrazne zvyšuje šance dostať sa na vysoké školy.

Spracovanie výsledkov skúšky má určitý časový rámec a poradie:

• Skenovanie a spracovanie formulárov v regiónoch - do 4 dní;
• Spracovanie výsledkov na federálnej úrovni - do 7 dní;
• Odoslanie výsledkov do regiónov - 1 deň;
• Potvrdenie výsledkov komisiou štátnej skúšky - nie dlhšie ako 1 deň;
• Vyhlásenie výsledkov - 1 deň.

Lehota na kontrolu a zverejnenie výsledkov teda nie je dlhšia ako 2 týždne. Výsledky USE 2018 z matematiky na profilovej úrovni budú známe najneskôr 17.6..

Ako poznať svoj výsledok?

Zistite výsledky poslednej skúšky možno vykonať niekoľkými spôsobmi:

• Oficiálny portál Jednotnej štátnej skúšky www.ege.edu.ru;
• v informačných stánkoch v školách alebo iných inštitúciách, kde sa skúška konala;
• V regionálnych oddeleniach alebo výboroch pre vzdelávanie;
• Niekoľko regiónov vytvára špecializované webové stránky alebo horúce linky.

Skontrolujte svoje skóre k dispozícii, ak je k dispozícii:

• Celý názov subjektu;
• Číslo pasu alebo iného dokumentu použitého pri skúške totožnosti;
• Identifikačný kód pridelený každému účastníkovi skúšky.

Informácie o výsledkoch skúšky sú bezplatné a sú poskytované bezplatne účastníkom USE a ich rodičom.

Predsemestrálna skúška USE z matematiky

Množstvo školákov už prešlo USE v matematike v tzv skoré obdobie. Účasť na ňom je povolená, ak sa študent nemôže zúčastniť na hlavnom pódiu. Dôvody môžu byť:

• Plánovaná liečba;
• Odpočinok v zariadeniach na zlepšenie zdravia;
• Účasť na súťažiach, olympiádach a iných vzdelávacích alebo tvorivých podujatiach.

V roku 2017 sa uskutočnila skorá dodávka matematiky 31. marca a 14. apríla(rezervný deň). Základným stupňom prešlo 4,8 tisíca školákov a asi 17 tisíc špecializovanými.

Podľa plánu mali byť výsledky skorého USE v matematike 2017 k dispozícii 11. apríla, ale boli zverejnené oveľa skôr - 7.

Kde vidieť svoju prácu

Svoju prácu si môžete pozrieť po absolvovaní skúšky v elektronickom formáte. Jej sken je dostupný na osobný účet na portáli USE. Prístup k nemu je udelený, keď:

• Prítomnosť identifikačného kódu účastníka jednotnej štátnej skúšky;
• Celé meno a číslo pasu.

Ak po vyhlásení výsledkov účastník nesúhlasí s udelenými bodmi, tak má 2 dni na podanie odvolania skúšobnej komisii. Žiadosť je spísaná v 2 vyhotoveniach a predložená komisii na posúdenie. Do 5. júna sa riešenia problémov opäť preveria a rozhodne sa o zmene hodnotenia alebo jeho potvrdení.

Ako sa hodnotí skúška? Systém USE na hodnotenie výsledkov využíva primárne a testovacie skóre, ako aj špeciálnu stupnicu na ich vzájomné prekladanie. Riešenia KIM (kontrolné a meracie materiály) sú hodnotené v primárnych bodoch a následne prevedené podľa tabuľky do testovacích. Konečným výsledkom skúšky je počet získaných testovacích bodov.

Vypracovanie škály na prepočet výsledkov základných škôl na výsledky testov sa uskutočňuje každý rok a zohľadňuje všeobecnú úroveň prípravy školákov.

Pre úspešné absolvovanie profilovej matematiky v roku 2018 musíte zadať minimum:

• 6 primárnych bodov;
• 27 testovacích bodov.

Termín opravnej skúšky z matematiky v roku 2018

Existuje číslo dodatočné termíny pre absolvovanie skúšky . Sú k dispozícii, ak študent z vážnych dôvodov nemohol absolvovať predmet v hlavný deň. Pre profilovú matematiku je to:

• 25. júna– rezervný deň v rámci hlavnej fázy;
• 2. júla- rezervný deň hlavnej časti skúšky, kedy môžete absolvovať akýkoľvek predmet.

Možnosť opätovného odberu špecializovaná matematika v septembri má niekoľko podmienok:

• Ak študent úspešne absolvoval základnú matematiku, tento rok mu nebude umožnené znovu absolvovať profilovú úroveň. Možnosť opakovať skúšku vznikne až budúci rok;
• V prípade neúspešnosti oboch skúšok z matematiky (základnej aj profilovej) sa študent môže rozhodnúť, ktorú bude opakovať.

Opakovanie matematiky menovaný v septembri 7. septembra. 15. september je uvedený ako rezervný deň.

Hodnotenie

dve časti, počítajúc do toho 19 úloh. Časť 1 Časť 2

3 hodiny 55 minút(235 minút).

Odpovede

Ale ty možeš urobiť kompas Kalkulačky na skúške nepoužité.

pas), prejsť a kapilárne alebo! Povolené brať so mnou voda(v priehľadnej fľaši) a jedlo

Skúšobný list pozostáva z dve časti, počítajúc do toho 19 úloh. Časť 1 obsahuje 8 úloh základnej úrovne zložitosti s krátkou odpoveďou. Časť 2 obsahuje 4 úlohy zvýšenej náročnosti s krátkou odpoveďou a 7 úloh vysoký stupeňŤažkosti s rozšírenými odpoveďami.

Na ukončenie skúšok je daná práca z matematiky 3 hodiny 55 minút(235 minút).

Odpovede do úloh 1–12 sa zaznamenávajú ako celé číslo alebo koncové desatinné číslo. Čísla napíšte do kolónok na odpoveď v texte práce a následne ich preneste do odpoveďového hárku č.1 vydaného pri skúške!

Pri vykonávaní práce môžete použiť tie, ktoré boli vydané s prácou. Môžete použiť iba pravítko, ale ty možeš urobiť kompas vlastnými rukami. Je zakázané používať nástroje, na ktorých sú vytlačené referenčné materiály. Kalkulačky na skúške nepoužité.

Na skúšku musíte mať pri sebe doklad totožnosti. pas), prejsť a kapilárne príp gélové pero s čiernym atramentom! Povolené brať so mnou voda(v priehľadnej fľaši) a jedlo(ovocie, čokoláda, buchty, sendviče), ale môže byť požiadaný, aby odišiel na chodbe.

Priemerná všeobecné vzdelanie

Linka UMK G.K. Muravina. Algebra a začiatky matematickej analýzy (10-11) (hlboká)

Linka UMK Merzlyak. Algebra a začiatky analýzy (10-11) (U)

Matematika

Príprava na skúšku z matematiky (profilová úroveň): úlohy, riešenia a vysvetlenia

S učiteľom rozoberáme úlohy a riešime príklady

Skúšobná práca na úrovni profilu trvá 3 hodiny 55 minút (235 minút).

Minimálny prah- 27 bodov.

Skúšobná práca pozostáva z dvoch častí, ktoré sa líšia obsahom, náročnosťou a počtom úloh.

Charakteristickým znakom každej časti práce je forma úloh:

• 1. časť obsahuje 8 úloh (úlohy 1-8) s krátkou odpoveďou v tvare celého čísla alebo koncového desatinného zlomku;
• 2. časť obsahuje 4 úlohy (úlohy 9-12) s krátkou odpoveďou v tvare celého čísla alebo konečného desatinného zlomku a 7 úloh (úlohy 13-19) s podrobnou odpoveďou (úplný záznam rozhodnutia s odôvodnením vykonané akcie).

Panova Svetlana Anatolievna, učiteľ matematiky najvyššej kategórieškoly, 20 rokov praxe:

„Na získanie vysvedčenia musí absolvent absolvovať dve povinné skúšky vo forme Jednotnej štátnej skúšky, z ktorých jedna je z matematiky. V súlade s Koncepciou rozvoja matematického vzdelávania v Ruskej federácii je jednotná štátna skúška z matematiky rozdelená na dve úrovne: základnú a špecializovanú. Dnes zvážime možnosti pre úroveň profilu.

Úloha číslo 1- preveruje schopnosť účastníkov USE aplikovať zručnosti získané v priebehu 5.-9. ročníka v elementárnej matematike, v praktické činnosti. Účastník musí mať počítačové zručnosti, vedieť s ním pracovať racionálne čísla, vedieť zaokrúhliť desatinné miesta byť schopný previesť jednu mernú jednotku na inú.

Príklad 1 V byte, kde Petr býva, bol nainštalovaný merač nákladov studená voda(počítadlo). Na prvého mája meradlo ukazovalo spotrebu 172 metrov kubických. m vody a prvého júna - 177 metrov kubických. Akú sumu má Peter zaplatiť za studenú vodu za máj, ak je cena 1 cu. m studenej vody je 34 rubľov 17 kopejok? Uveďte svoju odpoveď v rubľoch.

Riešenie:

1) Zistite množstvo vody spotrebovanej za mesiac:

177 - 172 = 5 (m3)

2) Zistite, koľko peňazí zaplatíte za spotrebovanú vodu:

34,17 5 = 170,85 (rub)

odpoveď: 170,85.

Úloha číslo 2- je jednou z najjednoduchších úloh skúšky. Väčšina absolventov sa s ňou úspešne vyrovnáva, čo svedčí o držaní definície pojmu funkcia. Typ úlohy č.2 podľa kodifikátora požiadaviek je úlohou na využitie získaných vedomostí a zručností v praktických činnostiach a Každodenný život. Úloha č.2 spočíva v popísaní pomocou funkcií rôznych reálnych vzťahov medzi veličinami a interpretácii ich grafov. Úloha číslo 2 testuje schopnosť extrahovať informácie prezentované v tabuľkách, diagramoch, grafoch. Absolventi musia vedieť určiť hodnotu funkcie podľa hodnoty argumentu kedy rôznymi spôsobmi definovanie funkcie a popis správania a vlastností funkcie podľa jej grafu. Taktiež je potrebné vedieť nájsť maximum resp najmenšia hodnota a zostavte grafy študovaných funkcií. Urobené chyby sú náhodného charakteru pri čítaní podmienok problému, čítaní diagramu.

#ADVERTISING_INSERT#

Príklad 2 Na obrázku je znázornená zmena výmennej hodnoty jednej akcie ťažobnej spoločnosti v prvej polovici apríla 2017. Podnikateľ 7. apríla kúpil 1000 akcií tejto spoločnosti. 10. apríla predal tri štvrtiny nakúpených akcií a 13. apríla predal všetky zvyšné. O koľko prišiel podnikateľ v dôsledku týchto operácií?

Riešenie:

2) 1000 3/4 = 750 (akcie) - tvoria 3/4 všetkých nakúpených akcií.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rubľov) - podnikateľ dostal po predaji 1 000 akcií.

7) 340 000 - 325 000 = 15 000 (rubľov) - podnikateľ stratil v dôsledku všetkých operácií.

odpoveď: 15000.

Úloha číslo 3- je úlohou základnej úrovne prvej časti, preveruje schopnosť vykonávať úkony s geometrické tvary o obsahu kurzu „Planimetria“. Úloha 3 testuje schopnosť vypočítať plochu obrazca na kockovanom papieri, schopnosť vypočítať mieru uhlov, vypočítať obvody atď.

Príklad 3 Nájdite plochu obdĺžnika nakreslenú na kockovanom papieri s veľkosťou bunky 1 cm x 1 cm (pozri obrázok). Svoju odpoveď uveďte v centimetroch štvorcových.

Riešenie: Na výpočet plochy tohto obrázku môžete použiť vzorec Peak:

Na výpočet plochy tohto obdĺžnika používame vzorec Peak:

S= B+	G
	2

kde V = 10, G = 6, teda

S = 18 +	6
	2

odpoveď: 20.

Pozri tiež: Jednotná štátna skúška z fyziky: riešenie problémov s vibráciami

Úloha číslo 4- úloha kurzu "Teória pravdepodobnosti a štatistika". Testuje sa schopnosť vypočítať pravdepodobnosť udalosti v najjednoduchšej situácii.

Príklad 4 Na kruhu je 5 červených a 1 modrá bodka. Určte, ktoré polygóny sú väčšie: tie so všetkými červenými vrcholmi alebo tie s jedným z modrých vrcholov. Vo svojej odpovedi uveďte, o koľko viac jedného ako druhého.

Riešenie: 1) Používame vzorec pre počet kombinácií z n prvky podľa k:

ktorého všetky vrcholy sú červené.

3) Jeden päťuholník so všetkými červenými vrcholmi.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polygónov so všetkými červenými vrcholmi.

ktorých vrcholy sú červené alebo s jedným modrým vrcholom.

ktorých vrcholy sú červené alebo s jedným modrým vrcholom.

8) Jeden šesťuholník, ktorého vrcholy sú červené s jedným modrým vrcholom.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polygónov, ktoré majú všetky červené vrcholy alebo jeden modrý vrchol.

10) 42 - 16 = 26 polygónov, ktoré používajú modrú bodku.

11) 26 - 16 = 10 polygónov - koľko polygónov, v ktorých jeden z vrcholov je modrý bod, je viac ako polygónov, v ktorých sú všetky vrcholy iba červené.

odpoveď: 10.

Úloha číslo 5- základná úroveň prvej časti testuje schopnosť riešiť najjednoduchšie rovnice (iracionálne, exponenciálne, trigonometrické, logaritmické).

Príklad 5 Vyriešte rovnicu 2 3 + X= 0,453+ X .

Riešenie. Rozdeľme dve časti daná rovnica za 5 3 + X≠ 0, dostaneme

2 3 + X	= 0,4 resp		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

z čoho vyplýva, že 3 + X = 1, X = –2.

odpoveď: –2.

Úloha číslo 6 v planimetrii na zisťovanie geometrických veličín (dĺžok, uhlov, plôch), modelovanie reálnych situácií v jazyku geometrie. Štúdium zostavených modelov pomocou geometrické pojmy a vety. Zdrojom ťažkostí je spravidla neznalosť alebo nesprávna aplikácia potrebných teorém planimetrie.

Oblasť trojuholníka ABC rovná sa 129. DE- stredová čiara rovnobežná so stranou AB. Nájdite oblasť lichobežníka POSTEĽ.

Riešenie. Trojuholník CDE podobný trojuholníku TAXÍK na dvoch rohoch, od rohu na vrchole C všeobecný, uhol CDE rovný uhlu TAXÍK ako zodpovedajúce uhly pri DE || AB sekanta AC. Pretože DE je stredná čiara trojuholníka podľa podmienky a potom podľa vlastnosti stredná čiara | DE = (1/2)AB. Takže koeficient podobnosti je 0,5. Plochy podobných útvarov súvisia ako druhá mocnina koeficientu podobnosti, tzv

v dôsledku toho S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Úloha číslo 7- skontroluje aplikáciu derivácie na štúdium funkcie. Pre úspešnú implementáciu je potrebné zmysluplné, neformálne vlastníctvo konceptu derivátu.

Príklad 7 Ku grafu funkcie r = f(X) v bode s osou x X 0 je nakreslená dotyčnica, ktorá je kolmá na priamku prechádzajúcu bodmi (4; 3) a (3; -1) tohto grafu. Nájsť f′( X 0).

Riešenie. 1) Použijeme rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma dané body a nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi (4; 3) a (3; -1).

(r – r 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(r 2 – r 1)

(r – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(r – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–r + 3 = –4X+ 16| · (-jedna)

r – 3 = 4X – 16

r = 4X– 13, kde k 1 = 4.

2) Nájdite sklon dotyčnice k 2, ktorý je kolmý na priamku r = 4X– 13, kde k 1 = 4 podľa vzorca:

3) Sklon dotyčnice je deriváciou funkcie v bode dotyku. znamená, f′( X 0) = k 2 = –0,25.

odpoveď: –0,25.

Úloha číslo 8- preverí znalosť elementárnej stereometrie medzi účastníkmi skúšky, schopnosť aplikovať vzorce na hľadanie plôch a objemov útvarov, dihedrálnych uhlov, porovnávať objemy podobných útvarov, vedieť vykonávať akcie s geometrickými útvarmi, súradnicami a vektormi atď. .

Objem kocky opísanej okolo gule je 216. Nájdite polomer gule.

Riešenie. 1) V kocka = a 3 (kde a je dĺžka hrany kocky), tak

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Keďže guľa je vpísaná do kocky, znamená to, že dĺžka priemeru gule sa rovná dĺžke hrany kocky, teda d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Úloha číslo 9- vyžaduje od absolventa transformáciu a zjednodušenie algebraické výrazy. Úloha č. 9 zvýšenej náročnosti s krátkou odpoveďou. Úlohy zo sekcie „Výpočty a transformácie“ v USE sú rozdelené do niekoľkých typov:

transformácie číselných racionálnych výrazov;

transformácie algebraických výrazov a zlomkov;

transformácie číselných/písmenových iracionálnych výrazov;

akcie s titulmi;

transformácia logaritmické výrazy;

1. prevod číselných/písmenových trigonometrických výrazov.

Príklad 9 Vypočítajte tgα, ak je známe, že cos2α = 0,6 a

3π	< α < π.
4

Riešenie. 1) Použime vzorec s dvojitým argumentom: cos2α = 2 cos 2 α - 1 a nájdime

tan 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Z toho vyplýva, že tan 2 a = ± 0,5.

3) Podľa podmienok

3π	< α < π,
4

teda α je uhol druhej štvrtiny a tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

odpoveď: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Úloha číslo 10- preveruje schopnosť žiakov využívať nadobudnuté rané vedomosti a zručnosti v praktických činnostiach a bežnom živote. Môžeme povedať, že ide o problémy vo fyzike, a nie v matematike, ale všetky potrebné vzorce a množstvá sú uvedené v podmienke. Úlohy sa redukujú na riešenie lineárnej resp kvadratická rovnica, buď lineárne alebo štvorcová nerovnosť. Preto je potrebné vedieť riešiť takéto rovnice a nerovnice a určiť odpoveď. Odpoveď musí byť vo forme celého čísla alebo posledného desatinného zlomku.

Dve telesá hmoty m= 2 kg každý, pohybujúce sa rovnakou rýchlosťou v= 10 m/s pri vzájomnom uhle 2α. Energia (v jouloch) uvoľnená pri ich absolútne nepružnej zrážke je určená výrazom Q = mv 2 hriech 2 α. V akom najmenšom uhle 2α (v stupňoch) sa musia telesá pohybovať, aby sa v dôsledku zrážky uvoľnilo aspoň 50 joulov?
Riešenie. Na vyriešenie úlohy potrebujeme vyriešiť nerovnosť Q ≥ 50 na intervale 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 hriech 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin2α ≥ 50

Keďže α ∈ (0°; 90°), budeme len riešiť

Riešenie nerovnosti znázorníme graficky:

Keďže za predpokladu α ​​∈ (0°; 90°), znamená to, že 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Úloha číslo 11- je typický, ale pre žiakov sa ukazuje ako ťažký. Hlavným zdrojom ťažkostí je konštrukcia matematického modelu (zostavenie rovnice). Úloha číslo 11 testuje schopnosť riešiť slovné úlohy.

Príklad 11. Počas jarných prázdnin musel jedenásťročný Vasya vyriešiť 560 tréningových úloh, aby sa pripravil na skúšku. 18. marca, v posledný deň školy, Vasya vyriešil 5 problémov. Každý deň potom riešil rovnaký počet problémov viac ako predchádzajúci deň. Určte, koľko problémov Vasya vyriešil 2. apríla v posledný deň dovolenky.

Riešenie: Označiť a 1 = 5 - počet úloh, ktoré Vasya vyriešil 18. d– denný počet úloh, ktoré rieši Vasya, n= 16 - počet dní od 18. marca do 2. apríla vrátane, S 16 = 560 – celkový počet úloh, a 16 - počet úloh, ktoré Vasya vyriešil 2. apríla. S vedomím, že Vasya každý deň vyriešil rovnaký počet úloh viac ako predchádzajúci deň, môžete použiť vzorce na nájdenie súčtu aritmetickej progresie:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

odpoveď: 65.

Úloha číslo 12- overiť schopnosť študentov vykonávať akcie s funkciami, vedieť aplikovať deriváciu na štúdium funkcie.

Nájdite maximálny bod funkcie r= 10 ln( X + 9) – 10X + 1.

Riešenie: 1) Nájdite doménu funkcie: X + 9 > 0, X> –9, teda x ∈ (–9; ∞).

2) Nájdite deriváciu funkcie:

4) Nájdený bod patrí do intervalu (–9; ∞). Definujeme znamienka derivácie funkcie a znázorňujeme správanie funkcie na obrázku:

Požadovaný maximálny bod X = –8.

Stiahnite si zadarmo pracovný program z matematiky do radu UMK G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10.-11 Stiahnite si bezplatné príručky algebry

Úloha číslo 13- zvýšená úroveň zložitosti s podrobnou odpoveďou, ktorá testuje schopnosť riešiť rovnice, najúspešnejšie vyriešené spomedzi úloh s podrobnou odpoveďou zvýšenej úrovne zložitosti.

a) Vyriešte rovnicu 2log 3 2 (2cos X) – 5 log 3 (2kos X) + 2 = 0

b) Nájdite všetky korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu.

Riešenie: a) Nech log 3 (2cos X) = t, potom 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log3(2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		cos X =	4,5	⇔ pretože |cos X| ≤ 1,
	log3(2cos X) =	1			2cos X = √3			cos X =	√3
		2							2

potom cos X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Nájdite korene ležiace na segmente .

Z obrázku je vidieť, že daný segment má korene

11π	a	13π	.
6		6

odpoveď: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Úloha číslo 14- pokročilá úroveň odkazuje na úlohy druhej časti s podrobnou odpoveďou. Úloha testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi. Úloha obsahuje dve položky. V prvom odseku musí byť úloha preukázaná a v druhom odseku musí byť vypočítaná.

Obvodový priemer podstavy valca je 20, tvoriaca čiara valca je 28. Rovina pretína jej podstavy pozdĺž tetiv dĺžky 12 a 16. Vzdialenosť medzi tetivami je 2√197.

a) Dokážte, že stredy podstav valca ležia na rovnakej strane tejto roviny.

b) Nájdite uhol medzi touto rovinou a rovinou podstavy valca.

Riešenie: a) Tetiva dĺžky 12 je vo vzdialenosti = 8 od stredu základnej kružnice a tetiva dĺžky 16 je podobne vo vzdialenosti 6. Preto vzdialenosť medzi ich priemetmi na rovinu rovnobežnú s základne valcov je buď 8 + 6 = 14, alebo 8 − 6 = 2.

Potom je vzdialenosť medzi akordmi buď

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Podľa stavu bol realizovaný druhý prípad, v ktorom výstupky tetivy ležia na jednej strane osi valca. To znamená, že os nepretína túto rovinu vo valci, to znamená, že základne ležia na jednej jeho strane. Čo bolo potrebné dokázať.

b) Označme stredy báz O 1 a O 2. Nakreslíme zo stredu podstavy s tetivou dĺžky 12 kolmicu na túto tetivu (má dĺžku 8, ako už bolo uvedené) a zo stredu druhej podstavy na inú tetivu. Ležia v rovnakej rovine β kolmej na tieto tetivy. Nazvime stred menšej tetivy B, väčší ako A, a priemet A na druhú základňu H (H ∈ β). Potom AB,AH ∈ β a teda AB,AH sú kolmé na tetivu, teda na priesečník podstavy s danou rovinou.

Takže požadovaný uhol je

∠ABH = arctan	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Úloha číslo 15- zvýšená úroveň zložitosti s podrobnou odpoveďou, preveruje schopnosť riešiť nerovnosti, najúspešnejšie vyriešené spomedzi úloh s podrobnou odpoveďou na zvýšenú úroveň zložitosti.

Príklad 15 Vyriešte nerovnosť | X 2 – 3X| denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Riešenie: Oblasťou definície tejto nerovnosti je interval (–1; +∞). Zvážte tri prípady oddelene:

1) Nechajte X 2 – 3X= 0, t.j. X= 0 alebo X= 3. V tomto prípade sa táto nerovnosť stane pravdivou, preto sú tieto hodnoty zahrnuté do riešenia.

2) Nechaj teraz X 2 – 3X> 0, t.j. X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). V tomto prípade je možné túto nerovnosť prepísať do tvaru ( X 2 – 3X) denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 a vydeliť kladným výrazom X 2 – 3X. Dostaneme denník 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 -1 alebo X≤ -0,5. Ak vezmeme do úvahy doménu definície, máme X ∈ (–1; –0,5].

3) Nakoniec zvážte X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). V tomto prípade sa pôvodná nerovnosť prepíše do tvaru (3 X – X 2) denník 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Po vydelení kladným výrazom 3 X – X 2, dostaneme denník 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. S prihliadnutím na oblasť máme X ∈ (0; 1].

Spojením získaných riešení získame X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

odpoveď: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Úloha číslo 16- pokročilá úroveň odkazuje na úlohy druhej časti s podrobnou odpoveďou. Úloha testuje schopnosť vykonávať akcie s geometrickými tvarmi, súradnicami a vektormi. Úloha obsahuje dve položky. V prvom odseku musí byť úloha preukázaná a v druhom odseku musí byť vypočítaná.

AT rovnoramenný trojuholník ABC s uhlom 120° pri vrchole A je nakreslená os BD. AT trojuholník ABC obdĺžnik DEFH je vpísaný tak, že strana FH leží na segmente BC a vrchol E leží na segmente AB. a) Dokážte, že FH = 2DH. b) Nájdite obsah obdĺžnika DEFH, ak AB = 4.

Riešenie: a)

1) ΔBEF - pravouhlý, EF⊥BC, ∠B = (180° - 120°) : 2 = 30°, potom EF = BE kvôli vlastnosti nohy oproti uhlu 30°.

2) Nech EF = DH = X, potom BE = 2 X, BF = X√3 podľa Pytagorovej vety.

3) Keďže ΔABC je rovnoramenné, potom ∠B = ∠C = 30˚.

BD je osou ∠B, takže ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Uvažujme ΔDBH - obdĺžnikový, pretože DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2(3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

odpoveď: 24 – 12√3.

Úloha číslo 17- úloha s podrobnou odpoveďou, táto úloha preveruje aplikáciu vedomostí a zručností v praktických činnostiach a bežnom živote, schopnosť zostavovať a skúmať matematické modely. Táto úloha je textová úloha s ekonomickým obsahom.

Príklad 17. Vklad vo výške 20 miliónov rubľov sa plánuje otvoriť na štyri roky. Banka na konci každého roka zvyšuje vklad o 10 % v porovnaní s jeho veľkosťou na začiatku roka. Okrem toho na začiatku tretieho a štvrtého roku vkladateľ každoročne dopĺňa vklad o X miliónov rubľov, kde X - celýčíslo. Nájsť najvyššia hodnota X, pri ktorej banka za štyri roky pripočíta k vkladu necelých 17 miliónov rubľov.

Riešenie: Na konci prvého roka bude príspevok 20 + 20 · 0,1 = 22 miliónov rubľov a na konci druhého roka - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 milióna rubľov. Na začiatku tretieho roka bude príspevok (v miliónoch rubľov) (24,2 + X), a na konci - (24,2 + X) + (24,2 + X) 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Na začiatku štvrtého roka bude príspevok (26,62 + 2,1 X) a na konci - (26,62 + 2,1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Podľa podmienky musíte nájsť najväčšie celé číslo x, pre ktoré je nerovnosť

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Najväčšie celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 24.

odpoveď: 24.

Úloha číslo 18- úloha so zvýšenou úrovňou zložitosti s podrobnou odpoveďou. Táto úloha je určená pre konkurenčný výber na vysoké školy so zvýšenými požiadavkami na matematickú prípravu uchádzačov. Úloha vysokej úrovne zložitosti nie je úlohou pre aplikáciu jednej metódy riešenia, ale pre kombináciu rôzne metódy. Pre úspešné splnenie úlohy 18 je okrem solídnych matematických vedomostí potrebná aj vysoká úroveň matematickej kultúry.

Pri čom a systém nerovností

	X 2 + r 2 ≤ 2áno – a 2 + 1
	r + a ≤ |X| – a

má presne dve riešenia?

Riešenie: Tento systém je možné prepísať ako

	X 2 + (r– a) 2 ≤ 1
	r ≤ |X| – a

Ak nakreslíme na rovinu množinu riešení prvej nerovnosti, dostaneme vnútro kružnice (s hranicou) s polomerom 1 so stredom v bode (0, a). Množina riešení druhej nerovnice je tá časť roviny, ktorá leží pod grafom funkcie r = | X| – a, a druhý je grafom funkcie
r = | X| , posunuté nadol o a. Riešenie tejto sústavy je priesečníkom množín riešení každej z nerovníc.

Preto dve riešenia tento systém bude mať iba v prípade znázornenom na obr. jeden.

Body dotyku medzi kružnicou a čiarami budú dve riešenia systému. Každá z priamych línií je naklonená k osám pod uhlom 45°. Takže trojuholník PQR- pravouhlý rovnoramenný. Bodka Q má súradnice (0, a) a pointa R– súradnice (0, – a). Okrem toho strihy PR a PQ sa rovnajú polomeru kruhu rovnému 1. Preto,

QR= 2a = √2, a =	√2	.
	2

odpoveď: a =	√2	.
	2

Úloha číslo 19- úloha so zvýšenou úrovňou zložitosti s podrobnou odpoveďou. Táto úloha je určená pre konkurenčný výber na vysoké školy so zvýšenými požiadavkami na matematickú prípravu uchádzačov. Úloha vysokej úrovne zložitosti nie je úlohou na aplikáciu jednej metódy riešenia, ale na kombináciu rôznych metód. Pre úspešné splnenie úlohy 19 je potrebné vedieť hľadať riešenie, vyberať rôzne prístupy spomedzi známych, modifikovať študované metódy.

Nechaj sn súčet Pčlenovia aritmetického postupu ( a p). To je známe S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Uveďte vzorec Pčlenom tohto postupu.

b) Nájdite najmenší súčet modulov S n.

c) Nájdite najmenšie P, na ktorom S n bude druhou mocninou celého čísla.

Riešenie: a) Samozrejme, a n = S n – S n- jeden . Pomocou tohto vzorca dostaneme:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

znamená, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) pretože S n = 2n 2 – 25n, potom zvážte funkciu S(X) = | 2X 2 – 25x|. Jej graf je možné vidieť na obrázku.

Je zrejmé, že najmenšiu hodnotu dosiahneme v celočíselných bodoch umiestnených najbližšie k nulám funkcie. Je jasné, že ide o body. X= 1, X= 12 a X= 13. Keďže S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 144 – 25 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 169 – 25 13| = 13, potom najmenšia hodnota je 12.

c) Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že sn pozitívny od r n= 13. Odkedy S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), potom sa zrejmý prípad, keď je tento výraz dokonalým štvorcom, realizuje, keď n = 2n- 25, teda s P= 25.

Zostáva skontrolovať hodnoty od 13 do 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13 S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ukazuje sa, že pre menšie hodnoty Púplný štvorec sa nedosiahne.

odpoveď: a) a n = 4n- 27; b) 12; c) 25.

________________

*Od mája 2017 je spoločná vydavateľská skupina DROFA-VENTANA súčasťou spoločnosti Russian Textbook Corporation. Súčasťou korporácie bolo aj vydavateľstvo Astrel a digitálna vzdelávacia platforma LECTA. CEO vymenoval Alexandra Brychkina, absolventa Finančnej akadémie pri vláde Ruskej federácie, PhD v odbore ekonómia, vedúceho inovatívnych projektov vydavateľstva DROFA v oblasti digitálneho vzdelávania (elektronické učebnice, ruština e-škola“, digitálna vzdelávacia platforma LECTA). Pred príchodom do vydavateľstva DROFA zastával pozíciu viceprezidenta pre strategický rozvoj a investície vydavateľského holdingu EKSMO-AST. Dnes má ruské vydavateľstvo učebníc najväčšie portfólio učebníc zaradených do federálneho zoznamu – 485 titulov (približne 40 %, okrem učebníc pre nápravné školy). Vydavateľstvá korporácie vlastnia súbory učebníc fyziky, kreslenia, biológie, chémie, techniky, geografie, astronómie, najviac žiadané ruskými školami - oblasti vedomostí, ktoré sú potrebné na rozvoj produkčného potenciálu krajiny. Portfólio korporácie zahŕňa učebnice a študijné príručky pre Základná škola udelil prezidentskú cenu za vzdelávanie. Ide o učebnice a príručky o oblastiach, ktoré sú potrebné pre rozvoj vedeckého, technického a priemyselného potenciálu Ruska.

11. ročník

Podmienky úlohy

1. Cena rýchlovarnej kanvice sa zvýšila o 14% a dosiahla 1 596 rubľov. Koľko stála kanvica pred zvýšením ceny?
2. V grafe je znázornená závislosť krútiaceho momentu motora od počtu otáčok za minútu. Počet otáčok za minútu je vynesený na vodorovnej osi a krútiaci moment v N∙m na zvislej osi. Rýchlosť vozidla (v km/h) je približná podľa vzorca kde n je počet otáčok motora za minútu. Aká je minimálna rýchlosť, ktorou sa musí auto pohybovať, aby bol krútiaci moment 120 N∙m? Svoju odpoveď uveďte v kilometroch za hodinu.
   
3. Na kockovanom papieri je znázornený trojuholník ABC s veľkosťou bunky x. Nájdite dĺžku jeho výšky zníženej na stranu BC.
4. Vedecká konferencia sa koná o 5 dní. Celkovo je naplánovaných 75 správ – prvé tri dni po 17 správ, ostatné sú rovnomerne rozdelené medzi štvrtý a piaty deň. Na konferencii je plánovaná správa profesora M. Poradie správ je určené žrebovaním. Aká je pravdepodobnosť, že správa profesora M. bude naplánovaná na posledný deň konferencie?
5. Nájdite koreň rovnice
6. Štvoruholník ABCD je vpísaný do kruhu. Uhol ABC sa rovná 105 o, uhol CAD sa rovná 35 o. Nájdite uhol ABD. Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.
7. Obrázok ukazuje graf derivácie funkcie definovanej na intervale. Nájdite maximálny počet bodov funkcie, ktoré patria do segmentu.
   
8. Guľa je vpísaná do valca. Plocha povrchu gule je 111. Nájdite celkovú plochu valca.
9. Nájdite hodnotu výrazu
10. Na získanie zväčšeného obrazu žiarovky na obrazovke sa v laboratóriu používa zbiehavá šošovka s hlavnou ohniskovou vzdialenosťou cm Vzdialenosť od šošovky k žiarovke sa môže meniť od 30 do 50 cm a vzdialenosť od šošovky uhlopriečka obrazovky sa môže meniť od 150 do 180 cm, obrazovka bude jasná, ak bude pomer splnený. Uveďte najmenšiu vzdialenosť od šošovky, v ktorej je možné umiestniť žiarovku, aby bol jej obraz na obrazovke jasný. Vyjadrite svoju odpoveď v centimetroch.
11. Vzdialenosť medzi mólami A a B je 120 km. Z A do B sa po rieke vydala plť a o hodinu neskôr za ňou jachta, ktorá sa po príchode do bodu B okamžite otočila a vrátila sa do A. Do tejto doby plť prekonala 24 km. Nájdite rýchlosť jachty na stojatej vode, ak je rýchlosť rieky 2 km/h. Svoju odpoveď uveďte v km/h.
12. Nájdite maximálny bod funkcie.
13. a) Vyriešte rovnicu ; b) Označte korene tejto rovnice, ktoré patria do segmentu.
14. Body M a N sú vyznačené na hranách AB a BC trojuholníkovej pyramídy ABCD s AM:MB = CN:NB = 3:1. Body P a Q sú stredy hrán DA a DC.
    a) Dokážte to body P,Q,M a N ležia v rovnakej rovine;
    b) Zistite, v akom pomere táto rovina rozdeľuje objem pyramídy.
15. Vyriešte nerovnosť
16. Bod E je stredom laterálnej strany CD lichobežníka ABCD. Na svojej strane zaujal bod AB bod K, takže priamky SC a AE sú rovnobežné. Segmenty SK a BE sa pretínajú v bode O.
    a) Dokážte, že CO=CO.
    b) Nájdite pomer základne lichobežníka BC: AD, ak je plocha trojuholníka BCK 9/64 plochy celého lichobežníka ABCD.
17. V júli sa plánuje vziať si pôžičku od banky na určitú sumu. Podmienky na jeho vrátenie sú nasledovné:
    - každý január sa dlh zvýši o r % v porovnaní s koncom predchádzajúceho roka;
    - Od februára do júna každého roka musí byť časť dlhu splatená.
    Nájdite r, ak je známe, že ak každý zaplatíte 777 600 rubľov, pôžička sa splatí za 4 roky a ak každý rok zaplatíte 1 317 600 rubľov, pôžička bude úplne splatená za 2 roky?
18. Nájdite všetky hodnoty parametra, pre ktoré má rovnica presne jeden koreň na intervale.
19. Každý z 32 študentov buď napísal jeden z dvoch testov, alebo napísal oba testy. Za každú prácu bolo možné získať celočíselný počet bodov od 0 do 20 vrátane. Pre každú z dvoch testových prác samostatne bolo priemerné skóre 14. Potom každý študent pomenoval najvyššie skóre (ak študent napísal jednu prácu, potom pomenoval skóre za ňu). Aritmetický priemer menovaných skóre sa rovnal S.
    a) Uveďte príklad, keď S<14
    b) Môže byť hodnota S rovná 17?
    c) Akú najmenšiu hodnotu by mohlo mať S, ak by oba testy písalo 12 žiakov?